К анализу арифметического хаоса Текст научной статьи по специальности «Математика»

Прикладная математика

3

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УДК 519.21 А. В. Бирюков

К АНАЛИЗУ АРИФМЕТИЧЕСКОГО ХАОСА

Из множества натуральных чисел от 1 до N извлечем произвольным образом числовую последовательность Х1, Х2,

Х„ содержащую п чисел. Числа выбранной последовательности могут иметь различное взаимное расположение. В частности, последовательность может оказаться монотонно возрастающей, монотонно убывающей или содержать чередование экстремумов. В этом случае можно говорить о существовании некоторого порядка в расположении чисел. Однако, возможно также, что порядок такого рода отсутствует, и тогда можно говорить о хаотичности или беспорядочности расположения чисел последовательности.

В общем случае задача состоит в конструировании характеристик хаоса, позволяющих с этой точки зрения отличать друг от друга хаотические последовательности. Поскольку общеизвестной характеристикой неопределенности или хаоса является энтропия, то решение рассматриваемой задачи следует искать на пути построения каких-либо вероятностных распределений.

Приведем несколько вариантов такого построения. Одним из них может быть следующий. Рассмотрим в данной последовательности все тройки соседних чисел вида Хк, Хк+1, Хк+2 (к=1, 2, п-2) и разобьем

их на две группы:

1) Хк < Хк+1 < Хк+2 или Хк > Хк+1 > Xk+2,

2) Хк+1 > Хк Хк+1 > Хк+2 или Хк+1 < Хк Хк+1 < Хк+2-

Первая группа соответствует возрастанию или убыванию

чисел в тройке, а вторая - наличию экстремума. Подсчитаем количество троек в обеих группах и обозначим это количество соответственно через п1, п2. Тогда отношения Р1 = п1 / (п-2); Р2 = п2 / (п-2) можно рассматривать как вероятности встречи тройки из первой и второй групп. Энтропия этого вероятностного распределения равна Н = - РгЬ(Р1) - Р2ЦР2), где символом Ь обозначены логарифмы с основанием 2. Очевидно, что величина Н принимает значения из отрезка от 0 до

1. При этом Н = 1 лишь в том случае, когда Р1 = Р2, т.е. когда числовых троек в обеих группах будет одинаковое количество. Нулевая энтропия соответствует случаю, когда Р1=1, Р2 = 0 или Р1 = 0, Р2 = 1, т.е. когда последовательность монотонно возрастает (убывает) или когда происходит чередование экстремумов, что графически соответствует пилообразной линии.

Пусть, например, имеются последовательности:

1) 3, 5, 2, 7, 6, 1, 4, 8, 10, 9

и

2) 8, 9, 10, 1, 4, 2, 3, 7, 5, 6. Вычисление вероятностей и значений энтропии дает:

1) Р1 = 5/8, Р2 = 3/8, Н = 0,954;

2) Р1 = 6/8, Р2 = 2/8, Н = 0,811. Как видим, первая последовательность более хаотична, чем вторая.

Приведенный критерий оценки хаотически не улавливает различия между возрастанием и убыванием последовательности, а также не различает максимума и минимума в числовой тройке. Увеличить чувствительность критерия можно

следующим образом.

Рассмотрим знаки разности Хк+1 - Хк (к = 1, 2, ..., п-1) и сопоставим положительной разности число 1, а отрицательной - число 0. Тогда данной последовательности будет соответствовать двоичная последовательность из единиц и нулей, в которой пары соседних членов могут быть расположены четырьмя вариантами: 11, 10, 01, 00. Каждому варианту соответствует вероятность (относительная частота встречи). Для распределения вероятностей Р1, ..., Р4 вычислим энтропию Н = - [Р1ЦР1) +..+ Р4ЦР4)]/2, которая и будет количественной характеристикой арифметического хаоса. Как и прежде, величина Н принимает значения на отрезке от 0 до 1. При этом у возрастающей последователь-

ности Р1 = 1, для убывающей Р2 = 1. В обоих случаях энтропия равна нулю.

Если же экстремумы чередуются, то Р3 = Р4 = У и, следовательно Н2=0,5. Таким образом, в пилообразной картине в отличие от предыдущего новый критерий отмечает наличие некоторого хаоса.

В проведенном выше примере двоичные последовательности и соответствующие им вероятности имеют вид:

1) 101001110; 2/8, 3/8, 2/8, 1/8;

2) 110101101; 2/8, 3/8, 3/8, 0, что дает значения энтропии: 1) Н2 = 0,953; 2) Н2 = 0,781. В сравнении с первым критерием хаотичности, где разность энтропий 0,143, второй с разностью энтропий 0,172 оказывается более чувствительным к вариации числовых оценок хаоса.

4

А. В. Бирюков

Изложенный подход объединяет в один класс все монотонные последовательности, считая их вполне упорядоченным и обладающими нулевой энтропией. Другими словами, беспорядочность рассматривается лишь как чередование монотонных фрагментов последовательности с экстремумами или пиками.

Однако это не вполне согласуется с интуитивным представлением об отсутствии порядка. Примером тому может служить возрастающая последовательность простых чисел, в которой расстояние между соседними числами не подчиняется какой-либо закономерности.

Очевидно, что с рассматриваемых позиций различия между возрастающей и убывающей последовательностями не существует, поскольку одна из другой получается перенумерацией членов. Поэтому остановимся лишь на возрастающей последовательности натуральных чиселХк+1 >Хк (к =1, 2, ..., п-1).

Вместе с ней рассмотрим последовательность разностей 2к = Хк+1 - Хк (к = 1, 2, ..., п-1) и последовательность вторых разностей Ук = 1к+1 - 2к (к = 1,

2, ..., п-2). У первой из них все члены положительны, а у второй могут иметь разные знаки.

Вторым разностям сопоставим числа 1 или 0 в зависимости от того, положительна она или отрицательна. Если вторая разность равна нулю, то условимся сопоставлять ей число 1.

У образованной двоичной последовательности будем, как и прежде, искать энтропию распределения вероятностей (относительных частот), с которыми встречаются соседние пары чисел 11, 10, 01, 00. Значение этой энтропии будет числовой характеристикой хаоса в расположении членов возрастающей последовательности. Отметим, что энтропия арифметической прогрессии равна нулю, поскольку

для нее все первые разности одинаковы и, следовательно, вторые разности равны нулю.

Представляет интерес поведение энтропии с увеличением числа членов возрастающей последовательности. Пусть, например, имеются три последовательности простых чисел с числом членов 10, 20, 30. Это числа от 3 до 31, от 3 до 73 и от 3 до 119. Энтропии этих последовательностей равны соответственно 0,779; 0,952; 0,946. Отсюда видно, что с ростом числа членов последовательности ее энтропия асимптотически стремится к единице.

В двоичной последовательности, соответствующей вторым разностям, можно рассматривать не только пары соседних чисел, но и тройки, четверки и т.д. Остановимся на случае с тремя соседними числами: 111, 110, 101, 011, 100, 010, 001, 000. Этим восьми вариантам соответствуют вероятности их встречи Р1, ..., Р8 с энтропией распределения Н3 = -[Р1Ь(Р1) +

.. + РЬ(Р8)] / 3.

Сравним, для примера, величины Н2 и Н3 у последовательностей простых чисел от 3 до 31 и от 3 до 73. Для первой из них Н2 = 0,779; Н3 = 0,693, а для второй Н2 = 0,952; Н3 = 0,885, т.е. в обоих случаях Н2 > Н3. При этом разность энтропий 0,140 и 0,067 убывает с увеличением числа членов последовательности.

К рассматриваемому классу комбинаторных задач принадлежат и задачи, связанные и изучением случайных графов. Граф А (п, т) с п вершинами и т ребрами называется случайным, если вероятность смежности любых двух его вершин равна 0,5. Так как число ребер полного графа равно п (п-1) / 2, то среднее значение случайной величины т равно п (п-1) / 4.

Со случайным графом можно связать вероятностное распределение и его энтропию сле-

дующим образом. Рассмотрим у данного графа все его подграфы третьего порядка. Это множество содержит четыре класса подграфов: цикл, двухзвенная цепь, ребро и вершина, три попарно несмежных вершины. Если Рі,

Р4 - вероятности (относительные частоты) встречи каждого из четырех подграфов в данном графе, то энтропия этого распределения Н = - [РіІ(Рі) + ... + Р£Р4)]/2 характеризует алгоритмическую сложность описания данного графа и может выступать в роли количественной оценки его хаотичности.

Пусть, например, имеются 24 графа с шестью вершинами и семью ребрами. Заметим, что у полного графа шестого порядка число ребер равно 15. Поэтому у случайного графа число ребер равно 7 или 8. Но поскольку граф А (6, 8) является дополнением графа А (6, 7), то энтропии у них одинаковы.

пии для 24 графов А (6, 7) принадлежит отрезку от 0,361 до 0,963. На рисунке приведены изображения графов с экстремальным значением энтропии.

Вероятности распределения случайной величины Н в семи интервалах от 0,3 до 1 равны соответственно 0,02; 0,02; 0,04; 0,08; 0,36; 0,28; 0,20. Как видим, распределение обладает ярко выраженной асимметрией с модой в интервале от 0,7 до 0,8.

Найденные значения энтро-