Методы калибровки аддитивных генераторов стохастических графов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

удк 481.3.0* в. Н. ЗАДОРОЖНЫЙ

Омский государственный технический университет

МЕТОДЫ КАЛИБРОВКИ АДДИТИВНЫХ ГЕНЕРАТОРОВ СТОХАСТИЧЕСКИХ ГРАФОВ

Развивается теория стохастических графов, моделирующих большие сетевые структуры типа Интернет. Выводится точное распределение степени связности вершин для графа, выращиваемого генератором со стохастическим приращением. Предлагаются методы генерации графов, имеющих требуемое распределение степени связности.

Ключевые слова: стохастические графы, большие сетевые структуры типа Интернет.

1. Введение

В 2009 г. исполнилось 10 лет молодой, бурно разливающейся науке, изучающей фундаментальные свойства больших сетевых структур (БСС), формируемых в качестве среды для взаимодействия сотен тысяч и миллионов элементов 11—3]. Установлено, что многие БСС, изучаемые различными прикладными науками, выращиваются по простым правилам из небольших компактных сетей — так называемых «зародышей» или «затравок».

На языке математики такие БСС описываются стохастическими графами, которые выращиваются с помощью простых алгоритмов (генераторов), отражающих правила роста БСС. Наиболее широко известна модель Барабаши-Альберт [ 11, представля-

ющая собой случайный динамический граф, который выращивается из небольшой затравки путем неограниченно повторяемых добавлений к графу повой вершины с т ребрами. Свободные концы ребер каждой новой вершины присоединяются преимущественно к вершинам, богатым связями, т.е. вероятность р1 связывания нового ребра с 1-й вершиной графа пропорциональна ее локальной степени связности к:

(1)

Значительное число публикаций отражает актуальность задачи калибровки используемых графовых моделей, которая сводится к настройке параметров генератора, обеспечивающей достаточно хорошее

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК Я* 1 («Л 2010

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ МСТНИК № 1 С»7) 2010

совпадение свойств генерируемых графов со свойствами моделируемых БСС. Эта задача обсуждается, в частности, в работах |4, 5], непосредственным продолжением которых является настоящая статья.

Алгоритм (правило) (I) и его модификации представляют среди прочих методов генерации случайных графов отдельный класс генератороп - назовем его классом аддитивных генераторов, — которые отличаются тем, что граф выращивается путем простого добавления новых вершин и ребер к существующему графу. Ниже в статье разрабатываются методы калибровки аддитивных генераторов, использующих правило предпочтения (I) и его модификации.

При этом для генератора с детерминированным приращением, представляющим собой вершину с фиксированным числом т ребер, используется найденное в |4) обобщенное распределение вероятностей Ок степени к вершин графа. Обобщенное распределение характеризует граф, выращиваемый с применением произвольной функции предпочтения /■(*)>0, которая определяет вероятность связывания р. по аналогии с (I) следующей формулой:

(2)

Правило (I) является частным случаем правила (2). получаемым при {(/с) = к.

Для генератора со стохастическим приращением, представляющим собой вершину со случайным числом ребер, обобщенное распределение вероятностей 0К для выращиваемого графа устанавливается ниже.

2. Распределение степени вершин при стохастическом приращении

2.1. Вывод обобщенного распределения. Рассмотрим процесс развития графа, выращиваемого аддитивным генератором, у которой) новая вершина содержит случайное число х (д^х^Ь) ребер с математическим ожиданием т. Обозначим через гк вероятность тоге, что новая вершина содержит к ребер, и выпишем уравнения баланса для вероятностей Ок локальных степеней графа, выращиваемого по правилу (2). Определим слой Ак как множество вершин графа, имеющих локальную степень к. В качестве «затравки» можно брать граф с не менее чем Л вершинами, степень связности которых не ниже д. На каждом шаге генерации к имеющемуся N вершинному графу добавляется одна вершина и связывается х ребрами со случайно выбранными ими. в соответствии с вероятностями (2), вершинами имеющегося графа. Тогда в с тационарном режиме развития графа минимальная степень связности его вершин составляет д. а средняя степень связности вершины <к> = 2т.

На любом шаге I множество вершин имеющегося графа разбито на подмножества Ак (слои) вершин, содержащие вершины с одинаковой степенью к. Вероятность дк слоя Ак определим как вероятность того, что случайно (равновероятно) выбранная вершина принадлежит слою Ак: д* =\Ak\/N, где |Аа| -число вершин со степенью к. Вероятность Ок того, что в бесконечном стационарном графе случайно выбранная вершина имеет степень к, определим как финальное значение вероятности д,. при Г ->«> (или при N—>00, что то же самое).

Финальное значение вероятности **=2^ р,

того, что для связывания с ребром новой вершины будет выбрана вершина слоя А4, найдем, исходя из I правила предпочтения (2), следующим образом:

5>.

1*А,

Е>*/)

К И*)

\лк\/ы цк) } о„-т _ к,д.

<0

где </) = Х|^°» Г(/) — сРеАНЯЯ привлекательность

вершины графа.

Финальные вероятности Ок найдем из уравнений баланса вероятностей, которые выпишем следующим образом. За один шаг генерации в граф добавляется одна вершина с х ребрами Число |Ау| вершин слоя увеличивается в среднем на гд (в этот слой с вероятностью ги попадает одна /новая/ вершина) и одновременно уменьшается (т.к. из этого слоя уходят вершины, когда к ним присоединяется новое ребро) в среднем на тРд = ш09 ((д)/(0 вершин. Уравнение баланса получим, приравнивая выражения вероятности Оу до и после шага генерации в стационарном режиме разви тия графа (при Л/-*»):

о,-

КІ \А0\+га-тС>яГ[д)/(Г)

а1 _ N

N + \

откуда

К| М+|А„| = М К|+№„ - МтОЯд)/(/>.

или

N а

Учитывая, что |А |/N ~^О0 , получаем уравнение Од =г9- тОд!(д)/0). или

гЛП

<Г)+тЦд)'

(4)

где /(<7) - привлекательность вершины с наименьшей степенью связности.

Аналогично выписывается и решается уравнение баланса для к>д. При больших N число\Ак\ вершин в слое Ак возрастает за один шаг генерации в среднем на гк + тРк_1 = гк + т-[(к-\)Ок_х/(Г) за счет попадания в слой Ак новой вершины с вероятностью гк и за счет прихода вершин из слоя Л4_,, и одновременно уменьшается в среднем на тРк = т((к)Ок/(/) - за счет ухода вершин из слоя А, в слой Ак +,. Получаемое уравнение баланса

Ок

| | +т-Цк-\Ю^ _ тГ(к)Ок

К1.___________<0_ <0

N N + 1

переписывается в виде:

<0 <0

и дает равенство 0к </> = гк (/> + т • Г(к - \)Ок , - тГ(к)Ок, или

О Ь<0 + т:Цк-Щ_1ш' ^д + |> (5)

У)+т1(к)

При заданной / параметр ((), необходимый для доопределения рекурсии (4), (5), можно находить из

уравнения '£к>тк-Ок =2т, или из уравнения

а = • Разные f позволяют получать разные

распределения Ок-

Установленное в |41 распределение степеней связности. индуцируемое функцией /'при детерминированном приращении ш, выражаемое рекурсией

О.-

</>

(6)

(7)

есть частный случай (4), (5), получаемый при гд= 1, д=т и гк = 0 для к>д.

2.2. Способ расчета. Непосредственное использование рекурсивных формул (4), (5) или (6), (7) для расчета распределения вероятностей Ол затрудняется тем, что при известной / (/с) нам неизвестно сроднее </> (т.к. неизвестно распределение QJ. Испытанный метод расчета который удобно реализуется в Ms Excel или любом другом табличном процессоре, состоит в следующем.

Формируется столбец значений f (к). Необходимое для расчета Ок значение (О замещается (временно) некоторым значением а, заносимым в отдельную ячейку таблицы. Со ссылкой на него по соответствующим рекурсивным формулам формируется столбец значений Ок. После этого в какой-либо ячейке вычисляется значение <0 — сумма произведений столбцов/(А) и Ок. Естественно, рассчитанное значение <0 — неверное и отличается от значения а. Далее используется сервис « Подбор параметра» с целью такого изменения параметра а. которое приведет его к совпадению со значением ячейки (/>. Д\я этого в отдельной ячейке записывается разность ячеек а и </), и подбор параметра а инициируется с целью установления нулевого значения в этой ячейке разности. Когда разность устанавливается равной нулю, тогда столбец Ок, значение <0 и равное ему значение а становятся верными. Для полученного распределения Ок можно выполнить простую проверку: его среднее <*> становится равным 2т — таким, как в генерируемом графе.

Аналитические решения (4), (5) и (6), (7) позволяют эффективно выполнять калибровку аддитивных генераторов со стохастическим и, соответственно, с детерминированным приращением. Вначале рассмотрим калибровку генераторов с детерминированным приращением. Для этого рассмотрим вначале ряд свойств распределения вероятностей (6), (7), индуцируемого функцией f [к).

3. Свойства индуцируемых распределений

3.1. Общая формула вероятностей. При анализе соответствий между функцией предпоч тения Г [к) и индуцируемою ею но формулам (6), (7) распределения ®* = От. От+|, ...функцию/ (к) удобно рассматривать

как числовую последовательность Ги = (ю, /П) (к...,

где Гк = 1 (А)>0 при к>т, а /т>0.

Необходимо также заметить, что в ходе применения рекурсии (6), (7) распределение вероятностей Оя=От, Оя+1, ...однозначноопределяется последовательностью 1т — 1т, /т+,|..., /*..., заданной с точностью до мультипликативной константы, т.е. последовательность сГи = с(я, с/я+),.... сГк..., (с > 0) порождаетто же распределение От, что и последовательность Гт. Аналогичное свойство имеет место для рекурсии (4), (5).

Как можно в и доп. из (7), первым в последовательности \т нулевым значением /Ч4, = 0, (М£т) предопределяется равенство Ок = 0 для всех к>М+ 1. Поэтому предпочтения (т будем зад авать либо в виде конечной последовательности ^ = /гл,/’ЯК|....«/’м#0, все числа которой (кроме последнего/Л1+, = 0) положительны, либо в виде бесконечной последовательности положительных чисел. В сокращенной записи -(л, содержащей лишь положительные числа, значение /чч| = 0 будем считать заданным по умолчанию.

Конечная последовательность индуцирует по формулам (6), (7) распределение вероятностей О*1*1 = = От.О^..... 0А1>,. в котором при некотором а = </)

a + mL

a + mfm a + m/ro.,

Ол,., -

ml„

mf.

а + mf„. а + mf„. a + inf,

‘Mrl

и, следовательно, при всяком к, лежащем в интервале т$к<М+ 1

О*

п‘

ml,

Ы-

a + mfm ~т' a + ш/,

(8)

Произведение Пми. .в котором верхний предел меньше нижнего, равноединице по определению. Т.к. (м», = 0. томя Ом,, имеем также выражение

Ом

mf„

a + m/m a + m/m„ a + mfM а + ш/м+|

ГГ

м mft

' а * mf(

(91

в котором при о=0 не возникает неопределенности типа 0/0.

С учетом (9) для случая а = 0 имеем:

С=>оГ=о(Я,...,с?м,оЛ|+|=о....o,i.

(10)

Символ читается как «индуцирует». Здесь при ненулевых предпочтениях Г* мы имеем нулевое среднее предпочтение а = <0 = (юОт +...+/нОм = 0.

Полагая в (8) М->«, находим, что последовательность (£ индуцирует распределение О* = От, От,{..

Ок,..., в котором вероятность Ох>0 определяйся как предел произведения (9) при М—и может быть положительной.

Покажем, что в действительности условие нормы = 1 выполняется для распределения (8) не

только при а = </>, но и при любых других значениях а>0, и, таким образом, распределение (8) является параметрическим классом распределений с параметром а (индуцируемым классом распределений).

3.2. Индуцируемый класс распределений. Чтобы убедиться, что (8) для любой последовательности Г* определяет параметрический класс распределений с

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 «7> 2010 ______________________________________________________________________________ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ЫСТИИК М* 1 <>7> 2010

параметром а£0, достаточно пропсрить, что при любых а>0 для (8) выполняется условие нормы

Х,.тО* = 1 (поскольку неотрицательность всех

очевидна). При М<«» сумма вероятностей вычисляется непосредственно:

+ + ” + °М + =

т{»

а + mfm a+mf„, a+mfmtl

mf,

ды.

m(„

mf.

M-1

mf.

a+mfM a+mfM

a + mL

1+-

1+...

mf,

a+mfM_x

a

a + mf.

2

1 +

mf..

a+mf,

m*l

1 + ...

a+mfM_t

1 | ml» ■ (a + m^M

„ a+m/M V a

_ ° i'°+"0_l a + /n/„\ a J

В приведенной выкладке учитывается, что /М4, = 0.

Выполнение условия лля Рлг=Фв'

От.,,... вытекает из определения вероятности 0_как предела для Ом+1 при М ->«>.

3.3. Определение параметра а. Финальное распределение вероятностей для степени связности случайно выбранной вершины графа, выращиваемого аддитивным генератором с детерминированным приращением, принадлежит классу индуцируемых распределений (8) и определяется параметром а, для которого выполняется условие средней степени связности

= 2т и условие среднего предпочтения

a=I.ZjA

ZM

ь

+<м+«гг.

mf,

a + mf

1— = 7т,

ZM

*=«

a + mf.

п*

-вы

JS!bL. a + mf,

= a

(11)

(12)

Отметим, что случаи а = 0, означающий равенство нулю среднего предпочтения (но не равенство нулю всех предпочтений), поясняется в соотношении (10) и разбирается ниже, в и. 3.5. Исключая этот случай как особенный, разделим обе части равенства (12) на общий множитель о>0 и запишем равенство в более простом виде:

SM к-г.

а + т(„

Соотношения (11) и (13) можно использовать как уравнения для определения того значения параметра а = <Г>, которое определяет распределение степеней связности. Оба этих уравнения дают одно и то же решение, что вытекает из их физического смысла и подтверждается множеством численных экспериментов. Осуществить аналитическое решение этих уравнений удается редко. В то же время в обоих уравнениях левая часть представляет собой монотонную функцию параметра о (как сумму монотонных функций). чем предопределяется единственность решения и простота подбора его численного значения В процессе такого подбора распределение вероятностей (8) сходится к распределению, характеризующему генерируемый граф. Другой, более простой и хорошо проверенный способ определения параметра а описан выше, в п. 2.2.

3.4. Условие существования стационарного графа. Назовем вакансией неиспользованную возможность вершины для ее связывания с новым ребром. Поскольку в общем случае мы рассматриваем конечную последовательность предпочтений f * (и, соответственно, конечную последовательность вероятностей Q**1), то число вакансий у любой вершины ограничено и составляет М + 1 — к, где к — локальная степень связности этой вершины. Отсюда вытекает простое условие, необходимое для существования возможности продолжатьпроцесс построения графа в течение бесконечного числа шагов: число вакансий, добавляемых в граф новой вершиной, должно быть не меньшим, чем число вакансий, забираемых ее ребрами:

М + 1 — т > т, т.е. М + 1 > 2т.

(14)

Если условие (14) нарушается, то первые шаги выращивания графа из затравки могут быть возможны, но через некоторое конечное время обязательно возникает ситуация, когда очередной новой вершине будет некуда присоединять свои ребра, и выращивание графа придется прекращать. Поэтому бесконечный стационарный граф при нарушении условия (14) вырастить невозможно, т.е. это условие является условием существования стационарного графа.

3.5. Псевдорешетки. Уравнение (12) допускает решение а — 0 при М + 1 = 2т. Условие М + 1 = 2/и является границей области стационарности (14), т.е. возможность значения а = 0 допускается только на границе этой области. Дело в том, что на фанице условия (14), т.е. при М = 2т— 1, число вакансий остается постоянным (и конечным). Следовательно, выращиваемый бесконечный стационарный граф состоит из вершин, с вероятностью 1 имеющих степень М+1. Такой граф можно назвать псевдорешеткой, поскольку постоянством степени вершин он подобен решетке. Учитывая связь М = 2т— 1 между Мит, можно, варьируя один из этих параметров и вычисляя другой, определять конкретные виды псевдорешеток, генерируемых по предпочтениям Г*:

— при Л1= 1, М= 1 генерируется граф, имеющий вид бесконечной цепи со степенями вершин М + 1 =2,

— прит = 2, М = 3 генерируется нсевдорешетка со степенями вершин 4;

— при т = 3,М = 5 степени вершин псевдррешетки равны 6, и г.д.

Компоненты последовательности могут при этом задаваться произвольно, и они будут влиять на

конфигурационные характеристики нсевдорешетки. На рис. 1 приводится фрагмент одной из псевдоре-шеток.

4. Калибровка генераторов с детерминированным приращением

4.1. Задача калибровки. Задача калибровки со-

стоит в том, чтобы для заданного произвольным образом распределения степеней связности О^’1 =Ога, От»],...,Оды определить такую последовательность предпочтений |£ = Гт, Гм, используя которую

генератор сформирует граф с этим распределением степеней связности.

4.2. Пример: реализация экспоненциального распределения. Экспоненциальное дискретное распределение о; является геометрическим распределением, т.е. в этом случае От, Оя+|.... есть убывающая геометрическая профессия. Из (7) легко видеть, что такое распределение индуцируется последовательностью предпочтений £, все члены которой /]к=/т одинаковы, например, равны единице.

4.3. Общий метод калибровки: обращение рекур-

сии. При решении задачи калибровки получить последовательность I*' - /и, ..., /Л|, которая индуци-

ровала бы нужное распределение О*1*1 =От, От,О,Чг1, можно, «обращая» рекурсию, заданную равенствами (6), (У).

Согласно (6). (7), для реализации распределения О"*1 необходимо задать Г'У так, чтобы выполнялись

условия От~

и Ок , тГк-\ сн-т/ш Ол_, а + т!к

, из которых (т вы-

ражается непосредственно, а (к выражаются через /л_,:

'/и *

т

1/ __ _ '*-1 • Ок т

Ь.1 ~

к - ян 1.....М,

где присутствует неизвестный параметр а-(Г). От этого параметра можно избавиться следующим образом. Т.к. набор предпочтений задается с точностью до мультипликативной константы, то в последнем соотношении такую константу - это а/т, можно устранить и переписать соотношение в виде

От

/-&=!./ -1

1к ~------*•

О*

'«♦1 = 0.

к = тп + 1 М,

(15)

позволяющем рассчитывать по О*'*1 непосредственно.

При этом нужно учитывать, что реализуемыми являются только такие распределения 0%+'. для которых выполняется условие <*) = 2т и условие стационарности (14).

4.4. Пример: реализация равномерного распределения. В качестве примера применения общего метода калибровки найдем последовательность предпочтений С мя реализации равномерного распределения ОЦ*1 =0Я,01П„,...,0МИ степени связности. При

Рис.1. Фрагмент исевдорешстки, компьютерная генерация которой выполнена аспирантом автора Е. Б. Юдиным

равномерном распределении имеем 0Л1 = 0п1 + |= ...

... = 0А1+| = 1/л, гдел = М-ш + 2, и (к) = (т+ М + 1//2.

Используя соотношения (15), найдем предпочел*

тения 1т :

/»- —■-1-(п-1). АИ4|=/т-1 = (п-2).

От

.../* = л-(/с-я! + 1),... = п-{М -т + 1) = 1, /]м,, =0.

В результате искомый набор предпочтений определяется в виде =п-1, л-2,...,2,1. Из необходимого равенства (к) = 2т, т.е. (ш + М + 1)/2 = 2т. следует, что М = Зт — 1. Условие (14) при этом выполняется автома тически. В качестве конкретной) примера укажем параметры такого генератора: т = 3, М + 1 = 9, С =6,5,4,3,2,1. Этот генератор генерирует граф с равномерным распределением степеней связности, принимающих значения от 3 до 9.

Выполненное исследование и приведенные примеры обнаруживают возможность использования аддитивных генераторов с детерминированным приращением для реализации разнообразных фафов, распределение степеней вершин которых может выбираться в широком диапазоне, характеризующем моделируемые разнообразные БСС.

5. Калибровка генераторов со стохастическим приращением (заключение)

Как выясняется в ходе численных экспериментов, найденные выше точные рекурсивные формулы (4),

(5) для распределения Оп, ......степеней графа.

выращиваемого генератором со стохастическим приращением, также позволяют осуществлять эффективную калибровку такого генератора по измеренному распределению ...........степеней связности

узлов моделируемой сети.

Методика калибровки состоит в следующем. Выбирается небольшое число конкурирующих гипотез о виде функции предпочтения / (/с), наиболее точно соответствующей условиям формирования моделируемой сети (например, гипотеза о пропорциональном предпочтении Цк) = к, линейном предпочтении /(*)=У* + Р или смешанном логарифмо-пронорци-ональном предпочтении Цк) - ук\пк). Калибровка сводится к подбору вероятностей гк (А = д,..., Л), числа к ребер в приращении графа и параметров у, Р,... функций предпочтения. Формулы (4), (5) позволяют быстро определить нужные вероятности гк и параметры у, р. ... путем численного решения следующей задачи:

* Г2 гп> Р' г) = ^Т.к-^°к-Ок)7 - > пип

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК И* 1 <»7> 2010 ___________________________________________________________________ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ «ЕСТНИК № 1 <87) ТОЮ

Рис. 2. Результат калибровки аддитивного генератора со стохастическим приращением для моделирования сети Интернет

с естественными ограничениями, соответствующими смыслу варьируемых параметров генератора гк. у, (5.Задача (16) решается для каждой конкуриру-

ющей гипотезы, и наиболее подходящая из них определяется с учетом достигнутого для нес минимума (16) и содержательных аргументов.

Описанная методика калибровки апробирована при построении имитационных моделей сети Интернет. Распределение степеней связности для графа, выращенного по калиброванным генераторам, отличается существенно более высокой степенью совпадения с известными эмпирическими распределениями. чем это имеет место для графовых моделей, известных из широкого круга публикаций. Построенные но калиброванному генератору модели Интернет имеют и существенно более высокую адекватность, что убедительно подтверждается применением калиброванных моделей для исследования сетевых процессов, таких, как распространение инфекции и вакцинация узлов, случайные отказы элементов и их восстановление. Сравнение результатов моделирования на калиброванных графах с резуль татами их моделирования на графе, пов торяющем моделируемую

сеть поэлементно, показывает степень сходства этих результатов, недостижимую другими известными моделями. 11а рис. 2 приводится результат калибровки генератора поданным (6| о сети Интернет (22963 узла). Влогарифмически-логарифмической шкале показан начальный отрезок исходного распределения, по которому проводилась калибровка (маркеры), и распределения, реализованное генератором (сплошная линия). Здесь используются функция предпочтения / [к) = 0.86 /с и четыре ненулевые вероятности г......

Библиографический список

4. Barabasl, Albert-L£szl6and Albert, Rtfka. «Emergonr.p of scaling In random networks*. Science, 286:509 - 512, October 15, 1999

2. Бирабаши, А.. Боиабо, Э. Безмасиггабные сети //В мире науки. — 2003. — No8. — С.55—63.

3 Barabasi, Albert-Laszld, Scale-Free Networks: A Decade and Beyond//SCIENCE, VOL325,24 JULY2009 - P 412-413.

4. Задорожный, B.H.. Юдин. Е.Б. Статистически однородные случайные графы: определение, генерация, применение // Омский научный вестник. - 2009. - Np3 (83). - С. 7- 13.

5. Задорожный, В.Н.. Юдин, Е.Б. Точная теория графа Барабаиж-АльбсртV/Омский научный вестник. - 2009 - N»3 (83). - С. 13- 19.

6. Структура автономных систем сети Интернет, воссозданная на основе BGP таблиц, 2006 г.. URL: http://www-personal umtch.edu/-mejn/neldala/as-22|uly06.zip. Дата обращения: 01.09.2009.

ЗАДОРОЖНЫЙ Владимир Николаевич, кандидат технических наук, доцент кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управ-леїтия».

Адрес для переписки: 644050, г. Омск, пр. Мира, 11.

Статья поступила в редакцию 25.12.2009 г.

© В. Н. Задорожный

Книжная полка

Шакиров, М. Ф. Базовые узлы цифровых устройств » интегральном исполнении [Текст]: конспект лекций по курсу «Схемотехника ЭВМ» / М. Ф. Шакиров, И. В. Червенчук; ОмГТУ. — Омск: Изд-во ОмГТУ, 2009. — 66 с.: рис., табл. — Библиогр.: с. 64.

Рассмотрены схемотехнические основы организации базовых функциональных узлов ЦВМ. Объясняются принципы построения дешифраторов, мультиплексоров, регистров, счетчиков сумматоров в интегральном исполнении. Материал иллюстрируется примерами конкретных промышленных разработок, даются общие рекомендации к их использованию.

Хадыкин, А. М. Управление качеством электронных средств [Текст]: учеб. пособие для вузов по специальности 210201 «Проектирование и технология радиоэлектронных средств» направления 210200 «Проектирование и технология электронных средств» /А. М. Хадыкин, Н. В. Рубан; ОмГТУ.— Омск: Изд-во ОмГТУ, 2009. — 79 с.: рис., табл. — Библиогр.: с. 75-80. — 15ВЫ 978-5-8149-0778-3.

Изложены основы управления качеством электронных средств. Рассмотрены основные проблемы качества ЭС, вопросы обеспечения и оценки уровня качества, методы определения показателей качества, выполнения и анализа, влияющие на качество продукции, концепция всеобщего управления качеством, а также вопросы применения МС- ИСО.