Структурная идентификация больших стохастических сетей и случайные графы предпочтительного связывания Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2:004.421.5:004.7

В Л. Задорожиый, V.N. Zadorozhnyi, [email protected] Е.Б. Юдин, Е.Б. Yudin, [email protected]

Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия Omsk State Technical University. Omsk, Russia

СТРУКТУРНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ БОЛЬШИХ СТОХАСТИЧЕСКИХ СЕТЕЙ II СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ ПРЕДПОЧТИТЕЛЬНОГО СВЯЗЫВАНИЯ

STRUCTURAL IDENTIFICATION OF A LARGE STOCHASTIC NETWORK ANT) PREFERENTIAL ATTACHMENT RANDOM GRAPHS

Для моделирования больших сетей предлагается н исследуется случайный граф с нелинейным правилом предпочтительного свя!ывания.

Рог the simulation of large networks are proposed graphs with nonlinear preferential attachment rule.

Ключевые слова: сети, случайные графы, нелинейное правило предпочтительного связывания.

Keywords: networks, random graphs, nonlinear preferential attachment rule.

Введение

Бурно развивающаяся теория бе змас штабных сетей [1, 2] изучает большие стохастические сети (БСС)3 разрабатывает их графовые модели и методы исследования процессов в таких сетях. Графовые модели таких сетей как Интернет или транспортные сети позволяют успешно решать задачи обеспечения целостности их структуры и оптимизации управления процессами в этих сетях.

В десятках работ показано существенное влияние распределения: степени связности (PCС) узлов БСС на ее ключевые свойства, представляющие непосредственный практический интерес. Основанные на этом новые результаты, полученные авторами, предлагаются для решения: задач структурной идентификации БСС. Эти результаты включают теорию случайных графов с нелинейным правилом предпочтительного связывания (HI 111С), обобщающую теорию оезмаспгтабных сетей.

172

1. Графы Барабапш-Альбергг и графы предпочтительного связывания

Базовым формализмом теории безмасштабных сетей является предложенный в [1] случайный граф, названный позднее графом Барабаши-Альберт (графом Б А) по имени его авторов - Альберта Барабаши и Реки Альберт. Граф БА выращивается из небольшого графа-затравки путем циклического добавления к нему приращений графа - т.е. вершин с т инцидентными им ребрами. Свободные конпы т ребер прирашения связываются со случайно выбираемыми вершинами имеющегося графа. Вероятность р, выбора новым ребром вершины i пропорциональна ее локальной степени к, связности: р, = к, /Х,- к,. В результате вершины, у которых много связен с большей вероятностью обогащаются новыми связями, нежели вершины, у которых связей мало. При неограниченном добавлении прирашений вырастает большой, в пределе - бесконечный граф БА. Безмасштабным его называют потому, что PC С его вершин получается асимптотически степенным (т.е. безмасштабным). Таким PC С характеризуются многие реальные большие сети, и этим обусловлена широкая область применения графа Б А. Однако в настоящее время активно изыскиваются способы более точного моделирования больших сетей, т.к. известные 'эмпирические РСС узлов многих реальных сетей существенно отличаются от асимптотически-степенных распределений. Поэтому появляется большое число работ, в которых так или иначе модифицируются вид прирашений графа и правило выбора вершин для связывания.

2. Графы с нелинейным правилом предпочтительного связывания

Если соответствие графа Б А реальным сетям по РСС нередко неудовлетворительно, то этого недостатка практически лишены предлагаемые в докладе графы с НППС. При их построении используется произвольная функция предпочтения ßk) >0. В соответствии с этим вероятность связывания ребра прирашения с вершиной i определяется в виде р, =Д£1).;ТГ ßk,). Кроме того, приращения графов с НППС являются стохастическими, т.е. каждое приращение представляет собой вершину со случайным числом х ребер, имеющим распределение вероятностей {>*}.. где rt = P{i = jt}. Таким образом, в общем случае алгоритм генерации (генератор) графа с НППС задается параметрами/и {?>}.

В докладе предлагаются разработанные в [3] и реализованные программно в [4] методы решения в общем виде трех задач, имеющих непосредственное отношение к структурной идентификации БСС. Это прямая задача - задача анализа генераторов графов с Hl Ii 1С, обратная задача - задача синтеза генераторов по заданным РСС, и задача синтеза (калибровки) генераторов по эмпирическим РСС узлов моделируемых сетей

3. Решение прямой задачи

Задача анализа генератпора при данных {/i}=re, _ _, и fljr) k = g, .., М) требуется найти стационарное РСС {Ок\ выращиваемого графа.

Решение задачи в рекурсивной форме:

QB=

rtif)

f)+mf,

ft =

</>-'»Л

k>g+1,

(i)

где (/) = Ъ/^ь - среднее предпочтение вершины, т = (х) = % - среднее число ребер в приращении графа. Разработан метод быстрого численного расчета вероятностей (Л с одновременным определением среднего предпочтения {/} вершины, использующий соотношения (1) и известную из способа выращивания графа среднюю степень вершины (к) = 2т = 'LkQ):.

В частном случае, при у.=т=^ (т.е. гв = 1) = к генератор, очевидно, становится генератором графа Б А.

Найдено условие существования стационарного графа: М + 1 >2т. При М+ \ 7т генерируются псевдорешетки - бесконечные случайные графы, степень вершин которых с вероятностью единипа равна фиксированной константе 2т = М+ 1. Предложено следующее уточнение способа вырашивания графа: если связывание очередного стохастического прирашения

нереализуемо (из-за возможного при конечны?: М отсутствия вакантных позиций для связывания), то приращение ставится в очередь и разыгрывается следующее приращение.

4. Решение обратной задачи

Задача синтеза для заданного РСС {¿^} = > 0 со средним {к)> 2gнай-

ти параметры генератора {>*} =гЕ,..., гь и {Д} ,/м>О, при которых выращивается

граф со стационарным РСС {С^.} = . Решение задачи выводится из (1):

Л=7Г-1. = .....Ю, /м+1=о, </> = », (2)

где т = (г) = >. При г = 1 (фиксированное приращение графа: х=£ = т) реализуется наименьшее для данного ¡* среднее (А) = 2% Вероятности гЕ1 ..., гь при заданном {С^. £, т.е. известном (А), достаточно задать так, чтобы выпшшииось условие (к) — 2т — 2Т.кгк.

Параметры генератора определяются не единственным образом. Если генератор использует вычисленные по {Ок} (при выбранных ?>) неотрицательные предпочтения (2), выполнены условия М+ 1 > 2т и {к) -2т> 2%, то генератор реализует требуемое распределение = }, и при этом {/) = ш.В [4] даются подробные рекомендации по синтезу генераторов и приводятся примеры. Так, выводится общая формула для реализации треугольного РСС вершин при постоянном приращении (г =£ = т). В частности, при т = 3 генератор с функцией предпочтения^, = 15, 13/2, 10/3, 3/2, 1, 1/2 (и_£ = 0 при к< 3 и к> 8) реализует граф с треугольным РСС: £>5 = 1/16, 2/16, 3/16, 4/16, 3/16, 2/16, 1/16.

5. Методика синтеза (калибровки) генератора по эмпирическим л л иным

Разработанная в [3] методика калибровки генераторов по эмпирическим РСС сетей, содержащих сотни тысяч узлов и связей, вместе с другими результатами работ [2, 3] автоматизирована и реализована в системе моделирования БшоЬцггарЬ [4].

Калиброванные генераторы выращивают графы с РСС (рис. 1, сплошная линия), хорошо согласующиеся с эмпирическими РСС (рис. 1, маркеры). Такие генераторы можно рассматривать и как форму структурной идентификации реальных сетей. Рис. 1 отражает качество идентификации сети автономных систем (АС) Интернет по данным, описывающим 22 961 узел и 48 436 ребер. Параметры калиброванного генератора: п = 0,342, г? — 0,432,. П = 0,096, 14 = 0,13, т =п + 2г2 + Зп + 4^ = 2,014, /ь ...,/4 = 0,0017, 0,0245, 0,0999, 2,5303 соответственно, и/* = 0,8603-к при ¿>5.

Интернет - «сеть сетей», представляет собой иерархическую структуру, модулями (узлами) которой являются автономные системы (АС), содержащие до нескольких тысяч компьютеров. Связь между АС осуществляют «граничные» шлюзы, прокладывающие маршруты между АС. Граф сети АС, выращиваемый калиброванным генератором, можно использовать для анализа ее связности (устойчивости) при случайных отказах элементов или для отладки и оптимизации алгоритмов маршрутизации. Поскольку БСС (такие, как Интернет) быстро изменяются, сохраняя лишь свои существенные структурные свойства, то оптимизация решений под известное мгновенное состояние БСС может приводить при реализации решений к результатам, далеким от ожидаемых. Отладку и оптимизацию сетевых стратегий лучше осуществлять на нескольких реализациях калиброванного случайного графа, моделирующего сеть. В системе ЗипЫггарЬ многократная реализация графа существенно облегчается благодаря разработанным в [3] ускоренным методам генерации графов. Другие примеры калибровки графов представлены на рис. 2-3.

3. Задорожный, В. Н. Случайные графы с нелинейным правилом предпочтительного связывания / В. Н. Задорожный Н Проблемы управления. - 2010. - № 6. - С. 2—11.

4 Задорожный В.Н., Юдин Е.Б. Система агенхного моделирования «ЗтгЫетарк» (ОФЭРНнО № 16539) / М.: ИНИМ РАО, ОФЭР «Наука и образование», 2011.

176