CC BY
26
I ИНФОРМАТИКА, | ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА I И УПРАВЛЕНИЕ
уДК 5192:004.421.5 004.7 в. Н. ЗАДОРОЖНЫЙ
Е. Б. ЮДИН М. Н. ЮДИНА
Омский государственный технический университет, г. Омск
Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Омский филиал
КАЛИБРОВКА ГРАФОВ ПРЕДПОЧТИТЕЛЬНОГО СВЯЗЫВАНИЯ ПО РАСПРЕДЕЛЕНИЯМ СТЕПЕНЕЙ ВЕРШИН И КОЭФФИЦИЕНТАМ КЛАСТЕРИЗАЦИИ_
Разрабатывается метод комплексной калибровки случайных графов предпочтительного связывания одновременно по распределениям степеней связности вершин и по коэффициенту кластеризации. В методы теории случайных графов с нелинейным правилом предпочтительного связывания вводится новый прием — использование для выращивания графов сложных стохастических приращений (модулей), состоящих из нескольких взаимосвязанных вершин. Выводятся математические соотношения, позволяющие выполнять комплексную калибровку графа, выращиваемого присоединениями модулей. Полученные результаты демонстрируют принципиальную возможность исследования и использования нового класса случайных графов с нелинейным правилом предпочтительного связывания — случайных графов со сложными стохастическими приращениями.
Ключевые слова: случайные графы, распределения степеней связности вершин, нелинейное правило предпочтительного связывания, коэффициент кластеризации.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 16-31-60023 мол_а_дк.
1. Введение. Теория случайных графов предпо- с НППС обладают широкими возможностями их
чтительного связывания [1—3] развивается в рабо- калибровки для построения адекватных моделей
тах [4 — 6] в направлении исследования и использо- реальных больших сетей, содержащих миллионы
вания случайных графов с нелинейным правилом узлов и связей. Широкие возможности калибровки
предпочтительного связывания (НППС). Графы обеспечиваются решением задач анализа и синтеза
графов с НППС при самых общих предположениях относительно весовой функции /[А)>0, используемой в правиле предпочтительного связывания, а также допущением стохастических приращений графа.
Стохастическое приращение представляет собой вершину со случайным числом к исходящих из нее дуг. Приращения поступают на каждом шаге выращивания графа, которое начинается с заданной «затравки» — небольшого начального графа, имеющего, как правило, произвольную конфигурацию. Правило выращивания графа с НППС включает следующие два пункта.
1. Граф растет за счет добавления к нему на каждом шаге времени íe{1, 2, ...} новой вершины со случайным числом х дуг;
2. Каждая из х дуг новой вершины присоединяется свободным концом к случайно выбираемой вершине графа. Вероятность р. присоединения дуги к вершине I со степенью связности к. пропорциональна весу Лк.) этой вершины:
Pi =
f (3) . ==f 3)
я=1
i, j = 1.
N,
(1)
с = ЗН*
Nlr
(2)
где N — число вершин графа, а вес 0(к)>0, если д < к < М д, иначе 0(к) = 0 (здесь М < Для функции Л(к) целочисленного аргумента к будем использовать компактное обозначение Лк. Случайное число х дуг приращения имеет заданное распределение вероятнистей Р(х = к) = гк, где g < к < Л, гд + ... + гл = 1. Здесь д>1 — наименьшая степень приращения ( Лсовпадает с нижней границей интервала опр иделения функции Л(к).
После выращивания графа он может быть путем замены дуг ребра ми превращен в неориентированный граф.
В последних работах по теории графов с НППС получены резильтаты, позволяющие рассчитывать динамику нзменения характеристик граНов в ходе их выращивания [7, 8]. Разработаны методы комплексной калиброоко графов по распределению степеней вершин и, одновременно, по двумерному распределению степеней ребер [8], обеспечивающие сочподчние этих распределений с соответствующими распределениями узлов и связей в моделируемых сетях. Однако вопрос о коэффициенте класчеризации х° сих пор не был в достаточной степени исследован, и генерируемые графы с НППС часто имели слишком низкуо чо сравнению с моеелируемыми сетяии егее величину.
Коэффициент кластерингции гр^чфа опродехяет-ся формулой
где Nд — число треугоььников к грофе (треугольник образуется тремя вершинаеи, кдяпыи две из которых связаны дугчй иги ребром), Му — числс вилок, т.е. неориентированных путей рсшно й две дуги (два ребра). Идейно близкие к коэффициенту кластеризации пом з атеои — потиеы — лс следуются в работах [9-14].
Задача повышения коэффицилнта кластеризации в граОар с НППС ]тешаезся делее пстом введения сложных стохастических прир р щений — модулей, состоящих из несьолькиз свясанныю оп]ил1ин. В статье рассматривнются модули, состоящие
из двух вершин, связанных одной дугой и имеющих свободные дуги, концы которых связываются с вершинами выращиваемого графа. Двухвершинные модули случайным образом чередуются с обычными (одновершинными) приращениями графа.
2. Двухвершинные модули. Двухвершинный модуль (далее — модуль) — это приращение графа, которое состоит из двух вершин — вершины типа A (ведущей) и вершины типа B (ведомой). Из вершины A исходит случайное число x дуг, разыгрываемое в соответствии с тем же распределением {rk}, которое используется для разыгрывания числа дуг в обычном приращении. Число дуг, исходящих из вершины В, не разыгрывается, оно в точности равно числу ду г, исхоздзцих из вершины A. При этом одна из дуг, исходящих из вершины B, присоединяется свободным концом к вершине A. Таким образом, у весшины А имеется x свободных дуг для связывания с вершинами графа, а у вершины B — только (x — 1) свободных дуг.
Среднее число M(x) = == 3r дуг, исходящих из вершины приращения, обозначим через m, среднюю степень вершин M(3) = ==кз 3Q3 в выращенном бесконечном графе обозначим через (к). Здесь Qk — вероятность того, что случайно выбранная в выращенном графе вершина имеет степень к. Набор (последовательность) {Qk} всех Qk для к = g, g +1, ..., M — это распределение степенейсвязности (РСС) вершин графа.
На каждом шаге выращивания графа свероят-ностью у поступает приращение-модуль, с вероятностью (1 — у) — обычное приращение графа. Дуги обычного приращения присоединяются кграфу независимо, в соответствии с правилом(1). В тех случаях, когда поступившее приращение является модулем, оно используется для создания (внедрения) треугольников в выращиваемый граф следующим образом. Свободные дуги, исходящие из вершины B модуля, присоединяются независимок вершинам гр афа в соответствии с правилом (1). После присоединения каждой из этих дуг к некоторой вершине i графа с заданной вероятностьюР,случайно, принимается решение создать треугольник. Еслипри-нимается такое решение, то к этой же вершине i присоединяется и одна из дуг, исходящих из вершины A. Тем самым создается треугольник, основанием которого служит дуга, ведущая из вершины B в вершину A. После присоединения всех^ — 1) свободных дуг вершины B остается некоторое число свободных дуг вершины A, не вовлеченных q трfугольники. Как минимум, из x дугвершины A остается одна такая дуга. Эти оставшиеся свободными дуги вершины A присоединяются к вершинам графа независимо, по правилу (1).
В результате присоединения модулявнедряется в среднем ц = P(m — 1) треугольников. Следовательно, за один шаг выращивания графа в среднем в граф внедряется (1 — у)Ю + уц = уц треугольников.
3. Финальное распределение степеней вершин.
Для вывода формулы финального распределения степеней вершин воспользуемся подходом, разработанным в [4 — 6], который основан на составлении уравнения баланса вероятностей для допредельного при числе вершин N ^ <х> состояния графа. При этом будем учитывать, что среднее число треугольников, внедряемых при связывании модуля с графом, равно ц, и, следовательно, среднее число не вовлеченных в треугольники дуг составляет (2т — 1 — 2ц). Действительно, оно равно среднему
числу (2т — 1) изначально свободных дуг модуля минус среднее число дуг модуля, вовлеченных в треугольники. Кроме того, будет использоваться выведенная в [4] формула вероятности Рк связывания с вершиной слоя А
И н
Шд.
< в >
(3)
где Ак — слой, т.е. мнвжнство вершин графа, имеющих степень к; <0> н ОкРк — средний вес вершин графа.
Рассмотрим, как в ср еднем изменяется число|Ак| вершин в слое Ак за один шаг выращивания графа.
Если поступает оРычное прирещение, тв |Ак| с вероятностью гк увеличивается на единицу — с этой вероятностью поступившая вершина приращения имеет к дуг (т.е. ее степень равна £) и, следовательно, вершина попадает в слой Ак. В среднем |Ак| увеличится за счет этого на величину 1тк = гк. Кроме того, при связывенти дуг ериращения с вершинами графа всреднем тРк таких вершин будет выбрано в слое Ак. Степени выбранных вершин вследствие присоедирения невегк дуг врзрос^е на единицу и вершины перейдут в счей Ак>. I? результате чего число |Ак| вершин в слое Ак уменьшится в среднем на тРк. И в сррднем тРк1 вершин будет выбрано дугами приращения в слое Ак—1. Степень выбранных вер ши н в о зрастет ну едрницу, и они перейдут в слой Ак. 3 е сб ее эт б го еивло ]в ер-шин в слое Ак возрастет в среднер на тРк—1.
Суммируя перечисленные измеуения, найрем среднее приращение Ах\Ак\ ПРх пвступлднии обыч-ного приращенияграфа:
А1|Ак| = Гв + тРк у - тР.
(4)
Если поступает приращение-модуль, то в слое Ак происходят следующие тзме4етия.
Вершина В модуляс вероятностью тк имеер степень к и попадает в слой Ау За счет эвого чрсло вершин в слое Ак возрасрет в среднем на тк.
Вершина А модуля с вероятностью гк—1 имеет степень к (это к — 1 «своих» дуг и одна дуга, заходящая из вершины А) и ропадает в слой Ак. За счвт этого число вершин в слое Ак возрастет в среднем
на гк-1-
В среднем ц пар дуг модуля, вовлеченных в треугольники, с вероятностями Рк 2 свяжутся с вершинами слоя Ак-2. У соответствующих ц вершин степень возрастет на 2 и они перейдут в слой Ак. Оставшиеся не вовлеченными в треугольники дуги, среднее число которых составляет (2т — 1 — 2ц,), с вероятностями Рк_1 свяжутся с вершинами слоя
У соответствующих вершин степень возрастет на единицу, и они перейдут в слой Ак.
Эти же дуги с вероятностями Рк свяжутся с вершинами слоя Ак, которые в результате возрастания степени уйдут в слой Ак+1.
В среднем ц пар дуг модуля, вовлеченных в треугольники, с вероятностями Рк свяжутся с вершинами слоя Ак, и эти вершины перейдут в слой Ак+2.
Суммируя средние значения перечисленных изменений числа вершин в слое Ак, находим среднее приращение Л2|Ак| при поступлении модуля:
^К! = Гк + Гк-1 + ЦРк-2 + (2т - 1 - 2Ц)Рк-1 -
На каждом шаге выращивания графа модуль поступает с вероятностью у, обычное приращение — с вероятностью (1 — у). С учетом этого усредняем изменения (4), (5) по видам поступающего приращения и находим среднее изменение Л числа вершин в слое Ак за один шаг:
Л = (1 — у)Гк + (1 — у)тРк1 — (1 — у)тРк + + у(Гк + Гк—!) + уцРк—2 + У (2т — 1 — 2ц)Рк—1 — — у(2т — 1 — 2цР — уцРк =гк + уг — +
+ ур] ] А (т + ст - буц — у)Рк—1 — — (т + ут — уц — у)Рк.
(6)
В пределе при N ^ да доля числа вершин в слое Ак в числе всех N вершин графа не изменяется. За один шаг выращивания графа абсолютное число вершин в этом слое возрастает в среднем на величину Л, полученную в (6), а число вершин в графе возрастает в среднем на 2у + 1^(1 — у) = 1 + у.
Приравнивая долю вершин в слое Ак до выполнения шага выращивания графа к соответствующей Аоте после выполнения этого шага, получаем следу-ющве вравнение баланса:
1Ид1 I Ид I 4ед 4бед-1 ^ЗИд-в 4 ч
Р
^ 4 (а 4 4А - -41~)-у)Рд4 - (а 46а-С3-ббА . (7)
р 4 (14 у е
геоснр умножения -бр^ихо -ас^те1- урав-ееии на N и на N + у можно оократито одинаковые члены |Ак^ в левой и правой частях полученного ра-венотва. --тем обе чости раве нства -еуерсо на N. В оезультате оставшоеся в левой части выважение |Ак| И + 1) пр4ер^п^ает4яв (-.(4 + 1), а мн4жи4ели N ]р траво- чрсти с окраща юте я. 3 аменяя р ос аче эт ого все Рк в правой части раврнствч и: выpажетбем (3), поличаем урав^нее балавна вероятностей 0к, за-писрнное 4 бв-чов фо^е:
рд([ тcе п ед 4буд-ч4)!
Ад--
В
4 (А 4 у А - -63 - )( - (А 4 )А-63-6) В. (8)
Из етото уравнтния можво выразирь (Вк следующим образом:
а =
гк </) + Ук-1 </) + 2Л 2 + >
(1 + У )</> + (т + ут-у[1- у)/к
+ (т + ут-2у\1-у)()к , ^
где к = в,В+1.....М, ХВНн^ Вкрк
(10)
к >в
— (2т — 1 — 2ц) Р, — цР..
(5)
и при заданных параметрах {гк}, {Вк}, у, ц и т графа использовать полученную рекуррентную систему уравнений (9), (10) для расчета РСС {рк} аналогично тому, как это делается в случае применения только простых приращений в [4].
3. Совместная калибровка графа по распределению степеней вершин и по коэффициенту кластеризации. В задаче калибровки графа известно требуемое РСС {рк} его вершин итребуется найти
параметры {гк}, {.}, у, ц и т, при которых граф будет иметь зыданное РСС вершин Эту зудач,
также еожно реп1 ить с поыющтю утаинени- (баланса (8).
Выы>ажая ыз ,) Ык, получаем рекуррентное соотношение
Лн а ы дк а
н (и и нтт Зудду-Яе^С-^-(1+Т-^' (11) Ф Яе а а
где а= (т + упн — у|1 — (В
Соотнешен и ем (11) опредезшее ся нотл-дода-тельность {Ык}, каждый член ксторюн имеев общий
(1С
мультипликативный множитель ——. В силу экви-
а
валентности последовательностей {Ык} и {С.к}, отличающихся общим множителем С1 > 0 (см. правило
( О
(1)), мы можем приревняаь множзыт^ель —— в пра-
а
вой части соотношения (11) к единице (определяя тем самым ра вен дтво -) = а1 и да писать эт о ео отношение в более компактном в иде:
ы = (п1 непн-1-""1 нед
Я1 -ЗЫ1-З 1
Ль ЗЫ С ЯН
н-1Ын-1 1
^.ЫС Лн
н (и ную - Зуд-у-Лн-1Ын-1 — - (1 ну-.
(12)
Учитывая, что в результате сделанного выбора мы имеем равенство Ы)=а и множитель (т + ут — — 2уц — у) в (12) можем записать в виде (а — уц), получаем рекуррентное соотношение
ын = (пн +Уп1-1--1 + Ы1
Л ы 1
Лн
+ (а -ГЦ- 1
Лн Ы 1
Лн
лк
- (1+У-,
(13)
но, вместе с тем, позволяет проверить, насколько при сохранении {гк} изменится РСС ребер графа, имеющего заданное РСС {Як}. Таким образом, в условие задачи калибровки наряду с обычным требованием реализовать требуемое РСС {ек} мы добавляем дополнительное требование сохранить распределение {гк}, найденное ранее для графа с простыми приращениями.
Распределение {гк} описано в [8], эмпирическое распределение {Лк} сети АС приводится в [15], его сглаженная версия описана в [8] и в [5]. Как и в [8], здесь мы будем при решении задачи калибровки использовать сглаженное распределение {Як}.
Вначале при калибровке графа рассчитывается по формуле (13) последовательность весов. При этом используемые в (13) значения {,к} и {гк} берем из статьи [8]. Этими значениями {гк} определяется среднее число дуг у вершины приращения т = 2,109055. Вероятность Р вовлечения дуги модуля в треугольник принимаем равной единице, поэтому среднее число ц треугольников, внедряемых модулем, достигает максимального значения ц = = т — 1 = 1,109055. При выборе величины вероятности у имеется ограничение: все веса Ык в (13) должны быть неотрицательными. Поскольку мы наложили дополнительное условие неизменности распределения {гк}, полученного в [8], то наибольшее возможное в данных условиях значение у составляет 0,083894. При перечисленных исходных данных по рекуррентной формуле (13) вычисляем последовательность {Ык}, начиная со значений Ы0 = 0, Ы = 0. Тем самым решение задачи калибровки завершается.
После этого целесообразно проверить правильность решения задачи, рассчитывая вероятности ек по рекуррентной формуле (9). При этом, учитывая особенности формулы (13), по кото+ой вычислены все используемые Ын формулу (9) можно привести к следующему боле е про стому виду, заменяя в ней все Ы из вест-ыми а = (т + ут — уц — у):
Лн
па + ып-1а + Ы1Л1 -з.н-з + (а - У1)лн-1.1 -1 (1 + у-а + —ы
(14)
где k=g, g+ 0 ..., М, а=(т + ут — у. — у).
Формула (13) является решением задачи калибровки графа. Она позволяет для реализации заданного РСС {ек} получить бесконечно много последовательностей весов {Ык} в зависимости от того, какие параметры {гк}, у, ц и т будут нами выбраны.
4. Пример калибровки графа с применением сложных приращений. Целью приводимого примера является демонстрация правильности выведенной формулы (9) для РСС вершин графа, который выращивается поступающими в случайном порядке простыми приращениями и двухвершинными приращениями-модулями, и формулы (13) калибровки такого графа по заданному распределению {ек} степеней вершин. При этом приращения-модули используются для внедрения в граф некоторого числа дополнительных треугольников для повышения коэффициента кластеризации графа.
Чтобы сократить объем вычислений, воспользуемся примером сети автономных систем (АС), описанной в [15], граф которой калиброван по РСС вершин и РСС ребер в [8]. При этом усложним задачу калибровки дополнительным требованием, чтобы распределение {гк} числа дуг у вершин приращений, полученное в [8] при h = 20, не изменилось. Это требование существенно сужает возможности внедрения большого числа треугольников в граф,
На рис. 1 показаны графики заданного РСС вершин и распределение степеней вершин графа, выращенного посредством случайно чередующихся простых приращений и приращений-модулей, которое рассчитано по формуле (14) при использовании
Рис. 1. Сравнение заданного РСС {р^ с расчетным распределением степеней вершин графа, выращиваемого по калиброванной последовательности весов {Д}
н
+
а
а
0.01
0.001
0.0001
\ -Заданное РСС вершин -РСС вершин экспериментального графа
X
\
"Ч та
! №
0.00001 -1-
Рис. 2. Сравнение заданного РСС {р^ с распределением степеней вершин экспериментального графа, выращиваемого по калиброванной последовательности {Д}
весов вычисленных по калибровочной формуле (13). Видно, что эти распределения совпадают.
На рис. 2 заданное РСС вершин сравнивается с РСС вершин графа, действительно выращенного в имитационном эксперименте. Поскольку размер выращенного графа N = 22000), равный размеру моделируемой сети АС, относительно невелик, вероятности старших слоев еще не вполне достигли своих стационарных значений и немного «отстают» от расчетных финальных вероятностей. По этой же причине средняя степень (к) = 4,196 вершин экспериментального графа немного «отстает» от расчетной финальной средней степени вершин бесконечного графа, равной 4,218.
Достигнутый коэффициент кластеризации экспериментального графа составил небольшую величину С = 0,003. Но его радикальное увеличение не было целью рассмотренного примера. Мы хотели увидеть, как изменится РСС ребер графа в результате выполненных «минимальных» изменений механизма его выращивания. Это изменение РСС ребер показано на рис. 3. Как видим, РСС ребер значительно изменяется, хотя и сохраняет некоторые свои черты.
Отсюда следует, что требовать сохранения распределения {rk} графа, однажды уже калиброванного по степеням вершин и ребер, не имеет особого смысла.
Варьирование {rk} при P = 1, у = 1 дает требуемое РСС {Qk} и величину C = 0,020, превышающую коэффициент кластеризации CAS = 0,011 сети АС. При P = 0,60, у = 0,60 реализуются требуемые {Qk} и коэффициент C = 0,012 » C.
5. Заключение. В статье предложен обобщенный механизм выращивания графов, основанный на использовании сложных стохастических приращений, состоящих из нескольких взаимосвязанных вершин.
Решена задача расчета финального РСС графов, в ходе выращивания которых наряду с обычными одновершинными приращениями графа используются двухвершинные приращения.
Решена задача калибровки таких графов по степеням связности вершин.
Показано, что при использовании двухвершинных приращений можно внедрять в граф треугольники, тем самым повышая коэффициент кластеризации графа.
Последующее развитие теории сложных стохастических приращений графов предполагает решение задачи совместной калибровки графов по степеням вершин, степеням ребер и коэффициенту кластеризации.
При этом, как видно из результатов исследования, целесообразно использовать такой мощный ресурс калибровки, как варьирование значений и числа вероятностей {rk}, описывающих возможное число дуг у вершин приращений.
Кроме того, сложные приращения имеет смысл попытаться использовать для калибровки графов по встречаемости более сложных, чем треугольники, конфигураций — мотивов, что позволит существенно развить теорию растущих сетей [4 — 8, 16-20].
Библиографический список
1. Barabasi A. L., Albert R. Emergence of scaling in random networks // Science. 1999. Vol. 286. P. 509-512.
Рис. 3. Сравнение РСС ребер исходного графа (слева) с распределением степеней ребер экспериментального графа, выращиваемого по калиброванной последовательности {/,}
2. Dorogovtsev S. N., Mendes J. F. F. Effect of the accelerated growth of communications networks on their structure // Phys. Rev. 2001. E 63. P. 025101.
3. Krapivsky P. L., Redner S. Organization of growing random networks // Phys. Rev. 2001. E 63. P. 066123.
4. Задорожный В. Н. Случайные графы с нелинейным правилом предпочтительного связывания // Проблемы управления. 2011. № 6. C. 2-11.
5. Zadorozhnyi V. N., Yudin E. B. Growing network: models following nonlinear preferential attachment rule // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2015. Vol. 428. P. 111 — 132. DOI 10.1016/j.physa.2015.01.052.
6. Zadorozhnyi V. N., Yudin E. B. Structural properties of the scale-free Barabasi-Albert graph // Automation and Remote Control. 2012. Vol. 73, no. 4. P. 702-716. DOI 10.1134/ S0005117912040091.
7. Задорожный В. Н. Растущие сети: динамика распределения степеней связности смежных узлов // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. 2016. № 2 (146). С. 81-86.
8. Задорожный В. Н., Юдин Е. Б. Калибровка случайных графов предпочтительного связывания по распределениям степеней вершин и ребер // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. 2017. № 1 (151). С. 114—119.
9. Задорожный В. Н., Юдин Е. Б. Расчет числа сетевых мотивов методом случайной выборки каркасов // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. 2015. № 2 (140). С. 208-211.
10. Milo R. [et al.]. Network motifs: simple building blocks of complex networks // Science. 2002. Vol. 298 (5594). P. 824-827.
11. Mangan S., Alon U. Structure and function of the feedforward loop network motif // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 2003. Vol. 100 (21). P. 11980-11985.
12. Cordella L. P. [et al.]. An improved algorithm for matching large graphs // Proc. of the 3rd IAPR TC-15 Workshop on Graphbased Representations in Pattern Recognition. 2001. P. 149-159.
13. Solnon C. AllDifferent-based Filtering for Subgraph Isomorphism // Artificial Intelligence. 2010. Vol. 174 (12-13). P. 850-864.
14. Elenberg E. R. [et al.]. Beyond Triangles: A Distributed Framework for Estimating 3-profiles of Large Graphs // Proc.
ACM SIGKDD International Conference on Knowledge Discovery and Data Mining (KDD). 2015. P. 229-238.
15. Структура автономных систем сети Интернет, воссозданная на основе BGP таблиц, 2006 г. URL: http://www-personal.umich.edu/~mejn/netdata/as-22july06.zip (дата обращения: 01.09.2009).
16. Krapivsky P., Redner S., Leyvraz F. Connectivity of growing random networks // Physical review letters. 2001. Vol. 85 (21). P. 4629.
17. Antal T., Krapivsky P., Redner S. Dynamics of social balance on networks // Physical Review E. 2005. Vol. 72 (3). P. 036121.
18. Growing distributed networks with arbitrary degree distributions // Eur. Phys. J. 2007. Vol. 58. P. 175-184.
19. Krapivsky P., Krioukov D. Scale-free networks as preasymptotic regimes of superlinear preferential attachment // Physical Review E. 2008. Vol. 78 (2). P. 026114.
20. Ghoshal G., Chi L., Barabasi A.-L. Uncovering the role of elementary processes in network evolution // Scientific Reports. 2013. Vol. 3. P. 1-8.
ЗАДОРОЖНЫЙ Владимир Николаевич, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления». Адрес для переписки: [email protected] ЮДИН Евгений Борисович, кандидат технических наук, старший научный сотрудник Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Омский филиал.
ЮДИНА Мария Николаевна, аспирантка кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления».
Адрес для переписки: [email protected]
Статья поступила в редакцию 19.04.2017 г. © В. Н. Задорожный, Е. Б. Юдин, М. Н. Юдина
