CC BY
46
ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ
уДК 5192:004.421.5 004.7 в. Н. ЗАДОРОЖНЫЙ
Омский государственный технический университет
РАСТУЩИЕ СЕТИ: ДИНАМИКА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТЕПЕНЕЙ СВЯЗНОСТИ СМЕЖНЫХ УЗЛОВ_
Разрабатывается численный метод для расчета двумерного распределения степеней связности (РСС) смежных узлов в растущих сетях. Задача решается на основе теории случайных графов, выращиваемых по нелинейному правилу предпочтительного связывания со стохастическими приращениями. Выводятся асимптотически точные уравнения, позволяющие быстро рассчитывать динамику формирования совместного РСС смежных вершин. Определяется финальное совместное РСС смежных вершин. Полученные результаты расширяют возможности адекватного описания и исследования конфигурационных характеристик реальных растущих сетей (социальных, телекоммуникационных, транспортных, террористических, финансовых и т.д.).
Ключевые слова: растущие сети, случайные графы, распределение степени связности узлов.
1. Введение. Теория случайных графов (сл.г.) ных растущим сетям, являются статьи [4 — 7]. Мно-
с нелинейным правилом предпочтительного свя- гие результаты этих и ряда других работ представ-
зывания (НППС) [1—3] представляет собой ком- ляют собой частные случаи результатов теории плекс оригинальных математических моделей сл.г. с НППС.
и методов, на основе которых органически систе- В [1—3] на основе математических моделей те-матизируется и обобщается большое число работ ории сл.г. с НППС успешно решается задача иден-
в области теории сетей (Network Science) — отно- тификации реальных исследуемых сетей, посколь-
сительно нового раздела статистической механики. ку сл.г. с НППС легко и весьма точно калибруются
Одними из наиболее известных работ, посвящен- практически по любому известному распределению
степени связности (РСС) узлов исследуемой сети и по ее коэффициенту кластеризации.
В работах [8, 9] теория сл.г. с НППС дополняется асимптотически точными аналитическими и численными методами расчета динамических характеристик сл.г. — т.е. переходных процессов (ПП), включая ПП, описывающие развитие сети в целом, и ПП, описывающие индивидуальное развитие выделенных вершин графа. Это позволяет решать задачи динамической идентификации исследуемых растущих сетей и формирует основу для создания математической теории управляемых растущих сетей.
Таким образом, в ходе развития теории сл.г. с НППС выясняется, что ее математический аппарат обладает высоким потенциалом, позволяющим адекватно решать множество разнообразных задач, возникающих в приложениях Network Science. В данной статье впервые решается задача о совместном РСС смежных вершин, т.е. о совместном распределении концевых степеней связности случайно выбранной дуги (с.в.д.) в графах с НППС, выращиваемых добавлениями стохастических приращений.
2. Вывод основного рекуррентного соотношения. Перечислим условия, определяющие процесс выращивания сл.г. с НППС путем неограниченного добавления стохастических приращений.
Граф выращивается начиная с заданной затравки — графа небольшого размера, содержащего N0 вершин. Будем считать, что начальный момент времени t0 = N0. На шаге времени t = t0 + 1 к графу добавляется приращение — новая вершина с x исходящими из нее дугами, свободные концы которых присоединяются к вершинам имеющегося графа. Далее эта операция повторяется на каждом новом шаге времени. Заметим, что сразу после присоединения очередной новой вершины всегда выполняется равенство N = t.
В общем случае приращения являются стохастическими: число x дуг каждого приращения является
независимой случайной величиной с распределени-
h
ем вероятностей P(x. = k) = rk, g < k < h, Zrk = 1 .
' k=g
Связывание приращения с графом выполняется следующим образом. Поочередно каждая из дуг приращения свободным концом связывается с какой-либо вершиной имеющегося графа, выбираемой случайно, причем вероятность p выбора вершины i определяется ка=
f (k) 2 ,f (kj)
(1)
слой Ак определяется как множество вершин, степень которых равна к. Туннель В(1, к) определяется как множество дуг с начальной степенью (степенью вершины, из которой дуга исходит) 1 и терминальной степенью (степенью вершины, в которую дуга заходит) к. Общее название начальной и терминальной степеней дуги — концевые степени.
Аналитические выражения для усредненных приращений числа вершин в слоях и числа дуг в туннелях позволяют записать рекуррентные соотношения, описывающие в терминах РСС динамику развития графа. Эти соотношения легко реализуются в виде численных методов, ускоренных на порядки по сравнению с имитационным моделированием (ИМ) [9]. Если рекуррентные соотношения удается свести к относительно несложным дифференциальным уравнениям, то развитие графа описывается аналитическими методами [8]. Финальные (стационарные) РСС могут быть получены как пределы ПП при I ^ либо непосредственным решением алгебраических уравнений, соответствующих стационарному режиму рассматриваемых процессов [1-3].
Рассуждения, учитывающие изменение числа дуг в туннелях В(1, к) при стохастическом приращении, мало отличаются от рассуждений, приведенных в [2] для случая фиксированного приращения. Поэтому просто перечислим эти изменения и приведем соответствующие им асимптотически точные аналитические выражения, снабдив их необходимыми краткими пояснениями.
Итак, при добавлении стохастического приращения — новой вершиеы л е исходящими из нее дугами — в графе происходит следующее.
1. Как устанослене и [П 9], при добавлении новой дуги ее конец с вяз ывастсо с вершиной слоя Ак
с вероятностью шин на шаге t:
, где f (t)
f (t)
/=) = Zf
средний вес вер-
(2)
где ИП) — весовая фикция (вес) вершины, имеющей степень связности к; ИП > 0, если и < к < М, иначе И(П) = 0 (здеси ¡я > 1, М < Поскольку аргумент весовой функиио целочисленный, мы будем обозначать ее и как ]к, Раисматривая ее при этом как числовую последовательность вес и в. Этот прием позволит нам без лишних ого впрок работать с весовыми функциями, не выражаемыми в элементарных функциях в замкнутом виде.
Совместное распределение концевых степеней связности с.в.д. кратко будем называть РСС с.в.д. Метод вывода формул для РСС с.в.д., как и в предшествующих работах [ 1 — 3], состоит в аналитическом асимптотически точном выражении изменений, происходящих в слоях Ак и туннелях В(1, к) графа на каждом шаге добавления к нему очередного стохастического приращения. Напомним, что
qk = дк^) = \Ак\/В — ве]эоптньсеь тогп, что случайно (равновероятно) выбранная на шаге í вершина принадлежит слою Ак.
Связавшаясы и дугой вершина вследствие повышения с тепени переходит в слой Ак+1 и выводит из туннеля В(1, к) те дуги, которые в эту вершину заходили, 13 среднем |В(1,к)|/|Ак| = тИд1к /(Ыдк)= = тд,к /дк дуг. С учетом вероятности выбора одной новой дугой веешины в слое Ак и среднего числа
новых дуг т при ращение выводит из туннеля В(1, к)
в среднем m
h.k Vkfkm _ m h.kfk
дуг.
оп и ¡я) и ¡я)
2. Число дуг в туннеле В(1, к) уменьшается и тогда, когда конец новой дуги попадает в слой А1, так как при этом вершина, в которую вошла дуга, переходит в слой А[+1. По аналогии с п. 1 находим, что за счет этого в среднем из туннеля В(1, к) на шаге I
выводится
m 4i,kfi f (t)
дуг.
3 . Найдем теперь среднее число дуг, добавляемых о туннель В(1, к) на шаге t. С вероятностью О1 1Л 1
-"_ '~н конец дуги приращения попадает в какую-
и ¡я)
либо вершину слоя Эта вершина, переходя
в слой А;,переводит в состав туннеля В(1, к) в среднем 1В(1 - 1,к)1/1А1_11 = тИд /№д,_,) = тд /д—
исходивших из нее дуг туннеля В(1 — 1,к). С учетом вероятности вы бора одной новой дугой вершины в слое А—1 и среднего числа новых дуг т приращение графа добавляет в состав туннеля В(1, к)
т2а, кИ в среднем -_ ' ' дуг.
и(м)
4. Число дуг в туннеле В(1, к) увеличивается и в том случае, если конец дуги приращения попадает в слой А , так как при этом вершина, в которую вошла дуга, переходит в слой Ак. 1й та в ершина, переходя в слой Ак, переводит в сост и в туннеля В(1, к) в среднем \В(1,к - 1)\/\Ак_1\ = тЩ^ =
= тд1к-1 /цк-1 заходивших в нее дуг туннеля В (1 — 1,к). По аналогии с п. 3 находим, что в средоем за счет
ив И
этого в туннель В(1, к) добавляется —и к_ 1 дуГ.
ИИ (М)
15. К роме то го, сами новые дуги прираЩений тоже могут пополнять туннель В(1, к). С вероятностью г1 приращение имеет И дуг (т.е. новая вершина попадает в слой Р). Каждая ее дуга, выбравшая вершину слоя Ак-1, сата тоже добавляется в туннель В(1, к), что вы и е не учитывалось. Средняя такого рода добавка с учетом вероятности т1 рассматриваемого сиучая, чмсда } дуг приращения и вероятности
k-1-4-1
/У)
ЩИ)
- -Г - -Г
Ш fi,kfk Ш f l,kf
fit)
fit-)
f it)
f it)
. m f l-1,k it) fl-1 m f ,k it) fk m f ,k it)f 1--=---=---=-, (3)
fit)
fit)
fit)
И Ум к = (И ) и приводя в (3) подобные члеи ы, полугаем для финальных вероятностей ТТ.1к алгеТрвическтл уравнение
иДД. И > + тИл + Т. .. )т
= 1г1<2л-1А-1 + Т ^¡,Л-1ИЛ-1 + т 2<21-1кИ1-Ум
из которого лауодим стответствующее ретуррент-ное решение:
Q,,k =
тк-1 Qrfim m 2Q,k_i)+fWQi-ik mQf)emfk emf) l,kQg,g+\,g + 2, ...
(4)
Финальные верoятноcтQ ^;ioeis Q., используемые в (4), qпределяются, гак yстaоoвлено в [1], рекурсией
Qt у
И {f )м mf-pQ 1 {f ) + mf '
i = 1, 2,
(5)
выбоща любою из дуг вершины слоя Ak i
а значе=ио =) = д среднтго ве^^ое+шины рассчитывается путем численного решедия системы уравнений (5) совместно с ур ав нение м
И (М) , кл , И ,
составляет 1о, _ 1 .
1 И (М)
Основное асимптотически точное рекуррентное соотношение (записанное с явным указанием номера I = N шага выращивания графа) получим суммированием всех найденных изменений числа дуг в туннеле В(1, к):
\Л++1(1, к )\ = \Л, (I, к ^в^И)1- + и (м)
2 г 2 г
, и В,л-1Ик-1 , и В,-1лИ,-1
<y(f)у£fQ< ■
(6)
Перепишем мго, isi^ij^^^KaH тисю .а,у+ в туннелях через вероятности п1илэдложнолти этим туннелям с.в.д. графа, следующим + бразом:
m ] it + 1) ] fl_kTt + X)ymt ] fTkit) +
, л Hk-1(t)--1 I m2fi,k-1-)fk-1
qе t = N — номер шага и число вершин в графе на! лтом шаге,
m {t) — вероятность слоя A. на шаге t, q(. (t) — вероятность туннеля B(i,j) на шаге t, mt — среднее число дуг в графе на шаге t. С оотно шение (3) является основным асимптоти-оесшл точным рекуррентным соотношением, описывающим динамику изменения двумерного РСС с.в.д. графа и позволяющим найти точное финальное РСС с.в.д. Динамику входящих в (3) вероятностей слоев q. (t) можно рассчитать методом, разработанным в [9].
3. Точное решение задачи о финальном распределении концевых степеней дуг при стохастическом приращении графа. Раскрывая в левой части (3) скобку (t + 1), учитывая, что в стационарном режиме q,k (t + 1) = q,k (t) = Q,k = const,
При этом средний вес (f) = a и вероятности Q. определяются одновременно, а в качестве проверочного равенства используется формула для определения средней степени (k), которая по построению графа должна быть равна 2m:
M +1
<(> = £ kQ( = 2m ■
k=g
В [1] подробно описана простая процедура решения системы уравнений (5]т (Ш) на Excel. Заметим, что в нотации, принятой в щанной )татье, частные случаи (например, случай, когда в (4) l = g, k = g и т.п., или когда в (5) i = g) атделыао не выписыво-ются, ибо формулы (4), (5] п+трыв+ют эти частные случаи, и потому в их отдельном описании нужды не возникает.
Таким образом, зная (f } и {Q.}, мло по формуле (4) можем построчно рлссчитать все элементы матрицы финальнога Р СС с.в .д. Q = ||6lk||. начиная с элемента Qg,g = 0 (при расыете Шщ>8 числитель формулы (4) обращается в нуа). При этом в соответствии с (4) столбцы с номерами k < g в матрице Q заполняются нулями, строки с номерами l < g (когда g > 1) — тоже.
Формулу (4) южно использовать и для расчета РСС с.в.д. графа, выращиваемого с помощью фиксированных приращений. В этом случае x = m, g = m и формула (4) превращается в следующую формулу, ранее ыайдеаныю в [3] для случая фиксированных прираще ы и й:
Q.o ы
о,
Щ Q
J т
5Щ >+ ш( fm + fm+1 )
fk-1Qk-1 + mQi о_1)
5f > + mi fm + fk )
fl-1Ql-1,k + fk-1Ql,k-1
5Щ > / ш + f + fk
l > m, k -
l ы ш, k ы ш +1,
l ы ш, k > ш + 2,
l > ш +1, k > ш +1■
(7)
t = 8
m
83
<
-о о
РЧ §
ем
1 2 3 4 5 6 7 8
/
1 0 0.000152 0.000940 0.001210 0.001446 0.001321 0.001045 0.000836
2 0 0.001644 0.008212 0.010901 0.013748 0.012801 0.010137 0.008027
3 0 0.001335 0.009203 0.012927 0.017109 0.015871 0.013583 0.011185
4 0 0.003076 0.014506 0.020362 0.026489 0.025029 0.021161 0.017324
5 0 0.001279 0.006247 0.010178 0.013544 0.013990 0.012910 0.011261
6 0 0.000521 0.002902 0.005200 0.007163 0.007902 0.00 79 1 2 0.007015
7 0 0.000237 0.001423 0.002713 0.003901 0.004509 0.00 4 6 8 3 0.004431
8 0 0.000098 0.000612 0.001384 0.002129 0.002682 0.00 2 8 39 0.002941
к: | 1 2 3 4 5 6 7 8
/
1 0 0.000185 0.000 8 8 5 0.001177 0.001498 0.001 303 0.001042 0.000818
2 0 0.001672 0.008 0 6 4 0.010956 0.01 40 0 2 0.012443 0.010120 0.008046
3 0 0.001838 0.009071 0.01 3041 0.01 68 8 7 0.015795 0.013396 0.0 1 0986
4 0 0.002984 0.014636 0.020747 0.026858 0.024875 0.021011 0.017228
5 0 0.001196 0.006256 О.ОЮ187 0.013622 0.014034 0.012847 0.011151
6 0 0.000509 0.002817 0.005110 0.007126 0.007904 0.007727 0.0 0 7067
7 0 0.000230 0.001342 0.002655 0.0 0 38 6 6 0.00 4536 0.0 0 46 79 0.004479
8 0 0.000111 0.000 6 74 0.001433 0.002176 0.002672 0.0 0 2881 0.002869
Рис. 1. Совместное РСС ||0;4|| с.в.д. в тестовом графе
Рис. 2. Оценки вероятностей Ок, полученные имитационным моделированием
В самом деле, как и формуиа (7), формула (4) в случае 1 > т, к = т дает нуль.так как в этом случае в (4)Л-, =ит-1 = 0 (по п 11 реДелению) и д,_1к = <2,,^ = Ь (в граничный слой с номиром к = т дуги не заходят). В случае 1 = т, к = т+ 1 формула (4) может быть переписана в виде:
а,п =
и ¡ИГиТи и и 2(2и,и 3
И((ЛМ И/Иин и Иии 3
и и
_./ и ¿--и_
<и>и и(иимн и и )'
так как Ишт = 0 (в граничный слой дуги не заходят) и гт = 1 (число дуг фиксированного приращения равно т с вероятностью 1). Т.е. и в этом случае формула (4) совпадает с формулой (7). Аналогично устанавливается и совпадение при фиксированном приращении формулы (4) с формулой (7) в двух оставшихся случаях, когда 1 = т, к > т + 2и когда 1 > т +1, к > т + 1.
Таким образом, нами найдена точная рекуррентная формула (4) финального совместного распределения концевых степеней связности с.в.д. графов с НППС со стохап тическим приращением. Найденная ранее в [3] для графов с фиксированным приращением формула (7) является частным случаем формулы (4).
Следовательно, и формула РСС с.г.<. для г^инв с линейным лравилом предпочтительного связывания (ЛППС, см. [С, 7]), ивтяющаяся частным случаем формулы (7), тиисе является частным случаем
формулы (4).т и п
4. Верификация фирмыты финального РСС дуг с помощью имитациоиного моделирования графа.
Для верификации формулы (4) целесообразно в качестве тестовиго иримера выб<ать какую-нибудь «экзотическуи» фиищию весов. Возьмем, например, следующую достаточно произвольную дробно-рациональную функцию:
и о
к2 и[0 к и [
к = g, д + 1 д + 2,
(8)
принимая и = 1. Зададим для числа х дуг стохастического приращения графа (1 < х < 4) распределение 2ероятностей (г, г, г3, г4) = (0,1, 0,4, 0,2 0,3).
Рассчитав описанным в [1] численным методом средний вес (и) = а вершин этого графа и финаль-ине РСС {(} его вершин (г = 1, 2, ...), т.е. решив систему уравнений (5), (6), находим:
(и) = 6,681323585,
{(} = {0,03103, 0,162506, 0,17347, 0,204099, 0,127748, 0,082378, 0,054961, 0,037894, ...}. (9)
Затем по формуле (4) вычислим финальное совместное распределение концевых степеней с.в.д. графа (рис. 1).
Соответствующие результаты ИМ показаны на рис. 2. Сравнивая их с расчетными значениями т1к (рис. 1), убеждаемся в полной согласованности точных расчетных значений и соответствующих приближенных имитационных оценок.
ИМ тестового графа выполнено Е. Б. Юдиным в среде БшЫдгарЬ [10].
5. Уравнения динамики РСС дуг растущего графа. Одним из преимуществ развиваемой здесь и в статьях [1—3, 8, 9] теории сл.г. с НППС и ее методологии является возможность расчета не только финальных РСС вершин и дуг, но и ПП изменения этих РСС в ходе выращивания графа.
В статье [9] разработаны численные методы расчета ПП для РСС вершин графов. Аналогичный подход можно развить и для численного расчета ПП РСС дуг.
Действительно, из основного соотношения (3) непосредственно находим, что
О1,п(я +[) = {я■ О,п(я)и(я. + 'ПОп-ы¡ОЛ-ы 1и +
(я + [)и ¡я)
+ и\-О1 п-[ (Я)Ик-[ = О1 -[,п ¡яои-ы О1 , п ¡я )Л ¡яои ]}
1, к=1, 2, ..., (10)
где РСС вершин {дна любом шаге времени рассчитывается по найденному в статье [9] рекуррентному соотношению
ft:
0.000-12+ 0.004-124 0.022455 0.043394 0.034271 0.011033
о о
0.001782 0.03S754 0.109447 0.129306 0.054224 0.003983 0.002496 0
0.003085 0.0 709 1 6 0.130413 0.100878 0.025475 0.007351 0 о
0.002506 0.056038 0.057661 0.035954 0.011267 0.000219 0 о
0.000868 0.018034 0.00565 0.010755 0.000653 0 0 0
0.000069 0.000555 0.000416 0.000832
о о о о
Рис. 3. Вероятности qk на шаге t = 10
I *■■ I 1 2 3 4 5 6 7 3
1 0 0.00013 0.000862 0.001149 0.001468 0.001239 0.00 1 043 0.000344
2 0 0.001667 0.003039 0.010922 0.013961 0.012403 0.010095 0.00803
3 0 0.001832 0.009043 0.013002 0.016338 0.015752 0.013364 0.010966
4 0 0.002974 0.01459 0.020684 0.02678 0.024808 0.020961 0.017195
5 0 0.001192 0.006237 0.010157 0.013534 0.013993 0.012819 0.011133
6 0 0.000507 0.002809 0.005096 0.007108 0.007835 0.007712 0.007057
7 0 0.00023 0.001333 0.002648 0.003857 0.004527 0.00 4671 0.004475
8 0 0.00011 0.000672 0.00143 0.002171 0.002663 0.002878 0.002368
Рис. 4. Вероятности qlk на шаге t = 1000
fkit+1)=
f (0) + Ио + ]i)[fk-1it)f(-1 ~ fk J))f(]
t+1
- , k> g. (11)
При г = гд матрица q(f) = \\д,,к(Ц\\ РСС с.в.д. и распределение степени вер шин {д.О о предеия-ются в (11) по затравке графа.
6. Пример расчета ПП для РОМ дуг раттрщего графа. В качестве примера рассчитае м ПП для РСС дуг тестового графа, описанного в разделе 4. В качестве затравки возьмем имльцо на пяту влршиуюх. Поэтому положмм )д =Nр = 5.
При г = 5 (в соответствии с формой затравки) имеем РСС вемшин {д/М}. в котором ц2(г) = 1 (все вер шины принадлежат слою А2), о стальные д.(г) равны нулю. При этом, так как все степени к. = 2, то
Щ it) = Ыг =
22±1о 2 +1
= 4,6666... (см. (8)). То же самое по-
лучим при расчете по формуле (2). В матрице q(t) элемент q22(t) = 1 (все дуги исходят из слоя A2 и заходят в слой A2), все прочие элементы равны нулю. Таково начальное состояние графа при t = 5.
Используя формулы (10), (11), нетрудно реализовать в Excel или на каком-либо языке программирования расчет РСС с.в.д. для любого t > t0.
Расчет с помощью такой процедуры РСС с.в.д. рассматриваемого графа дал для шага t = 10 матрицу q(t), начальный фрагмент которой показан на рис. 3.
Для шага t = 1000 начальный фрагмент матрицы q(t) показан на рис. 4.
Сравнивая рис. 3, 4 с рис. 1 нетрудно видеть, что РСС с.в.д. q(t) = ||ql,k(t)|| сходится к найденному ранее финальному РСС Q = ||Qlk||.
7. Заключение. В статье разработан асимптотически точный метод расчета динамики совместного двумерного РСС q(t) = 11k(t)|| смежных вершин (т.е. РСС дуг) в графах с НППС и стохастическими приращениями. Метод позволяет также рассчитывать динамику РСС дуг при фиксированных приращениях в графах с НППС и динамику РСС дуг в графах с ЛППС. Это обеспечивает возможность
динамической идентификации реальных растущих сетей (социальных, телекоммуникационных, транспортных, террористических, финансовых и т.д.) не только по РСС вершин, но и по динамике изменения конфигурационных характеристик, таких, например, как коэффициент кластеризации графа [2].
В статье разработан также точный метод расчета финального РСС дуг Q = ||Qlk|| в графах с НППС и стохастическими приращениями, который охватывает в качестве частных случаев соответствующие методы, найденные ранее для графов с фиксированными приращениями и для графов с ЛППС.
Оба разработанных метода на несколько порядков превосходят как по скорости, так и, одновременно, по точности, используемые в настоящее время методы имитационного моделирования.
Библиографический список
1. Задорожный, В. Н. Случайные графы с нелинейным правилом предпочтительного связывания / В. Н. Задорожный // Проблемы управления, 2011. — № 6. — C. 2—11.
2. Zadorozhnyi V.N., Yudin E.B. Structural properties of the scale-free Barabasi-Albert graph // Automation and Remote Control. - Vol. 73, № 4, 2012. - P. 252-261. DOI: 10.1134/ S0005117908020070.
3. Zadorozhnyi V.N., Yudin E.B. Growing network: models following nonlinear preferential attachment rule, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, v. 428, pp. 111-132, 2015 DOI: 10.1016/j.physa.2015.01.052.
4. Barabasi A.L., Albert R. Emergence of scaling in random networks, Science 286 (1999) 509-512.
5. Amaral L.A.N., Scala A., Barthelemy M., Stanley H.E., Classes of small-world networks, in: Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 97, 2000, p. 11149.
6. Barabasi A.L., Albert R. Statistical mechanics of complex networks, Rev. Mod. Phys 74 (2002) 47-97.
7. Krapivsky P.L., Redner S. Organization of growing random networks, Phys. Rev. E 63 (2001) 066123.
8. Задорожный, В. Н. Исследование динамики роста степени связности вершин случайного графа в моделях виртуальных сетей / В. Н. Задорожный, В. А. Бадрызлов // Омский
научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. — 2015. — № 1 (137). — С. 215 — 219.
9. Задорожный, В. Н. Переходные процессы в растущих сетях с нелинейным правилом предпочтительного связывания // В. Н. Задорожный, В. А. Бадрызлов // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. — 2016. — № 1 (145). — С. 95 — 99.
10. Задорожный, В. Н. Система агентного моделирования 81шЫдгарЬ / В. Н. Задорожный, Е. Б. Юдин // Навигатор в мире науки и образования. — 2012. — № 4 — 7 (20 — 23). — С. 536.
ЗАДОРОЖНЫЙ Владимир Николаевич, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления». Адрес для переписки: [email protected]
Статья поступила в редакцию 24.02.2016 г. © В. Н. Задорожный
УДК 519.2:004.421.5:004.7
В. Н. ЗАДОРОЖНЫЙ В. А. БАДРЫЗЛОВ Е. Б. ЮДИН
Омский государственный технический университет
РАСТУЩИЕ СЕТИ С ПОТЕРЯМИ СВЯЗЕЙ
На основе теории случайных графов с нелинейным правилом предпочтительного связывания формулируется и исследуется модель растущих сетей (социальных, телекоммуникационных, транспортных, террористических, финансовых и т.д.), учитывающая случайные потери связей между участниками сети в ходе ее эволюции.
Ключевые слова: растущие сети, случайные графы, стационарные и переходные случайные процессы.
1. Введение. Многие свойства реальных больших сетей удается объяснить развитием этих сетей по так называемому линейному правилу предпочтительного связывания (ЛППС) [1]. Согласно этому правилу рост сети является результатом добавления к ней новых узлов, которые имеют m связей и предпочитают соединяться этими связями с теми узлами сети, у которых степень связности к выше [2, 3]. Математически ЛППС выражается формулой pt = kt /Z jkj, которая определяет вероятность того, что новая связь (выбирающая узел графа независимо от других m — 1 новых связей) соединится с узлом i, степень связности которого равна к.. Таким образом, в ЛППС вероятность p. связывания с узлом i пропорциональнастепенисвязности этого узла: p. ~ к.
Моделью таких сетей является граф Барабаши — Альберт (граф БА), предложенный Альбертом Барабаши и Рекой Альберт [2, 3]. Свойства графа БА согласуются со свойствами многих, хотя и далеко не всех реальных сетей [1, 4]. Дальнейшее развитие моделей растущих сетей привело к созданию нового раздела статистической механики, называемого теорией сетей (Network Science). Как показывает аналитический обзор публикаций, одним из наиболее удачных направлений развития Network Science, успешно конкурирующих с другими подходами, является теория случайных графов (сл.г.) с нелинейным правилом предпочтительного связывания (НППС) [5—10]. Многие результаты, полученные при использовании других подходов, являются простыми частными случаями результатов
теории сл.г. с НППС, получаемыми из ее формул немедленно при подстановке в них соответствующих значений параметров [6 — 8]. Ряд задач Network Science решен методами теории сл.г. с НППС впервые [5—10]. К таким задачам относится и задача расчета характеристик растущих графов с потерями связей, решаемая в данной статье.
Решаемая задача является шагом к повышению адекватности математического моделирования социальных сетей, бурное развитие которых оказывает серьезное влияние на общественные процессы, проявляющееся через рекламу, информационное противостояние, идеологическую борьбу, вербовку новых членов террористическими организациями и т.д.
Существующие модели социальных сетей нередко подвергаются обоснованной критике [11], поскольку не учитывают такие особенности сетей, как ограниченность возможного числа связей у любого участника сети и случайное изменение существующих связей между участниками. Эти особенности учитываются моделью, разрабатываемой в настоящей статье на основе теории сл.г. с НППС.
2. Основные положения теории случайных графов с НППС. Теория сл.г. с НППС отличается от теории сл.г. с ЛППС двумя основными положениями.
Во-первых, в теории сл.г. с НППС приращения графа (добавляемые к графу новые вершины с исходящими из них дугами) стохастические, т.е. число x дуг каждого приращения является независимой случайной величиной с распределением вероятностей P(x. = к) = rk, g < к < h, Ък (rk) = 1.
