Переходные процессы в растущих сетях с нелинейным правилом предпочтительного связывания Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2:004.421.5:004.7

В. Н. ЗАДОРОЖНЫЙ В. А. БАДРЫЗЛОВ

Омский государственный технический университет

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В РАСТУЩИХ СЕТЯХ С НЕЛИНЕЙНЫМ ПРАВИЛОМ ПРЕДПОЧТИТЕЛЬНОГО СВЯЗЫВАНИЯ

Выполняется анализ переходных процессов в растущих стохастических сетях с нелинейным правилом предпочтительного связывания. Выводятся уравнения динамики развития сетей. Разрабатываются численные методы расчета переходных процессов в сетях и выделенных узлах сетей.

Ключевые слова: растущие сети, случайные графы, стационарные и переходные случайные процессы.

1. Введение. В работах [1—3] показано, что для больших сетей (таких как WWW, сеть сотрудничества ученых, сеть передачи электроэнергии и др.) классический случайный граф Эрдеша —Реньи [4] не является адекватной моделью. Поэтому в современной теории сетей (Network Science) [5, 6] разрабатываются новые математические модели — новые виды случайных графов, описывающих и объясняющих свойства реальных больших сетей, такие как их малый диаметр, степенное распределение степеней связности узлов и т.д. Многие структурные свойства реальных больших сетей удалось объяснить их развитием по простому общему правилу — правилу предпочтительного связывания [7]. Согласно этому правилу сеть растет в результате добавления новых узлов, которые связываются с имеющимися узлами, предпочитая те, у которых степень связности k выше (правило «богатый становится богаче» [8]).

В настоящее время при исследовании больших сетей широко распространена модель, называемая случайным графом Барабаши —Альберт (граф БА) [7, 8]. Граф БА выращивается из произвольного небольшого связного графа (затравки) путем добавления к нему в моменты t = t, t2,... приращения графа — очередной новой вершины с m инцидентными ей ребрами.

Свободные концы ребер добавляемого приращения связываются со случайно выбираемыми вершинами графа. В графе БА вероятность p. того, что ребро выберет для связи вершину i, пропорциональна ее локальной степени связности k.:

k

s k

(1)

Тем не менее подход, предложенный А. Барабаши и Р. Альберт, позволяет улучшить согласование РСС графов и РСС моделируемых сетей путем перехода от линейного правила (1), в котором р{ ^ к, к нелинейному правилу предпочтительного связывания (НППС), в котором р. ^/(к):

Pi =

f (k) 2 f (к,)'

(2)

Бесконечное добавление приращений приводит к выращиванию бесконечного графа БА, который называется безмасштабным, потому что распределение степеней связности (РСС) его вершин является асимптотически степенным, т.е. безмасштабным распределением. Такое РСС вершин графа БА согласуется с РСС узлов многих, хотя и далеко не всех реальных сетей [9, 10].

где /(к) = / — произвольная неотрицательная весовая функция степени к вершины. В начале 2000-х годов изучались графы, выращиваемые при использовании конкретных классов нелинейной функции /(к). Выдающиеся результаты в этом направлении были получены Л. Крапивским и С. Реднером [11], которые, применяя уравнения статистической механики, описали и всесторонне исследовали графы с НППС при т = 1 и ¡(к) = ку, 0 < у < 1.

Основы общей теории графов с НППС, не накладывающей ограничения на вид весовой функции /(к) = /, были разработаны в статье [12]. Здесь обобщен также вид возможных приращений графа и всесторонне исследованы графы с НППС, выращиваемые добавлением стохастических приращений со случайным целым числом х > 1 ребер, имеющим произвольное распределение вероятностей гк = Р{х = к}. Решена задача анализа моделей — определения РСС графа, выращиваемого при заданных /(к) и г = {гк}, и задача синтеза моделей — нахождения /(к) и г, обеспечивающих заданное РСС выращиваемого графа (например, такое же, как в моделируемой большой сети). В [13] рассмотрен пример применения теории графов с НППС к исследованию транспортных сетей. В [14] методы и результаты теории графов с НППС существенно расширены и систематизированы, в частности, решена задача определения совместного РСС пары вершин, связанных случайно выбранным ребром.

Актуальность теории графов с НППС обусловлена широкими возможностями ее практического применения для решения глобальных задач современности, включая задачи инфокоммуникационных технологий, энергетики, транспорта, а также задачи

мониторинга и регулирования социальных сетей, в том числе задачи информационного противоборства.

Для успешного решения этих задач необходимо не только уметь правильно рассчитывать стационарные характеристики уже сформированной большой сети, но и выполнять анализ переходных процессов в сети (ПП), характеризующих динамику начальных стадий ее развития. Такой анализ позволит предсказывать темпы развития сети и определять своевременные оптимальные воздействия, обеспечивающие приемлемую траекторию ее развития и гарантирующие достижение требуемого управленческого эффекта при надежном решении проблем безопасности.

В общем случае анализ ПП в сетях с НППС можно выполнять методами имитационного моделирования (ИМ). Однако высокая цена точности ИМ больших сетей, определяемая вычислительными затратами (часто непомерными), существенно ограничивает не только возможности его практического применения, но и самые постановки решаемых задач (например, если речь идет о задачах управления ростом сетей). В данной статье разрабатываются численные методы анализа ПП в графах с НППС, радикально повышающие скорость и точность выполняемого анализа.

2. Задача расчета сетевых переходных процессов. Распределением степеней связности (РСС) вершин графа будем называть ряд (последовательность) q = {qk} = {q, q2, ...} вероятностей qk того, что случайно (равновероятно) выбранная вершина графа имеет степень связности k. Например, граф из трех вершин, связанных двумя ребрами, имеет РСС q = {q, q2} = {2/3, 1/3}, а полный граф из 4 вершин — РСС q = {0, 0, 0, 1}. Графы с изолированными вершинами мы не рассматриваем.

Сетевым ПП будем называть изменение РСС во времени: q(t) = {qk(t)}, t = 0, 1, 2, ..., начинающееся с некоторого момента t = tg. Далее будем считать, что tg = Ng, где Ng — число вершин в затравке. Тогда в ходе ПП число N вершин в растущем графе всегда равно текущему времени: N(t) = t, и вершины, добавляемые к графу, можно нумеровать моментами их добавления.

Итак, пусть в момент времени t граф содержит N(t) = t вершин и имеет РСС q(t). В момент t + 1 поступает новая вершина с x е {rk} ребрами, которые связываются с имеющимися вершинами графа, выбирая их случайно по правилу (2). В результате РСС q(t) преобразуется в РСС q(t + 1).

Задачу расчета сетевых ПП в графах с НППС поставим как задачу определения q(t + 1) при заданных f(k), {rk} и q(t).

3. Решение задачи расчета сетевых ПП. Задачу расчета сетевых ПП можно решить путем незначительной модификации метода рассуждений, разработанного в [12] для вывода финальных (стационарных) РСС Q = lim q(t) при t ^

Следуя работе [12], обозначим через Ak множество вершин графа (слой), имеющих степень k, k > g (где g > 1 — минимальный номер слоя), со-гласуя введение параметра g с условиями равенства нулю вероятностей rk и весов f(k) при k < g, а также с отсутствием в затравке вершин со степенью, меньшей g.

В соответствии с НППС (2) вероятность Pk(t) того, что при добавлении приращения к графу с N = t вершинами новое ребро выберет вершину

слоя A , составляет

k

Pk (t) = 2 Р, =

2 f л)

itAk _ f(k)\Ak\

im lmA j=i

fk\ Ak \/N qk (t) fk qk (t) fk

2 f At\N 2 q< (t) f f (t)

l ¿g l ¿g

где |Ак| — число вершин в слое Ак, у ) — средний вес верши н графа в момент t.

При добавлении к срафу с N сершинами приращения, приходящего в момент t +1 и содержащего в среднем М(х) = т ребер, происходят следующие изменения:

— новая вершина приращения попадает с вероятностью гк в слой Ау, в результате чего среднее число Мк вершин в нем возрастает на гк (т.е. с вероятностью гк возрастает на 1 и с вероятностью 0 возрастает на 0), к > g;

— вместе с тем каядлыу елой Ак теряет в среднем mPk(t) вершин, переходящих в сллдующий слой вследствие того, что какие-ди будь из х новых ребер присоединяются к вершинам этого слоя.

Действительно, пер (¡од новое ребро связывается с вершиной слоя Лк с вероятностью Pk(t), степень вершины лодышаетуя, она уходит в следующий слой Ак+1, и, следовательно, за счет одного нового ребра слой Ак теряет в среднем Pk(t) вершин. А за счет всех х ребер приращения — в среднем М[хРк(т о тОк0) в ерш ин.

Считая N достаточно большим, мы пренебрегаем здесь вероятностью того, что одна вершина может быть выбрана более чем одним ребром приращения 1, а также изменением вероятности Pk(t) до завершения привязывания всех ребер приращения;

— кроме того, каждый слой Ак, исключая слой Ао приобретает в среднем mPk_í(t) новых вершин, приходящих из предыдущего слоя А .

Учитывая все эти изменения среднего числа Nk вершин в слоях, получаем:

+ з ас N^1 О г - тР((1о к =8,

^^ + 1) = N0 + тк НО тРк_^) - шРк()

к >ё. (4)

Подставляя N¿1) = N(^^1 = tqkt) и Nk(t+ 1) = = N(t + 1^к(Л + 1) = 1)дкС + 1) )паи всех к > о) и деля оба оолт/ч енные рав енст в а на ^ + 1), находим:

ч (а) Д го у еро (а)

у (а д 1) о_°-0-,

t+1

qk (t +1) =

= tqk (t) + rk + tnPk_1 +t) - mPk (t)m k> g. t +1

Наконец, использутздесь последнее в (3) выражение для Pk(t), получаем искомое решение задачи расчета сетевqIX ПП:

qg (t +1) = -

, , qg(t)fg

tq (t) + r - m -S-

g g f (t)

t +1

I 3 5 7 9 II 13 15 17 19

ОД

9k

O.OOl

0.00001

0,0000001

Рис. 1. Изменение во времени РСС q = {qk} графа БА при m = 1(дерева БА)

Рис. 2. Динамика РСС графа с весовой функцией /(к) = кЛи(к), 2 < к < 20 (/(к) = 0 для других к), при г = {г,, т2, т3, г, т5} = {0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4}

qt(t + 1) =

m

tqk(,)+^- qk, k > g, t+i

(5)

где f (t) = X qk (t)fk •

к > j

4. Примеры расчета сетевых ПП. Соотношения (5) позволяют легко рассчитывать РСС вершин графов с НППС для времени t > t0, начиная с РСС, известного для t = t0. Их удобно использовать для расчета сетевых ПП в Excel, поскольку строка РСС q(t + 1) рассчитывается непосредственно через предыдущую строку q(t). Не зависящие от времени ряды значений {k}, {rk} и {fk} фиксируются в строках «шапки» таблицы. Скалярные показатели,

определяемые через РСС q(t), в частности, средняя

степень вершин к(t) = ^kqk (t) и их средний вес

f (t) = ^ fkqk (t) , вычисляются в столбцах, выделяе-

к ь g _

мых в левой части таблицы.

Правильность соотношений (5), выведенных для расчетасетевых ПП, подтверждается результатами ИМ различных графов с НППС. Кроме того, при расчете в Excel сетевых ПП в различных графах с НППС, q(t) всегда очевидным образом сходится к финальному РСС Q, которое рассчитывается по формулам, найденным в работах [12—14] (а для случая fk = k1 — и в работе [11]).

На рис. 1 показаны графики РСС q(t), рассчитанного по формулам (5) при f(k) = k (линейное правило предпочтительного связывания) и rt = 1 (т.е. при фиксированном приращении с числом ребер x = m = g = 1). Для наглядности дискретные ряды {gk} (k = 1, ..., N) представлены непрерывными линиями.

На рис. 2 показаны графики РСС q(t), рассчитанного по формулам (5) при использовании весовой функции f(k), равной kln(k) при 2 < k < 20 и равной нулю при прочих k. При этом для выращивания графа используются стохастические приращения с распределением вероятностей числа ребер r2 = 0,1, r3 = 0,2, r4 = 0,3, r5 = 0,4, а затравка состоит из 5 вершин, связанных 5 ребрами в кольцо.

На шаге t = 10 000 (черные столбики на рис. 2) РСС совпадает с точностью до 4 значащих цифр

с финальным РСС, рассчитанным по формулам статьи [12].

5. Расчет локальных переходных процессов.

Выделим произвольную вершину, присоединенную к растущему графу. Момент присоединения выделенной вершины (ВВ) назовем временем ее рождения и обозначим через Время tВВ одновременно является номером ВВ. С возрастом Т = t — tВВ состояние (степень к) ВВ случайным образом возрастает. Локальным ПП будем называть изменение распределения вероятностей состояний ВВ (РСВВ) и(Т) = = {ик(Т)} = {иДТ), и2(Т), ...} с ее возрастом Т.

Пусть в момент Т времени жизни ВВ ее степень к = к(Т). Тогда добавляемая к графу в момент Т + 1 новао вершиоа при условии, что она имеет х инцидентных ей ребер, присоединится к ВВ одним из них с вероерностью

xf(k) xf(k) xf(k)

Tf(kj) Nf(t) tf(t)

(6)

Безусльрна= по x ве()о:к^тность увеличения на 1 CTfпени к ВВ равна математическому хжкданию условной вf роятнооти (6) it сост=вляет

! = pk ,k+1 '

mf)k )

tfV '

(7)

где t = Т + — текущее в°емя.

/(В) у Щ /(0)до (В) — средний вес вершин графа в момент времени t, определяемый при расчете сетевого ПП графа.

Вероятность (7) перехода ВВ на шаге Т + 1 из состояния к в состояние к + 1 является основной переходной вероятностью, определяющей неоднородную марковскую цепь с дискретным временем. По начальному РСВВ и(0) можно вычислять РСВВ в последующие моменты времени Т, используя формулу полной вероятности. С учетом того, что ВВ на каждом шаге времени может либо сохранить текущее состояние (степень) либо увеличить на 1, вероятности ик(Т + 1) вычисляются через вероятности ик(Т) следующим образом:

^ГТ+1)=1 сВ)[1-вь ^1], к =g,

ио (Т +1р Т «0-1(Т)Во-1,0 «и о ГТ)[1 - Во,о«-]в « > g■

|x

Рис. 3. Лист Excel с результатами расчета РСВВ u(400) и ПП kср (T) (локальный ПП k (T) при f(k) = k изучен в [15] аналитическими методами)

С учетом (7) от с юда находим: mf у g с

ае уд н 1С = ае учс|1

а к (T н 1С = а к_м(ДС

ак{ T С1

1Чн tBB С f (Ч н tM С mfTk_ 1С

k = g. (8)

(Ч н tвв С f (Ч н tВВ С тЧ(к С I, k > g.

(ччн t ввСчЧ (ЧнtвkС

расчет лг ропчного Пк ВВ по фоумулам (8) легко реализуется в к хсек

Р. ГЧримиры расчета оокольных ПП. Ни рис. 3 показано распределчние и(Т) = и(400) вероятностей состояний ВВ, «рлдиву ейся» в момент времени t = рв (Ы 1 (00 в г^с^еэе с НППС, выращиваемом при фиксированнчк прорчща ниях с числом ребер m = 2 и с весовой функцией

f (к С =

к с1п к лрн к с С, есьн к некратно 10, 1 лрн к с С, есьн к кратно 10,

0 лрн к < С

из затравки, содержащей 5 вершин, соединенных в кольцо.

Здесь же показан ПП изменения средней степени связности ВВ к(Т).

Расчет подтверждается результатами ИМ. Выполненный предложенным в статье методом расчет выполняется компьютером за малую долю секунды. Расчет методом ИМ (с приемлемой погрешностью оценок вероятностей qk порядка 10-20 %) требует выполнения 5000 прогонов модели и занимает около 1,5 часа. Таким образом, разработанный метод

позволяет по сравнению с ИМ при несоизмеримом повышении точности результатов сократить затраты времени более чем на пять порядков. Затраты компьютерной памяти при использовании разработанного метода растут как O(N), а при ИМ — как O(N2).

7. Заключение. Полученные в статье уравнения динамики (5) и (8) позволяют эффективно выполнять численными методами анализ сетевых и локальных переходных процессов в графах с НППС, являющихся обобщением графов БА и охватывающих в качестве частных случаев другие обобщения специального вида, в том числе графы с фиксированным приращением и степенной весовой функцией [11].

Достигнутые быстрота и точность расчета переходных процессов позволяют в рамках теории сетей (Network Science) ставить и решать задачи анализа и синтеза широкого класса больших стохастических сетей, ранее недоступные для решения точными математическими методами. К таким задачам относятся, в частности, задачи динамической идентификации растущих сетей (включая социальные сети, транспортные, торговые, террористические сети и т.д.) и задачи выбора и оптимизации управленческих решений, актуальные в отношении широкого класса таких сетей.

Примечание

1 Соотношение (3) не исключает существования таких весовых функций f(k), которые обеспечивают лидирующей вершине (первою оказавшейся в слое Ak с максимальным из непустых слоев номером k) вероятность последующего выбора ее для связывания, сколь угодно близкую к единице. Такая вершина (назовем ее «кадавром» [16]) будет присоединять к себе все или почти все x ребер приращения и перемещаться

за один шаг из слоя Ak сразу в слой A+ в результате чего на следующем шаге вероятность выбора ее для связывания станет еще более высокой. В таких случаях выращивается большой граф, все или почти все вершины которого оказываются связанными с «кадавром». В статьях [11, 14] показано, что к таким сингулярным (особым) случаям относится, например, случай весовой функции f(k) = k2. Сингулярные случаи выращивания графов мы в данной статье не рассматриваем.

Библиографический список

1. Watts D. J., Strogatz S. H. Collective dynamics of small-world networks, Nature 393, 440-442 (1998).

2. Albert R., Jeong H., Barabasi A. L. Diameter of the worldwide web, Nature 401, 130-131( 1998).

3. Newman M., The structure of scientific collaboration networks, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 98, 404-409 (2001).

4. Erdos P., Renyi A. On the evolution of random graphs, Publications of the Mathematical Institute of the Hungarian Academy of Sciences 5, 17-61 (1960).

5. Barabasi A. L. Scale-free networks: A decade and beyond, Science 325, 412-413 (2009).

6. Barabasi A. L. Network science, Philosophical Transactions of The Royal Society 731, 1-3 (2013).

7. Barabasi A. L., Albert R. Emergence of scaling in random networks, Science 286, 509-512 (1999).

8. Barabasi A. L., Albert R. Statistical mechanics of complex networks, Rev. Mod. Phys 74, 47-97 (2002).

9. Clauset A., Shalizi C. R., Newman M. Power-law distributions in empirical data, Rev. Mod. Phys 51, 661-703 (2009).

10. Amaral L. A. N., Scala A., Barthelemy M., Stanley H. E., Classes of small-world networks, in: Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 97, 2000, p. 11149.

11. Krapivsky P. L., Redner S. Organization of growing random networks, Phys. Rev. E 63, 066123 (2001).

12. Задорожный, В. Н. Случайные графы с нелинейным правилом предпочтительного связывания / В. Н. Задорожный / Проблемы управления. - 2011. - № 6. - C. 2-11.

13. Zadorozhnyi V., Yudin E. Growing Network: Nonlinear Extension of the Barabasi-Albert Model // Communications in Computer and Information Science, 2014. - Т. 487. - С. 432439.

14. Zadorozhnyi V. N., Yudin E. B. Growing network: models following nonlinear preferential attachment rule, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, v. 428, pp. 111-132, 2015. - DOI: 10.1016/j.physa.2015.01.052.

15. Задорожный, В. Н. Исследование динамики роста степени связности вершин случайного графа в моделях виртуальных сетей / В. Н. Задорожный, В. А. Бадрызлов // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. -2015. - № 1 (137). - С. 215-219.

16. Стругацкие, А. Н. и Б. Н. Понедельник начинается в субботу. Повесть-сказка для научных работников младшего возраста / А. Н. и Б. Н. Стругацкие. - М. : ДЛ, 1965. - 135 с.

ЗАДОРОЖНЫЙ Владимир Николаевич, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления». Адрес для переписки: [email protected] БАДРЫЗЛОВ Владимир Александрович, аспирант кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления». Адрес для переписки: [email protected]

Статья поступила в редакцию 18.12.15 © В. Н. Задорожный, В. А. Бадрызлов

УДК 167/168.0001.8+510:514.8:515.1:519.1/2/6/7+ В П СИЗИКОВ +53+550.36+577.31

Омский государственный университет путей сообщения

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДВУХ ТЕЛ НА БАЗЕ ДИС-ТЕХНОЛОГИИ

С привлечением системной методологии в ранге ДИС-технологии осуществлен системный анализ взаимодействия двух тел. На примере модели в ранге триады выявлены особенности в проявлении такого взаимодействия. Ключевые слова: гравитация, ДИС-технология, процесс-система, режим, электромагнетизм.

1. Введение. Данная работа является продолже-

нием исследований [1 — 6]. Ключевыми моментами здесь выступают определённость с математическим эквивалентом понятия системы [2] и представление о процессе-системе как круговороте ресурса [56]. Именно эти моменты сыграли решающую роль в разработке на базе теории динамических информационных систем (ДИС, ТДИС) [7] инструментария ДИС-технологии, которому присущи одновременно качества и системной методологии, и языка программирования на уровне оболочки экспертных

систем, и аппарата имитационного моделирования [3-5].

Одним из главных недостатков современной науки, включая физику, является отсутствие проработок на системном уровне. Продолжаются тенденции полного сведения сущности системы к её проявлениям на внешнем уровне. Внутренним атрибутам системы внимание практически не уделяется, её продолжают считать чёрным ящиком. Потому не системны и традиционные представления о движении. В них принято равномерное прямолинейное