Распределения степеней в растущих графах, теряющих дуги Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ

УДК 519.2:004.421.5:004.7 В. Н. ЗАДОРОЖНЫЙ

Е. Б. ЮДИН М. Н. ЮДИНА

Омский государственный технический университет, г. Омск

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Омский филиал

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТЕПЕНЕЙ В РАСТУЩИХ ГРАФАХ, ТЕРЯЮЩИХ ДУГИ_

Для р астущих графов предпочтительного с в язывания, непрерывно теряющих дуги, решается задача расчета двумерного распределения степеней с в язности дуг (ребер). Применение р азработанных методов расчета графов с потерями дуг позволяет синтезировать адекватные модели растущих сетей (социальных, информационно-телекоммуникационных, сетей сотрудничества и т.д.), учитывающие потери св язей между узлами. Тем с а мым расширяются возможности использования та ких сетей и эффективного управления их развитием, в том числе путем влияния на процессы потери связей.

Ключевые слова: случайные графы с нелинейным правилом предпочтительного с в я-зывания, р аспределение степеней с в язности вершин, р а спределение степеней с в яз-ности дуг, калибровка случайных графов.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 16-31-60023 мол_а_дк.

Введение. Наблюдаемый в последние годы интенсивный расцвет теории случайных графов обусловлен тем, что она является математической основой науки о сетях — нового раздела физики, изучающего объективные законы развития сетей и сетевых процессов, которые не только радикально расширяют возможности современной человеческой цивилизации, но и порождают проблемы, от решения которых зависит само ее существование. Предметом исследования науки о сетях являются информационные, транспортные, социальные и многие другие сети, противоборство в информационных сетях, распространение болезнетворных вирусов и т.д.

Наиболее распространенными моделями сетей являются растущие графы предпочтительного связывания. Первая их версия — графы Барабаши— Альберт (графы БА) предложены и исследованы в работах [1—3]. Плодотворность изложенных в этих рабо-

тах идей ознаменовалась последующим взрывным ростом числа публикаций о растущих сетях (см., например, [4—15]). В [10—15] для моделирования сетей предлагаются и исследуются растущие графы с нелинейным правилом предпочтительного связывания (НППС). Граф с НППС [11] выращивается из небольшого графа-затравки путем добавления к нему в моменты t=t1, t2, ... очередного приращения графа — новой вершины с ограниченным случайным числом х < Л исходящих из нее дуг. Концы этих дуг связываются со случайно выбираемыми вершинами графа. Вероятность р( того, что дуга выберет для связи вершину г, пропорциональна весу / этой вершины, определяемому через ее степень связности к,:

р, = I(к)/ 21(к]),

(1)

где N — текущее число вершин в графе. При неограниченном добавлении приращений формируется бесконечный граф с НППС.

Таким образом, случайный граф с НППС задается двумя параметрами — распределением {гк} вероятностей случайной величины х — числа дуг в приращении и весовой функцией /(к) > 0 . Будем считать, что если к £ [0, М] (где М<ю), то /(к) = 0 . Далее функцию /(к) целочисленной переменной к будем обозначать в виде /к. При линейном весе (/к = к) и фиксированном числе дуг х=т = соп81 в приращениях граф с НППС становится графом БА.

Одной из наиболее важных асимптотических характеристик растущего графа является распределение степени связности (РСС) {0к} его вершин, к = 0, 1, 2, ... . Здесь 0к — это вероятность того, что случайно (равновероятно) выбранная в бесконечном графе вершина имеет степень связности к.

Не менее важными асимптотическими характеристиками растущего графа являются РСС его дуг {0,к} и РСС ребер {©,к}. Здесь 01к — это вероятность того, что случайно выбранная дуга (с.в.д.) ориентированного бесконечного графа исходит из вершины со степенью 1 и заходит в вершину со степенью к. Аналогично ©,к — вероятность того, что случайно выбранное ребро неориентированного бесконечного графа, проходимое в случайно выбранном направлении, ведет из вершины со степенью 1 в вершину со степенью к [10].

Появление работ [16—18] свидетельствует о росте внимания к проблеме потерь в растущих сетях. Найденные в [17, 18] РСС вершин полностью согласуются с результатами, которые мы получили в [13, 14] численными методами для графов с НППС, теряющих вершины или ребра. Однако мы не нашли публикаций, решающих задачу о распределении степеней дуг или ребер в таких графах. Ниже эта задача решается для графов с потерями дуг путем вывода и решения уравнений, определяющих искомые распределения.

Растущие графы, теряющие дуги. Непрерывные потери связей в ходе развития сетей моделируются графами с потерями дуг. На каждом шаге выращивания графа, заданного параметрами |гк} и {/к}, последовательно выполняются две операции:

1) к графу добавляется по правилу (1) приращение со случайным числом х дуг, в среднем с М(х) = т дугами;

2) из графа удаляется случайное число с.в.д., в среднем у дуг (0 < у < т).

Финальные распределения {0к}, {0, к} и {©,к} не зависят от затравки графа. На каждом шаге времени общее число дуг возрастает в среднем на т = т -у и число дуг в растущем графе сходится к mN , где N — число вершин графа.

Финальное РСС {0, к} дуг будем находить в виде матрицы О = || 0,к ||. Неориентированный граф получается из выращиваемого ориентированного графа заменой всех дуг ребрами. Матрица © = || © 1к || финального РСС ребер вычисляется по формуле © = (О + От)/2 , где Т — символ транспонирования.

Распределение степеней вершин. Для нахождения РСС О и 0 воспользуемся найденным в [13] РСС {0к} вершин графов с потерями дуг:

Гк +

т0к -А-1 + к +1

0к =

< / >

+ У 0к+1 т

т/к + ку </> т

0<к<М+1,

< / >

:ЕМ=0 /0,

(2)

где < / > — средний вес вершин графа, и 0-1 = 0. Система уравнений (2) быстро и точно решается в электронных таблицах при выборе режима «итерации», разрешающего циклические ссылки ячеек друг на друга и на самих себя.

Рекомендуется пересчет листа инициировать вручную и начинать итерации при записанной в ячейку для < / > константе 1. Затем, после появления ненулевых 0к, следует ввести в ячейку для </> расчетную формулу (2) и продолжить итерации до получения неизменяющихся результатов.

Распределения степеней дуг и ребер. Для вывода уравнений и формул, позволяющих вычислять РСС {0,к} дуг, определим слой Ак, к>0, как множество вершин графа, имеющих степень к. Туннель В, к определим как множество дуг, исходящих из вершин слоя А[ и заходящих в вершины слоя Ак [10].

Придерживаясь сформированной в [10, 11] схемы вывода уравнений баланса, запишем для 0,к асимптотически точное уравнение баланса в виде

тN + 1)0, к = ^0,к +А1 + А2, 1, к > 1.

(3)

где тN + 1)0, к — среднее число дуг в туннеле В,к на шаге N+ 1, т.е. после добавления N + 1)-й вершины; п^01к — среднее число дуг в туннеле В, к на шаге N; А1 — средний прирост числа дуг в туннеле В, к за счет нового приращения графа; А2 — средний прирост числа дуг в туннеле В, (имеющий отрицательное значение) за счет потери в среднем у с.в.д. графа. Из (3) имеем:

т0,к = А1 + А2, ,, к > 1.

(4)

Прирост А1 формируется здесь так же, как в графе без потерь [12]:

А = ,ГР + тР

"1 'Г,Рк-1 т 1 к-1

| В1к-1 | | Ак-1|

+ тР -

| В,-,к | | А,-1|

. тР„ {^4 - тР\ -1 Вк |

| Ак |

|А |

(5)

Через Р. в (5) обозначена вероятность связывания дуги приращения с вершиной слоя А. В [12] показано, что Pj ~ /¡0] /</> . Прямые скобки в (5) используются для обозначения числа элементов множества. Отношение |В,д-1|/|Ак-1| сходится к ^N0, ,k-1/(N0k-1) = = т0, к-1 / 0к-1. Аналогично |В,— 1к|/|А,—1| - т0,-и /

0,-1, | В,к |/| Ак |- т 0,к /0к

В,к | / | А, |

- т0, к / 0,. Подставляя в (5) приведенные выражения, включая выражения для Р], получаем

А1 = Г /к-0к-1

< / >

-1

+ тт\-f-10,к-1 + ^ 0,-1к - т^- 0, к --^0,

</>

</>

< / >

< / >

(6)

Выражение для прироста А2 в (4) найдем следующим образом. Разобьем множество О элементарных исходов при выборе теряемой с.в.д. е на непересекающиеся подмножества О,- (случаи) и определим эффекты Е(О,), т.е. произведения вероятностей Р(О,-) случаев и соответствующих условных средних приростов числа дуг в В,к. Безусловный средний прирост, вызванный потерей одной

и

+

к

Таблица 1

Оценки первых двадцати эффектов потери дуги

Эффект Оценка эффекта Эффект Оценка эффекта

Е(ёеВц) - 2О,Ои Е(е е В,к+1) - О,О,к+1

Е(ееВкк) - 2ОкОк к Е(е е Вк+Ц) Ок+1Ок+1,, - О,Ок+и

Е (е е В,+1,+1) 2Оl+lОl+ц+l Е(е е Вк,м) - ОкОк,м + Оl+lОkll+l

Е(ееВк+1,к+1) 2Ок+1Ок+1,к+1 Е(е е В,+1Л) - ОкОМк

Е(ееВ,к) -1 • О,к Е(е е Вк,к+1) - ОкОк,к+1 + Ок+1Ок,к+1

Е(ееВк,,) - ОкОк1, - О,Ок, Е(е е Вк+1,к) Ок+1Ок+1,к - ОкОк+1,к

Е(ёеВш) - О,Ои+1 + О, О+1 Е(е е вl+l1k+l) О1+1О1+1lk+1 + Ок+1О,+1,к+1

Е(ёеВш) О/+1°/+1,/ - О1О1+111 Е(е е Вк+1,,+1) Ок+1Ок+М+1 + О1+1Оk+1l1+1

с.в.д., равен сумме найденных эффектов. Поэтому А2 найдем, умножая сумму найденных эффектов на среднее число у, теряемых с.в.д.

Потеря с.в.д. е влияет на число дуг в В,к в следующих 20 случаях:

— в четырех случаях, когда выбранная для удаления (теряемая) с.в.д. е соединяет две вершины одного и того же слоя из слоев А, Ак, А1+1, Ак+1,

— в 6x2=12 случаях, когда теряемая с.в.д. е соединяет в том или ином направлении два слоя из

слоев Д, Ак, д+1, Ак+1, г

— в четырех случаях, когда с.в.д. е инцидентна вершине одного из четырех перечисленных слоев и вершине, не принадлежащей ни одному из них.

Во всех остальных случаях потеря с.в.д. не изменяет числа дуг в туннеле В,к.

При определении эффектов Е(Ог )пригодятся следующие асимптотически точные выражения для среднего числа дуг того или иного туннеля, приходящихся на одну вершину того или иного слоя:

О, =

I В,,к | тМ01Л тО1Л

I А, | МО, О,

, = [вА _ то^

к~ I Ак I Ок'

1 в,+1,к 1 т О,+1,к

Ок

I А,+1 | О,+1

I в,к+11 _ то1Л+ I Ак+1 I

Ок

(7)

Оценки для первых 16 подмножеств исходов, влияющих на число дуг в туннеле В, к, приведены в табл. 1. Способ получения этих оценок поясним на примере оценки эффекта Е(е е Ви+1) (табл. 1).

Если теряемая с.в.д. е принадлежит туннелю Ви , то в результате ее потери происходят следующие изменения. Степень вершины у1 е А,, из которой исходит дуга е , в результате потери этой дуги уменьшается на единицу. Поэтому вершина переходит из слоя А[ в слой А-1, и инцидентные ей дуги туннеля В,к (в среднем приблизительно О[ дуг) переходят в туннель В,1к. Из-за этого число дуг в туннеле В,к уменьшается в среднем приблизительно на О,. Вместе с тем вершина у2 е А,+1, в которую заходит дуга е , переходит из-за потери этой дуги в слой А,,

что добавляет в состав туннеля В1к в среднем приблизительно О,+ 1 инцидентных вершине у2 дуг туннеля В,+1к. Упомянутые здесь величины О1 и О,+1 приведены в (7). Общее изменение (О+ — О,) числа дуг, умноженное на вероятность О,,+1 рассматриваемого случая е е В,,+1, составляет величину эффекта Е(е е Ви+1) = -О,О,,+1 + О,+1О,,+1. Аналогично выводятся оценки всех первых двадцати эффектов (табл. 1).

Для оставшихся четырех случаев необходимо определить вероятность Р[е е 1(А])] принадлежности с.в.д. е множеству 1(А) дуг, инцидентных вершинам слоя А. (] = 1, к, , + 1, к +1). Все вершины слоя А.имеют степень ], и некоторые дуги в 1(А) инцидентны сразу двум вершинам в А. Поэтому Р[е е 1(А■)] =

= (] I А] I - I В] I) /(тМ) _ (]МО] - тМО])/(тМ) =

= ]О] / т - О]]. Обозначая объединение непересекающихся множеств плюсом, вычитание подмножества — обратной наклонной, находим последние четыре эффекта:

Е(е е 1(А, )\(В,,, + Ви + В,,,+1 +

+ В,,к+1 + Вк,, + В,+1,1 + Вк+1,1)) »

» -О, ■{О - о,,, - о,,, - О,к - о,,,+1 -

V т

■О,к

Ок,, - О, +

Ок

Е (е е 1(Ак )\(ВкЛ + ВкЛ + ВкЛ+, +

+ Вк,к +1 + В,,к + В, + 1,к + Вк+1,к)) »

-О

к ' I . Ок,к Ок,к ОА,, Ок,+1

■Ок,к+1 - О,,к - О,+1,к - О,

к к+1,к ,

Е (е е 1(А,+1) \ (В,+1,,+1 + В,+1,, + В,+1,к+1 + В,+1,к + Ви+1 + + Вк+Ц+1 + Вк,,+1)) » О,+1 х

х ( : О,+1 - О,+1,,+1 - О,+1,,+1 - О,+1,, - О,+1,к+1 -V т

О,,+1,к - Ои+1 - О,

к+1,,+1 к,,+1

Ок

Е(е е /(Ак+1) \ (Вк+1,к+1 + Вк+1,к + Вк+1,, + Вк+1,,+1 +

110 f* =EC/1H(SD$2=0;0;($F10*$E10*H$5*H$6/$B$4/$B$5+$B$3>!H10*H$6/$B$5+$B$3*[9*$D

А в С D Е F G Н J К L M N О P

1 Пуск

2 гаииа 1 1

3 m 3

4 nt* 2

5 1 Qk: D.01238 0.02476 0.11148 0.32222 0.21915 0.1392 0.08238 0.04541 0,023

в fk: 0 1 1 1 1 1 1 1 1

7 QI fl rl I k: 0 1 2 3 4 5 6 7 8

t

9 0 0-01238 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

10 1 0.02476 1 0 1 ol~aoooS 0 00088 0.00203 0.0031 0.00334 0.003 0 00229 0.001

11 2 0-11143 1 0 2 0 000085 0.0044 001154 0 01949 0 0205 001715 0 01233 0 007

12 3 0.32221 1 1 3 0 0.00187 0.01328 0.04176 0.03741 0.08207 0.0617 0 04083 0.024

13 А 0.21915 1 0 4 0 0 00169 0 00393 0.02434 0 04396 0 04649 0.03822 0 02689 0.016

14 5 0 1392 1 0 5 0 0 00117 0 00535 D 0133 0.0222 0.02476 0.02155 0 01586 0 01

15 в 0.08233 1 0 в 0 0.0007 0.00291 0.00683 0.01094 0.01251 0.01128 0.00857 0.00

1S 7 0.04541 1 0 7 0 0.00037 0 00146 00033 0.00517 0.00598 0.00552 0 00429 0.002

17 Е 0.02333 1 0 8 0 0.00018 0.00068 0.0015 0.00232 0.00271 0.00254 0 002 0.001

IS 9 0.01119 1 0 9 0 8E-05 0.0003 0.00064 0.00099 0.00116 0.0011 0.00087 0.000

1Э 10 0-00501 1 0 10 0 З-ЗЕ-05 0.00012 0.00026 0-0004 0.00047 0-00045 о ооозе 0,000

20 11 0.0021 1 0 11 0 1.3E-05 4.7E-06 9.9E-05 0.00015 0.00018 0.00017 0 00014 9.8 E

21 12 0-00082 1 0 12 0 4.7E-06 1-7E-05 зеЕ-05 ае-СЪ 6 4E-0S e2E-«5 5E-05 3«E-

22 13 0.00029 1 0 13 0 1.BE-06 5.5Е-0в 1.2E-05 1.8E-05 2 1E-05 2E-05 1 7E-05 1.2E-

23 14 8.3Е-0Е 2 0 14 0 4.2E-07 1 5E-06 3 1E-06 4.7E-06 6 6E-06 E5E-06 A 5E-06 3.2E-

2 4 15 3.SE-05 3 0 15 0 1.9E-07 6 6E-07 1 4E-06 2.1 E-06 2 5E-06 2 4E-06 2E-0S 1.4E-

16 ? 3FJ15 4 п 1fl 0 1 1F-TI7 3 7FJ17 7 HF-n7 1 ?F41fi 1 4F-ilfi 1 4FJ1A 1 IF-ilfi AF.

Рис. 1. Расчет РСС дуг в тестовом графе с НППС, теряющем дуги

+ Bk,k+1 + Bl,k+1 + Bl+1,k+1)) » Dk

k +1

X I i Qi+1 — Qi+1,i+1 — Qi+1,i+1 — Qk+1,k — Qk+1,, —

m

' Qk+1.J+1 Qk,k+1 Q,,k+1 Q, + 1,k

Суммируя эти эффекты с приведенными в табл. 1, раскрывая скобки, приводя подобные члены и подставляя выражения (7), получаем средний прирост числа дуг в туннеле В,к, обусловленный потерей одной с.в.д. Умножая его на у, получаем искомый средний прирост Д2 за шаг выращивания графа

А2 » g(, + 1)Q,+U + g(k + 1)Qu+1 — + k + 1)QU +

miQfk miQfk + g-— + g-— — g

mof+yk m q fk+1

Q,

Qk

Q, +

-g

Qk+1

(8)

Подставляя теперь выражения Д2 (8) и Д1 (6) в (4), получаем относительно искомых вероятностей О,к приближенную систему уравнений

m Ql ,k = l-Г

fk—1Qk—1 + ™ tk—1

{t >

+ mm -ff Q, k—1 + mm -1—1Q ,—1k —

& ibL.

{t>

{t>

t tk — mm-1- Q,, — mm—^Q,, +

{t> ,,k {t> ,,k

mQ2 mQ2

+ g(, + 1)Q,+1,k + g(k + 1)Q, ,k+1 — g ■— g- ,,k+1

Q,+1

— g(, + k + 1)Q,, k +g

mQfik m q 2

g

Qk

(,, k > 1), (9)

О О

из которой выводим формулу расчета О,к методом простых итераций:

О, к =

Г tk-'Qk—' + mtk—1 Q,k , + mi—1 Q, 1k +

m {f> {t> ,,k—1 {t> ,—1,k

t, tk 1 + m—^ + m—^ + g {f> {t>

Q + k+1 Q ^ m m

(, + k + 1) _ Q± — Qjk m Q, Qk

■ ®

(,, k>1). Решение (9), (10) задачи о РСС дуг является приближенным, поскольку при его выводе использованы приближенные оценки эффектов.

Эксперименты. В Excel для расчета Q,k формулу (10) рекомендуется ввести в ячейку, соответствующую элементу Q11 матрицы Q (рис. 1), правильно закрепляя в формуле ссылки на параметры графа и на ячейки верхних и левых «заголовков» матрицы, рассчитанных заранее. Так, в примере, показанном на рис.1, введенную в ячейку I10 формулу (10) в виде = ЕСЛИ($Б$2 = 0;0;($F10*$E10*H$5*H$6/$B$4/ $B$5 + $B$3*H10*H$6/$B$5 +

$B$3*I9*$D9/$B$5 + $B$2*(($F10+ 1)*I11/$B$4-I11 2/$B 1 1 + (I$7+ 1)*J10/$B$4-J102/J$5))/ (1 + $B$3*I$6/$B$5 + $B$3*$D 10/ $B$5 + $B$2*($F10 + I$7+ 1)/$B$4-I10/$B10-I10/I$5)) можно просто скопировать из ячейки I10 сразу на весь прямоугольный диапазон ячеек рассчитываемой части матрицы Q.

Тестовый граф, расчет распределения {Q, k} которого показан на рис. 1, определяется параметрами fk=1 при k = 0, ...13 и fk = k—12 при k>13; г3=1 (т.е. m = 3); g = 2; m = m — g = 2. Распределение {Qk} и средний вес {t> для этого графа вычислены заранее путем решения системы уравнений (2). Ячейка D2 (Пуск) используется для «сбрасывания в ноль» результатов расчета матрицы Q = || Qkk ||. Нулевая строка (для , = 0) и нулевой столбец (для k = 0) матрицы Q заполняются нулями (константами). Левый и верхний «заголовки» продлеваются на одну ячейку дальше границ заполненного формулами диапазона. Итерации при расчете листа сходятся за несколько секунд. Параллельно с матрицей Q на этом же листе рассчитываются транспонированная матрица QT, матрица РСС ребер и строится график РСС ребер (рис. 2).

На рис. 2 рассчитанное РСС ребер тестового графа сравнивается с распределением, полученным путем имитационного моделирования (ИМ) графа, т.е. путем его непосредственного выращивания. Сравнение показывает, что в данном случае погрешности формулы (10) невелики. Хорошую точность формулы (10) подтверждают и ее проверки посредством расчета и ИМ ряда других графов с потерями дуг.

Точность формулы (10) и сходимость порождаемых ею итераций ухудшаются с ростом доли теряемых дуг. Тем не менее, пример с тестовым графом,

х

k

Q2 Q2

l+1,k l,k+1

Q

Q

Рис. 2. РСС ребер тестового графа: расчетное (слева) и полученное путем ИМ (справа)

теряющим 33 % дуг (см. рис. 2), показывает, что для исследования многих реальных сетей точность формулы (10) достаточна. К их числу относится и сеть веб-страниц, поскольку она теряет лишь 15 % дуг [19].

Заключение. В статье разработан численный метод расчета двумерного распределения степеней дуг и двумерного распределения степеней ребер в растущих графах, теряющих дуги (ребра).

Хотя разработанный численный метод является приближенным, он имеет точность, достаточную для исследования многих реальных растущих сетей с потерями связей.

Полученные результаты позволяют калибровать графовые модели реальных сетей с потерями связей одновременно по распределениям степеней вершин и распределениям степеней дуг (ребер) подобно тому, как это делается при моделировании сетей без потерь [18]. Тем самым обеспечивается возможность существенного повышения адекватности графовых моделей, синтезируемых для повышения эффективности использования социальных, информационных и других сетей и для разработки стратегий воздействия на их развитие.

Библиографический список

1. Barabasi A. L., Albert R. Emergence of scaling in random networks // Science. 1999. Vol. 286. P. 509-512. DOI: 10.1126/ science.286.5439.509.

2. Barabasi A. L., Albert R. Statistical mechanics of complex networks // Rev. Mod. Phys. 2002. Vol. 74. P. 47-97.

3. Barabasi A. L. Scale-free networks: A decade and beyond // Science. 2009. Vol. 325. P. 412-413. DOI: 10.1126/science.1173299.

4. Krapivsky P. L., Redner S. Organization of growing random networks // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 63. P. 066123. DOI: 10.1103/ PhysRevE.63.066123.

5. Newman M. The structure of scientific collaboration networks // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 2001. Vol. 98. P. 404-409. DOI: 10.1007/978-88-470-0665-2_13.

6. Antal T., Krapivsky P., Redner S. Dynamics of social balance on networks // Physical Review E. 2005. Vol. 72 (3). P. 036121. DOI: 10.1103/PhysRevE.72.036121.

7. Clauset A., Shalizi C. R., Newman M. Power-law distributions in empirical data // Rev. Mod. Phys. 2009. Vol. 51. P. 661-703. DOI: 10.1137/070710111.

8. Cohen R., Havlin S. Complex networks: structure, stability and function // Cambridge University Press. 2010. DOI: 10.1017/ CBO9780511780356.

9. Ghoshal G., Chi L., Barabasi A. L. Uncovering the role of elementary processes in network evolution // Scientific Reports. 2013. Vol. 3. P. 1-8. DOI: 10.1038/srep02920.

10. Zadorozhnyi V. N., Yudin E. B. Structural properties of the scale-free Barabasi-Albert graph // Automation and Remote Control. 2012. Vol. 73. №. 4. P. 702-716.

11. Zadorozhnyi V. N., Yudin E. B. Growing network: models following nonlinear preferential attachment rule // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2015. Vol. 428. P. 111-132. DOI: 10.1016/j.physa.2015.01.052.

12. Задорожный В. H. Растущие сети: динамика распределения степеней связности смежных узлов // Омский научный вестник. 2016. № 2 (146). С. 81-86.

13. Задорожный В. H., Юдин Е. Б. Уравнения динамики степеней узлов в растущих сетях с потерями связей / / Динамика систем, механизмов и машин. 2016. № 1, Т. 3. С. 340-346.

14. Задорожный В. H. Растущие сети с потерями узлов // Омский научный вестник. 2017. № 151. С. 108-113.

15. Zadorozhnyi V. N., Yudin E. B., Yudina M. N. Analytical and numerical methods of calibration for preferential attachment randon graphs // 2017 International Siberian Conference on Control and Communications (SIBCON), Astana, Kazakhstan. 2017. P. 1-6. DOI: 10.1109/SIBC0N.2017.7998461.

16. West R., Paranjape A., Leskovec J. Mining Missing Hyperlinks from Human Navigation Traces: A Case Study of Wikipedia // Proceedings of the 24th International Conference on World Wide Web. 2015. P. 1242-1252.

17. Barabаsi[ A. L. Network Science // Cambridge University Press. 2015. URL: http://barabasi.com/networksciencebook (дата обращения: 25.09.2017).

18. Ghoshal G., Chi L., Barabasi A.-L. Uncovering the role of elementary processes in network evolution // Scientific Reports. 2013. Vol. 3. P. 1-8.

19. Fenner T., Levene M., Loizou G. A stochastic model for the evolution of the web allowing link deletion // ACM Transactions in Internet Technology. 2006. Vol. 6, № 2. P. 117-130.

ЗАДОРОЖНЫЙ Владимир Николаевич, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления» Омского государственного технического университета (ОмГТУ). Адрес для переписки: [email protected] ЮДИН Евгений Борисович, кандидат технических наук, старший научный сотрудник омского филиала Института математики им. С. Л. Соболева CO РАН. Адрес для переписки: [email protected] ЮДИНА Мария Николаевна, аспирантка кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления» ОмГТУ. Адрес для переписки: [email protected]

Статья поступила в редакцию 25.09.2017 г. © В. Н. Задорожный, Е. Б. Юдин, М. Н. Юдина