Изоморфность гомотопических групп толерантных пространств, определенных через толерантные сфероиды разного размера Текст научной статьи по специальности «Математика»

Е. В. Коробченко

УДК 513.6

ИЗОМОРФНОСТЬ ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУПП ТОЛЕРАНТНЫХ ПРОСТРАНСТВ, ОПРЕДЕЛЕННЫХ ЧЕРЕЗ ТОЛЕРАНТНЫЕ СФЕРОИДЫ РАЗНОГО РАЗМЕРА

В статье [1] определены высшие гомотопические группы толерантных пространств с помощью кубических сфероидов. Однако в различных применениях толерантных гомотопических групп требуется более гибкое определение, использующее сфероиды произвольного размера.

В статье доказывается, что толерантные гомотопические группы, определенные этими различными способами представляют собой естественно изоморфные функторы.

Определение 1. и-мерным толерантным сфероидом (Т-сфероидом) толерантного пространства (X, т) в точке х0 € X называется толерантное отображение ат : (/т(п) , 1ты) —> (X, т) такое, что

ато(д/М)) = хо, т € М, где ^ = х 1т, 1т = {тI к = 0,т} , ¿^ = х ¿т,

т¿тт А |к - 1| < 1.

т т т

Если ат : (Т^, ¿т^) —^ (X, т) — Т-сфероид и М € М, М ^ и, тогда определим Т сфероид ам,т : (^Мм 1м ) —^ (X, т) следующим образом:

(Укг = 0, М, г = 1,и) ам,т ((т)г=1,п)

(тт)г=1,п) , = 1,и) кг < т;

х0, (Зг = 1, и) к ^ т.

ат ( ( т

Сфероид ам,т называется сфероида ат.

Определение 2. Два и-мерных сфероида ат1, а^ пространства (X, т) в точ ке х0 называются толерантно гомотопными и обозначаются ат1 ~ а^, если существуют натуральное М ^ тах{т1,т2} и

толерантная гомотопия ам,т1 ~ а'Мт2(ге^ д/М^).

Отношение ~ является отношением стаивалентности, символом [ат] обозначается класс этого отношения с представителем ат.

На множестве и-мерных Т-сферондов пространства (X, т) в точке х0 определяется операция, скпоставляющая двум сфероидам ат1 : ) —> (X,т), ) —> (X, т) новый сфероид

41

ami * вт2 • (Im1+m2 , 1m)+m2

) —> (X, т) такой, что (Vi = M)(Vki = 0,mi + m2) ami * em2 ((

) , (Vi = M) ki ^ mi; Pm*((k-mr) .=ni) , (Vi = M) ki > mi;

f

a

i=1,n

x0, в остальных случаях. На множестве классов толерантно гомотопных n-мерных Т-сферои-дов произвольного размера корректно определена операция

[ami] * [^m2] = [ami * ^m2], (I)

превращающая множество nn(X, x0) в группу, которая называется п-й гомотопической группой толерантного пространства (X, т) в точке x0.

Всякое толерантное отображение f • ((X,т)),x0) —> ((Y,0),y0) пунктированных толерантных пространств (т.е. f (x0) = y0) индуцирует гомоморфизм толерантных гомотопических групп fnn • nn(X, x0) —> —> nn(Y, y0), корректно задаваемый формулой

fn„ ([am]) = [f ◦ am]. (2)

В результате для каждого n G N имеем ковариаптпый функтор nn из категории пунктированных толерантных пространств в категорию групп. На самом деле этот функтор определен на категории толерантных гомотопических типов, так как всем толерантным отображениям из класса [f] ставится в соответствии один и тот же гомоморфизм fnn.

Толерантные гомотопические группы можно определить, используя и более общее определение Т-сфероида. Для этого будем использовать

n

n-мерные Т-кубы про извольного разме ра m = (m1,...,mn) G х N,

df 1 n n \

т.е. пространства (Im, ¿m) = I х Im., х ¿m. I . Обозначим эти группы

i=i i i=i i

П n(X,X0).

Заметим, что в каждом классе [am], m = (m1,..., mn), имеется представитель a~Mm G [am], где M = (M,... , M), M = maxmi. Обозначим

' i=1,n

aM = aMm и покажем, что отображение • nn(X,x0) —> nn(X,x0), задаваемое формулой

^n([am]) =f [ам], (3)

42

корректно и является изоморфизмом групп : пп(Х, х0) = пп(Х, х0). Корректность (3) означает, что выполняется свойство

- «т(2) (1) - (2) . (4)

Используя определение толерантно гомотопных сфероидов, (4) доказывается непосредственным построением гомотопий.

Как уже отмечалось выше [ат] = [ам а из (3) следует, что

^п[а(то ,... , т)] = [ат]. (5)

Отсюда, применяя аналог формулы (1) для сфероидов произвольного размера и (3), получаем

^п([ат(1)] * [вт(2)]) = ^п([аЖ(1) _(1)] * [вм(2) _(2)]) = = (1) т(1) * вм(2) т(2)]) =

= [ам(1) * вм(2)] = [ам(1)] * [вм(2)] = ^п([ат(1)]) * ^п([вт(2)]).

Таким образом, - гомоморфизм. Его сюрьективпость следует из (5). Для доказательства инъективности предположим, что^п[ат] = [ам] = [еЖ0]. Следовательно ам — £Х0 в смысле определения 2. А так как ат — ам т, то в силу транзитивности отношения — имеем ат — £Х0, что показывает инъективность ^>п.

Отметим, что группы ПП(Х, ж0), как и группы пп(X, ж0), для всякого п € N определяют ковариантные функторы на категории пунктированных толерантных пространств (и на категории толерантных гомотопических типов) со значениями в категории групп. При этом толерантное пунктированное отображение / : ((X,т),х0) —> ((У,^),у0) индуцирует гомоморфизмы

/П„ : Пп(^ х0) -^ Пп(^ У0) , /лп ([ат]) = [/ ◦ ат]. (б)

Используя формулы (2), (3), (6), а также свойство пунктированности / (х0) = у0 и определение продления ам т, непосредственной проверкой доказывается естественность по (X, т) изоморфизмов : ПП(Х, х0) = = пп(X, х0) в категории пунктированных толерантных пространств.

Подводя итог, констатируем, что имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Для каждого п € N функторы пп и пп толерантных гомотопических групп естественно изоморфны на категории пунктированных толерантных пространств.

43

В заключение отметим, что при определении гомотопических групп пп часто удобно использовать более гибкое определение операции *. Для сфероидов ат(1) и вш(2Ь У которых т(1) = т(2), определяем

,(0

[«т(1)] * [вт(2)] = [7(гп(1)+т12),...,т(1),...,тП1)+тП2))],

где

^(1) = аз(1,к1) ± вз(1,к1)

7(т(11)+т(12),...,т(1),...,тП1)+тП2)) = «т(1) * вт(2) ,

ав(1,к0 /4-1 к1+1 ки\ = а т ( кп \

ат(1) 1ут(11) т^ , т« тП,1^ т(11) т(1) тМ) ,

в^О/ _кг+1 = в (2) ( _к1_

^(2) (2) ,..., (2) , (2) ,..., (2) вт(2) (2) ,..., (2) V", (2) Г

Доказательство того, что при этом получаются те же группы, проводится с использованием техники, примененной в [1. доказательство предложения 5].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Небалуев С. И. Высшие гомотопические группы толерантных пространств // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам : межвуз, сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2003, Вып. 2, С, 15-30,

УДК 517.984

А. П. Кочергин

УТОЧНЕНИЕ АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЯ ЙОСТА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ПУЧКА ВТОРОГО ПОРЯДКА

Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка на полуоси

у" + [р2 + гр#1(х) + до(х)] у = 0, х > 0, (1)

где у(х) - неизвестная функция, р - спектральный параметр, ^1(х), до(х) - комплекснозначные функции, такие что ^1(х) абсолютно непрерывна па [0, Т] при каждом фиксированном Т > 0 и до(х), ^1(х), д1 (х) € € ¿(0, го).