CC BY
95
УДК 530.12
ИЗМЕНЕНИЯ ТОПОЛОГИИ И ГЕОМЕТРИИ ПРОСТРАНСТВА, ПРИВОДЯЩИЕ К ОБРАЗОВАНИЮ
КРОТОВОЙ НОРЫ
А.К. Гуц
В З-мерном арифметическом пространстве Ж3 задаётся изменяющаяся с течением времени топология, от стандартной евклидовой до некомпактной неодносвязной, описывающей кротовую нору.
Классическое представление о физическом пространстве наделяет его таким фундаментальным топологическим свойством, как связность. Физическое пространство - суть связное 3-мерное многообразие - объединяется с временем в единое 4-мерное пространство-время.
Топология 3-пространства, а точнее, такие его топологические свойства, как связность и односвязность, как показано в этой работе, могут изменяться при скачках энергии естественного (взрывы) или искусственного происхождения.
При нарушении связности пространства рождаются либо ответвления в пространстве-времени, либо 4-мерные кротовые норы. Образовавшееся ответвление - это, по сути дела, параллельный мир.
В случае нарушения односвязности появляются 3-мерные кротовые норы в пространстве.
И 4-мерные, и 3-мерные кротовые норы могут использоваться как для переходов в Прошлое (машина времени), так и для сверхбыстрых по часам Земля сверхдальних космических перелётов [1].
1. Физика образования 4-мерных кротовых нор
Если в пространстве-времени не существует или недоступна естественная кротовая нора, то придётся создавать её искусственный аналог.
В качестве одного из способов можно рассмотреть образование 4-мерной кротовой норы, начало которой находится в настоящем, а конец - либо в историческом прошлом, либо в историческом будущем. Следует заметить, что пространство-время с 4-мерной ручкой уже не является односвязным, оставаясь связным. Поэтому существуют пространственно-подобные несвязные гиперповерхности. При этом процесс рождения 4-мерной кротовой норы можно
Copyright © 2011 А.К. Гуц
Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского E-mail: guts@omsu.ru
Две 3-сферы
Рис. 1. а) рождение 4-мерной кротовой норы. Пространство с топологией 3-сферы теряет связность. Образуются два пространства, каждое из которых гомеоморфно 3-сфере.
Ь) рождение 3-мерной кротовой норы в пространстве с топологией 3-сферы. Пространство
теряет односвязность
Две 3-сферы
Рис. 2. а) рождение и исчезновение 4-мерной кротовой норы. Пространство с топологией 3-сферы теряет связность и вновь её обретает. Ь) рождение 3-мерной кротовой норы в пространстве с топологией 3-сферы. Пространство теряет односвязность, а затем опять
становится односвязным
рассматривать как отрыв от 3-мерного пространства М3 некоторой области
До С М3.
Другими словами, образование 4-мерной кротовой норы означает нарушение связности пространственно-подобной гиперповерхности. Топологически (и геометрически) этот процесс может быть реализован стягиванием в точку границы отрываемой 3-мерной области Д)- В дальнейшем мы вклеим оторванную область в необходимую точку пространства-времени.
Следует отметить, что математически процедура склеивания двух несвязанных областей 3-мерного пространства представляется более сложным процессом, чем разрыв связной области на несвязные компоненты. Это вызвано тем, что при разрыве на две компоненты процесс стягивания границ в точку можно
обратить, так как эта точка является в действительности некоторой двумерной областью нулевой площади, полученной в результате непрерывной деформации. При склеивании двух несвязных компонент мы сначала выберем по точке в каждой области, а потом отождествим их. После этого точка, соединяющая склеенные части 3-мерной гиперповерхности, остаётся истинной точкой, в отличие от предыдущего случая. И мы не сможем так же просто растянуть точку в двумерную область.
1.1. Разрыв пространства
Разрыв пространства осуществим за счёт рассмотрения изменяющейся топологии и геометрии на одном и том же множестве М3.
Можно построить вложение рассматриваемого множества М3 в объемлющее 4-мерное пространство в виде семейства римановых 3-пространств, реализующих привычную картину разрыва на два несвязных куска. Эту картину оставляем как тренировку воображения читателя: её строгая математическая формализация не является сложной задачей.
1.2. Оценка скачка энергии, необходимого для разрыва пространства
Если теперь рассмотреть модель связного, но неодносвязного пространства-времени, то вполне можно обнаружить несвязные трёхмерные пространственноподобные сечения. Более того, несвязное сечение М1 может получиться из связного Мд с помощью сферической перестройки [2], и, следовательно, связное и несвязное сечения можно рассматривать как начальное и конечное состояния некоторого геометродинамического процесса (лоренцев кобордизм [2]). В ходе этого процесса 3-геометрия претерпевает переход через некоторое критическое состояние М3/2, которое отвечает нарушению связности пространственно-подобного сечения.
Было бы интересно выяснить [2], при каких условиях происходит нарушение связности пространственно-подобных сечений, или, если оставить в стороне конкретную дифференциально-топологическую модель, выяснить — возможно ли, что в ходе некоторого физического процесса трёхмерное пространство становится несвязным. Допуская вольность в словах, можно сказать, что нарушение связности означает отрывание области Д0 от М$.
Рождение 4-мерной кротовой норы означает, что 3-мерный кусок И0 отделяется, оставляет 3-мерное физическое пространство М^.
Переход от Мд к М1 можно осуществить, стягивая в точку а* границу бЮ0 замкнутой области Д0 С М03. Получается пространство Му2 = С\/2 и Д1/2 , где С\/2 и Д1/2 имеют одну общую точку а* (результат стягивания дБ о) и являются связными гладкими многообразиями, диффеоморфными связными компонентами пространства М1. Затем идёт отрыв С\/2 от Д1/2; получаем М1.
Геометрически (метрически) нарушение связности можно охарактеризовать как процесс уменьшения до нуля площади поверхности Ж0, ограничиваю-
щей отрывающуюся область Б0. Значит, связность пространства нарушается вследствие возмущения 3-метрики та/3 —>• та/3 + б'Уа/з = 1, 2, 3). Локаль-
ное возмущение 3-метрики ведёт к изменению кривизны 3-пространства. В рамках общей теории относительности 3-пространство рассматривается как пространственно-подобное сечение пространства-времени. Поэтому следует исходить из возмущения 4-метрики дц~ ({,к = 0,1,2,3) пространства-времени, индуцирующего возмущение 3-метрики 7а/з 3-пространства. Согласно уравнениям Эйнштейна, исходной причиной возмущения метрики является появление дополнительного локального энергетического источника. Необходимые затраты энергии, влекущие нарушение связности 3-пространства, можно было бы легко подсчитать, если бы имелась формула, связывающая некоторую числовую характеристику связности пространства с кривизной этого пространства.
В случае замкнутого 3-пространства М3 такой числовой характеристикой является нульмерное число Бетти /30(М3) [3]. Необходимая же формула также имеется, правда, лишь для частного случая замкнутого ориентированного рима-нова 3-пространства М3 с метрикой 7а/з, допускающего регулярное единичное киллингово векторное поле £ [4]:
= 2/?о(м3) - /?1<м3) + *, (О
м3
где dо = 0 или 1 в зависимости от чётности или нечётности одномерного числа Бетти /?1 (М3); К(£±) - значение римановой кривизны в плоскости, ортогональной £; К(£) - значение римановой кривизны для любой плоскости, содержащей £ (отметим, что К(£) не зависит от выбора плоскости); с1ь — форма объёма; /(£) - длина интегральной траектории поля £ (она постоянна).
Осуществим отрывание области Б0 следующим образом. На 3-многообразии Мд зададим семейство римановых метрик 7а/з(£), £€[0,1], удовлетворяющее условиям:
а) 7<*/?(£) при 0<£<1/2 С*2-гладкое тензорное поле, а при £>1/2 оно имеет разрывы производных первого рода на границе дБ о замкнутой области Б0;
б) (стягивание дБ0 в точку а*) площадь <т4 границы дБ0, вычисленная в метрике 7а/з(£), стремится к нулю при £—>1/2 — 0, или, иначе,
и
dvt\дD = 0 при £>1/2,
где dvt — форма объёма в метрике та/з(£); dvs/dvt<l на М$, £<|<з;
в) пространство <Мд,7«/з(0)>, т.е. с метрикой 7«/з(0) является связным С*2-гладким римановым многообразием, а С^(М0\ Б0)\Ла*} и Б^Б0[Ла*} с метрикой та/з(£), £ > 1/2, и дополненные точкой а*, представляют собой (72-гладкие связные римановы замкнутые многообразия;
г) дуа/з/дп--, где п — нормаль к пространству <М^,7а/з(£)>, непрерывны;
д) 7ар(Ъ) = 7«/з(0) вне окрестности 0£ области Б0;
е) пространство <Мд, 7а/з(£)>, £>1/2 имеет неотрицательную кривизну;
ж) пространство <Мд,7а/3(£)>, £ е [0,1] допускает регулярное единичное киллингово поле
Последнее предположение самое неприятное, так как в ходе отрыва Д0 от Мд симметрия 3-пространства, по-видимому, может исчезнуть при приближении к критическому значению £=1/2. Но, понимая это, мы вынуждены вводить условие «ж» для того, чтобы иметь право пользоваться формулой (1). Отметим, что на необходимость допустить симметрии как средство хоть как-то продвинуться в решении поставленной нами задачи указывал автор работы [2].
Индексом £ будем помечать объекты, относящиеся к пространству <М03, 7а/з(£)>.
Для простоты будем считать, что всегда /51 = 0. Пространство <Мд, 7а/з(£)> при £<1/2 связно, и поэтому
//(6)^ = 4тг/(&), (2)
М03
где
№) = к(& + т&-
При 5 >1/2 пространство <Мд , 7а/з(з)> имеет уже две связные компоненты. Следовательно,
J= 4тг/(£'), J/(6Ж = 4тг/(£"), (3)
а а
где штрихи над различают поле на связных компонентах.
Из (2), (3) получаем
/{/««л - /«<)<ад = мю+<(?") - <(&)}■
о£
Естественно считать, что объем области Д0 мал по сравнению со всем пространством. Поэтому /(£') ~ /(6)> а 1(£") п0 порядку величины совпадает с
линейным размером А области _О0- Далее, в Ое для достаточно близких к 1/2 значений £, ^ dvs/dvt<l в силу «б». Но тогда благодаря условию «е» имеем
J{(ОЛУг > У~ 4тгА + J/(6)^, о£ о£ о£
т.е.
J~ 47гА, (4)
о£
где 6f = f(Q ~ /(6), точнее,
Вводя среднее значение величины £
(?)
Уі{Оє)
ё(1ц,
о£
где у^Ое) - объем области Ое в метрике 7а/з(£), перепишем (4) в следующем виде:
<£/> • уь(Ое) ~ 4тгА. (5)
Это соотношение говорит о том, что отрыв области Д0 сопровождается скачком кривизны 3-пространства. Так как для скалярной кривизны 3-пространства можно написать [5, с. 140].
?(3)
ДГ = 2{Х(^) + 2Х(6)},
то следует предположить
(№<:,>) ~ {<$/). Из уравнений Эйнштейна имеем [6, с. 157]
л<« + ^ ^
є(і),
(6)
(7)
где
К2,г = (Ка“)2 - Ка/3Ка^
и Ка/3 - тензор внешней кривизны пространственного сечения; е(Ь) — плотность энергии.
Благодаря условию «г», инвариант К2>1 = К2^(х), х Е М0, £ € [0,1] будет непрерывной функцией на М^х [0,1]. Следовательно, если 8К2 = К2>3 — К2^, то
(Ш-2) = [А'2,, - Л'2.1]|1,=1о((,) ^ 0.
^ ^ ^ +0
Поэтому для некоторых £0<1/2 и 1/2 < во величина {8К2} пренебрежимо мала, и тогда из (5), (6), (7) получаем
{5є)
с4 Л
4тгС Уіо(Оє)
или можно написать
(В)
где а — характерное сечение области Д0-Требуемая оценка получена1.
*В статье [7] оценка (3.32) выведена без предположения о компактности 3-пространства.
1.3. Учёт скачка внешней кривизны 3-пространства
Мы получили оценку (8) скачка энергии при условии г), означающего непрерывность внешней кривизны Ка/3 пространственно-подобной гиперповерхности. Величина (8е) обратно пропорциональна площади характерного сечения и отрываемой области _О0- Для уменьшения скачка плотности энергии необходимо отказаться от непрерывного изменения внешней кривизны 3-мерного пространства в процессе нарушения его связности [8].
Отметим, что тензор Ка/3 задаётся соотношением
Ка/З 6/3 ^ а 'П'}
в котором базисные вектора ер на гиперповерхности мы выбрали совпадающими с соответствующими базисными векторами в пространстве-времени, а временную координату х° зададим таким образом, чтобы вектор нормали п совпадал с е0. Такая система координат в 4-мерном пространстве-времени будет синхронной, а система координат на гиперповерхности - гауссовой нормальной (если мы дополнительно будет полагать д00 = 1). В этом случае
к _ 1 дЪф _ 1 д7а/з а/3 2 дп 2 дх°
Предполагаем, что при £ = 1/2 производная по времени от метрического тензора тар имеет разрыв первого рода. Это означает разрыв первого рода компонент тензора внешней кривизны.
Тогда из уравнения (7) имеем:
{№<3>} + (6К2) = ^ <&}. (9)
Из (5), (6) следует, что
<№':,)) ~ . (10) О
Таким образом, можно надеяться снизить затраты на скачок энергии для разрыва пространства, если принять, что скачок внешней кривизны равен
{8К2} ~ —
о
или, что равносильно,
(г(тЙ)~^- (11)
Отметим, что внешняя кривизна имеет значение не только в момент разрыва двух областей пространственно-подобной гиперповерхности, но и при стягивании границы области Д0 в точку. Внешняя кривизна, по своей сути, определяет характер вложения гиперповерхности в объемлющее пространство. Поэтому стягивание границы отрываемой области в точку а*, несомненно влекущее непрерывную деформацию гиперповерхности, соответствует изменению внешней кривизны пространства М3.
2. Топологическое описание образования 4-мерной кротовой норы
До сих пор основные результаты о нарушении связности пространственноподобной гиперповерхности касались физической стороны вопроса. Давайте посмотрим на это явление с топологической точки зрения. Покажем, как реализуется разрыв некоторой области на две области.
Разрыв будем осуществлять за счёт рассмотрения семейства изменяющихся топологий на одном и том же множестве М.
Но прежде напомним полезное для наших целей определение топологии.
2.1. Топология и её задание
Если дано множество точек, то можно задать вопрос о форме, которую
это множество имеет. В современной математике слово «форма» заменяется на слово «топология».
Топология (форма) множества М зависит от того, как для каждой точки задаётся то, что называется её окрестностями. Окрестность 11х точки х - это перечень тех других точек множества М, которые объявляются близкими к точке X.
Топология на множестве М - это семейство Т = {{Щ)а&Ах ■ х Е М}
окрестностей точек множества М, удовлетворяющих двум условиям:
a) для любых х Е М и а Е Ах х Е Щ\
b) для любых [/", Щ' существует Щ" С 11® П иха'.
На одном и том же множестве М можно задать разные топологии, переопределяя то, что считать близким к той или иной точке. В результате форма (топология) у одного и того же множества может меняться самым кардинальным образом. Например, множество может иметь форму отрезка прямой, а может быть парой отрезков. Как это может быть сделано, показано в § 2.2.
2.2. Нарушения связности отрезка
Для начала разорвём отрезок [0,1] на два: [0,1/2] и [1/2,1], при этом единственная на отрезке [0,1] точка 1/2 раздваивается.
На отрезке [0,1] определим параметрическое семейство функций /*(#), I Е [0,1], такое, что для любого х Е [0,1]
/о И = 1, Ь(х) = 2\х- 1/2|,
а при I Е (0,1) семейство функций /4 представляет непрерывную деформацию функции /0 в функцию /ь причём все /*(#) (Ь < 1) непрерывны вместе с первыми производными. Единственной функцией, производная которой имеет разрыв первого рода в точке
Рис. 3. Функции /((.х)
х = 1/2, является /1(гг) (рис. 3). Более того, для любого I
/<(1) = Л(1) = 1.
Рассмотрим топологическое подпространство
Г* = {(х, &(х), Д(х - 0), (х,&(х),Д(х + 0)}
с индуцированной топологией трехмерного арифметического пространства И3, где /4(^±0) = Ит /*(с). Две точки (а,Ь,а) и (с, с?,/5) пространства Г4 назовём
г—кт±0
эквивалентными тогда и только тогда, когда
у У (^0
а)
Г8 (Кв)
<1)
Рис. 4. а) пространство Го - отрезок; Ь) пространство Г( при 0 < I < 1 - это кривая ж —> (ж,/((ж),//(ж)), гомеоморфная отрезку [0,1]; с) пространство Гя при 1 < в < 1 - это кривая ж —>• (ж,/я(ж),/я(ж)), гомеоморфная отрезку [0,1]; (1) пространство (справа) - это два отрезка; несвязно и гомеоморфно паре отрезков [0,1] П [2,3]
1) а = с;
2) Ъ = й;
3) а = Ит Д(х) = Ит /'(ж) = /3.
ж—0 ж—>с+0
Профакторизуем пространство Г4 по введённому отношению эквивалентности ~. Получаем фактор-пространство Г4/^.
Нетрудно увидеть, что это фактор-пространство при I < 1 гомеоморфно отрезку [0,1], а при 1=1 несвязному пространству [0,1] и [2,3]. Удобно последнее
несвязное пространство обозначить как 1\/^ = [0,(1 /2)_] и [(1/2)+,1]. Итак, мы определили семейство топологических пространств {(Г*/^,7*)}, где 7* рассмотренная фактор-топология на Г*/ При этом, если Ь ф 1, то [0,1],
а Г^ = [0, (1/2)_] и [(1/2)+, 1], и справедливы соотношения [0, (1 /2)_] « [0,1] И [(1/2)+, 1] [0,1]. Таким образом, мы рассмотрели разрыв отрезка на два с
топологической точки зрения.
2.3. Нарушение связности для сфер
Деление сферы б'2. Разрыв сферы б'2 проведём по аналогии с представленными выше результатами. Введём линейное отображение /1(6) : [—7г/2,+7г/2] —> [0,1] такое, что ц{—п/2) = 0,^(0) = 1/2,/л(7г/2) = 1. Далее, на сфере зададим семейство функций /*(0,<^) (здесь в е [—7г/2,+7г/2], <р е [0,27г]) такое, что
1) №<р) = меу,
2) Ь(6) = 1г(х),х = где /*(ж) определена в предыдущем параграфе.
Рассмотрим множество пар
г, = {«р.в),т. - о», «<?,е),т,У±(в+о»}.
Тогда точки А и В множества Т1:, такие что А = ((а, Ъ),а,и) и В = ((с, ё), /3, у), назовём эквивалентными тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:
во-первых,
1) а = с, Ь = с1;
2) а = /3;
3)ь= Ит Щр- = Ит = и;
в-^Ь-0 ив в-^Ь+О ив
во-вторых,
1) 6 = ^ = 0;
2) а = /3;
3) V = Ит Щр- = Ит = и и Ит Щр- ф Ит
в-^о-о ив в-^о-о ив в-^о-о ив е^о+о ив
или, в-третьих,
1) Ъ = <1 = 0;
2) а = /3;
3) V = Ит = Ит = и и Ит Щр- ф Ит Щр-
е^о+о ии е^о+о йо в-^о-о ии е^о+о йо
Два последних условия эквивалентности отождествляют все точки экватора в = 0 - стягивают экватор в точку. Причём экватор раздваивается в зависимости от того в —> 0 + 0 (верхний берег экватора, рис. 5) или в —> 0 — 0 (нижний берег экватора, рис. 5). Поэтому при стягивании появляются две точки, и, следовательно, сфера делится на две разные сферы (рис. 5).
Таким образом, мы определили семейства топологических пространств
Нетрудно понять, что при і ф 1 (Г*/^,7*) ~ Б2, а при і = 1 (Гі/^,7*) ~
Б2 и Б2, т.е. две сферы (рис. 5).
Деление сферы 53. Разрыв осуществляется аналогично разрыву двумерной сферы Б3. На экваторе для стягивании экваториальной 2-сферы в точку углы ір и в берутся любыми, а третья угловая координата \ выполняет роль в.
9= я/2
Рис. 5. Рождение 4-мерной кротовой норы в пространстве с топологией Б'2. Пространство
теряет связность; образуются две сферы
3. Топологическое описание образования 3-мерной кротовой норы
Аналогично процессу нарушения связности, означающего рождение 4-мерной кротовой норы за счёт изменения топологии на множестве М, описанному в предыдущем параграфе, можно таким же образом описать возникновение 3-мерной кротовой норы в пространстве.
3.1. Нарушение односвязности И2
Начнём в качестве примера с описания рождения 2-мерной кротовой норы у 2-мерной плоскости.
На отрезке [0,1] определим параметрическое семейство функций к^х), I Е [0,1] такое, что для любого х € [0,1] Ь0(х) = 1, Л.4(0) = Л.4(1) = 1, и при I е (0,1) семейство функций представляет непрерывную деформацию функции Л,0 в функцию Н\, причём все Ы(х) непрерывны вместе с первыми производными. Единственной функцией, производная которой имеет разрывы первого в точках
Рис. 6. Переход к неодносвязной поверхности за счёт разрезов по отрезкам АВ, А'В' и склеивания «левого берега» (минусы) отрезка АВ с «правым берегом» отрезка А'В' (плюсы) и склеивания «правого берега» (плюсы) отрезка АВ с «левым берегом» отрезка А'В' (плюсы). Получается плоскость с приклеенной 2-ручкой (2-мерная кротовая нора)
х = 1/3 и х = 2/3, является Н^х). Наконец, пусть (рис. 6)
Ит =—1, Ит h\(z) =+1
*->■1/3-0 *^1/3+0
Ит = — 1, Ит = +1.
*—>2/3—0 *—>2/3+0
Рассмотрим топологическое подпространство
Г* = {((х,у),Ы(х),К(х - 0)), ((х',у'),Ы(хОЖОг' + О))}
с индуцированной топологией 4-мерного арифметического пространства И4, где ± 0) = Ит /^(л). Две точки ((х,у),а,а) и ((х1, у1), Ъ, (3) пространства Г*
*—>.т±0
назовём эквивалентными, тогда и только тогда, когда, во-первых,
!) (х,у) = (х',у'У,
2) а = 6;
3) Ит /^(~) = Ит /^(л).
*—>3’—0 *—>.т'+0
и, во-вторых, если
1) X = 1/3,х1 = 2/3, -1 <у< 1;
2) а = 6;
3) ( Ит = —1 & Ит КЬ) = +1) или
*-►1/3-0 *—>2/3+0
( lim h'Az) = +1 & lim h'Az) = —1).
*->■1/3+0 *—>2/3—0
Профакторизуем пространство Г4 по введённому отношению эквивалентности ~ . Получаем фактор-пространство Yt/^. Нетрудно увидеть, что это фактор-пространство при t < 1 гомеоморфно плоскости IR2, а при t = 1 неодносвязной поверхности с 2-мерной ручкой, которую физики называют 2-мерной кротовой норой.
Таким образом, мы рассмотрели процесс образования 2-мерной кротовой норы.
з.2. Нарушение односвязности IR3
Рассмотрим параметрическое семейство функций st(r), t G [0,1], г G [0, +оо), такое, что для любого г G [0,+оо)
s0(r) = 1, st(0) = 1, lim st(r) = 1
и при r G (0, +оо) семейство функций st представляет непрерывную деформацию функции So в функцию Si, причём все St(x) непрерывны вместе с первыми производными. Единственной функцией, производная которой имеет разрыв первого в точке г = 1 является si (ж). Наконец, пусть (рис. 7)
lim Si (г) = — 1, lim Si (г) = +1.
г—>1—0 г—>1+0
Используем цилиндрическую систему координат в пространстве IR3.
Пусть Z = {(г, р, z) : г = 1, 0 < р < 2п, 0 < z < 1} - цилиндр (рис.8).
Рассмотрим топологическое подпространство Г* = {(r,p,z),st(r),s't(r ± 0)} с индуцированной топологией пятимерного арифметического пространства IR5, где s't(r ± 0) = lim s't(p).
/э—>r±0
Две точки ((r,p,z),a,a) и ((r;, <р', z1), Ъ, j3) пространства Tt назовём эквивалентными тогда и только тогда, когда, во-первых,
1) (r,<p,z) = (г', <р', z');
2) a = b;
3) lim s't(p) = lim sj (р);
/э—>r—О /э—>r+0
и, во-вторых, если
1) г = 1, р1 = р + 2тг, z' = z (0 < z, z' < 1);
2) a = b;
3) (a = [3 = lim sj(p) = -1);
/Э—>1—0
и, в-третьих,
1) r = 1, p1 = p + 2тг, z' = z (0 < z, z' < 1);
2) a = b;
3) (a = (3 = ^limQs't(p) = +1).
Профакторизуем пространство Г* по введённому отношению эквивалентности ~. Получаем фактор-пространство Г4/^. Нетрудно увидеть, что это фактор-пространство при t < 1 гомеоморфно плоскости IR3, а при t = 1 неодносвязному
Рис. 8. Переход к неодносвязному З-многообразию за счёт разреза по цилиндру Z = {(г,<р,х) : г = 1,0 < <р < 27г,0 < х < 1} и склеивания «внешнего берега» по диаметрально противоположным точкам ((1 ,<р,г) с (1, <р + тг, х)) и «внутреннего берега» по диаметрально противоположным точкам. Окружности С\ и С2 каждая стягивается в точку; при этом полусферы Б'2 и Б'2 перестраиваются в сферы, к которым приклеен 3-мерный цилиндр й'2 х [0,1], получаемый из цилиндра Z при факторизации по отношению эквивалентности Как результат, имеем З-многообразие с приклеенной З-ручкой (З-мерной кротовой норой)
некомпактному 3-многообразию с 3-мерной ручкой, которую физики называют 3-мерной кротовой норой.
Изменение геометрии. Зададим семейство римановых метрик,
ей2 = А2(г, z)[dr2 + dz2] + г2[Б4(г, z)]~2dLp2,
отражающих изменение геометрии по мере изменения топологии, где функции Аг,Вг выбираются так, что, во-первых, при t < 1 они (72-гладкие, и, во-вторых, при t = 1 имеем: Ит А+ Ф Ит А, Ит В+ Ф Ит В+ при 0 < л < 1 и
г—>1+0 г—>1—0 г—>1+0 г—>1—0
^4^ (1, с) [-В*(1, с) ] —> 0 при I —> 1
с = 0,1.
Последнее условие — это геометрическое отражение условия стягивания
окружностей С\,С2 в точку, при котором их длина должна стремиться к нулю.
Литература
1. Гуц А.К. Космический корабль, разрушающий пространство? // Техника молодежи. 1983. №11. С. 14-16.
2. Yodzis P. Lorentz cobordisms // Gen. Relat. and Gravit. 1973. V.4. P.299.
3. Спеньер Э. Алгебраическая топология. М. : Мир, 1971.
4. Reventos A. On the Gauss-Bonnet formula on the odd-dimensional manifolds // Tohoku Math. J. 1979. V.31, N.2. P.165-178.
5. Эйнзерхарт Л.П. Риманова геометрия. М. : ИЛ, 1948.
6. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. Т. 2. М. : Мир, 1977.
7. Гуц А.К. Нарушение связности физического пространства // Известия вузов. Физика. 1983. № 8. С. 3-6.
8. Палешева Е.В. Внешняя кривизна 3-мерного пространства и энергетические затраты, необходимые для образования 4-мерной кротовой норы // Математические структуры и моделирование. 2005. Вып. 15. С.89-96
