СЕМЕЙСТВО $\bm{\Omega}$-ОБРАЗНЫХ КРИВЫХ, МОДЕЛИРУЮЩЕЕ ОТДЕЛЕНИЕ СФЕРЫ $S^1$ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические структуры и моделирование 2009, вып. 20, с. 74-77

УДК 530.12:531.51

СЕМЕЙСТВО ^-образных кривых, МОДЕЛИРУЮЩЕЕ ОТДЕЛЕНИЕ СФЕРЫ S1

Е.В. Палешева

В работе приводится построение семейства П-образных С 1-кривых, с помощью которых можно построить модель отделения от кривой второго порядка сферы Б1. Каждая кривая образована склеиванием окружности с гиперболой. В точках склеивания вторая производная терпит разрыв.

Введение

Ранее в работах [1-4] была предложена процедура создания 4-мерной кротовой норы. Для этого необходимо произвести разрыв замкнутого 3-мерного пространства на два куска, 4-мерное пространство-время становится 2-связным. В [5] было проведено исследование вопроса, связанного с образованием в пространстве-времени 4-мерной ручки (кротовой норы) с топологической точки зрения. Так как до сих пор не были получены решения уравнений Эйнштейна, содержащие 4-мерные кротовые норы, мы попытаемся восполнить этот пробел. В данной работе приводится семейство кривых, с помощью которого можно построить модель разрыва одномерного пространства на два несвязных куска. На завершающем этапе будет получена прямая, склеенная с окружностью в одной точке. При этом первоначальной кривой является прямая линия. Указанное семейство мы назовем П-образным, На этапе построения П-образного семейства приводится семейство ^-кривых, в дальнейшем будем их использовать для моделирования аналогичного разрыва 2-мерных и 3-мерных пространств, на которых определим метрический тензор. Для построения семейства П-образных кривых произведем склейку гиперболы и окружности в заданной области.

1. Семейства гипербол и касательных окружностей

Рассмотрим кривую второго порядка С(Х,^; х, у) = 0, у > 0, где

Нетрудно проверить, что данная кривая является гиперболой. Ее асимптоты представлены уравнениями y = 0, y = 2^/Л(^2 — 1), фокальная ось задается

Copyright (с

Омский государственный университет.

E-mail: palesheva@cmm.univer. omsk. su

G^, x, y) = (Л2 — ^2)y2 + 2Лдоу — Л4.

(1)

Математические структуры и моделирование. 2009. Вып. 20.

75

соотношением у = Ах//1, а точка ее пересечения с кривой имеет координаты (Л/х/^А2 + /х2, Л2/л/Х2 + ^2). Следует заметить, что данная гипербола может быть также представлена как хдм (у) однозначным образом для любого у > 0 :

Л4 — (Л2 — ^2)у2 ,

Хл"<!/) =-------2//Лу------' !/ =• °' (2)

При этом в точке ц2 — А2//л, Л2/л] ц2 — А2) кривая х\ц(у) имеет минимум при условии Л < ^ и значение указанной функции в данной точке наименьшее. Других экстремумов функция (2) не имеет.

Рассмотрим окружность 51(Л, ^, V; х, у) = 0, где

С1П ч 2 . ( № + Л2)2;/4 - ЛЛ /о)

Б-1(Хф,и;х,у) = х + I у-------------4^2Д2^з---- I - (3)

(Л4 + (/х2 - Л2)//2)2 (V ~ Л2)2/у4 ~ Д8)

4/х2Л2//2 16/14А4и6

Элементарными вычислениями проверяется, что данная окружность является касательной к рассмотренной гиперболе в точке М^ = (хдм(V)^). Следует также заметить, что в точке пересечения гиперболы со своей фокальной осью касательная окружность принимает вид: х2 + у2 = Л2.

2. Семейство П-образных кривых

Вначале построим семейство кривых, которые будем называть ^-кривыми, оно будет определено при х > 0, у > 0. В дальнейшем семейство двумерных поверхностей, моделирующее отрыв сферы 52 от плоскости, можно получить вращением соответствующих ^-кривых вокруг оси ОУ.

2.1. Построение ^-кривых

Определим функцию ^(Л,^^; х, у) по следующему правилу:

/л ч Г С(Л,я; х, у), если 0 < у < V, ,

^(Л,п^; х, у) = < о1\Л ч (4)

[ Б^Л,^^; х, у), если у > V. 4

Здесь С(Л,^; х, у) и Б 1(Л,^, V; х, у) функции (1) и (3) соответственно. При этом

х > 0. Тогда неявная функция ^(Л,^^; х, у) = 0 определит ^-кривую при

фиксированных параметрах Л, ^ и V. При условии Л,^, V > 0 и х,у > 0 данные

кривые непрерывны по построению вместе со своими первыми производными.

Вторая производная в точке склеивания является разрывной. Вид приведенной

кривой при ^ = 0 получаем предельным переходом. Если ^ ^ 0, то функция

^(Л, ^, V; х, у) = 0 вырождается в прямую у = Л.

Построение семейства кривых, с помощью которых в дальнейшем можно по-

Б2

проводитея путем изменения параметров ^, Л, V в три этапа.

76

Е.В. Палешева. Семейство ft-образных кривых.

(1) Выдавливание полуокружности из прямой. Положим Л = Л0 > 0 и

v = Aq/\/Aq + } т.е. окружность1 и гипербола касаются друг друга в точ-

ке, лежащей на фокальной оси гиперболы. Уравнение кривой принимает вид

и! А0,/х, — ;х,у ) = О, II е[ 0,/xi]. (5)

V V А0 + /

Параметр ц меняем от /i0 = 0 (график соответствует прямой) до значения /I = fii > А0, при котором v = Aq/y^Aq + ц\.

(2) Образование «перемычки». Увеличиваем v от = Aq/^Aq + до V2 =

при постоянных А = Ао и ^ = ^. На этом этапе центр окружности смещается вверх по оси OY. Радиус окружности сначала уменьшается до значения AovVi — ^о//Л (которое соответствует касанию в точке экстремума), а затем увеличивается. При этом точка касания лежит выше точки экстремума, таким образом образуется перемычка. Конечное значение v2 в два раза больше ординаты точки экстремума гиперболы2, Кривая имеет вил

и (Ао, ^i, v; x,y) = 0, v е [vi, V2]. (6)

(3) Стягивание «перемычки» в точку. Уменьшаем А от Ао до А1 = 0 при

ц = а также и = 2А2/— А2. Радиус окружности и абсцисса точки

Л1 = 0

( 2Л2 \

и ( А, /11, —^=^===; ж, у \ = О, А е [А0, А1]. (7)

Осуществляя предельный переход кривой (7) при Л ^ 0 получим

у = 0, если у = 0,

ж2+(^“М^1) = Ш^1) > если у > 0.

х > 0.

пость, склеенная с полупрямой у = 0 в точке с координатами (0, 0).

2.2. Построение ^-образных кривых

х < 0,

С(Л,^; х, у), если 0 <у < V и х > 0,

П(Л,^^; х, у )=^ Б ^Л,^^; х, у), если у > V,

С(Л,^; —х,у), если 0 <у < ^их< 0.

1На этом этапе окружность описывается уравнением х2 + у2 = А2.

2 В качестве ^2 можно выбрать любую величину больше ординаты точки экстремума.

П

ричное продолжение построенного в предыдущем параграфе семейства ^-кри-вых па область х < 0. При этом все этапы изменения параметров Л, ^ и V остаются без изменения,

П

у=Л>0

пенно выдавливается с образованием «перемычки» окружность, В результате получается окружность

склеенная с прямой у = 0 в точке с координатами (0, 0). Теперь останется только оторвать окружность от данной прямой.

Заключение

В данной статье нами было построено семейство П-образных С 1-гладких кри-

Б1

в точку, но отрыв полученной окружности от прямой мы не производили. Полученное в данной работе семейство С ^гладких ^-кривых можно применить для построения поверхностей, моделирующих отрыв сферы соответствующей размерности. Необходимо только предварительно выполнить вращение вокруг заданной оси. Впоследствии на данных поверхностях можно также определить метрический тензор.

1. Гуц, А.К. Изменение топологии физического пространства в замкнутой вселенной / А.К. Гуц // Известия вузов. Физика. - 1982. N. 5. - С. 23-26.

2. Гуц, А.К. Нарушение связности физического пространства / А.К. Гуц // Известия вузов. Физика. - 1983. N. 8. - С. 3-6.

3. Гуц, А.К. Теория машины времени / А.К. Гуц //В сб.: Фундаментальная и прикладная математика. - Омск: изд-во ОмГУ, 1994. С. 57-66.

4. Гуц, А.К. Элементы теории времени / А.К. Гуц. - Омск: изд-во Наследие. Диалог-Сибирь, 2004. 364 с.

5. Гуц, А.К. Машина времени, разрывы пространства и 4-мерные кротовые норы / А.К. Гуц, Е.В. Палешева // Вестник Красноярского государственного университета. Физико-математические науки. - 2005. - N. 7. - С. 138-142.

Литература