Внешняя кривизна 3-мерного пространства и энергетические затраты,необходимые для образования 4-мерной кротовой норы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические структуры и моделирование 2005, вып. 15, с. 92-101

УДК 530.12:531.51

ВНЕШНЯЯ КРИВИЗНА 3-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ЗАТРАТЫ, НЕОБХОДИМЫЕ ДЛЯ ОБРАЗОВАНИЯ 4-МЕРНОЙ

КРОТОВОЙ НОРЫ

Е.В. Палешева

В работе исследуется возможность уменьшения затрат энергии, необходимых для образования 4-мерной кротовой норы. Соответствующее изменение скачка плотности энергии может быть достигнуто, только если внешняя кривизна 3-мерного пространства не удовлетворяет условию непрерывности.

В последние годы наблюдается увеличение числа работ, связанных с существованием времениподобных замкнутых гладких кривых. К настоящему моменту можно уже говорить о нескольких типах 4-мерных пространств, допускающих машину времени. К таким пространствам относятся, например, пространства гёделевского типа — решения, описывающие вращающуюся вселенную. Если в таком пространстве-времени существуют временные петли, то это изначальное свойство 4-мерной геометрии. К другому типу 4-мерных пространств, которые, как считают некоторые авторы, допускают еще один вариант машины времени, относятся 4-мерные пространства с 3-мерной кротовой норой. В такой модели, по предположению Кипа Торна, временная петля появляется за счет механического движения одного из концов кротовой норы, причем време-ниподобные замкнутые гладкие кривые изначально могут и не существовать в данном пространстве-времени. Впрочем, если следовать результатам, представленным в [3-6], в работе Торна имеются некоторые неточности, и поэтому предложенная им модель в действительности не может описывать машину времени. Но в некоторых 4-мерных пространствах с 3-мерной кротовой норой временные петли являются свойством 4-мерной геометрии, и вот в таких пространствах машина времени уже будет реальностью, а не ошибочным домыслом, как и в метриках гёделевского типа. Следует также отметить, что исследования, касающиеся решений с машиной времени, проводятся не только в рамках классической теории относительности, но и в теории суперструн, а также в квантовой теории поля. Кроме всего вышесказанного, следует упоминуть как о машине времени в

Copyright © 2005 Е.В. Палешева. Омский государственный университет. E-mail: palesheva@univer. omsk. su

Математические структуры и моделирование. 2005. Вып. 15.

93

пространствах с 4-мерной кротовой норой, так и о машине времени в 5-мерном пространстве-времени, допускающем пружинные слои. Основные результаты, касающиеся этих моделей, можно найти в [1-3]. В данных работах, например, рассматривался процесс рождения 4-мерной кротовой норы. Было замечено, что в этом случае 3-мерное пространство постепенно «разрывается» на два куска. Другими словами, рождение 4-мерной кротовой норы можно рассматривать как процесс, в ходе которого связное 3-мерное пространство становится несвязным. Последнее, в свою очередь, осуществляется как стягивание границы отрываемой области в точку, после чего 3-мерное пространство «разрывается» на две связные области. Такой подход позволил автору работ [1-3] рассчитать средний скачок плотности энергии в отрываемой области. Данная величина оказалась обратно пропорциональна площади характерного сечения отрываемой области. Впрочем, при этом предполагалась непрерывность внешней кривизны 3-мерного пространства. В данной работе мы попробуем отказаться от последнего условия, возможно, это позволит нам уменьшить скачок плотности энергии. Учитывая, что нам придется использовать такие понятия, как внешняя кривизна, мы, следуя работе [7], приведем вывод уравнений Гаусса-Кодацци и их следствий1.

1. Уравнения Гаусса-Кодацци

Рассмотрим пространственноподобную гиперповерхность, метрический тензор которой будем определять выражением

7сД

. 90а90(3

9а/3 н---------

9оо

(1)

В качестве сигнатуры 4-мерного пространства-времени выберем Заметим также, что если справедливо соотношение (1), то

ry<*P = —даР

(2)

На выбранной гиперповерхности зададим систему координат (е1, е2, е3), такую, что еа также являются базисными векторами 4-мерного пространства-времени. Для удобства вычислений будем предполагать, что вектор нормали к гиперповерхности соответствует вектору е°. Такая система координат является синхронной, т.е.

goo = 1, доа = о,

и соответствует гауссовой нормальной системе координат на выбранной пространственноподобной гиперповерхности.

1Дело в том, что в работе Мизнера, Торна и Уиллера используется сигнатура (—, +, +, +), отличная от используемой в этой статье (+, —, —, —и кроме того, расщепление пространства-времени также отлично от применяемого нами. Поэтому нам приходится заново повторить вывод уравнений Гаусса-Кодацци.

94

Е.В. Палешева Внешняя кривизна 3-мерного пространства...

В произвольной системе отсчета ковариантная производная вектора нормали п связана с базисными векторами на гиперповерхности следующим образом:

VQn = -Карер, (3)

Van = -Крер, (4)

где величина Кар называется тензором внешней кривизны данной гиперповерхности. Тогда, в силу соотношений (1) и (2),

К-а(3 Є(3 * ^оТ) (5)

к£ = /'•/!„,„ (6)

где — компоненты метрического тензора пространства-времени.

Продолжая следовать результатам работы [7], а также учитывая синхронность системы отсчета, мы можем записать уравнения Гаусса-Вайнгартена:

(4)Vaep = Kap-n+^afSe^ (7)

Здесь — символы Кристоффеля на гиперповерхности. В дальнейшем вме-

сто V будем писать V.

Для вычисления компонент 4-мерного тензора Римана воспользуемся оператором кривизны (см. [8]):

R(a, Ь) = [Va, Vb] - V[a,b] •

Как известно,

Иа/З^/ё & а * В(бу, еДе^

И

рек

nf3-/6

= еа • R(e7, е$)ер.

Итак, вычислим Так как для любых а и /3 величина2

[еа, ер] = ^Vaep - ^Vpea = ^Tkapek - {i)Tkpaek

равна нулю, то

R(^cn 7 ft & 7 ^/З^ск 5^7

и в силу уравнений Гаусса-Вайнгартена мы имеем:

R(e«, Є/з)е7 = Va (Кfan + (3)іДем) - V р (KarjU + (3)Щем) . (8)

Применяя ковариантное дифференцирование в уравнении (8) и учитывая соотношения (3), мы получим

R(ecn е^)е7 = (К/з7д — Ка1\п + (Ка1Кр — (9)

2 Здесь е/с вектора 4-мерного базиса.

Математические структуры и моделирование. 2005. Вып. 15.

95

где

_ _(3)p/j 7р _(3)р^ тр

л/?7|а — ^ а 1 1 а/3Л7^

Далее, применяя выражение (9) и соотношения

(4)Я%? = e°R(eae^)e7,

(4)Д7«/3 = e^R(eae/3)e7, находим уравнения Гаусса-Кодацци:

^ ^7a(3 ~ ~ Ka~f\(3i

(4) tdI1 — ts tsL1 _ К* К V + (3) І?М ^ ^сгу^/З ' /г7ск/3*

(10)

2. Скалярная кривизна

Для того чтобы получить соотношение, определяющее скалярную кривизну пространства-времени через внешнюю и скалярную кривизны 3-мерного пространства, одних только уравнений Гаусса-Кодацци недостаточно. Необходимо еще найти выражение, определяющее величину Для этого воспользуемся

равенством

(4)Д°0/3 = (4)Я07о/з = (4)iW), выполненным в нашем случае. Так как

(4)Дею7о = Є/3 • R(e7, п)п,

ТО

(4)Д70/з = ер • R(e7,n)n.

Найдем действие оператора R(e7,n) на вектор нормали. По определению оператора кривизны получаем:

Н(е7, Ті)/! V7 VnTL Vп V7?Г V[е7,гг] • (11)

В силу того, что [е7,гг] = 0, а также = 0, уравнение (11) равносильно

следующему:

R(e7,n)n = —VriV7n. (12)

Учитывая связь (4) между производной нормали и тензором внешней кривизны, преобразуем выражение (12) к следующему виду:

R(e7, n)n = УДіГДеД. (13)

После ковариантного дифференцирования уравнение (13) преобразуется в

dKf

дх°

R(e7, n)n

Т V72 Єд.

(14)

96

Е.В. Палешева Внешняя кривизна 3-мерного пространства...

Далее, так как [гг, е7] = 0, то справедливо соотношение

Vne7 — V7n = О,

учитывая которое перепишем (14):

дК»

R(e7, п)п = + К * V^n. (15)

Применяя вновь в уравнении (15) равенство (4), окончательно получим, что

дК»

R(e7, n)n KfK” е„. (16)

В результате, домножив скалярно соотношение (16) на вектор ещ будем иметь:

дк»

(1)я% = 9ft. - KfKfr. (17)

Так как

Kf = g»aKia,

то соотношение (17) равносильно следующему:

(4) 7?0 __ + По7

До/з — 9/Зц qxq Kia + л7 Кізц. (18)

Учитывая равенство (см. [8])

Qg[lQL

дх°

= 2 К^а

и меняя порядок суммирования, приведем выражение (18) к виду

14,К>е = к„,л:

РГ-1

dKjl

дх°

(19)

Далее, используя уравнения Гаусса-Кодацци и соотношение (19), мы можем ВЫЧИСЛИТЬ величину Ryp. В силу того, что

(4) О „ — (4) с>к -0-7/3 — XL^kf3

— (4) Е>0 I (4) D/1

— -Т

7/7/3’

получаем:

^К.ф = К^К* + ^ + К„щ - ке,к; +(3)Й'/„Я.

Так как

КрцК* =

и Кц^ = К1Ц, то равенство (20) эквивалентно выражению

дК^р

WR,0 = 2КпК£ +

7" » т дх°

KfrKf +(3,я7„.

(20)

(21)

Математические структуры и моделирование. 2005. Вып. 15.

97

Для получения соотношения, определяющего скалярную кривизну пространства-времени через скалярную кривизну и внешнюю кривизну 3-мерного пространства, осталось вычислить компоненту Поскольку

<4)Яоо=(4,Я°тоо+,4>Дго.

найдем сначала ^4^і?°000. Но так как

(4)i?°ooo = e°-R(n,nK

а

В(?Г, Ті) Ті VпVnTl V72V72Ті V[т2,гг] О?

то (4)^°000 =

Для получения уравнения, определяющего компоненту воспользу-

емся равенством

(4)Д 000 = ^-11 (еа,п)п.

Применяя формулу (16), будем иметь:

, ч як V 8К т

(4) DM _ ____а_ _ /Т 1У 1{ /' — __OL_ _ ту'

Л°а° Qx0 Х(Л П// Qx0 Х п // Х ’

Таким образом получаем:

як »

(4) DM _ _____М_ _ 7^ К^и

°м° _ (9т° ///у •

В результате находим следующее соотношение:

дк»

^Roo = ^t-K^K^. (22)

Учитывая (22) и (21), получим выражение для скалярной кривизны пространства-времени, определяемой в нашем случае соотношением

^і? = (4)і?оо + Л/3(4)^7/з- (23)

Вводя обозначение

К = К£

и используя равенства

д^К^К» = д^К^К = К2,

после подстановки в уравнение (23) компонент и ^ Щд получим выраже-

ние

<4|Я = Ц + - К2 + (3)R. (24)

С помощью соотношений К = Ки

98

Е.В. Палешева Внешняя кривизна 3-мерного пространства...

Рис. 1. Процесс рождения 4-мерной кротовой норы как разрыв связности 3-мерного

пространства.

нетрудно проверить справедливость равенства

ЯФкЛ = Ц -

подставляя которое в уравнение (24) получим искомое выражение для скалярной кривизны:

(4)і? = 2^ - - К2 - (3)Д. (25)

3. Скачок плотности энергии

Как известно, плотность энергии є = Т® определяется уравнением

К7?=(4,Д?-ІД. (26)

Так как в выбранной нами системе отсчета справедливо равенство Rq = Rqo, то, подставляя в уравнение (26) соотношения (22) и (25), мы получим:

ке = {3)R + К2 - К^К^. (27)

Нетрудно видеть, что, хотя в выражение для скалярной кривизны входит производная

дК дх° ’

а следовательно, и вторые производные по времени от дар, соответствующие компоненты отсутствуют в уравнении, определяющем плотность энергии.

Следуя работе [3] вычислим скачок плотности энергии в момент образования 4-мерной кротовой норы. Данный процесс можно рассматривать как отрыв

Математические структуры и моделирование. 2005. Вып. 15.

99

от 3-мерного пространства М0 области D0 (см. рис. 1). Последнее определяется как стягивание границы области D0 в точку. Для соответствующего изменения связности 3-мерного пространства в [3] рассматривается семейство римановых метрик уt Є [ОД], заданных на пространстве М0. При этом параметр t не обязательно совпадает с координатой времени. Предполагалось, что данное семейство метрик удовлетворяет следующим условиям:

1) 7сд(Д ПРИ 0 < t < 1/2 поле класса СД а при t > 1/2 на границе dD0 имеет разрывы производных первого рода;

2) дуа(з/дп непрерывны;

3) 7ад(Д = 7сд(0) вне ^-окрестности области Dy

4) пространство (Мо,7ад(£)) при t > 1/2 имеет неотрицательную кривизну;

5) пространство (М0,7ад(£)) при t Є [0,1] допускает регулярное единичное киллингово поле

Нетрудно заметить, что непрерывность производных дуар/дп в выбранной системе отсчета соответствует непрерывности первых производных по времени от дщз, а значит и непрерывности тензора внешней кривизны Кар. Поэтому в процессе вычисления скачка плотности энергии при переходе через точку t = 1/2 с данным условием все слагаемые, содержащие компоненты тензора внешней кривизны, аннулируются. В результате в [3] показано, что при данных условиях

(&> ~ ~,

а

в силу полученного соотношения

(5{3)R) - 1. (28)

а

Справедливость результата (28) вынуждает нас отказаться от непрерывности тензора внешней кривизны, если мы хотим уменьшить скачок плотности энергии. Поэтому мы рассматриваем семейство метрик, удовлетворяющих условиям: 1 2 3 4

1) 7сд(Д при 0 < t < 1/2 поле класса СД при t > 1/2 на границе dD0 имеет разрывы производных первого рода;

2) 7ap(t) = 7сд(0) вне ^-окрестности области Dy

3) пространство (M0^yap{t)) при t > 1/2 имеет неотрицательную кривизну;

4) пространство (M0^ya^{t)) при t Є [0,1] допускает регулярное единичное киллингово поле

100

Е.В. Палешева Внешняя кривизна 3-мерного пространства...

В результате, так как

А'2 - А*А* = \ ^

(29)

получаем:

(6 (к2 - к^к“6) ) = \{ ('ґ'г “ 'г'Г) s Щ &?) )' (30)

Поэтому уменьшение скачка плотности энергии возможно, например, в том случае, когда

2_.

дх° / у/а

Рассмотрим случай диагональной метрики. Тогда

1

+ 2

дх° дх°

<91п(7п) со дг

дх° дх°

<9 In (722) <91п(7зз)

дх° дх°

Если, например, производные

<97п <9722 дх° ’ дх°

непрерывны и

<97зз ^ _1 дх° а ’

то в силу соотношения (31) получим:

при дополнительном условии

( <91п(7п) <91п(722)

V дх°

+

дх°

= const.

(31)

<* (А2 - А*А-)> = 1 (^) (^1 + ЭД (32,

При этом знак величины может оказаться как отрицательным, так и положительным. Другими словами, надлежащим изменением производных по времени от компонент метрического тензора пространства-времени мы можем либо уменьшить, либо увеличить скачок плотности энергии. При этом можно даже попытаться свести затраты энергии к выделению энергии.

101

Заключение

В данной работе мы показали, что усредненный скачок плотности энергии, возникающий в момент образования 4-мерной кротовой норы, можно уменьшить или увеличить. В результате трудности, связанные с проблемой больших затрат энергии, необходимых для образования 4-мерной ручки, переходят в трудности иного рода: как изменить внешнюю кривизну 3-мерного пространства (другими словами, как изменить «способ» вложения 3-мерного пространства в пространство-время).

Мы до сих пор рассматривали только процедуру отрыва 3-мерной области от пространства М0. Но в действительности с рождением кротовой норы связан также и процесс приклеивания данной области к многообразию М0. И при этом также возникнет скачок энергии. Хотя, как нетрудно догадаться, эти процессы «взаимообратны». Это означает, что если в одном случае происходит выделение энергии, то в другом требуются ее затраты. Поэтому возникает следующее предположение. Если при отрыве области D0 происходит выделение энергии, то можно попробовать каким-то образом сохранить хоть какую-то ее часть для того, чтобы использовать для приклеивания данной области снова к пространству М0. Конечно, процесс диссипации энергии неизбежен, но мы, по крайней мере, сможем свести к минимуму проблему, связанную с необходимыми на образование 4-мерной кротовой норы затратами энергии.

Литература

1. Гуц А.К. Изменение топологии физического пространства в замкнутой вселенной // Известия вузов. Физика. 1982. №5. С. 23-26.

2. Гуц А.К. Нарушение связности физического пространства // Известия вузов. Физика. 1983. №8. С. 3-6.

3. Гуц А.К. Элементы теории времени. Омск: Изд-во Наследие. Диалог-Сибирь, 2004.

4. Guts А.К. Time machine as four-dimensional wormhole. Los Alamos e-print gr-qc/9612064 (1996).

5. Konstantinov M. Ju. The Principle of Self-Consistency as a consequence of the Principle of Minimal Action. Los Alamos e-print gr-qc/9510039 (1995).

6. Константинов М.Ю. О кинематических свойствах топологически нетривиальных моделей пространства-времени // Известия вузов. Физика. 1992. №12. С.84-88.

7. Мизнер Ч., Торн К., Уиллер Дж. Гравитация. Т. 2. М.: Мир, 1997.

8. Лайтман А., Пресс В., Прайс Р., Тюкольски С. Сборник задач по теории относительности и гравитации. М.: Мир, 1979.