CC BY
10
34
ВМУ. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ. 2012. № 1
О некоторых топологических свойствах кинетического моделирования неравновесной системы
М. Б. Сайханов
Комплексный научно-исследовательский институт Российской академии наук.
Россия, 364051, Чеченская Республика, г. Грозный, Старопромысловское ш., 21а.
E-mail: saikhanov_musa@mail. ru Статья поступила 20.05.2011, подписана в печать 31.10.2011
Рассматриваются топологические свойства кинетического моделирования неравновесной системы, обусловленные неоднородностью структуры ее энергетического спектра. В частности, показано, что слоистый характер энергетического спектра неравновесной системы с топологической точки зрения можно трактовать как несвязность энергетических спектров ее квазиравновесных подсистем. Показана возможность использования римановой и скалярной кривизны гиперповерхности полного производства энтропии в качестве локальной и глобальной характеристик неравновесности системы.
Ключевые слова: неравновесная система, кинетическое моделирование, производство энтропии, топология, связность, кривизна.
УДК: 536.75 + 515.12 + 515.16. PACS: 05.70.Ln, 02.40.-k.
Введение
Топологические свойства, возникающие при кинетическом моделировании неравновесной системы, связаны с квантованием необратимых процессов, сопутствующих ей в процессе эволюции. Действительно, кинетическое моделирование как метод теоретического описания сильнонеравновесной системы исходит из того, что ее энергетический спектр имеет дискретно-непрерывную (слоистую) структуру [1-3]. При этом непрерывность имеет место в локальном масштабе квазиравновесных подсистем, частицы которых имеют близкие (неразличимые) энергетические уровни, образующие энергетические слои. Здесь речь идет, конечно, о физической непрерывности, или квазинепрерывности, обеспечивающей, как известно, возможность непрерывного перехода частиц между соседними уровнями энергетического слоя [4, 5]. Напротив, дискретность, т.е. прерывность, имеет место в глобальном масштабе всей неравновесной системы и связана с отдаленностью друг от друга энергетических слоев, между которыми осуществляются кинетические процессы переноса [6]. Теоретическое описание на глобальном уровне осуществляется путем крупнозернистого квантования полного производства энтропии с учетом слоистой структуры энергетического спектра неравновесной системы и формулировки вариационного принципа для временной эволюции нестационарной неравновесной системы. В то же время на локальном уровне квазиравновесных подсистем достаточно использовать аппарат неравновесной термодинамики (статистики).
1. Энергетический спектр неравновесной системы и связность
С топологической точки зрения непрерывность энергетического спектра квазиравновесной подсистемы означает, что он является односвязным. Однако этого нельзя сказать об энергетическом спектре всей неравновесной системы, состоящего из нескольких (многих)
энергетических слоев. В этом случае энергетический спектр является несвязным, поскольку из одного энергетического слоя нельзя попасть в другой непрерывным путем (переходом) [7]. Примерами подобных неравновесных систем являются неравновесный газ, двух-температурная плазма, неравновесная спин-решеточная система в магнетиках и т.д. [6]. Энергетический спектр всех этих систем состоит из энергетических слоев (ниш), отделенных друг от друга энергетическими интервалами, сравнимыми с шириной самих слоев.
Следует отметить, что с топологической точки зрения последние являются компонентами глобально несвязного энергетического спектра неравновесной системы, число т которых в ходе эволюции неравновесной системы изменяется [2, 3, 7]. Особенно это имеет отношение к сильнонеравновесной нестационарной системе, эволюционирующей либо в сторону стационарного (равновесного) состояния, либо, при наличии возмущения, удаляющейся от него. В первом случае число компонент энергетического спектра уменьшается и в стационарном или равновесном состоянии достигает минимального значения. Во втором случае наблюдается рост числа компонент за счет увеличения числа квазиравновесных подсистем с квазинепрерывным спектром энергии.
Например, при термической релаксации сильно нагретого газа к температуре окружающей среды колебательная, вращательная и некоторые другие степени свободы (и соответственно энергетические ниши) в результате молекулярно-кинетических процессов в газе могут прекратить свое существование, так что в равновесном состоянии останется только одна степень свободы — поступательная [2]. Если теперь, наоборот, осуществлять нагревание равновесного газа, имеющего одну поступательную степень свободы, то возможно поэтапное включение вращательной, колебательной, электронной и других степеней свободы. В каждой из вновь возникших энергетических ниш, соответствующей той или иной степени свободы, по истечении характерного
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
35
времени т' (локального времени релаксации) устанавливается равновесное состояние [6].
При интенсивной накачке в открытую систему энергии возможно также образование диссипативных структур, подобных ячейкам Бенара [8]. Как показывают экспериментальные и теоретические исследования, энергетический спектр такого рода локальных динамических структур является квазинепрерывным, т. е. в энергетическом пространстве уровней неравновесной системы происходит образование дополнительных энергетических слоев.
Таким образом, введенный нами параметр числа слоев энергетического спектра неравновесной системы т непосредственно характеризует ее топологический аспект, т. е. число компонент несвязного множества энергетических уровней неравновесной системы. В то же время не вызывает сомнения целесообразность построения в пространстве энергетических уровней неравновесной системы некоторых других глобальных и локальных метрических характеристик.
2. Квантование функционала полного производства энтропии
В связи с этим необходимо отметить, что основное затруднение термодинамической теории Гленсдор-фа-Пригожина заключается в том, что она не позволяет должным образом осуществить описание кинетического аспекта в случае сильнонеравновесной нестационарной системы [9]. В частности, речь идет о невозможности учета в ее рамках кинетики взаимодействия локально равновесных подсистем неравновесной системы. В неоднородном (слоистом) пространстве энергетических уровней неравновесной системы эта задача успешно решается путем крупнозернистого (по энергетическим слоям) квантования функционала полного производства энтропии [3, 6]. С этой целью на локальном уровне квазиравновесных подсистем вводятся параметры отклонений обобщенных термодинамических сил АХ! = Х[ - Х[щ и скоростей Х[ (здесь /, / — номера необратимого процесса и квазиравновесной подсистемы), характеризующих соответственно неравновесный и нестационарный аспекты неравновесной системы. На глобальном уровне интегральной характеристикой неравновесной системы является полное производство энтропии. При этом построение характеристического функционала полного производства энтропии в этом случае осуществляется в дискретно-непрерывном пространстве энергетических уровней неравновесной системы [1-3].
В результате получаем крупнозернисто прокванто-ванное выражение функционала полного производства энтропии
Р = Р{АХ\,...,АХ{, ...,АХ%,Х\, ...,Х\, ....X";). (1)
В {2тп+\)-мерном пространстве переменных АХ[, Х[ и Р равенство (1) представляет собой уравнение гиперповерхности функционала полного производства энтропии. При этом необратимый процесс в неравновесной системе осуществляется либо в соответствии с минимальными свойствами функционала Р (слабо неравновесная система), либо в соответствии с минималь-
ными свойствами избыточного производства энтропии 5ХХР = Р - Р&1 (сильнонеравновесная нестационарная система) [9]. Эти функционалы в случае термодинамической устойчивости неравновесной системы являются одновременно функциями Ляпунова (Ар = Р, 5ХХР).
3. Формулировка вариационного принципа
Обобщение принципа минимального производства энтропии (Пригожин, 1947) на нестационарный случай в глобально кинетической модели легко достигается исходя из геодезического характера избыточного производства энтропии, выражаемого вариационным уравнением [6]
5{5ХХР) = 0. (2)
Это уравнение для конечного интервала времени I = ¿2 — t^ можно переписать в виде
5{5ХХР) = 5
г дмЕ.ец = о
си '
(3)
где (дР/д^хх — скорость временного изменения полного производства энтропии, обусловленная изменением термодинамических сил (X) и скоростей их изменения (X).
Решение уравнения (3) существенно упрощается, если неравновесная система находится вблизи равновесного или стационарного состояний. В этом случае функционалы Р и 5ХХР можно разложить в ряд по малым параметрам АХ[, Х[, причем вблизи равновесного состояния физически значим второй дифференциал полного производства энтропии, являющийся функцией Ляпунова [9]:
КР = Р=1-52Р =
(4)
ав А/; ав А/;
где Р[
> о-в _ (_£р_\ р/а,8 _ ( д2р )
коэффи-
циенты разложения функционала Р вблизи равновесного и стационарного состояний; а, /3 = 1 ,...,п;
¡1= I,... ,т.
Этот случай важен также и с методологической точки зрения, поскольку минимальность изменения второго дифференциала полного производства энтропии геометрически означает минимальность изменения соответствующей ему площади участка гиперповерхности. Дело в том, что геометрически второй дифференциал производства энтропии \52Р пропорционален квадрату длины траектории движения точки на гиперповерхности (4) при изменении неравновесных и нестационарных параметров АХЦ^ и Х-(0. При этом минимальность изменения площади гиперповерхности в окрестности заданной точки определяется минимальностью изменения квадратичных форм [10]. Отсюда следует, что геодезической характеристикой при рассмотрении необратимых процессов в неравновесной нестационарной системе является изменение площади гиперповерхности (4) в заданном временном интервале ее эволюции.
36
ВМУ. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ. 2012. № 1
4. Исследование топологических свойств гиперповерхности полного производства энтропии
С топологической точки зрения гиперповерхность является наиболее частым объектом расслоения пространства. В нашем случае речь идет о расслоении пространства возможных термодинамических состояний, задаваемых локальными параметрами АХ-, Х-неравновесной нестационарной системы, по величине энергии. Очевидно, здесь мы имеем дело с одномерным расслоением пространства, так как гиперповерхности ставится в соответствие действительное число (энергия). Для стационарной неравновесной системы справедливы равенства
Х{= 0
и, следовательно, гиперповерхность полного производства энтропии задается лишь в пространстве неравновесных термодинамических параметров АХ[.
Один из эффективных методов исследования топологии многомерной гиперповерхности связан с использованием ее римановой кривизны [10]. При этом установлено, что конечность римановой кривизны гиперповерхности обусловлена конечностью ее топологии и соответствующего ей индекса устойчивости [11]. С другой стороны, со средней кривизной Я связаны минимальные свойства площади гиперповерхности, а именно она минимальна, если Н = 0. При этом глобальный подход к проблеме изучения топологических свойств с помощью римановой кривизны основывается на исследовании геодезических риманова многообразия на гиперповерхности и их экстремальных свойств с использованием теории Морса и теорем сравнения [12].
С физической точки зрения риманова кривизна гиперповерхности полного производства энтропии (1) характеризует степень отклонения термодинамической системы от равновесного или стационарного состояния. Она выражается через коэффициенты второго дифференциала разложения Р по малым параметрам отклонений с1Х\, йХ\ вблизи заданного неравновесного состояния и, следовательно, является локальной [6]. Рассмотрим ее вычисление на примере квазистационарной неизотермической системы, для которой нестационарный процесс можно не принимать во внимание и, следовательно, второй дифференциал имеет вид
(5)
где Рц = — кинетические коэффициенты
неравновесного состояния; /З1, /3' — обратные температуры квазиравновесных подсистем; г, / = 1 ,...,т. Отметим, что геометрически квадратичная форма (5), так же как и (4), выражает площадь элемента гиперповерхности и тем самым является ее метрикой. Как известно, риманова кривизна гиперповерхности, задаваемая метрикой (5), может быть записана в виде следующего тензора 4-го ранга [13]:
ЯГ'
Ы _ Uí М К-ыа —
дг
ы
д/з1 д/за
+ Г',г
пI1 1г<1
- Г' Г" 1 яй1 И>
(6)
где символы Кристоффеля выражаются через компоненты метрического тензора по формуле
г< 1 ры (дрчл дРш дРы\ ы 2 \д/з1 д/зк д/за)'
В то же время в качестве глобального параметра неравновесности системы (в смысле учета всех ее подсистем) целесообразно использовать скалярную кривизну гиперповерхности полного производства энтропии. Она получается из тензора Римана (6) переходом от смешанных компонент к ковариантным компонентам и последующим двойным свертыванием с метрическим тензором. В результате получаем следующее формулу для вычисления скалярной кривизны гиперповерхности:
Я = Р"РЫЯ
(7)
где тензор Римана в ковариантном виде
Я
ИгМ.
_ 1 ( д2Рш
д2Р
ы
д2Ри
д2Р
1га
2 \д/зкд131 д(51д(5л д(5кд(5л д(51д(51,
+РпР - гм ■
С физической точки зрения наше предположение о скалярной кривизне как глобальной кинетической характеристике неравновесной неизотермической системы подтверждается, в частности тем, что для равновесного состояния или состояния, близкого к равновесному, она равна нулю. Это следует из того, что в равновесном состоянии кинетические коэффициенты Рц равны нулю, так как в этом случае обращается в нуль сама величина Р полного производства энтропии. Вблизи равновесного состояния Рц коэффициенты весьма слабо изменяются за счет изменения параметров /Зк, так что их практически можно считать постоянными величинами. Тогда частные производные компонент метрического тензора Рц по параметрам обратных температур /Зк обращаются в нуль, что с учетом формулы (7) приводит также к нулевому значению для скалярной кривизны.
В то же время для состояний, далеких от равновесия, компоненты Рц являются функциями параметров /Зк и, следовательно, должна быть отличной от нуля скалярная кривизна.
Заключение
В настоящее время топология весьма эффективно используется во многих разделах физики в качестве инструмента исследования ее объектов как в микроскопическом, так и макроскопическом масштабе [14]. Во многом это связано с тем, что современная физика наряду с продолжением изучения аспекта движения материи, начатого в XVII в., в значительной степени акцентирована на изучении ее структурного аспекта. Например, речь идет об атомной и ядерной физике, физике элементарных частиц, астрофизике и других разделах современной физики. В то же время структурный аспект материи не чужд и неравновесной термодинамике, поскольку Пригожин показал, что неравновесность может приводить к возникновению дисси-пативных структур [8]. Поэтому исследование топологических свойств неравновесных систем на основе метода кинетического моделирования представляется целесообразным и перспективным.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
37
Автор выражает благодарность академику В. П. Маслову, критические замечания которого способствовали заметному улучшению настоящей работы.
Список литературы
1. Van Hove L. 11 Physica. 1955. 21. P. 517.
2. Осипов А.И., Уваров A.B. //Успехи физ. наук. 1992. 162, № 11. С. 1.
3. Сайханов М.Б. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2002. № 4. С. 10.
4. Пуанкаре А. О науке. М., 1990.
5. Ландау Л.Д., Лифшиц ЕМ. Теоретическая физика. Т. 5. Ч. 1. М., 1976.
6. Сайханов М.Б. // Теплофизика высоких температур. 2006. 44, № 6. С. 877.
7. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М., 1977.
8. Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. М., 2003.
9. Сайханов М.Б. // Журн. физ. химии. 2006. 80, № 7. С. 1330.
10. Хилъдебрант С. Краевые задачи для минимальных поверхностей // Минимальные поверхности. М., 2003. С. 208.
11. Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. М., 1971.
12. Фоменко А. Т. // Успехи матем. наук. 1981. 36, вып. 6. С. 105.
13. Ландау Л.Д., Лифшиц ЕМ. Теоретическая физика. Т. 2. М„ 1988.
14. Монастырский М.И. Топология калибровочных полей и конденсированных сред. М., 1995.
Some topological properties of the kinetic modelling of non-equilibrium system M. B. Saikhanov
Complex Institute, Russian Academy of Sciences, Grozny 364051, Russia. E-mail: saikhanov_musa@mail.ru.
Topological properties of kinetic modeling of the nonequilibrium system, the structures of its power spectrum caused by heterogeneity are considered. In particular, it is shown that layered character of a power spectrum of nonequilibrium system from the topological point of view can be treated as incoherence of power spectra of its quasi-equilibrium subsystems. Use possibility Riman and scalar curvature of a hyper surface of total manufacture of entropy as the local and global characteristic non-equilibrium is shown.
Keywords: nonequilibrium system, kinetic modeling, entropy production, topology, connection, curvature. PACS: 05.70.Ln, 02.40.-k. Received 20 May 2011.
English version: Moscow University Physics Bulletin 1(2012).
Сведения об авторе
Сайханов Муса Баудинович — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотрудник; тел.: (928) 787-30-86, e-mail: saikhanov_musa@rnail.ru
