CC BY
30
УДК 539.3
ИЗГИБ ТОНКИХ ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИН С УЧЁТОМ СДВИГОВЫХ ДЕФОРМАЦИЙ
В.В. Фирсанов
Классическая теория изгиба тонких пластин базируется на гипотезах Кирхгофа. Игнорирование поперечных деформаций сдвига возможно только для материалов с высоким модулем сдвига в поперечном направлении. Изотропные материалы, например, металлические сплавы, в какой-то мере соответствуют этому условию, но композиционные материалы, как правило, обладают низкой сдвиговой жёсткостью, поэтому поперечные сдвиговые деформации необходимо учитывать. Уточняющий эффект зависит от соотношения сдвиговой и изгибной жёсткостей.
Ключевые слова: деформация, напряжение, сила, момент, бимомент, перемещение, жёсткость, граница, контур.
Рассмотрим тонкую пластинку с координатами х, у, 2, причем координатная плоскость ху параллельна плоскостям оснований пластинки, а ось г перпендикулярна им. Пластинка выполнена из композиционного материала, причём структура его симметрична в плоскости ху и по толщине. Тогда плоскость приведения совпадает со срединной плоскостью пластинки. Оставим в силе гипотезу Кирхгофа е г = 0, откуда w = w(x, у).
Используя соотношения, связывающие сдвиговые деформации и перемещения, а также закон Гука для касательных напряжений, получим
'Х2
ох
ды дw
— + —
дг дх
'уг
оу
ду дг
дw
ду
(1)
'хг ^ уг
Имеем пять неизвестных: ы, у, w и два напряжения тхг, туг. При
постановке решения в смешанной форме необходимо удовлетворить уравнениям совместности деформаций. Это достигается путем интегрирования соотношений (1):
ы
=!
11 хг
V Охг
■ w
х
(¡г; у = !
уг
О
w
у
уг
¡г.
(2)
дw
дw
где ^ =т-; wy =—. дх 7 ду
Чтобы проинтегрировать (2), представим касательные напряжения в виде, исключающем их появление на основаниях пластинки:
2
т хг = Охг т1(x, у )
2 И 2
4
■г
2
И
, т уг = Оуг т 2 (х у } — - г
2
(3)
Внося (3) в (2), получим
+
и =
Т1
Н
2
4
■ w
X
2 - Т1
2
3
V =
Т 2'
Н2
4
■ w
У
2 - Т 2'
г
3
(4)
В результате ортогонализации функций,входящих в [4]иописывающих изменение и и V по толщине пластинки, часть из которых соответствует классической гипотезе плоских сечений, а другая соответствует депланациям, имеем:
3 ^
и
= Щ2 + (и + Wx )
3
г 52
4 3Н
2
, V = VII + V + W
2 52"
У
4 3Н
2
(5)
Н2 Н2
где и1 = - ^, V1 = Т2-у
, Т1 = "5 (и1 + Wx), Т1 = "у (VI + Wy )• (6)
5
У'-
Функции и1 и Vl определяют углы поворота нормального элемента относительно осей х и у , а (и + wx) и V + Wy)- обобщеннуюдепланацию
этого элемента по тем же осям.
Деформированное состояние пластинки с учетом (5) определяется формулами:
( 3 л
2 5 2
ди ( \
8х =Ч" = и1х2 + (и1х + wxx) Т--
дх 4 3Н
2
дv
2 52'
8у = дУ=+(пу+Н
У ху = ди + дх = (и1у + V1x )2 + (и1у + V1x ) + 2^у
3
2 52
4 3Н
2
(7)
У Х2
Н
2
(и1 + щ)
2
Н2 - 2
--2
4
У
5 ( {Н2 2Л
У у2 = № + WУ ^ - 2
Деформация 8 2 = 0 в силу принятой гипотезы. В соотношениях[6] и (7) нецифровые индексы означают производные функций по соответствующим координатам.
Физические соотношения для пластинки, выполненной из композиционного материала со структурой, симметричной в плоскости ху и по толщине, в рамках принятой гипотезы имеют вид
°х = Ех (8х + ^ху8у ); °у = Еу (8у + ^ух8х ),
5
тxy _ GxyУxy ; тxz _ Gxzlxz; тyz = GyzУyz , (8)
Г _ Ex - Ey .. где Ex _-, Ey _----приведенные модули упругости па-
1 — Ц xy^ yx 1 — Ц xy Ц yx
кета слоев вдоль осей соответственно x и у,
B 2 B 2
Ex _ B11 — —, Ey _ B22 — ^—, B22 B11
B12 B12
Цxy _ ; ^yx _ 15— - приведенные коэффициенты Пуассона для пакета B11 B22
слоев.
Приведенные жесткости Bpq вычисляются по формулам
B11 _ Yh(E1 Cos49y + 2E1iЦ12^т2фiCos29y + E2iSin49, + G12iSin229i) , i _1
B12 _ k[h (e1 + Ё21 )sin29jCos2фг + E{Ц12г (sin4фг + CosV)— G^Sin^-i _1
B22 _ kh(E1iSin4фi + 2E1iц12^т%Cos2фi + E2jCos4фi + G12iSin22фi) , i _1
где El, E2 , ц 12j, ц 21j, G12j - характеристики i -го слоя композиционного ма-
r h
териала; hi _ — - относительная толщина i -го слоя; h - толщина пластин-h
ки (размер в направлении оси z); k - количество слоев материала; ф - углы укладки слоев.
Формула для определения приведенного модуля сдвига Gxy имеет
вид
Gxy _ kh (е1 + E2 — 2Е/ц^ ^Sin^Cos^ + Gil2Cos22фi• i_1
Другие приведенные модули сдвига Gxz и Gyz зависят от структуры материала по толщине. Если укладка слоев непространственная, то Gxz и Gyz характеризуют межслоевой сдвиг и, в значительной степени, определяются характеристиками связующего (матрицы). Если укладка пространственная (или слои прошиты в поперечном направлении), то указанные модули в этом случае будут определяться характеристиками поперечного слоя.
Переходя к интегральным характеристикам напряженного состояния - обобщенным силам, на основании (7) и (8) получим
83
+Н2
Мх = 1 а х2(2 = Ах (и1х + Ц ху^1у),
+Н 2
В,
ал
- V 2
2 52
Н 2
3^
4 3Н
2
(2 = А х[
и1х + ^х + Ц ху^1у + wуу
(Пу + ^уу )
+Н2 , ,
Му = | а у 2(12 = Ау (Vlу + ц ухи1х),
+Н 2
/
В
у- J ау - Н 2
2 52
Н 2
3
4 3Н
2
(2 = А у [
2 у!У1у 1 "уу 1 ^^уxvulx 1 "хх
У
+Н 2
Н = |Т ху2(2 = £1ху
- Н 2
+И/ 2
ху >
3
+ + ц ух (и1г + w,
+ Пх),
(9)
Нху = |
Т,
Л ху - Н 2
2 52
4 3Н
2
(2 = £>2 ху (
2 ху1и1у + V1x + ^ху
2wxу ),
+Н 2 + Н 2
бх = | Тх2(2 = £х2 (u1+WX ); бу = 1 Ту2(2 = £у2 + Wу ). - Н/ 2 - Н/ 2
В формулах (9) Мх и Му - погонные изгибающие моменты в поперечных сечениях пластинки; бх, б у - перерезывающие силы; Н - крутящий момент; Вх, В у - изгибающие бимоменты; Нху - крутящий бимомент. В этих формулах £ - обобщённые жёсткости, вычисляемые по формулам
+Н/2
2 , ЕхН:
Ах = / Ех2 (2 = , £2х = I Е
+Н2 ( 2 523 Л
2
- Н/ 2 +Н/2
12
з
- Н/ 2
- 2 ЕуН3 + Н2-
А у = 1 Еу2 (2 = ^Т,£2у = I Еу - Н/2 12 - Н/2
4 3Н2
(2 = — £1х, 84 1х
2 5 2 :
2
4 3Н
(2 = —£
3
+Н/ 2
+Н2 2 ^хуН .
Аху = 1 Сху2 (2 = 12 , £2 ху = 1 Сху
- Н 2
- Н 2
2 52
2
4 3Н
84
1
1у'
(2 =-£1 ху
84 1ху
+Н/2
£х2 = I С
х2 2 -Н/2 Н
Н
2
\
+Н/2
5
4
2
£ у2 1 Су2 2 - Н/2 Н
2
(2 = 5 Сх2Н, 6
Н2
--2 2
4
V У
(2 = — Оу2Н .
л ^
С целью получения разрешающих уравнений изгиба пластин с учетом деформаций сдвига ух2, Уу2 воспользуемся принципом стационарности полной энергии пластинки (принцип Лагранжа). Полная энергия пластинки
1
аЬ
Э = 2 И
2 00
+V 2 \
- ы 2
ЕХ £ X + Еу £ у + 2 Ех р. ху £ X £ у + Сху У ху + У Х2 +
+СухУух2 4 - я™
где я - поперечная поверхностная нагрузка. Внося сюда (7), получим
аЬ
э=И
00
А
х 2 А V 2 т-л Б х / о
х"1х +—^ VIу + АхРхуи1хУ1 у + (и1х + ™хх ) +
Б
2
Б
+ ■
2 у
2
(у1 у
2
+ )2 + В2хРху (и1х + ™
уу
хх
2 )(у1 у
+ ^,) +
уу
Б
+ ■
1ху
Щ1 у + У1х У + Б2ху ((
2
Б
Щ1 у + У1хГ +
2
Щ1 у + У1х +
2 ™ху )
2
+
+Бг Щ+™х)2+^ у+™у)2 - ^
ху 4х4у
(10)
Полная энергия пластинки представляет собой функционал, зависящий от координат х, у , а также функций и их производных. Символически его можно представить следующим образом:
Э=Я ф(х; у; Щ1; Щ1х; Чу; у1; у1х; У1у; ™х; ™у; ™хх; ™уу; ™ху )4х4у.
Уравнения Эйлера - Лагранжа для этого функционала при выполнении условия его стационарности 8Э = 0 имеют вид
ЭФ Э ЭФ Э ЭФ = 0 ЭФ Э ЭФ Э ЭФ
ЭЩ Эх Эм1х ЭФ Э ЭФ
Эу Эи
Э ЭФ Э +
1у ОУ1
2 ЭФ
Эу1 Эх Эу1х Эу Эу
=0,
1у
+ ■
Э
ЭФ Э +
2
ЭФ
. . . =0. (11) Э™ Эх Э^х Эу Э^у Эх2 Э^хх Эу2 Э^уу ЭхЭу Э^
Кроме того, из условия стационарности полной энергии получено
условие
*
ЭФ _ ЭФ _ ЭФ _
ОЩ1 +--ОУ1 + --
Эи1х
Э ЭФ
Эу Э^ху
Э ЭФ
Эу
1х
э™
хх
Э Э^ 1
о™+— 2
Эу Э™
уу
эф
V Э™ху у
о™
ЭФ 5 +--о™
Эх Э™
хх
о™+— 2
- т
ЭФ ЭФ „ ЭФ
ои1 +--оУ1 + --о™у -
Эи
1у
Эу
1у
Э™
ЭФ 2 Э ЭФ -о™х---о™
Э™ху Эх Э™
V"' ху
ху
ЭФ * +--о™
Э™
у
у уу
где ёБ - элементарный участок контура; I, т - направляющие косинусы на контуре пластинки.
Для записи естественных граничных условий необходимо преобразовать это выражение таким образом, чтобы на контуре иметь работу физически понятных обобщённых сил на вариациях физически понятных обобщённых перемещений. Эквивалентное соотношение имеет вид
Г ЭФ 1 эф л
г ЭФ ЭФ Л
V Эи1х ^хх у
+
V
+
1 ЭФ \ Э
--+ Wу 1--
2 Эw 1 ЭФ
Эг^х 2 Э^хуу
Г ЭФ 1 ЭФ Л
+ ЭФ 5(и1 + wx) +
Эw
хх
ху Л
Эу
+
Эwуу 2 Эwxу V уу ху у
ЭФ
5w +--5w
Эw
х
- т
ЭФ
Эи
1у
2 Эw
5и1 +
Г ЭФ ЭФ Л
ху у
^1у ^уу
у
Эw
_Э_ Эх
с
ЭФ 1 ЭФ
+ ■
Эwxx 2 Эwxу у
уу
ЭФ
5w +--5w
Эw
у
ху сБ = 0.
(12)
Производные функционала по обобщённым координатам, входящие в (11) и (12), в соответствии с (9) и (10) дают
ЭФр ^ и + Wx )=бх, эф=+Wу )=бу,ЭФ
Эw
ЭиФ = £1х (и1х + цxуV1у )+ £2х
(и1х + Vxx )+ Ц ху (v1 у + wуу )
= Мх + Вх-
ЭФ
Эи1у
эф
:£1ху (и1у + Пх)+ £2ху (и1у + Пх + 2^у ) = Н + Нху,
х
эф
= Аху(и1у + V1x)+£2ху(и1у + Ух + 2wxу ) = Мх + Вх,
= £х2 (и1 + wx) = бх; ^ = £у2 V + Wу ) = б
"Ч Л>4 \ А л- / ¿^Л, ? —\
эwx Эwу
уу
ЭФ
Эг
= £1
1у
у
+ 1
ЭФ
цухпх)+ £2у [(v1у + wуу) + цух (и1х + ^)]
= Му + Ву,
Эw
= £
2 х
хх
ЭФ
Э^ 2у
Иуу
ЭФ = п
т-= £2ху
™ху
(и1х + wxx ) + ц ху ^у + wуу ). íV1у + ^у)+ ц ух (и1х + ^х).
+ V1x + 2wxу)= Нху . 86
=В
= В
у
Внося это в (11) и (12), получим дифференциальное уравнение Dxz ("1 + wx ) - Ax (u1xx + Цxyv1xy )- D2x [u1xx + wxxx + Цxy (v1y + wxyy )J-- D1xy (u1yy + v1xy )- D2 xy (u1yy + v1xy + 2wxyy ) = 0; Dyz (v1 + wy )- D1xy (u1xy + v1xx )- D2xy (u1yx + v1xx + 2wxxy )-- D1y (v1yy + Ц yxv1xy )- D2 y Kv1yy + wyyy )+ Ц yx (u1xy + wxxy )J = 0;
D2 x [u1xxx + wxxxx + ц xy (v1yxx + wxxyy )J+ D2 y [v1yyy
+ wyyyy +
yyyy
' ц yx (u1xyy
+
+ wxxyy )J + D2xy (u1xyy + v1xxy + 2wxxyy )- Dxz (u1x + wxx ) - Dyz (v1y + wyy )-
- q=0
и на контуреусловие
x , , Г Д / х " ,
ôw^ +
I\MxÔU1 + (h + Hxy)ôv1 + Bxô("1 + Wx)- ДУ(By + 2Hxy)-Qx
+ mMy ôv1 + (h + Hxy )ô"1 + By ô(v1 + wy )-
= 0
-(bx + 2Hxy )-Qy
ôw
jHxy -^ôwdS = - •
При получении этого равенства использовано условие замкнутости контура пластинки
^ -ЭЯ,
Э5" J ЭБ
Для прямоугольной пластинки из изотропного материала с размерами сторон a и b в направлении осей x и y соответственно полученные
разрешающие уравнения и условия на контуре упрощаются в силу того, что
Ex = Ey = E , Dx = A y = A, D2 x = D2y = D2 = ^ A,
^ху = ^ = Gyz = G, Dlxy = D3 = D (1 - P), D2xy = D4 = 84 Dt (! - P),
Dxz = Dyz = D5 = -6 Gh , Pxy = Pyx = P •
Разрешающие дифференциальные уравнения для изотропного материала имеют вид
А(1 -Р)V2щ + Di(l + р)—(uix + У1у)+ 2D2V2Wx -2D5(«1 + Wx) = 0,
1 D
dx
D1 (1 - ц)V2V1 + D1 (1 + ц)— (ux + Vy )+ 2D2V2Wy - 2D5 (v1 + Wy ) = 0, (13)
2/ , \ ТЛ („. , ГЛ Y72Y72... ГЛ V72.
D2V2 (u1x + v1y )- D5 (u1x + v1y )+ D2V2V2w - D5V2w - q = 0. Здесь D1 =(D1 + D2 ).
Эта система уравнений может быть преобразована к виду, более удобному для интегрирования. Процедура следующая: продифференцируем первое уравнение по у , второе - по х и получим разность полученных в результате дифференцирования уравнений, далее продифференцируем первое уравнение исходной системы по х, второе - по у и получим сумму полученных в результате дифференцирования уравнений, затем из полученного уравнения вычтем третье уравнение исходной системы. Тогда имеем
V2(Пх - и1у)-к2(Пх - и1у) = ^ D2V2V2w - = -ДУ2 (их + У1у)+ £ (и1х + Vlу),
V 2 к + и1х ) = -4, к=
V 1у Д ' £1
Интегрируя первое уравнение этой системы, получим с точностью до шести произвольных констант интегрирования решение для разности функций Vlx и и1у, интегрируя третье уравнение этой системы, получим с
точностью до шести новых произвольных констант интегрирования решение для суммы тех же функций. Имея эти решения, определим отдельно Vlx и и1у. Далее интегрированием второго уравнения системы определяется w с точностью до восьми новых произвольных констант интегрирования. Количество констант сократится при подстановке полученного решения в исходную систему уравнений. Всего решение для искомых функций содержит шестнадцать произвольных констант, которые определяются из граничных условий (для прямоугольной пластинки по четыре условия на каждом крае). Эти условия получим из (12), полагая на краях х = 0,а и у = 0,Ь ; I = ±1; т = ±1и учитывая то обстоятельство, что вариации обобщённых перемещений на границе произвольны и независимы:
__а __^
Мх 5и1а = Нху 3 п п = ^ Вх 5(и1 + ^}а =0; бх К
Му 5v1 Ь у 1 0
где Нху = Н + Нху - обобщенный крутящий момент;
-ч
- (Ву + 2Нху ), Оу = бу -Эх
зывающие силы; Мх, Му - изгибающие моменты; Вх, Ву- изгибающие бимоменты.
Если в выражении полной энергии пластинки пренебречь работой обобщённых сил на депланациях (и + wx) и V + Wу), то из условия её
стационарности получим систему уравнений шестого порядка и по три
88
а
= 0, Нху 5«1 Г = 0, Ву + Wу Г = 0, бу 5w
0 0
Ь = 0,
0
э Э
бх = бх -Э~(ву + 2Нху), бу = бу -д~(Вх + 2Нху) - обобщённые перере-
граничных условия на каждой грани прямоугольной пластинки. При этом статические граничные условия формулируются относительно М х, МуН,
Ох и б у, а геометрические условия - относительно щ, V и w.
Систему уравнений, удобных для интегрирования, можно получить и без завышения порядка путём дифференцирования исходной системы (13). Выражая щ, V и w через потенциальные функции ф(х,у) и ф(х,у) по формулам
«1 = £ - ^2 ф х + Ф у,
VI = £ - ^У 2 )ф у - Ф х,
w = -£5 - ДУ2 )ф
и внося в (13), получим
У 2Ф -к12Ф = С ; У 2У 2 £2У 2Ф - £5ф)= Л-,
\ 2 5 / д >
где С - произвольная константа, которую можно положить равной нулю, к 2
£",(1 - ц)
Таким образом, получены определяющие уравнения теории изгиба пластин с учётом деформаций сдвига у х2 и уу2 для ортотропного материала и для частного случая изотропного материала. Эти уравнения, а также граничные условия значительно отличаются от определяющих соотношений и граничных условий классической теории, основанной на гипотезах Кирхгофа. Уточняющий эффект зависит от соотношения модулей, характеризующих сопротивление растяжению-сжатию, и модулей, характеризующих сопротивление сдвигу. Для изотропного материала это соотношение
Е
постоянно в силу известной зависимости О = —,-т. Уточняющий эф-
2(1 + ц) Ф
фект тем сильнее, чем больше Е по отношению к О . Для изотропного материала уточнение невелико, но для анизотропного материала, характеристики которого можно варьировать произвольно, а следовательно, достигать большого различия между средними модулями пакета Ех, Еу, с одной стороны, и Ох2, Оу2, с другой стороны. Если укладка волокон плоскостная, то Ох2 и Оу2, определяемые в основном характеристиками связующего, значительно меньше средних модулей Ех и Еу . Уточняющий эффект представленного варианта теории изгиба пластин может оказаться весьма существенным.
Список литературы
1.Амбарцумян С. А. Теория анизотропных пластин. М.: Наука, 1987,
360 с.
2.Тимошенко С.П., Войновский - Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963, 636 с.
3.Васильев В.В., Лурье С. А. К проблеме построения неклассических теорий пластин// Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. 1990. С. 158-167
4.Фирсанов В .В. Исследование напряжённо-деформированного состояния прямоугольных пластинок на основе неклассической теории// Проблемы машиностроения и надёжности машин. 2016. №6. С. 35 - 43.
5. Елпатьевский А.Н., Фирсанов В .В. Изгиб прямоугольной пластинки с учётом постоянного по толщине сдвига// Проблемы строительной механики и прочности ЛА. 1990.С. 22 - 27.
6. Durban D., Givoli D., Simmonds J.G. Advances in the Mechanics of Plates and Shells.MechanicsandltsApplications. Vol. 88. 2001. 376 p.
Фирсанов Виктор Васильевич, канд. техн. наук, доцент, kaf603@mai.ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
BENDING OF THIN ORTOTROPIC PLATES WITHALLOWENS OF SHEAR STRANES
V.V. Firsanoy
The classical theory of the bending of thin plates is based on the hypotheses of Kirchhoff. Ignoring transyerse shear strains is possible only for materials with a high shear modulus in the transyerse direction. Isotropic materials, such as metal alloys, correspond to some degree with this condition, but composite materials generally haye low shear rigidity, so transyerse shear strains must be taken into account. The refinement effect depends on the ratio of shear and bending stiffness.
Key words: deformation, tension, force, moment, bimoment, displacement, rigidity, boundary, contour.
Firsanoy Victor Vasilieyich, candidate of technical sciences docent, kaf603@mai.ru, Russia, Moscow, Moscow Ayiation Institute (National Research Uniyersity)
