Изгиб композитной балки с учётом сдвиговой деформации Текст научной статьи по специальности «Физика»

Petryaeva Irina Alexceevna, candidate of technical science, assistent, iri-na_petryaeva@mail.ru, Ukraine, Donetsk, Donetsk National Technical University,

Mikhailov Alexcandr Nicolayevich, doctor of technical science, professor, manager of department, tmamech. dgtu. donetsk. ua, Ukraine, Donetsk, Donetsk National Technical University

УДК 539.3

ИЗГИБ КОМПОЗИТНОЙ БАЛКИ С УЧЁТОМ СДВИГОВОЙ

ДЕФОРМАЦИИ

В.В. Фирсанов

Представлен вариант теории изгиба балки с отступлением от некоторых классических гипотез. Задаётся такое распределение касательных напряжений по высоте балки, чтобы граничные условия по ним на протяжённых границах были автоматически удовлетворены. Учёт сдвигов приводит к постановке задачи в смешанной форме: основными неизвестными являются прогиб и касательные напряжения. Продольные перемещения определяются из соотношения, которое можно трактовать как уравнение совместности. Разрешающие уравнения задачи, которые выводятся с использованием вариационного принципа Лагранжа, имеют более высокий порядок в сравнении с классической теорией Бернулли. В уравнениях и граничных условиях появляются новые кинематические и внутренние силовые факторы.

Ключевые слова: балка, изгиб, нагрузка, деформация, напряжение,жёсткость, момент, сила, депланация, бимомент.

Классическая теория изгиба балок построена на двух основных гипотезах: отсутствие сдвигов и линейных деформаций в направлении, перпендикулярном оси балки. Эти гипотезы были сформулированы Бернулли, а затем Кирхгоф распространил их на теорию изгиба пластин. И для изгибаемых балок, и для пластин получены, благодаря этим гипотезам, относительно простые разрешающие уравнения и их точные решения для довольно большого класса задач. Развивая теорию Бернулли в задачах изгиба балок и Кирхгофа в задачах изгиба пластин, некоторые авторы подвергали сомнению одну из гипотез, а именно, гипотезу отсутствия сдвигов. Особенно это стало актуальным при все более возрастающем применении композиционных, слоистых материалов в промышленности. Межслоевой сдвиг в этих материалах играет существенную роль, и пренебрегать им значит допустить существенное искажение результатов решения. Сдвиговые деформации можно учесть неоднозначно [1], [2], но несмотря на идентичность полученных разными авторами разрешающих уравнений, полного совпадения, тем не менее, не наблюдается. Одним из существенных недостатков некоторых вариантов теории является то, что учет сдвигов приводит к появлению касательных напряжений на поверхности балки, что в какой-то степени искажает исходную задачу [2].

е у _^ = 0, V = х).

Предлагаемый подход к построению теории изгиба балок, возможно, также не свободный от недостатков, является более последовательным, строгим и не искажает существа исходной задачи изгиба балки.

Основной рабочей гипотезой предлагаемой теории является гипотеза отсутствия линейной деформации

ду

где V - прогиб балки; ось х совпадает с упругой осью балки; ось у перпендикулярна ей.

Деформация сдвига не равна нулю, а выражается через касательные напряжения согласно физическому закону. Для ортотропной структуры

_ ди + дv _ т ху

ху ду дх Оху '

откуда

и _ I (7^ -ОФ + ио(x), (1)

Оху

где и о (х) - произвольная функция интегрирования. При изгибе в центральных осях ио(х) _ 0 .

Учет сдвигов приводит, таким образом, к постановке задачи в смешанной форме, в которой основными неизвестными являются прогиб балки V и касательные напряжения т ху. В связи с этим равенство (1) следует

рассматривать как условие совместности при постановке задачи в смешанной форме.

Зададим касательные напряжения в таком виде, чтобы однородные условия по ним на протяжённых границах балки были удовлетворены тождественно

2 2 2 т ху _ Т1( х) ^отс _ Т1(х) Ь- (1 - ^ _ Т1(х)(1 - ^ (2)

Оху 2 4 4 к2 к2

где ^20ТС - статический момент отсечённой части сечения балки; к - высота балки; Т1(х) - неизвестная функция продольной координаты. Внося (2) в (1), получим

4 у3

и _ (т1 - V 0у -- Т1 2. (3)

3 к2

Равенство (3) можно представить в виде

и_

т1

' _ 4С Л

V

3

/

_ V

4 у3 у _ 4 Т1(у- - С1 у). 3 к2

Подберём С1 таким образом, чтобы функция, соответствующая де-планации, была ортогональна функции, соответствующей гипотезе плоских сечений:

V 1 2 !,3

2 | (^ - Clу)уМу _ 0, 0 Ь 2

3

откуда С1 _ —, здесь 5 - толщина балки (размер в направлении оси 2). Следовательно,

гК >\ 4 у 3 у и _^ -v )у-4т1(^-3у).

4

(4)

Если ввести обозначение и _ — Т1 - V, выразить отсюда

Т1 _ (и1 + Vи подставить это в (4), то получим окончательное

выражение для продольных перемещений, определяемых двумя ортогональными составляющими - углом поворота Ц и депланацией поперечного сечения (и + V'):

5 , , \,у3 3

и _ и1 у — (и1 + V --у).

^ 3 1 к 2 20

С целью получения разрешающих уравнений задачи воспользуемся вариационным принципом Лагранжа.

Выражение полной энергии балки при изгибе её поперечной нагрузкой ч( х) имеет вид

1 2 ■

Э _ II

0 -к2 .

Е(д-и? + т2(1 -44)2 -2 ' дх 2 1( к2' 5

Мхйу _

1

_ I

Е I Е I О ^

^и/+Ц2-и+V)2 + о2-(«1+V)2 - ЧУ

ёх

+к/2

+к 2 ,.3

+к/2

где

11 _ I у , 12 _ | I (к- -|)2 , ^ _ I (1

-к 2

4 у

2

2

-)5ёу.

-к/ 2 " -к 2 " - к/ 2 к Следовательно, полная энергия балки есть функционал, зависящий от продольной координаты, искомых функций и их производных:

I

Э _ IФ(х, и1, и1, v, v' , v. 0

Условием стационарности полной энергии является равенство нулю первой вариации функционала. В результате этой процедуры можно получить систему разрешающих уравнений и естественных граничных условий на торцевых границах балки. В общем виде эта система имеет вид

0

й ЭФ ЭФ л й2 ЭФ й ЭФ ЭФ л = 0; —- —----- + — = 0,

ЭФ

Эи1

йх Эи1 Эщ I

йх2 Эу" йх Эу Эу

8щ

= 0,( эф- й )8у

? v / т -ч ///

Эу ах Эу

I

0

о, ЭФ 8/

Эу

I

0

0.

Систему естественных граничных условий необходимо преобразовать к виду, в котором имела бы место работа бимомента на вариации де-планации поперечного сечения. Для этого к равенству

ЭФ ~ ,ЭФ й ЭФЧ~ ЭФ ~ , —- 8и1 + (—-----)8у + —- 8у

/ 1 ^ л / 7 л л *

Эи1 Эу йх Эу Эу

= 0

ЭФ

прибавим и вычтем выражение —- 8и

Эу

I

. В результате получим

( ЭФ ЭФ \ (ЭФ й ЭФ V ЭФ л

8и1+1 ^18у 8(и1+у ) i Эу йх Эу ) Эу

уЭщ Эу"

= 0.

Исходя из того, что вариации угла поворота, прогиба и депланации на границах балки независимы, получим физически более обоснованную систему граничных условий

I . _ . г

ЭФ

^ЭФ ЭФЛ Эщ ЭУ"

8и

= 0,

0

ЭФ- Эф

Эу' йх Эу"

8у

= 0, ЭУ, 8(и1 + у ')

г

0.

0

Первое выражение представляет собой равенство нулю работы краевого момента на вариации угла поворота, второе - равенство нулю работы краевой перерезывающей силы на вариации прогиба, третье - равенство нулю работы краевого бимомента на вариации депланации поперечного сечения.

Вычисляя производные функционала по всем обобщённым координатам и подставляя в систему разрешающих уравнений и граничных условий, получим

ЕхТщ + Ех12 М + у ") - ОхуЕ (щ + У ' ) = 0

ГГ Г

ЕхЬ (щ + у") - ОхуЕ(щ + у ') - д = 0.

(5)

Ех11щ8щ\ 0 = 0, °хур(и1 + у )- Ех12 (и1 + у )

Ех12 (и1 + у0 8(и1 + у') 171

г

8у

0,

(6)

0

0

0

0

0

0

Вводя обозначение ф(х)_ и1 + V , считая нагрузку постоянной по длине балки и интегрируя систему уравнений (5), получим

Ч0х а

ф _ с^'

и1 _

-Р(/ - х) + С2е-вх- „ „ ЕхЬв в2

2

' 3

Ч0 х

V

Ех1^а 6 а 2

а1 х

+ —--+ «2 х + 03

(7)

(8)

где С1, С2,01,02,03 - произвольные константы интегрирования; а и р -коэффициенты, определяемые через жесткостные характеристики балки:

р2 _ , а = К

Ех12 12

Прогиб V определим путём интегрирования дифференциального уравнения

V _ф-щ.

Отсюда

\ „ .2 „ „ „4 „ „3 „2

-х)

V _1М1 -х)-С2е-

Ч0

х

Ех12в2 2 в2

+03х+04. (9)

Используя решения (7) - (9), определим внутренние силовые факторы в балке

2

«1

х +

43 Ч0 х «1 х х +--+ а2

Ех1^а 24 а 6

2

М2 _ Ех1\и1 _ -

Ч0"

х

2

+ Ех1201х + Ех11«2

Оу _ -ЕхЬ (ф ' - в2Ф)_ -(Ч0х + Ех12а1)

(10)

5 _ ЕХ12ф ' _ Е12в(С1е-в(/-х) - С2е-вх)- 40.

в

Естественные граничные условия (6) преобразуем для консольной балки, на торцевых поверхностях которой реализуются следующие условия:

х_0 V _ 0 ,и _0,ф_0, х _ 1М2 _ 0, _ 0, В _ 0. Подставляя сюда (7) - (10), определим константы интегрирования

С _

ч0

Ех12в

3

С2

Ч01

Ех12в

2

М1

Ч01 Ех12

>а2

Ч01

2

2 ЕхН

, 03 _ 0 ,04 _

Ч01

Ех12в

3

Подставляя найденные константы в выражения (7)-(10), получим окончательное решение поставленной задачи для консольной балки, изгибаемой постоянной по её длине погонной нагрузкой 40

172

q0l

Г , л

e-ßx + 1 e-ß(l - x)

EXI 2ß3

V

ßl

+ -

qol 2

Ф _

qol

ExI 2ß

U\ -ßx

ExI2ß2

qol3

»2 „4

»2 „3

22

ßA x* Г ^ ß l - 2a ^ x 1

K K + -----+---

al2 24 la 6

2al2

2 l ßl

2ExI 2a

x~

2 ^

x x + —

3l3 l2 l

J

1 _

+ — e ßl

ß(l - x) + 1 -

x

Mz _

qol2i

2

x -1 l

2

Qy = - qol fx -^, B _ ^ (e-ß(/ - x) + ßle-ßx -1). (11)

Vl J ß

в

Следствием системы дифференциальных уравнений (4) является следующее уравнение:

Ч

a U1

ЕЛ

x12

где Щ- угол поворота. Для классической задачи изгиба балок щ = -у'.

Исключая щ из приведённого уравнения, получим классическое уравнение изогнутой упругой оси балки

Ех1\у1У = Ч .

Для постоянной нагрузки Чо и сформулированных выше граничных условий решение задачи имеет вид

V

_ qol

4

Exh

x

4

3

x~

24l4 6l3 4l

3

+

x

2

Mz _-

2

V

qol

3

2Exh

3

x~

2

JC JC +

3l3 l2 l

J

qol

2

r

2

Qy _-qol

x -1

V l j r x Л

x -1 l

2

(12)

V

/

Сравнивая (11) и (12), отметим совпадение результатов для углов поворота, изгибающих моментов и перерезывающих сил. Не совпадают формулы, определяющие прогиб. Кроме того, в решении (11) содержатся новые функции, отсутствующие в (12), - это обобщенная функция депла-нации ф( х) и обобщенный бимомент В( х).

Уточнение по прогибу у в значительной степени зависит от геометрических характеристик балки, а также от соотношения сдвиговой 0ХуЕ и

изгибной Ех1\ ее жесткостей.

Список литературы 1. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных пластин. М.: Наука, 1987.

360 с.

V

e

l

2. Тимошенко С.П., Войновский - Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963. 636 с.

3. Васильев В.В., Лурье С.А. К проблеме построения неклассических теорий пластин // Известия АН СССР. Механика твёрдого тела. 1990. С. 158-167

4. Фирсанов В.В. Исследование напряжённо-деформированного состояния прямоугольных пластинок на основе неклассической теории// Проблемы машиностроения и надёжности машин / Имаш РАН. 2016. №6. С. 35 - 43.

5. Huu-Tai Thai, Seung-Eock Kim. A review of theories for the modeling and analysis of functionally graded plates and shells // Thin-WalledStructures. 2014. Vol. 82. P. 82-94.

Фирсанов Виктор Васильевич, канд. техн. наук, доц., kaf603amai.ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)

BENDING OF A COMPOSITE BEAM WITH ALL OWENS FOR SHEAR DEFORMATION

V.V. Firsanov

The article presents a variant of the theory of beam bending with deviation from some classical hypotheses. The tangential stress in the beam are set so as to satisfy the boundary conditions on the long edges.Accounting for shear deformation leads to the formulation of the problem in a mixed form: the basic unknowns aredeflection and tangential stress. Longitudinal displacement is determinedfrom a relationship, which can be interpreted as a compatibility equation. The resolving equations of the problem, which are obtained using the Lagrange variational principle, have higher orderthan in Bernoulli theory. In equations and-boundary conditions appear some additional kinematic factors and internal generalized forces.

Key words: bending, deformation, deflection, displacement, stress, stiffness, moment, force, deplanation, bimoment.

Firsanov Victor Vasilievich, candidat of technical sciences, docent, kaf603a mai. ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University)