Анализ кинематических моделей двухслойных плит с армирующим слоем из композитного материала Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

А.С. Игнатьев

АНАЛИЗ КИНЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДВУХСЛОЙНЫХ ПЛИТ С АРМИРУЮЩИМ СЛОЕМ ИЗ КОМПОЗИТНОГО МАТЕРИАЛА

Проводится анализ кинематических моделей двухслойной плиты, один из слоев которой обладает высокой сдвиговой жесткостью, а другой вследствие низкой жесткости на сдвиг испытывает деформации поперечного сдвига. Сопоставляются линейная и нелинейная сдвиговые модели для слоя с низкой сдвиговой жесткостью, при этом слой с высокой сдвиговой жесткостью описывается классической моделью прямых нормалей.

Двухслойная плита, сдвиговые модели, модель прямых нормалей

A.S. Ignatyev

ANALYSIS OF KINEMATIC MODELS OF TWO-LAYER SLABS REINFORCED BY A COMPOSITE MATERIAL LAYER

The article presents the analysis of the kinematic models of two-layer slabs where one of the layers has a high shear stiffness, and the other due to its low stiffness transverse shear undergoes transverse shear deformation. Comparison is provided for linear and nonlinear models with the layer having low shear stiffness, whereas the layer of high shear stiffness is described in terms of the classical model of direct normals.

Two-layer slab, shear models, a model of direct normals

В настоящее время внедрение в качестве армирующих материалов получают новые современные наноструктурированные материалы типа углепластика УОЛ 300. Его нормативная прочность при растяжении составляет 3155 МПа. Модуль упругости равен 240 ГПа. Этот материал в виде лент наклеивается на растянутой зоне изгибаемого элемента, образуя композитный слой внешнего армирования. Таким образом, получается расчетная схема изгибаемого элемента в виде двухслойной плиты средней толщины (рис. 1).

Рис. 1

Особенность работы композитного слоя внешнего армирования плиты обусловлена различием жесткостных свойств в продольном и поперечном направлениях. В продольном направлении жесткостные свойства композитного слоя создаются армирующим материалом (углепластиком), а в поперечном направлении сдвиговая жесткость создается клеевым связующим. Такой композитный слой отличается высокой жескостью в продольном направлении и относительно низкой сдвиговой жесткостью в поперечном направлении. Указанные обстоятельства требуют построения соответствующей уточненной расчетной модели такой двухслойной плиты, учитывающей деформации поперечного сдвига для композитного слоя внешнего армирования (рис. 2). При этом для основного слоя двухслойной плиты принимается классическая гипотеза прямых нормалей.

Кинематическая гипотеза заключается в разложении перемещений в эквидистантных поверхностях:

и к = и0 + ггк0, + г 2пк, + г ъук21; (,= 1,2;) ( 1 )

Здесь и к, и ° - перемещения в эквидистантных и координатной поверхностях соответственно, - искомые функции сдвига (, = 1,2), к - номер слоя.

Связь деформаций с перемещениями имеет вид

Я = 2 (иЬ+ик, ) ( 2 )

Я =(и0,+и‘,)

Здесь и в дальнейшем частные производные обозначены запятыми в индексах с последующим указанием аргументов, по которым берутся производные. Индексы , к, если не оговорено, принимают значения 1 и 2.

Касательные напряжения

= с!зй; (3)

а к

,3 - сдвиговой модуль к-го слоя.

Принимая параболический закон изменения касательных напряжений, справедливый даже при изгибе толстых плит, получим:

с учетом (5) выражение для перемещений и, (рис. 3):

ик = и° + гг0,, + [ г3 _ г ] ^ _(_ 11), ^ ц (и Ь + *, (! = 1А) (4)

Здесь Ик толщина к-го слоя, постоянные 3, определяют положение нейтральной поверхности и находят из условия, что при чистом изгибе двухслойной плиты усилия равны нулю:

В; (К )2 _ В1(К )2 , (5)

' ВХ + В;К2 ’

где Вк = Ек /(1 _ У^Уп ) - коэффициенты упругости ортотропного материала, Ек - модуль упругости

в направлении х1 и х2, Ук (,, , = 1,2;! ^ ,) - коэффициенты Пуассона. На поверхностях г = 3

напряжения <7(3 приобретают экстремальные значения.

Кинематическая модель для двухслойной плиты с изотропным слоем, описываемым на основе классической гипотезы Кирхгофа-Лява, и композитным слоем, уточненной нелинейной модели с учетом деформаций поперечного сдвига:

и? = и0 _ ги0

3,! ’

и'21 = иг + +

33 л

2 33! 3

г----------г

0, + ПГ) (, = 1.2;) (6)

л ( ,!(2^ V (и0, + г$>) (, = 1,2;)

V 2 ) (К _(_ 1) 3 РК

Тогда

2

иЬ и+

3 34 _2

г---------г

_2______

(/2 -4 )3/2

т>2) + /0,, , +

зс ^

3 ; 2

г —- г 2

(/2 -С, )31г2

Л2)

IО ,,г

_з зсг _2

г---------г

3 С 2 Л

_ г-------------- г

______2 и0 + 2 и0

(/2-С)з/ (/2-С)з/2 З'у'

(7)

(2)

3

1 -

г2 -Сг (/2 - С )/2

(и3, + гО’) ) (и М = 1,2)

Вводя обозначения:

=

Г 3С ^

г3 -2 2

(/2 - )3/2

Г (г2 -Сг) V (/2 -С, )/2

; (г, ], к =1,2),

(8)

с учетом (7), получим

С =1 (иу +Ц,- - гЦО,^

2

(9)

» =1 ^ -< +(г-<,■ Щ +(г-, )«)-1 и и I

&2' =(1 -1, )(и3О, + г0,2))! (г,», к = 1,2)

Полученные выражения для деформаций соответствуют уточненной модели двухслойной пластины, один из слоев которой обладает низкой сдвиговой жесткостью и описывается нелинейной кинематической моделью.

Построенная нелинейная кинематическая модель как частный случай позволяет получить линейную кинематическую модель и классическую модель прямых нормалей для второго слоя двухслойной плиты.

Произведем сравнительный анализ вариантов уравнений изгиба двухслойной пластины в зависимости от принимаемых кинематических гипотез для ее слоев.

Для этого рассмотрим задачи о спектре частот собственных поперечных колебаний двухслойной пластины с изотропными слоями одинаковой толщины, различающимися отношением модуля сдвига к модулю Юнга, это существенно упростит уравнения, сделает их обозримыми и позволит получить ряд аналитических формул, пригодных для сопоставления с формулами, полученными по различным сдвиговым моделям.

Самый простой вид уравнения получают при использовании классической кинематической гипотезы для двух слов плиты. В этом случае система дифференциальных уравнений в безразмерной форме приобретает вид

0 0 0 2 0 (10)

(и0 + 2и0 + и0 ) = В2и0

(и 3,1111 ~ 2и 3,1122 и 3,2222 ) И и .

Здесь

в2 =

а

Н

pH

2

I ^

24 о2;

Для сопоставления приведем систему частотных уравнений, полученную для этого примера с помощью линейной сдвиговой модели для однослойной плиты:

70)1,111 + 702,112 + 701,122 + 7о2,222 в и3 ;

/ 1 + ^ 1 - V N / Г70 \

(7о1,11 + 2 7о2,12 + 7о1,22) = (7о1 + и3,1)а ;

1 - V

(11)

1

I

к =1

Здесь

а, а2

а—^-^1 -V);

си н

Для случая, когда основной слой плиты обладает достаточно большой сдвиговой жесткостью и подчиняется классической кинематической гипотезе, а армирующий слой описывается линейной сдвиговой кинематической моделью, уравнения принимают вид

— 1(и0 + 2 и0 + и0 ) + 1(^-2 + ч(2') + v(-2') + ^’<-2^ ) — —в2Т10

у и 3,1111 + 2и 3,1122 + и 3,2222 ) + у (^°1>ш + ' 02,112 + I 01,122 + I 02,222 ) И и 3

+ ^ Г°)2д2 + ^ ) — ^ Т0

1 ±^у<2) + 1-V

2 1,12 2

Для случая, когда основной слой плиты обладает достаточно большой сдвиговой жесткостью и

подчиняется классической кинематической гипотезе, а армирующий слой описывается нелинейной сдвиговой кинематической моделью, уравнения принимают более сложный вид:

2 5

(г0ш + г022)12 + -V ) — (г02) + и з01 а<2);

( Г^22)22 + А + ^ Г$11 ) = Т30,2 ^ ; (12)

(у (2) + у + у + у )

( / 01 ,111 + / 01 ,122 + / 02 ,112 + / 02 ,222 /

— ^( и 30,1111 + 2 и 30,1212 + и 30,2222 ) — — в 2 Т 30;

1 — 105']((^|(2')п + УУ<02’12 )+ (У0122 + /02,)12 )) — 105 (Т3,111 + Т30,122 ) —

2а,

(13)

3

(и 301 + г02))— 0;

^ — 10)5^]((^02,)22 + ^т,12 ) + ( ^02Д 1 + ^01,12 )) — Ю5 (Т3,111 + Т '¡Щ ) —

---3-(Т302 + У02 ) — 0

Из сопоставления видим, что уравнения (12) существенно отличаются от уравнений (13) В уравнениях (13) подчеркнуты дополнительные слагаемые отсутствующие в (12), причем наличие этих слагаемых повышает порядок уравнений (13)

Представим функции сдвига у02) и прогиба Т °3 в виде тригонометрических рядов, удовлетворяющих краевым условиям шарнирного закрепления^

Применяя к полученным системам метод двойных тригонометрических рядов, получим простые аналитические формулы для частот собственных колебаний двухслойной пластины и сопоставим их с результатами учета влияния поперечного сдвига, полученными нами по другим кинематическим моделям^

Наиболее простое уравнение для однослойной плиты (при ш=п) на базе классической модели позволяет получить решение для частотного параметра

в2 — 4т 4п4 (14)

В случае, когда основной слой плиты обладает достаточно большой сдвиговой жесткостью и подчиняется классической кинематической гипотезе, а армирующий слой описывается линейной сдвиговой кинематической моделью, частотный параметр будет равен

в2 — 4п4 т 4(^ +1---------К^т) (15)

2 2 л 2п т2

1 +-------

а

Для случая, когда армирующий слой плиты описывается нелинейной сдвиговой кинематической моделью, величина частотного параметра имеет вид

л 2 . 4 4/3 2 1 /л 16 пт .. (16)

в — 4п т (— +------------------------2—^(1--------------------------------------)) (16)

5 5 1 204 п2 т 2 35 а

1 +--------------

105 а

Очевидно, что при а частотный параметр по уточненным кинематическим моделям стре-

мится к значению, полученному по классической теории прямых нормалей 226

Проведем численный анализ значений частотного параметра по различным кинематическим моделям. Для этого необходимо определить диапазон изменения параметра а для различных материалов композитного слоя. При выборе параметров, характеризующих материал композитного слоя, будем иметь в Е

виду отношение ----, то есть отношение модуля Юнга к модулю сдвига в поперечном направлении. Так,

С

например, это отношение для композитного материала СВАМ [1] может составлять 6, для стеклопластика [2] - 6,8, более высокое отношение имеет графитопластик [3] - 40. В [3, 4] приводятся характеристики

композитных материалов с еще большей анизотропией, такой, что отношение

E

1

, эту величину и

С * 100

примем за нижнюю границу отношения . Геометрический параметр отношения — для тонких плит,

С * Н

называемых пластинами средней толщины или просто пластинами, ориентировочно заключен в следующих пределах:

1 ^ 1

80 ' 100

< Н < ( 1 , 1

5 8

В этом случае параметр а =

с« a Gu' h

(1 — V) ; имеет диапазон изменения 0.1875< а <75.

Построим графики зависимости частотного параметра от значения а при ш=п=1.

На рис. 2 видно, что со снижением сдвиговой жесткости частотный параметр для однослойной плиты также снижается. Для двухслойной плиты, один из слоев которой является изотропным, имеющим большую сдвиговую жесткость, а второй обладает низкой сдвиговой жесткостью, частотный параметр, рассчитанный по линейной и нелинейной кинематическим моделям, практически совпадает.

Рис. 2 ЛИТЕРАТУРА

стеклопластиков /

1. Ашкенази К. Анизотропия механических свойств некоторых К. Ашкенази. Ленинград: Ленингр. дом науч.-техн. пропаганды, 1961.

2. Whitney J.M. Beending Extensional Compling in Laminated Plates Under Transverse Louding / J.M. Whitney // Journal of Composite Materials. Vol. 3. Inn, 1969. P. 20-28.

3. Рабинович А.Л. Об упругих постоянных и прочности анизотропных материалов / А.Л. Рабинович // Труды ЦАГИ, 1946. № 582.

4. Tsai S.W. Private communication / S.W. Tsai Jan. Washington Univ. St. Lonis, Mo, 1970.

Игнатьев Алексей Сергеевич-

ассистент кафедры «Промышленное и гражданское строительство»

Саратовского государственного

технического университета имени Гагарина Ю.А.

Alexey S. Ignatyev -

Assistant Lecturer

Department of Industrial

and Civil Engineering

Gagarin Saratov State Technical University

Статья поступила в редакцию 22.07.12, принята к опубликованию 06.09.12