Изгиб двухслойных плит с армирующим слоем из композитного материала Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

В.К. Иноземцев, О.В. Иноземцева, А.С. Игнатьев ИЗГИБ ДВУХСЛОЙНЫХ ПЛИТ С АРМИРУЮЩИМ СЛОЕМ ИЗ КОМПОЗИТНОГО МАТЕРИАЛА

Приведен вывод уточненных уравнений изгиба двухслойной плиты, один из слоев которой обладает высокой сдвиговой жесткостью, а другой вследствие низкой жесткости на сдвиг испытывает деформации поперечного сдвига. В основу уравнений изгиба плиты положена классическая модель прямых нормалей для одного из слоев и нелинейная кинематическая модель для слоя с низкой сдвиговой жесткостью. Сопоставляются линейная и нелинейная сдвиговые модели для слоя с низкой сдвиговой жесткостью.

Изгиб двухслойной плиты, поперечный сдвиг, модель прямых нормалей V.K. Inozemtsev, O.V. Inozemtseva, A.S. Ignatyev

TWO-LAYER PLATE BENDING WITH REINFORCING LAYER OF COMPOSITE MATERIAL

The article presents the results of the refined equations for the flexure of a two-layer slab, where one of the layers has a high shear stiffness, and the other, due to low stiffness of the shear, undergoes the transverse shear. The basis for equations of a slab bend is the classical model of direct normals for one of layers and a nonlinear kinematic model for a layer with low shear stiffness. The linear and nonlinear shear models for the layer with low stiffness shear are compared.

Flexural a two-layer slab, transverse shear, the model of direct normals

Рассмотрим задачу изгиба плиты, усиленной композитным слоем, представляющим собой пакет из слоев наноструктурированного материала типа углепластика У ОЛ 300, перемежающихся связующими слоями. Нормативная прочность УОЛ 300 при растяжении составляет 3155 МПа. Модуль упругости равен 240 ГПа. Таким образом, получается расчетная схема изгибаемого элемента в виде двухслойной плиты средней толщины (рис. 1).

Рис. 1

Особенность работы композитного слоя внешнего армирования плиты обусловлена различием жесткостных свойств в продольном и поперечном направлениях. В продольном направлении жесткостные свойства композитного слоя создаются армирующим материалом (углепластиком), а в поперечном направлении сдвиговая жесткость создается клеевым связующим. Такой композитный слой отличается высокой жескостью в продольном направлении и относительно низкой сдвиговой жесткостью в поперечном направлении. Указанные обстоятельства требуют построения соответствующей уточненной расчетной модели такой двухслойной плиты, учитывающей деформации поперечного сдвига для композитного слоя внешнего армирования (рис. 1). При этом для основного слоя двухслойной плиты принимается классическая гипотеза прямых нормалей.

Кинематическая гипотеза заключается в разложении перемещений в эквидистантных поверхностях:

ик = и0 - ги0,,; (і = 1,2; к = 1) ик = и0 + ггк, + г 2гк, + г >2; (і = 1.2; к = 2) (1)

Здесь ик, V0 - перемещения в эквидистантных и координатной поверхностях соответственно, у^к - искомые функции сдвига (і = 1,2), к - номер слоя.

Принимая параболический закон изменения касательных напряжений, справедливый даже при изгибе толстых плит, получим выражение для перемещений иІ (рис. 2):

Рис. 2

и‘ = и; + гЯ, + [ г3^ - г3) (^-^ и ЭЛ + /« * 0 = 1.2;) (2)

Здесь Ик - толщина к-го слоя, постоянные $ определяют положение нейтральной поверхности и находят из условия, что при чистом изгибе двухслойной плиты усилия равны нулю:

= В\ (Т )2 - В'п(Н,)2

$ тл1 , . П2 т ’ ^3)

2

В1К + В2К

где Вк = Ек /(1

— ) - коэффициенты упругости ортотропного материала, Е* - модуль упруго-

сти в направлении х, и х2, ук (г, ] = 1,2; г Ф ]) - коэффициенты Пуассона. На поверхностях Z = $

напряжения (Угз приобретают экстремальные значения.

Кинематическая модель для двухслойной плиты с изотропным слоем, описываемым на основе классической гипотезы Кирхгофа-Лява и композитным слоем, уточненной нелинейной модели с учетом деформаций поперечного сдвига:

и?> ■ и0 - ги0;

и

(2) _ гг О

и" + гтО? +

38

2

А-(-к + ’1?‘ (і■ 12;)

(4)

Тогда, вводя обозначения

и ■

г 3 8 _ 2

г--------г

2

(к2 - 8і )3К2 V У

I, ■

г (г2 -8,г) (к2 - 8і )к2

2

(і, І, к ■ 1,2),

(5)

получим

2

$ ■1 (и0 +и° +(г^+(гк2’)-1 (^іи0,+}• $$2) ■& -1, )(иОі + /о.2) ) (і, І- к ■ 1,2)

(6)

Дифференциальные уравнения равновесия и граничные условия получим на базе вариационного метода сведения трехмерной задачи теории пластин к двумерной на основании вариационного принципа Э. Рейснера [1]. Ранее этот метод применялся в [2-4].

*2

]ЧЛ (* -Т)-Шг ■ О.

(7)

Здесь И - функционал Рейснера вида

* ■ Я

х

где 8 - поверхность пластины.

2 3 3

ПЕЕ

к ■! Нк г ■! І ■!

йх.

йх1йх2;

П (ук) = а^у")2 + ак22(Ук22)2 + + (Сй)"1^)2 +

+(С1кз)-1(укз)2 + (С2кз)-1(укз)2 ;

ак =(Ек); а =МЕкГ; г =1,2;]=12;(=];

Кинетическая энергия Т представима в виде

2

где рк - плотность материала слоев.

Вариация работы внешних сил А:

2 -2 3

к ■ 1 кк І ■ 1

8А ■ <7* $7 О йх3 йх 2 йх1 + 30 йх 2 йх1 ,

к■ кк і=1 І=1

где первое слагаемое - работа контурных нагрузок, второе -- работа поперечной нагрузки, приложенной на поверхности оболочки.

3

Выписанное вариационное уравнение позволяет получить естественные условия на контуре, начальные условия и систему дифференциальных уравнений движения, описывающих свободные и вынужденные колебания двухслойных пластин. Эта система в случае статики описывает напряженно-деформированное состояние двухслойных пластин. Из условия равенства нулю коэффициентов при вариациях напряжений в выписанном вариационном уравнении, получаются физические соотношения.

Полагая равными нулю коэффициенты при независимых вариациях перемещений в вариационном уравнении и, вводя функцию усилий Б, можно записать следующую систему дифференциальных уравнений с учетом инерции изгиба. Система дифференциальных уравнений равновесия для двухслойной конструкции будет иметь вид

Полученные выражения для деформаций соответствуют уточненной модели двухслойной пластины, один из слоев которой (к=2) обладает низкой сдвиговой жесткостью и описывается нелинейной кинематической моделью.

Построенная нелинейная кинематическая модель как частный случай позволяет получить линейную кинематическую модель и классическую модель прямых нормалей для второго слоя двухслойной плиты.

Произведем сравнительный анализ вариантов уравнений изгиба двухслойной пластины в зависимости от принимаемых кинематических гипотез для ее слоев.

Для этого рассмотрим задачу об изгибе двухслойной пластины с изотропными слоями одинаковой толщины, различающимися отношением модуля сдвига к модулю Юнга, это существенно упростит уравнения, сделает их обозримыми и позволит получить ряд аналитических формул, пригодных для сопоставления с формулами, полученными по другим сдвиговым моделям.

Самый простой вид уравнения получают при использовании классической кинематической гипотезы для двух слоев плиты. В этом случае система дифференциальных уравнений в безразмерной форме приобретает вид классического уравнения изгиба плиты:

Здесь Ц - безразмерный параметр нагрузки.

Для сопоставления приведем систему уравнений, полученную для этого примера с помощью линейной сдвиговой модели для однослойной плиты:

Для случая, когда основной слой плиты обладает достаточно большой сдвиговой жесткостью и подчиняется классической кинематической гипотезе, а армирующий слой описывается линейной сдвиговой кинематической моделью, уравнения принимают вид

2

(8)

2

(9)

(10)

Для случая, когда основной слой плиты обладает достаточно большой сдвиговой жесткостью и подчиняется классической кинематической гипотезе, а армирующий слой описывается нелинейной сдвиговой кинематической моделью уравнения принимают более сложный вид:

2 V у + У + У *'2') + У *'2') ) —

V/ 01,111 + I 01,122 + I 02,112 + I 02,222 )

5

3 5

(U 0 + 2 U 0 + U 0 ) — — в 2 U 0-

( U 3,1111 + 2 U 3,1212 + U 3,2222 ) И U 3 ’

Г 68 + v"K^2^ )+1—— (у^2 + у1'2 )) —1— (U0 + U0 ) —

I 105 l( V/01,11 + v/02,12/ + 2 Y 01,22 +/ 02,12 ^ 105 U 3,111 + U 3,122 )

2a

(12)

3 (и301 + rS')— 0;

1—371((^2) +vY'~’ )+1—V(Y2 + Y2 )l—16(U0 + Uy ) —

1 1 (V' 02,22 ^ W 01,12/^ ^ \/02,11 / 01,12 P л r\r U 3,111^ U 3,122)

V

105 Г4' UAi^+VY>1,12 )+ 2 (Y02,11 + ?01,12 )) 105 (U3,111 + U3,122>

2a

3 (u3,2 + ^02’) — 0;

Представим функции сдвига y02 и прогиба U 3 в виде тригонометрических рядов, удовлетворяющих краевым условиям шарнирного закрепления:

Yo(12) — XX Cmn cos mnx1 sin nnx2;

m — 1 n — 1

y02 — Z Z В™ sin m ях1cos nnx2; (13)

m—1 n—1

U 0 — У У A sin m nx, sin nnx,;

3 mn 1 2 7

m — 1 n — 1

Применяя к полученным системам метод двойных тригонометрических рядов, получим простые аналитические формулы для коэффициентов ряда разложения функции прогиба двухслойной пластины и сопоставим их с результатами учета влияния поперечного сдвига, полученными нами по другим кинематическим моделям.

Проведем численный анализ значений коэффициентов ряда разложения функции прогиба по различным кинематическим моделям. Для этого необходимо определить диапазон изменения параметра а для различных материалов композитного слоя. При выборе параметров, характеризующих материал композитного слоя, будем иметь в виду отношение , то есть отношение модуля Юнга к модулю сдвига в

G *

поперечном направлении. Так, например, это отношение для композитного материала СВАМ [5] может составлять 6, для стеклопластика [6] - 6,8, более высокое отношение имеет графитопластик [6] - 40. В [8] приводятся характеристики композитных материалов с еще большей анизотропией, такой, что отношение E 1 E

E — 1 , эту величину и примем за нижнюю границу отношения_______________Геометрический параметр отноше-

G* 100 G*

а

ния — для тонких плит, называемых пластинами средней толщины или просто пластинами ориентиро-Н

вочно, заключен в следующих пределах

G a

В этом случае параметр а — — -(1 — V) имеет диапазон изменения 0.1875<а<75.

G12 H2

Разрешая системы уравнений на базе различных кинематических гипотез, получим наиболее простые (ш=п) аналитические выражения для неизвестных коэффициентов искомых функций прогиба. Так, для классической кинематической модели имеем

4 р

Атт

Т~\ „_6 6

Оп т

Для однослойной пластины с низкой сдвиговой жесткостью, учет которой производится на базе линейной сдвиговой модели, получим

А =

4 р

Оп6т6

1 +

Л—2 2 Л

2п т а

Для двухслойной пластины с низкой сдвиговой жесткостью одного из слоев, учет которой производится на базе линейной сдвиговой модели, получим

4 р

Оп6 т6

Л

-1

1

1 1

2 2 . 2п2 т2

1 + — а )

Для двухслойной пластины с низкой сдвиговой жесткостью одного из слоев, учет которой производится на базе нелинейной сдвиговой модели, получим

А_

4 р

Оп6 т6

3 2 +

1

16 п2 т2 ^

35 а

5 5 л 204 п2т2

1 +

105 а у

При а решение по уточненным моделям стремится к классическому решению на основе

гипотезы прямых нормалей.

Численное сопоставление коэффициентов ряда Атт :

Таблица 1

Коэффициенты разложения прогиба в ряд А Оп тт 4 р

а т линейная модель нелинейная модель %

75 1 1,1161872 1,111762 0,398006136

75 3 0,0021152 0,002092 1,101465443

75 5 0,0001131 0,000112 1,195141761

75 7 0,0000159 0,000016 1,199219192

75 9 0,0000036 0,000004 1,194482432

Нетрудно видеть, что с возрастанием ш в разложении функции прогиба в ряд коэффициенты Атт

быстро убывают, то есть ряд быстро сходится. Из табл. 1 также следует, что погрешность вычислений по линейной и нелинейной моделям не превышает 1,2%.

Полученные результаты сопоставления двух моделей: линейной и нелинейной справедливы для двухслойной плиты, один из слоев которой обладает низкой сдвиговой жесткостью, при этом а = 75.

Для случая двухслойной плиты, один из слоев которой обладает предельно низкой сдвиговой жесткостью, при этом а = 0.1875, получим (табл. 2).

Из табл. 2 видно, что погрешность вычислений по линейной и нелинейной моделям и в этом случае не превышает 1,2%.

В дальнейшем будем использовать линейную кинематическую модель.

Перемещения для двухслойной плиты в эквидистантных поверхностях для линейной сдвиговой модели будут:

210

(

ч-1

и

(1)

Оп5т5

4 р

: - г

1 1 1

2 2 . 2п2т2

1 +------

а

Со5(тпс1)^гп(тлх2);

>-1

Бж5 т5

4 р

(2)

1

- г-

22

1+

2п т

а

11

--1-

2 2

1+

_1_______

2п2 т2 а у

Св$ (тпх1 )3т(тях2);

Таблица 2

Коэффициенты разложения прогиба в ряд А 4 р

а т линейная модель нелинейная модель %

0.19 1 1.9810938 1.957962 1.181434295

0.19 3 0.0027406 0.002709 1.177058616

0.19 5 0.0001280 0.000126 1.176683356

0.19 7 0.0000170 0.000017 1.176579295

0.19 9 0.0000038 0.000004 1.176536387

Численно построим эпюры горизонтальных перемещений для пластин при ш=1, а = 75, х1=х2=0.25.

151

модель прямых нормален

тЛл

1.5 -1

Рис. 3

Из результатов расчета видно, что учет деформаций поперечного сдвига одного из слоев уточняет эпюру перемещений для этого слоя на 13%. Это уточнение может быть гораздо большим при снижении параметра а . Численно построим эпюры горизонтальных перемещений для пластин при ш= 1, а = 10, х1=х2=0,25.

модель прямых нор манен

Рис. 4

В этом случае деформации поперечного сдвига развиваются более интенсивно, и различие результатов получаемых по модели прямых нормалей и линейной сдвиговой модели, достигает 98%.

ЛИТЕРАТУРА

1. Reissner E. On a variational theorem in elasticity / E. Reissner // Math. and Phys. №2. 1950.

2. Прусаков А.П. Нелинейные уравнения изгиба пологих многослойных оболочек / А.П. Прусаков // Прикл. механика. 1976. Т. 7. №3. С. 3-8.

3. Рикардс Р.Б. Устойчивость оболочек из композитных материалов / Р.Б. Рикардс, Г. А. Тетерс. Рига: Зинатне, 1974. 310 с.

4. Рассказов А.О. К теории многослойных ортотропных пологих оболочек / А.О. Рассказов // Прикл. механика. 1976. Т. 12. №11. С. 50-56.

5. Ашкенази К. Анизотропия механических свойств некоторых стеклопластиков / К. Ашкенази. Л.: Ленингр. дом науч.-техн. пропаганды, 1961.

6. Whitney J.M. Beending Extensional Compling in Laminated Plates Under Transverse Louding / J.M. Whitney // Journal of Composite Materials. Vol. 3. Inn. 1969. P. 20-28.

7. Рабинович А.Л. Об упругих постоянных и прочности анизотропных материалов / А.Л. Рабинович // Тр. ЦАГИ. 1946. № 582.

8. Tsai S.W. Private communication / S.W. Tsai // Washington Univ. St. Louis, Mo. Jan. 1970.

Иноземцев Вячеслав Константинович -

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Промышленное и гражданское строительство»

Саратовского государственного

технического университета имени Гагарина Ю.А.

Иноземцева Ольга Вячеславовна -

кандидат технических наук, доцент кафедры «Промышленное и гражданское строительство» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Игнатьев Алексей Сергеевич -

ассистент кафедры «Промышленное и гражданское строительство»

Саратовского государственного

технического университета имени Гагарина Ю.А.

Vyacheslav K. Inozemtsev -

Dr. Sc., Professor

Head: Department of Industrial

and Civil Engineering

Gagarin Saratov State Technical University

Olga V. Inozemtseva -

Ph. D., Associate Professor

Department of Industrial

and Civil Engineering

Gagarin Saratov State Technical University

Alexey S. Ignatyev -

Assistant Lecturer

Department of Industrial

and Civil Engineering

Gagarin Saratov State Technical University

Статья поступила в редакцию 15.07.12, принята к опубликованию 06.11.12