Итерационная схема для определения перемещений в заполнителе трехслойной оболочки Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3 А. И. Муштари

ИТЕРАЦИОННАЯ СХЕМА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В ЗАПОЛНИТЕЛЕ ТРЕХСЛОЙНОЙ ОБОЛОЧКИ

Ключевые слова: трехслойная оболочка, заполнитель, перемещения.

Предложена итерационная процедура для определения перемещений в трансверсально-жестком заполнителе трехслойной оболочки. На первом этапе используется модель трансверсально-мягкого заполнителя, чтобы проинтегрировать трехмерные уравнения равновесия. Полученные соотношения используются на втором этапе для получения тангенциальных напряжений и уточнения напряжений обжатия в заполнителе. Для вычислений используется пакет Mathemat^.

Keywords: sandwich shell, core, displacements.

The iterative procedure for detection of displacements in transversely stiff core of sandwich shell is suggested. The first phase consists of using the model of transversely soft core in order to integrate the three-dimensional equilibrium equations. Received relations are used in the second phase to obtain the in-plane stresses and highly accurate transverse stresses in the core. The software package Mathemat^ is used.

Общие подходы к исследованию устойчивости трехслойных оболочек изложены в [1, 2]. При этом заполнитель оболочки считается трансверсаль-но-мягким. Это удовлетворительные значения для критических нагрузок при классических формах потери устойчивости. В [3, 4] изучена устойчивость эллипсоидальной ортотропной оболочки.

При описании смешанных форм потери устойчивости, характеризуемых разными формами потери устойчивости внешних слоев, возникает задача построения уточненной модели трехслойной оболочки с трансверсально-жестким заполнителем.

Предлагаемая модель базируется на привлечении гипотез Кирхгофа-Лява к внешним слоям и итерационной процедуры для моделирования заполнителя. При этом на первом этапе заполнитель считается трансверсально-мягким. Упрощенные уравнения теории упругости для заполнителя интегрируются по поперечной координате. Строятся выражения для компонент вектора перемещений. При этом по сравнению с [1] вводятся еще две искомые функции - тангенциальные перемещения срединной поверхности заполнителя. На втором этапе определяются тангенциальные компоненты тензоров деформаций и напряжений и уточняется напряжение поперечного обжатия в заполнителе.

Пусть г = г(а1,а2 ) = г(а') - параметризация срединной поверхности заполнителя трехслойной оболочки ст . Уравнения срединных поверхностей несущих слоев Ст(к): Г(к) = Г — + Ь1(к))т, где 2Ь, 2^1(к) - толщины заполнителя и несущих

слоев (к = 1 - для верхнего слоя, к = 2 - для нижнего слоя); 8( 1) = 1, 8( 2) = —1. Если принять гипотезы

Кирхгофа-Лява, то вектор перемещений ^го внешнего слоя определяется по формулам [2]:

и2(к > = (и(к ) — 2(к )Ю((к ))г' + ет(к ]т, (1)

а(к) =у^(к) + Чи(к),

При данном представлении тангенциальные компоненты тензора деформаций равны:

s ^ _sk + z

Jk)

(к) ij

(2)

где е(к\ к(к - ковариантные компоненты тензоров

тангенциальных и изгибных деформаций поверхностей Ст(к), при среднем изгибе оболочки равные

2е(.к) = в<к) + е(к) +®(к)а(к), (3)

На первом этапе предлагаемой модели итерационной схемы для установления закона изменения по координате ъ компонент вектора перемещений заполнителя и = и ¡г' + и3т для его компонент тензора напряжений примем допущения

ст11 =ст12 =ст22 = 0 (4)

в рамках трансверсально-мягкого заполнителя.

Исходя из этого предположения, после интегрирования уравнений равновесия, устанавливаются соотношения ст'3 = ст'3(а*) = qi(а^), показывающие независимость от ъ поперечных касательных напряжений. Интегрирование уравнения со-

33

стояния в заполнителе для ст и удовлетворение условиям сопряжения внешних слоев с заполнителем приводят к соотношениям:

z _ w(2) _ w(1) s 33 _ '

2h

E

Z Vqi _|3 + азТ,

2h

11

Рз _ J а3Tdz,

_ h

(5)

U3 _

w(1) + w( 2)

+ Z(W(2) _ w(1)) _ 2h

z2 _ h2 1 z + h

2Ез

Vq _Ц^-Рз + ^3, ^з _ Ja3Tdz, (6)

где е - деформация поперечного обжатия заполнителя, Е3 ,а3 - модуль упругости, не зависящий от

а! ,2 , и коэффициент теплового расширения заполнителя, Т - приращение температуры.

Считая, что заполнитель обладает упругими свойствами, симметричными относительно поверх-

2

ности, после интегрирования уравнении состояния для ст'3 устанавливается закон изменения по z тангенциальных компонент вектора перемещений в заполнителе. После введения обозначений для весовых коэффициентов запишем его в следующем виде:

и, = и1 2Х2) +СЕз1У, +

, Рз +ФV, Л з,

= - — + 8

(k)

4h

% = z, C = -

hhZ 2 '

,2

z z L Л

1 =— +—, Ф =-1, 4h 2

Л3 = Jx 3dz,

(7)

где и, = и,-представляют собой тангенциальные перемещения точек срединной поверхности заполнителя, а через dl■s обозначен двухвалентный тензор податливости заполнителя на поперечный сдвиг.

Последующее использование соотношений (6) и (7), справедливых при среднем изгибе оболочки, позволяет вычислить тангенциальные компоненты тензора деформаций в заполнителе:

24 = j ,U + r, djU = Ej + Ejh

Ej = VUj -bjU3 = V,Uj +^(i)V/ro(1) + Л(2)V,-j

+ Ф ¡qsdjs + CE3-1'V VjVsqs +XV,VyP3 +фVíVyЛ3 -

Ю(2) +

- b U

w( 1) + w( 2)

+z(w(2) - w( 1))-2h

z2 - h2 „ s z + h

2E3

-Vsqs--

2h

P3 +X3

(8)

На втором этапе итерационной схемы, отказавшись от исходных соотношений (4), получаем уточненные выражения для тангенциальных напряжений и напряжения поперечного обжатия:

аij = Aijsnzzsn + Aij3343 -рijT, а33 = A33snszn + A3333sz3 -p33T,

(9)

где А'^",А'-/'33,А3333,Р'у,Р33 - компоненты тензора упругих постоянных и тензора коэффициентов температурных расширений заполнителя.

Как следует из (7), (6), (8), (5) и (9), поле перемещений и компоненты тензоров деформаций и напряжений в заполнителе определяются через

(k)

w

(k)

и че-

шесть функций во внешних слоях и( тыре функции в заполнителе д', и,, которые принимаются далее в качестве искомых.

В качестве примера рассмотрим цилиндрическую форму потери устойчивости бесконечно-широкой трехслойной пластины. Для вычислений удобно использовать пакет программ для численно-аналитических вычислений МаШешайса.

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

Рис. 1 - Эпюры параметра стт НДС заполнителя при смешанной форме потери устойчивости

Погрешность не превосходит приемлемых значений 5-10 % для трехслойных пластин при широком диапазоне изменения параметров, например, при отношении модулей Юнга заполнителя и внешних слоев Е3 / Е = 10 ^2,10 3 и при отношении толщин заполнителя и внешних слоев г < 20 . На рис. 1 приведены эпюры параметра ст^ напряженно-деформированного состояния (НДС) при смешанной форме потери устойчивости для Ф3 = 10 3 и г = 10 (сплошные линии) и г = 18 (пунктирные линии, штрихи). Обозначено: 1 - трансверсально-жесткий заполнитель, 2 - трансверсально-мягкий заполнитель, 3 - теория упругости для заполнителя.

Таким образом, точность вычислений при применении модели трансверсально-жесткого заполнителя оказывается в целом значительно выше, чем при применении модели трансверсально-мягкого заполнителя.

Литература

1. Сухинин С.Н. Прикладные задачи устойчивости многослойных композитных оболочек. М.: Наука, Физматлит. 2010. 248 с.

2. Бакулин В.Н., Образцов И.Ф., Потопахин В.А. Динамические задачи нелинейной теории многослойных оболочек. Действие интенсивных термосиловых нагрузок, концентрированных потоков энергии. М.: Наука, Физматлит. 1998. 464 с.

3. Гумерова Х.С. Устойчивость ортотропной эллипсоидальной оболочки в переменном температурном поле // Вестник Казанского технол. ун-та, 16, 20, 69-70 (2013)

4. Гумерова Х.С. Устойчивость ортотропной оболочки вращения, находящейся под действием сжимающих контурных усилий и постоянной температуры // Вестник Казанского технол. ун-та, 17, 23, 297-298 (2014)

©А. И. Муштари - канд. физ.-мат. наук, доц. каф. теоретической механики и сопротивления материалов КНИТУ, mai_kstu@mail.ru.

© A. I. Mushtari, candidate of physico-mathematical sciences, associate professor, department of theoretical mechanics and strength of materials, KNRTU, mai_kstu@mail.ru.

2

3

z

z

2

6

2