Уточненные уравнения движения многослойных оболочек с трансверсально-мягкими заполнителями при среднем изгибе Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том 155, кн. 2

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Физико-математические пауки

2013

УДК 539.3

УТОЧНЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МНОГОСЛОЙНЫХ ОБОЛОЧЕК

С ТРАНСВЕРСАЛЬНО-МЯГКИМИ ЗАПОЛНИТЕЛЯМИ ПРИ СРЕДНЕМ ИЗГИБЕ

В.Н. Паймушип, Т. В. Полякова

Аннотация

В развитие полученных ранее результатов построена уточненная двумерная математическая модель динамического деформирования многослойных пластин и оболочек с трапсверсалыго-мягкими заполнителями, основанная па использовании классической модели Кирхгофа Лява для несущих слоев и гипотезы о подобии законов изменения перемещений по толщине заполнителей как при статических, так и динамических процессах пагружепия. Исходя из этой гипотезы, для трапсверсалыю-мягкого заполнителя составлены упрощенные квазистатические уравнения теории упругости, допускающие интегрирование по поперечной координате. При их интегрировании для описания папряжешго-деформировашюго состояния (НДС) введены в рассмотрение, как и в статических задачах. две двумерные неизвестные функции, представляющие собой поперечные касательные напряжения, постоянные по толщине. На основе обобщенного вариационного принципа Остроградского Гамильтона для описания динамических процессов деформирования с большими показателями изменяемости параметров НДС построены двумерные уравнения движения общего вида, в которых инерционные составляющие имеют одинаковую степень точности в сравнении с другими. Проведено упрощение построенных уравнений для случая малой изменяемости параметров НДС. Рассмотрена задача о малых свободных колебаниях прямоугольной многослойной пластины, характеризующихся пулевой изменяемостью функций в тангенциальных направлениях и реализующихся в пластине без деформаций несущих слоев.

Ключевые слова: ортотроппая пластина, уточненная теория, тригонометрические функции, свободные колебания, продольно-поперечная форма, частоты колебаний.

Введение

В области механики многослойных пластин и оболочек к настоящему времени опубликовано большое количество работ, посвященных как теоретическим, так и экспериментальным исследованиям. В указанной области задачи, связанные с выявлением и классификацией возможных форм потери устойчивости (ФПУ) и колебаний. а также построением для их описания соответствующих математических моделей и разрешающих уравнений, составляют одно из направлений научных исследований.

Общее состояние исследований в механике слоистых пластин и оболочек в 1996 г. было освещено в обзорной статье [1]. а состояние теории устойчивости трехслойных пластин и оболочек с анализом этапов ее развития и направлений дальнейших исследований было отражено в статьях [2. 3]. В соответствии с разработанной там классификацией ФПУ в трехслойных пластинах и оболочках в зависимости от вида докритического напряженно-деформированного состояния (НДС) в несущих слоях и заполнителе следует различать:

1) кососимметричную (синфазную) ФПУ. являющуюся изгибно-сдвиговой. и симметричную (антифазную) ФПУ. связанную с антифазным изгибом несущих слоев и реализующуюся в пластинах при одинаковых значениях докритических усилий в несущих слоях и нулевых значениях докритических поперечных касательных напряжений в заполнителе:

2) смешанную изгибно-сдвиговую ФПУ. реализующуюся в пластинах и оболочках при неравных значениях докритических усилий в несущих слоях и как нулевых, так и ненулевых докритических поперечных касательных напряжениях в заполнителе:

3) чисто сдвиговую ФПУ. при реализации которой в заполнителе формируется чисто сдвиговое возмущенное напряженно-деформированное состояние:

4) сдвиговую ФПУ в тангенциальных направлениях, реализующуюся при малых значениях модуля сдвига материала несущих слоев в тангенциальной плоско-

5) произвольную ФПУ. представляющую собой комбинацию указанных форм при докритическом НДС произвольного вида.

Изучение описанных выше ФПУ потребовало построения соответствующих уточненных уравнений теории устойчивости, которые отличаются от известных в литературе учетом ряда не принимавшихся во внимание принципиальных факторов.

Задачи прочностного анализа конструкций включают в себя как составную часть и задачи динамического анализа. К ним. в частности, относятся задачи о свободных колебаниях ненагруженных конструкций и задачи о собственных колебаниях конструкций, находящихся в условиях предварительного статического нагружеиия. Из этих задач в механике многослойных конструкций наиболее исследованной является задача о свободных колебаниях. Так же. как и в задачах устойчивости элементов конструкций, находящихся в безмоментном состоянии, в многослойных элементах симметричного строения наблюдаются две классические формы свободных колебаний (синфазная и антифазная), задачи для которых разделяются. При этом частота колебаний по синфазным формам в реальных элементах конструкций намного больше частот, отвечающих антифазным формам. Так как наибольший практический интерес представляют низшие частоты колебаний. то для их уточненного определения достаточно учета поперечных сдвигов в заполнителе. В связи с этим исследователи пришли к выводу о нецелесообразности учета поперечного обжатия заполнителя при постановке и исследовании задач указанных выше классов.

Иная ситуация имеет место в этих задачах при наличии предварительного статического нагружеиия конструкции. Если такое нагружеиие вызывает в ней безмоментное НДС (равные в несущих слоях начальные тангенциальные усилия), то задача об их собственных колебаниях принципиально не отличается от задачи о свободных колебаниях. Если же начальное состояние моментное (как и в задачах статической устойчивости), то от вида и уровня указанного НДС принципиально будут зависеть и формы собственных колебаний, соответствующих низшим часто-

К настоящему времени эти вопросы в некоторой степени рассматривались в механике трехслойных конструкций, а для многослойных конструкций общего вида оставались практически неизученными. Само собой разумеется, при наличии динамической составляющей начального НДС конструкции, являющейся момент-ной. соответствующие задачи о параметрических колебаниях требуют привлечения уравнений соответствующей степени точности. К настоящему времени из механики слоистых элементов конструкций известны лишь простейшие, построенные без учета поперечных обжатий заполнителя с одновременным учетом момеитпости НДС.

1. Уточненные уравнения теории пластин с учетом деформаций поперечных сдвигов и обжатия

Рассматривается многослойная оболочка с чередующимися жесткими слоями, которые в дальнейшем именуются несущими, и маложесткими слоями, называемыми заполнителями. Обозначим текущий номер несущего слоя через к = 1, 2,..., N, индекс, указывающий номер, заключим в круглые скобки. Аналогично пронумеруем расположенные между ними слои заполнителей через к = 1, 2,..., N — 1, а их номера будем заключать в квадратные скобки. За базу параметризации примем срединную поверхность первого слоя заполнителя <тщ = а, считая ее заданной уравнением г = г (ж1, ж2) = г(ж®) и отнеся пространство этого слоя к полуортогональной системе координат ж®, г, нормально связанной с поверхностью а; через г® = дг/дх® и т обозначим основные базисные векторы на а и вектор единичной нормали соответственно. В дальнейшем будем считать, что изменением метрики в направлении осп г можно пренебречь, отождествляя тем самым базисные векторы для каждого несущего слоя г(к) = дг(к)/дж® и каждого слоя заполнителя г®к] = дг[к]/дх® с базисными векторами г® на а = ащ . Кроме того, введем обозначения: г(к), — координаты по нормали т к срединным поверхностям а (к) и ащ каждого несущего слоя и заполнителя; Ч(к), Ч[к] - соответствующие толщины слоев, причем —Н(к)/2 < гщ < Н(к)/2, к = 1, 2,..., N и —Нщ/2 < гщ < Нщ/2, к = 1, 2,..., N — 1; а^ = г® г^-, Ь^ = —г® т - ковариаптпые компоненты первого

а

ження являются неизменными при переходе от слоя к слою.

Предполагаем, что оболочка является тонкой и непологой, ее граничный срез

т

вдоль некоторой гладкой кривой С € а, а через п и т обозначим единичные векторы нормали и касательной к С, составляющие с век тором т правосторонний

С

Известные в литературе варианты теории многослойных пластин и оболочек отличаются друг от друга главным образом принятыми в них моделями заполнителя. К настоящему времени детальный их анализ был проведен многими авторами, в частности Х.М. Муштари [4, 5] и В.В. Болотиным ([6] и др.). В этих работах было показано, что несущие слои, как правило, удовлетворительно описываются классической моделью Кирхгофа Лява, и в них для деформаций поперечных сдвигов 2 и поперечного обжатия е3(3к) имеют место оценки

2- п£ 4к) - п2 Г. (1.1)

Здесь £ - характерная тангенциальная деформация, то есть е^1 — £, а за параметр пп

Ч[к] . . Н Ч(к) н

— < П < у или — < п < у, (1.2)

где А - один из характерных геометрических размеров оболочки или масштаб изменения НДС в направлениях ж1 и ж2; Н — толщина оболочки, определяемая по формуле

N N-1

Н = Х) Ч(к) + 12 Ч[к] . к=1 к=1

Характерные модули упругости Е[к] при деформации в направлении ж®, Е[к] -в направлении г и поперечного сдвига 0\к] в заполнителях с характерным модулем

упругости несущего слоя ЕЕ свяжем зависимостями

Е[к] = ^[к] Е Езк] = Е с[к] = ф[к] Е

где <^[к], > Ф[к] _ некоторые параметры. Если эти параметры удовлетворяют условиям [6] (здесь и далее индекс [к] опускается, е - некоторая величина, пренебрежимо малая по сравнению с единицей):

2 4

^ < е, П > 1, ^ > 1, (1.3)

Ф ^3

то заполнители называются трансверсалыго-мягкими. в них плотность потенциальной энергии деформации V[к] вычисляется по формуле

ии = (2 о^Ч а^1)/2, (1.4)

что равносильно принятию допущения а ¿к] ~ 0. В силу этих допущений для заполнителей уравнения движения можно записать в виде

(1.5)

где через V" обозначен символ коварнантного дифференцирования по метрике

агк — гг гк 5

— тангенциальные перемещения и прогибы; р[к] — плотность к-го слоя заполнителя; £ - время. Если в соответствии с [6] принять

д 1 ^ д 1 . . 3* ~ Н У ~ дХ" ~ А' (1.6)

то в силу соотношения ¿3 — Я63, — первое уравнение в (1.5) допускает упрощенную запись

дам р д2Цк] (17)

=Р[к]^^. (1.7)

Кроме того, для трансверсальио-мягких заполнителей по аналогии с [6] можно установить оценки

да|3] С[к] ( + Я ч д^3к3 (1 8)

а при свободных колебаниях с частотой ш - оценки

д2и"к] д2Ц3к]

|к| 2 т тг |к| 2 тт3

Р[ к] - Р [к] ш V к], Р [к] - Р [к] ш V к]. (1.9)

Из (1.8) и (1.9) следует, что при частотах колебаний

ш2 « р%, ш2 « ^ (1.10)

Р[к] Я 2 Р[к] Я 2

уравнения (1.7) и второе уравнение в (1.5) допускают упрощенное представление

3(г1Ь да?,3

0, яГ^ + *г3]=0, (1-11)

д;[к] ' д;[к] интегралы которых приводятся к виду

4?= «^(х1^2,*), (1.12)

да?3

д*[|+^ = 0- (1-13) В силу принятых оценок (1.6) из уравнения (1.13) следует, что

а

33 , ^к] 11

Л

0- (1-14)

Так как в заполнителях а3к3 — ащ , то в зависимости от величины Л возможно рассмотрение следующих основных видов НДС.

1. Случай малой изменяемости касательных напряжений вдоль координат х®, имеющий место при низкочастотных формах колебаний несущих слоев с образованием длинных волн, когда Л — Ь (Ь — характерный размер оболочки) и

Я/Ь - £ < 1- (1-15)

При выполнении (1.15) в уравнении (1.13) можно пренебречь вторым слагаемым.

()

а3к]= $]( х1,х2,^- (1-16)

Заметим, что при выполнении (1.15) возможно и более сильное упрощение задачи, так как при этом согласно (1.14) а3к3 + £а®3] — 0, откуда следует а3к3 = 0. Принятие такого допущения с учетом исходных допущений а^ = 0 приводит к модели мягких заполнителей [6].

2. Случай средней изменяемости касательных напряжений вдоль х®, когда длина полуволи и толщина оболочки находятся в соотношении

Я2/Ь2 — £ < 1- (1-17)

При реализации в заполнителе НДС с масштабом изменения (1.17) в уравнении (1.13) оба слагаемых с точностью 0(£) являются равнозначными, это уравнение не допускает упрощения вида (1.16).

3. Случай большой изменяемости касательных напряжений вдоль осп х®, име-

Л

соизмерима с толщиной оболочки

Я/Ь — 1- (1-18)

В этом случае для описания динамических процессов деформирования в заполнителях требуется использовать неупрощенную систему уравнений (1.5).

Если для описания механики деформирования несущих слоев использовать гипотезы классической теории Кирхгофа Лява, то при слабом и среднем изгибах оболочки векторы перемещений и компоненты тензоров тангенциальных деформаций в несущих слоях будут определяться по формулам [7]

Иг« = м(к)г® + ^(к)т - ;(к)ч(к)г\ Ч(к) = ^(к) + «к)б|, (1-19)

4Т = 4к) + 4°, (1.20)

где £(к), X ^ _ ковариантные компоненты тензоров тангенциальных деформаций и искривлений поверхностей ст(к), для которых имеют место соотношения

о (к) (к) . (к) . (к) (к) (к) У7 (к) т. (к)

24 = 4 + еУ + Ч Ц % = - ^^ (1 21)

О (к) \"7 (к) (к) ( ' )

Для принятой степени точности ст^ « 0 и — ¿[к]Ь^ ~ ^ соотношения упру-[к] "

гости для напряжений стЗЗ в линейном приближении можно записать в виде

ст33 _ Е[к]^вд _ Е[к] ди:зк] (1 22)

ст[к] _ Е3 е33 _ Е3 —• (1.22)

После их подстановки в уравнения (1.13) и интегрирования по ¿[к] находим

¿2

и3к]_ ^к] + (1.23)

2Е3

где ^{к], ^к] - функции интегрирования, зависящие от координат ж1, ж2 и времени £. Определяя их, исходя из кинематических условий сопряжения с несущими слоями

Цк] (¿[к] _ -Ь[к]/2) _ ™(к), Цк] (¿[к] _ Ь[к]/2) _ ^(к+1),

выражения (1.23) для прогибов в заполнителях приводим к виду гг[к] ^(к) + ^(к+1) ^(к+1) - ^(к)

и3 _-5-+ ¿[к] -т--

2 V]

^ ^[к] ^ 2 ^к]

2 Е3к]

(¿2к]- "г), к _1, - 1. (1.24)

Для выявления в заполнителях закона изменения тангенциальных компонент перемещений по ¿[к] обратима к соотношениям упругости для стгщ , которые в линейном приближении в рамках принятой степени точности можно представить в следующей приближенной форме (А®«] — двухвалентный тензор сдвиговых упругих констант):

ст

®3 _ г _ г) дгв 2[к]

[к] _ «[к] _ 2 Л[к]£я3

о дгз — лг.

2 АшЬ.ч — Аг

дЦ|к] ___[к]'

+ V« Ц

(1.25)

справедливой как при слабом, так и при среднем изгибах. После подстановки соотношений (1.24) в соотношения (1.25) получим дифференциальное уравнение

ягг[к] (к) . (к+1) 4з2 1,2

^ЦГ _ л [к]„в Ч® ' + Ч® ' ¿[к] ^ (к+1) ; (к)\ . 4з[к] - V] . ( ) дз[к] _ ^ ^ - 2 - Ьщ Гг - Ч ; + 8Е3к] (1.26)

в котором с принятой степенью точности выражения Vгw(k) заменены на ч(к), а через Лг[як] обозначен двухвалентный тензор податливости заполнителя на попе-

¿[к]

(к) (к+1) [к]_„.[к],„, ,л[к1 « . Ч + Ч

Ц _ + ¿[к] С' «[к] - ¿[к]

- - -

2

\7.-\7_q?., ^

3 1,2

.(к+1) _ (к)\ + ^^[к] /4

2^[кА г 8Е[к]

™г ' + отл[к] (3 ¿3к]- ^¿м), (127)

3

где и®к] — неизвестные двумерные функции. Для их определения полученные соотношения (1.27) необходимо подчинить условиям сопряжения по тангенциальным перемещениям

«(к) _ ^к) ^(к) = и(к) ^ _ х1 х2

2

, х , х ,;

(1-28)

,(к+1) . Л(к+1) , ,(к+1) _ гг(к)

, 2

из которых следуют зависимости

(к) (к) ( У® =-

иг^ -2- ,х\ х2,;

(к) _ (к) (к+1) Л(к) + Л[к] (к) "' — "' — ---—

Л(к+1) + Л[к] _ (к+1)

1 1 ■!'•] _(к+1) + Л Л [к] „я ["-] уу

2-Ч + „[к] - 12е¥ „[к]

(к)

12 Е

(к) (к+1) « +Щ

3

^(к+1) Л

(к+1) , Л[к] \ (к+1)

(1-29)

(1-30)

® 2 V 4 8

Уравнения статического равновесия. В рамках рассматриваемой модели заполнителей будем считать нагруженными внешними силами лишь несущие слои многослойной оболочки, введя в рассмотрение векторы заданных усилий и момен-

Ф(к) =ФПк)п + ФПкт) т + Фтт) т, Ь(к) = ЬПкТ)п + ЬПк)т, к =1, 2,---,Ж-

ириложенных к граничным линиям С(к) срединных поверхностей внешних слоев а(к)

Х(к) = х®к) г® + Х(3к)т, М(к) = М^г®, а(к)

ствующих перемещениях будет равна

м = Е { I Кк)^Пк) + фПтЫк) + Ф1к)^(к) + Ь«^« -

к=1

- Ь1к)^(к)

п п

Ля +

Х(®к)Ч(к) + *Ск)^(к) - М^Ч^

Ла

(1-31)

а вариация потенциальной энергии деформации оболочки будет вычисляться по формуле

N-1

Ьвд/2

+ а3к3^£33к1) Ла +

^ =Е к=1

+ Е // / а^£*Т) Ла Л;(к) = £ // + МЬ*« ) Ла +

Ь(к)/2

к=1

N-1

к=1

к=1

+ Е / / «]%] + с3к](^(к+1) - ^(к)) ¿(«^ - ^(к)) +

Л3

+-Ц уя„[к]у* ч

Е[к]

Ла, = Л[к]4к], с3к] = ^, (1-32)

полученной с помощью преобразований

^] = <Ф 9Тч Ч], 0(( ] = Ек] ] 5е(( ]

с использованием соотношений (1.22). (1.24) и обозначений

= 4к) = Ч(к) Л Цк = ц(кУ, цТк) = ц^Л

т(1) = У а(к) > Щ) = У а(к) ^к)>

—^(к)/2 —^(к)/2

где п( = пг(, т( = тг( - контравариантные компоненты векторов п, т относительно базисных векторов г(; ¿в — элемент дайны контурной линии С.

Если полученные кинематические соотношения (1.19). (1.27) не подчинены условиям сопряжения несущих слоев с заполнителями (1.28). то для вывода необходимого комплекса основных уравнений, описывающих статическое равновесие оболочки, в соответствии с работами [8 10] и др. должно быть составлено обобщенное вариационное уравнение вида

51 = 61д + 5А - 5Щ = 0, (1.33)

N-1 Гг г г,,,,, (к) и, ,,,(к+1)

51, = Е5

к=1

и (к) и (к

(к) (к+1) "(к) Ч Н(к+1)

и А НА

2 2

+ и (*[к] = Н[к]/2) - Щк](2[к] = -Ни/2) ¿а. (1.34)

Входящая в (1.34) разность для Щ ] определяется путем интегрирования (1.26) по ¿[к] от -"[к]/2 до "[к]/2:

Щ[к] (^[к] = Нщ/2) - Щ[к] (^[к] = -Нщ/2) =

^Гк] - ^ (ч(к+1) + Ч(к)) - ^ (1.35)

[к]

Внеся с учетом (1.35) выражения (1.31). (1.32). (1.34) в (1.33) и проведя традиционные преобразования, получим уравнение

N С ( N

51, = - Е №> - Мк)5^(к) |о - / ]Т [(ФПк) - тПк))5иПк) +

к=1 С к=1

+ (Фк - тПк))5иТк) + (Ф1к) - ^ - *%) П + ¿ММг-)5^(к) -

N-1 Н 1

- (4к) - М«)5Ч«] - £ -Нкк?[к]П(Уг 5дГк] ¿в-

к=1 12Е( )

к=1 12Е3

N

УУ { Е - 5(к)^ + ХТ?к))5«$к) + + Т(к)Ц. +

ст к=1

N-1 1

+ Х(%)5ы(к)] + ^ М ( к]5^(к] ¿а = 0. (1.36)

Ь— 1 '

Здесь введены обозначения

т(к) = %щп0, = Тк^, мПк) = М(%пг п, м« = —М(%пгТ;,

Х(к) = Х(к) + #[к] — #[к-1],

Е[к-1] . ч Е[к] . ч (1.37)

Х<3«=Х<3« — ЕЬтг ("("—+ ^ (»('+1)—»(Ч) •

5<к) = У м(», + + м;ц + „■.-,] + ^О+М „'ч,

где к = 1, 2,..., N ^[о] = #¿0] = = = 0. В силу произвольности вариаций

перемещений ¿и(к), ¿ад(к) и поперечных касательных напряжений ¿#"к] из вариационного уравнения (1.36) следуют 3Ж дифференциальных уравнений равновесия несущих слоев

/(¿к) = V; т(к) — ЗД + Хк) = 0' /(3к) = V" ^¿к) + Тк)6; + хХ3к) = 0 а.38)

и 2(Ж — 1) дифференциальных уравнений вида

д[к] =0, к = 1, 2,...,Ж — 1, (1.39)

представляющих собой условия кинематического сопряжения несущих слоев с заполнителями по тангенциальным перемещениям. Для полученных уравнений на контуре С формулируются граничные условия

т(к) = Ф« при ¿«4к) = 0, т« = ф^ при ¿4к) = 0,

мПк) = 4к) при ¿шПк) =0, (140)

^¿к) п — ^ = Ф« — ^ при ¿^(к) =0, к = 1, 2,...,Ж,

(к) 4 ^ _ " ^

= 0 щи ¿У,^^, к = 1,2,...,Ж — 1. (1.41)

2. Уравнения движения

Для вывода уравнений движения в рамках принятой модели заполнителя необходимо использовать вариационное уравнение обобщенного вариационного принципа Гамильтона Остроградского (см. [11 13] и др.)

г

¿Ь = J (¿К — ¿V + ¿А + ¿/д(2.1)

го

где ¿К - вариация кинетической энергии, вычисляемая по формуле

¿к = — ¿// / Р(к)иак)¿Ц^^к)—^ Л | р[кдаЦк]^[к], (2.2)

к=1 ^ -Ь(к)/2 к=1 а -Ьвд/2

Р(к) Р[к]

функцией означает производную по времени £.

Как видно из выражений (1.24) и (1.27). входящие в них слагаемые вносят разный вклад в кинетическую энергию оболочки. Для их упрощения введем предположение о том. что имеют место оценки

Р '

Р[к] т

А

/ё, е < 1,

(2.3)

где к - характерная толщина несущего слоя или заполнителя. Как установлено в работе [14], при выполнении оценок (2.3) для вычисления 6К выражения (1.24), (1.27) допустимо использовать в упрощенном виде

и

[к]

-5-+ *[*] -^-,

и

[к]

[к]

(к) , (Й+1) +

,(к+1) , ,(к)ч

22

[к]

(2.4)

При их использовании выражение (2.2) преобразуется к виду

Г Г Г N

¿к = - у/ (д^ <ч(к) + д^« + <ч(к)) + £

к=1

¿а.

(2.5)

Здесь введены следующие обозначения для инерционных сил и моментов

д 4 р[Й-1] 2[к-1] ..(к-1) + / , + Р[к-1]2[к-1] + Р[к]2[к] \..(к) + д (к) — -4-и г + (,Р(к) 2(к) +--:- Iй 4 +

4

+ Р[к]2[к] ..(к+1) Р[к-1]2[к-1] + 4 М 4 8

¿(к-1)

132[к-1] \ .. (к-1) 4 +

+

Р[к-1]2[к-1] 8

2(к) -

132п

[к-1] \ Р[к]2[к]

6

8

2(к) -

132

[к]

+

Р[к]'

13к[;

1(Й+1)

6

..(к) . ^ ) +

ЪГ1)

(2.6)

д^) — Р{ф{куъ(к) + Р[Й-1]7-1] ^(й-1)+

+Р[к-1]к[к-1]+Р[к]к[к] „(к) + Р[к]к[к] „(к+1) + о ^ + п ^ ,

36

с.к) — Р[к-1]2[к-1] (к(к) + ^^и(к-1)

(к)

8

Р[к]к[, 8

+ Р[к-1]

к + ^[к] 2(к) + -5-

г[к-1] 16

+

..(к) Р[к] 2[к]

Р[к-1]2[к-1]

8

2(к) +

8

2(к) + — )и

[к]\ ..(к+1)

(2(к) + (2(к-1) +

3

[к-1]

[к-1]

+

+

(2.7)

+

Л2 12

к(к) +

92

[к-1]

16

(к-1) ^ +

к(к)

+ 1 Р(к) + Р[к-1]

г к

[к-1] 16

6

8

3

2

Л2 12

Лк

12

8

+ Р[й]

ГЛ[Й] Л + Л[Й]

.16 Г(к) + Т"

••(к) ,

о 1 + Р[й]

16

Л(й) +

л(й) +

1(Й+1)

Л2к]

9 Л

' 12 У'г(к) ' 16 в которых необходимо положить р[0] =

[к]

.(й+1)

Р Л(к) и ¿[к ■ Р[й] —— «= ?

24

Р[№] = Л

?[к], к

N ] = 0, а

1, 2,

..[к] = Р Л[&]а ¿3 ? 3 = рМ 12

••(к)

-о) (к+1)

2

к = 1,2,..., N — 1.

(2.8)

Учитывая выражения (1.31). (1.32). (1.34). (2.5) и проведенные в (1.36) преобразования. из (2.1) получаем уравнения движения несущих слоев

/(ко = /(кг) - <5(>) = т(к) - ^¿'(к) + х(к) - <5(>)

0,

./"(/к) = />) - (5(3г) = ^'(к) + ^к)^' + Х(1) - (5(3г) = 0,

(2.9)

где

'/

(й)

'

(к)

С?

(к),

(2.10) (2.11)

а также уравнения

[к] -[к] п

отличающиеся от условий (1.29) кинематического сопряжения слоев по тангенциальным перемещениям, имеющих место при статическом иагружеиии оболочки. Наличие в уравнениях (2.11) вторых слагаемых объясняется тем. что выражения (1.24) и (1.27). полученные на основе уравнений (1.12). (1.13). не удовлетворяют уравнениям движения (1.7) и последним уравнениям (1.5). Тем не менее, как показали исследования [15 17]. использование уравнений (2.11) вместо уравнений (1.29) является более корректным и приводит к выявлению таких высокочастотных форм колебаний, которые получаются также и на основе решения неупрощенных уравнений теории упругости.

На контуре С для уравнений (2.9), (2.11) граничные условия формируются в том же виде (1.40), (1.41), что и для уравнений (1.38), (1.39).

Л

2

Л

3. Малые свободные колебания многослойной пластины с нулевой изменяемостью функций в тангенциальных направлениях и без деформаций несущих слоев

В многослойных пластинах в силу податливости заполнителей на деформации поперечных сдвигов и обжатие возможна реализация таких форм свободных колебаний, которые характеризуются плоскопараллельным движением несущих слоев относительно друг друга без деформаций и искривлений в направлениях х1, х2. Такие формы колебаний в трехслойных пластинах были исследованы, в частности, в работах [15 18], в которых установлено, что соответствующие им частоты являются наинизшими из частот антифазных форм колебаний, связанных с изгибом несущих слоев.

Если несущие слои и заполнители имеют одинаковые толщины = Ль

и Л[к] = Н, р[к]/р(к) ~ 0, то уравнения, описывающие некоторые из указанных форм колебаний, могут быть выведены из полученных памп выше, если в них отбросить все слагаемые, содержащие производные всех порядков по координатам

ж* от функций и(к), -ш(к) и д**. Если координаты ж® являются ортогональными и через О*з, Е* = Ез обозначить модули поперечных сдвигов и поперечного обжатия заполнителей, причем в рассматриваемом случае ([*к] = 1/О*з, ¿12] = 0) то при = р указанные формы свободных колебаний, совершающихся в направлении ж*, в предположении р[* « 0 будут описываться системами уравнений вида

д®] = рьМ((1), - = рьЬьи(\), к = 2, 3 ..., Ж - 1,

Ь . (3.1)

^-1] = рьЬьи(№)> м(Й) -м(Й+1) + ^д**] = 0, к = 1,2-1>

(г(2) - г(1)) =

•,(1)

О*з

Ез

Т

Ез

Т

Е ) - ^-1))=р Ьь ).

(г(к-1) - 2г(к) + = рьЬьг(к), к = 2, 3 ..., N - 1,

(3.2)

ад«, к = 1, 2,...,Ж, к =1, 2,...,Ж - 1, в виде и= и У*' Бтад*4, д*к] = (?**] Бтад*4, г(к) = г«(к) Бтади£, (3.3)

Представив неизвестные и * ,

решая уравнения (ЗЛ), (3.2), для определения квадратов круговых частот колебаний ад*, ади можно получить формулы: при N = 2:

ад,2 = 2

при N = 3:

0, ад

?

О* з рьЬь Ь'

О* з рьЬьЬ'

Ез

г =1, 2; ад„1 = 2

г=12; ад?1 = 0, ад«2 = 3

Ез

при N = 4:

2 = (2 - ^2) , ад2

1

рьЬьЬ'

2

= 2-°т, ад?з = (2 + ^2)

О* з рьЬьЬ'

(3.4)

(3.5)

(3.6)

Установленные формы относятся к классу форм свободных колебаний, совершающихся без деформаций и искривлений несущих слоев при малой изменяемости функций д**] в направлениях координат ж = ж1, у = ж2, когда для вычисления з зз

напряжении д ** = а *з] > а ¡з] допустимо использовать выражения

* _ о л* я [к] _ _[;

д [к] = 21 [к]е 8з = ,

и(*+1) _ и(к) + Ь(к) + Ь[&] ад(к) + Ь(к+1) + ад(*+1)

4з = ЕМ = (г(к+1) - г(к)), к = 1, 2,..., N - 1.

(3.7)

При их использовании уравнения движения оболочки в предположении е* устанавливаются на основе вариационного уравнения

Ж-

N

Е

к=1

Ьвд/2

( = 0.

(3.8)

-Ьвд/2

(

0

ь

Представим перемещения «(®к), ад(к) в виде соотношений

(к) = «(к) = «(к) + у^(к) «(к) = „(к) = ,,(к)

« = «

« к0> +

„ 0 - х<^>

(к),

(к) = + х£(к) + у^(к), -а/2 < х < а/2, -6/2 < у < 6/2,

(3-9)

в соответствии с которыми для многослойной пластины регулярного строения имеют место равенства

2£(®к) = е(®к) + е(к) = 0, 4к) = д^(к)/дх = ¿(к), ^(2к) = ^(к), х(к- = 0, (3-10)

2£

13

(к+1) (к)

- и(0к) + ^^(к+1) - ^(к)) + ^ (0(к+1) + ¿(к))

2£

[к] = ^ 23 = Л

:] 1

(к+1) (к)

0

- „ 0 - х

- ^^(к+1) - ^(к)) +

Лн + Л

(^(к+1) + ^(к))

£ 33 =

ад(0к+1) - 4к) + ^0(к+1) - ¿(к)) + ^^(к+1) - ^(к))

(3-11)

При использовании составленных соотношений (3.9) (3.11) и учете соотношений (3.7) из вариационного уравнения (3.8) в приближении р[к] = 0 следуют уравнения движения вида

^13

Л

«(02) - и(01) +

Л-ь + Л 2

(¿(1) + ¿(2))1 + рьЛь«^ =0,

С*13

Л

(к-1),о,:(к) „(к+1) , ЛЬ + Л

- и0 и0 - и0

+ ____ (#(к-1) - ^(к+1))

+

+ рьЛь, «(0к) =0, к = 2, 3 - - -, N - 2,

(3-12)

С*13

Л

) - u(0N-1) + ^ -1) + ¿^))

+ рьЛь«

)

С13( ^+Л [«(02) - «^+^ ^(1)+^

^О! (0(2) _ 0(1)) + РьЛьа2 ¿(1) = 0

12Л ' 12

^^ + Н) [ - «0к-1) - «0к+1) + ^ (^(к-1) - 20(к) + ¿(к+1))

+

+ ^ ( - ¿(к^) +2 ¿(к) - ¿(к+1)) + ^^ ¿(к) =0, к = 2, 3 - - -, N - 2,

12Л 1 ; 12 ' ' ' '

(3-13)

ЛЬ + [u(N) u(N-1) + ЛЬ + Л ^^-1) + ¿^))

2Л

«п -«г

2

+

+ ) - ¿^-1)) + ^^ ¿^) =0, -2, -Я -Я,

12л 12 <— <— <—

0

0

Е3 /(2) (1)) + . "(1) =0

—Н ^ 0 — 0 ) + РьНь?" 0 = 0,

Е3

( — 4к-1) + 2^0к) — ^0к+1)) + рь^ь?"(0к) =0, к = 2, 3 ..., N — 2,

(3.14)

Е3 (,„(^) -1)) + , ) = 0 — ^ 0 — ад 0 ; + рьНь?" 0 = 0,

— Jg( ((2) — ((1)) + Мь(а2 + 62)((1) =0,

Jg ( — ((к-1) + 2((к) — ((к+1)) + рь^ь(а2 + 62)((к) = 0, к = 2, 3 ..., N — 2, (3.15)

) — -1)) + Мь(а2 + 62)((№) = 0,

где 7д = О1362 + ^23а2.

Полученная система уравнений (3.14) полностью эквивалентна системе уравнений (3.2). и путем ее решения устанавливаются содержащиеся в (3.4) (3.6) формулы для определения Аналогичным образом решением уравнений (3.15) устанавливаются формулы: при N = 2:

2(О^62 + О23 а2)

2 = 2^д _ _

* РьНьН(а2 + б2) МьН(а2 + б2)

при N = 3:

при N = 4:

■V

0, о

_ 3(О^62 + ^23а2 МьН(а2 + б2)

(3.16)

(3.17)

■V

= (2 — >/2)

^д

рьНьН(а2 + б2)' °*2 РьНьН(а2 + б2)'

2Л

0*3 = (2 + ^2)

Jg

(3.18)

*3 ^ ' " "'Мь^а2 + б2)'

По этим формулам вычисляются частоты крутильных форм свободных колебаний, совершающихся вращением вокруг оси г несущих слоев относительно друг друга при ¿((к) = 0. В случае О13 = О23 = О они сводятся к формулам для определения частот о2, содержащихся в (3.4)-(3.6), и удовлетворяют равенству = о*.

Рассмотрим систему уравнений (3.12), которая для случая N = 2 (трехслойная пластина) представпма в виде

О13 Н О13 Н

и(02) — и(01) + Нь7+Н (^(1) + ^(2)) + РьНьо2и(01) = 0, и02) — и01) + ^ (0(1) + 0(2))] — рьНьЛ(2) = 0,

(3.19)

О13 Нь + Н

2Н

и02) — и01) + ^ ^ + ^

^ (0(2) — 0(т + о20(1) =0, 12Н ' 12 '

О13 Нь + Н

2Н

и02) — и01) + ^ (^(1) + 0(2))

(3.20)

^ (0(2) — ) + о20(2) = 0.

12Н ; + 12

Н

Из системы уравнений (3.20) при условии 9(2) — 9(1) — 0 следует вторая формула в (3.4) и зависимость

и(2) _ и(1) (-PbW^ _ ) (0(1) ± 0(2)), (3.21)

0 0 \ 12Gis(hb ± h)w2 2 I у т 4 7

а из системы уравнений (3.19) зависимость

9(11+9(21 — гет (р'2'"2 — т2) (»021—

Если внести зависимость (3.22) в (3.21), то условие м(02) — м(01) — 0 имеет место при выполнении равенств

2С1з

Шц = 0, =

phbh

' ± (feb ± hf

1 ± о

1,2; a, b.

Отсюда следует, что чисто сдвиговые формы колебаний с частотами (3.4), совершающихся за счет плоскопараллельных движений несущих слоев в направлениях осей х и у, имеют место лишь с точностью до выполнения равенств 3(кь + к) /а2 + + 1 к 1, 3(кь + к)2/Ь2 + 1 к 1, 9(к) к 0, ^(к) « 0. Эти равенства в реальных конструкциях с точностью 1 + е к, 1 выполняются даже при (кь + 2 /а ~ л/ё.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты Л*1' 13-08-90435, 13-08-97076).

Summary

V.N. Paimushin, Т. V. Pulyakuva. Refined Equations of Motion of Multilayered Shells with Transversely Soft Fillers under a Medium Bending.

As a development of the earlier results, we constructed a refined two-dimensional mathematical model of the dynamic deformation of multilayered plates and shells with transversely soft fillers, based on the classic Kirchlioff Love model for supporting layers and the hypothesis on similarity of the laws of variation of movements along the thickness of fillers under both static and dynamic loading process. On the ground of this hypothesis, for a transversely soft filler, we derived simplified quasi-static equations of the theory of elasticity, which allow transverse integrating. When integrating the equations to describe the stress-strain state (SSS), we introduced (as in the static problems) two-dimensional unknown functions representing transverse tangent stresses, constant in thickness. Based on the generalized variational Ost.rogradskii Hamilton principle for describing the dynamic processes of deformation with high variability of SSS parameters, we obtained two-dimensional motion equations of general form, where the inert.ial components have the same degree of accuracy in comparison with the other ones. We simplified the obtained equations for the case of low variability of SSS parameters and considered the problem of free oscillations of a small rectangular multilayered plate, which are characterized by a zero variability of the functions in the tangential directions and are realized in the plate without deformation of the supporting layers.

Keywords: ort.hot.ropic plate, refined theory, trigonometric functions, free oscillations, longitudinal-transverse form, oscillation frequencies.

Литература

1. Norr A.K., Burton W.S., Bert Gh.W. Computational models for sandwich panels and shells // Appl. Mech. Rev. 1996. V. 49, No 3. P. 155 199.

2. Паймушии В.Н. Теория устойчивости трехслойных элементов конструкций. Анализ современного состояния и уточненная классификация форм потери устойчивости // Механика композитных материалов. 1999. Т. 35, Л' 6. С. 707 716.

3. Паймушии В.Н. Теория устойчивости трехслойных пластин и оболочек (Этапы развития, современное состояние и направления дальнейших исследований) // Изв. РАН. МТТ. 2001. 2. С. 148 162.

4. Мугитари Х.М. О применимости различных теорий трехслойных пластин и оболочек // Изв. АН СССР. ОТН Механика и машиностроение. 1960. Л' 6. С. 163 165.

5. Мугитари Х.М. К общей теории пологих оболочек с заполнителем // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1961. Л' 2. С. 24 29.

6. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение. 1980. 375 с.

7. Галимов К.З. Основы нелинейной теории топких оболочек. Казань: Изд-во Казап. ун-та, 1975. 326 с.

8. Паймушии В.Н. К вариационным методам решения пространственных задач сопряжения деформируемых тел // Докл. АН СССР. 1983. Т. 273, 5. С. 1083 1086.

9. Паймушии В.Н. Уточненная нелинейная теория среднего изгиба трехслойных оболочек с трапсверсалыю-мягким заполнителем при термосиловых воздействиях // Изв. вузов. Авиац. техника. 1989. Л' 4. С. 8 12.

10. Иванов В.А., Паймушии В.Н. Уточненная теория устойчивости трехслойных конструкций (нелинейные уравнения докритического равновесия оболочек с трапсвер-салыю-мягким заполнителем) // Изв. вузов. Матем. 1994. Л' 11. С. 29 42.

11. Паймушии В.Н., Пе.трушеико Ю.Я. Вариационный метод решения задач механики пространственных составных тел. Обобщенный вариационный принцип Гамильтона Остроградского // Сообщ. АН Грузинской ССР. 1988. Т. 131, Л» 1. С. 130 135.

12. Иванов В.А., Паймушии В.Н. Уточненная постановка динамических задач трехслойных оболочек с трапсверсалыю-мягким заполнителем и числешго-апалитический метод их решения // Прикл. механика и техп. физика. 1995. Т. 36, Л'4. С. 137 151.

13. Иванов В.А., Паймушии В.Н. Уточнение уравнений динамики многослойных оболочек с трапсверсалыю-мягкими заполнителями // Изв. РАН. МТТ. 1995. Л' 3. С. 142-152.

14. Паймушии В.Н., Хусаииов В.Р. Уточненная теория трехслойных пластин и оболочек для исследования динамических процессов деформирования с большими показателями изменяемости // Механика композитных материалов и конструкций. 2001. Т. 7, Л» 2. С. 215 235.

15. Паймушии В.Н., Хусаииов В.Р. Уравнения и классификация свободных и собственных колебаний симметричных по толщине трехслойных пластин с трапсверсалыю-мягким заполнителем // Механика композитных материалов и конструкций. 2001. Т. 7, Л» 3. С. 310 317.

16. Паймушии В.Н., Иванов В.А., Хусаииов В.Р. Анализ свободных и собственных колебаний трехслойной пластины с использованием для заполнителя уравнений теории упругости // Механика композитных материалов и конструкций. 2002. Т. 8, Л' 2. С. 197 213.

17. Паймушии В.Н., Иванов В.А., Хусаииов В.Р. Анализ свободных и собственных колебаний трехслойной пластины па основе уравнений уточненной теории // Механика композитных материалов и конструкций. 2002. Т. 8, Л' 4. С. 543 554.

18. Паймугиии В.Н., Иванов В.А., Хусаииов В.Р. Апалго уравнений и задач о свободных колебаниях трехслойных пластин с трапсверсалыю-мягким заполнителем и симметричным по толщине строение // Изв. вузов. Авиац. техника. 2001. Л*'4. С. 22 25.

Поступила в редакцию 12.12.12

Паймушин Виталий Николаевич доктор физико-математических паук, профессор. заведующий кафедрой сопротивления материалов. Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева, г. Казань. Россия.

Е-шаП: dsmQdsm.kstu-kai.ru, vpajmushinemail.ru

Полякова Татьяна Витальевна кандидат физико-математических паук, доцент. докторант. Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева, г. Казань. Россия.

Е-шаП: dsmMdsm.kstu-kai.ru