CC BY
11
УДК 543.4:544.2
И. Б. Бадриев, В. С. Желтухин, М. В. Макаров, В. Н. Паймушин
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАВНОВЕСИИ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЫ
С ТРАНСВЕРСАЛЬНО-МЯГКИМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ
В ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ ПОСТАНОВКЕ
Ключевые слова: трехслойная пластина, геометрическая нелинейность, трансверсально-мягкий заполнитель, итерационный
метод, численный эксперимент.
С помощью итерационного метода получены основные характеристики положения равновесия трехслойной пластины с трансверсально-мягким заполнителем. Проведен анализ результатов численных экспериментов. Полученные данные свидетельствуют об эффективности предложенного метода.
Keywords: sandwich plate, geometric nonlinearity, transversely soft filler, iterative method, numerical experiment.
By using the iterative method we obtain the basic characteristics of the equilibrium position of sandwich plate with a transversely soft filler. Analysis of the results of numerical experiments is performed. Obtained data testify to the effectiveness of the proposed method.
Введение
В данной работе рассматривается задача об определении напряженно-деформированного состояния трехслойной пластины с трансверсально-мягким заполнителем (см. рис. 1). Кинематические соотношения для заполнителя выводятся путем последовательного интегрирования по поперечной координате исходных трехмерных уравнений теории упругости, предварительно упрощенных за счет введения предположения о равенстве нулю тангенциальных компонент напряжений [1-4].
а о
Е и w
2Н
\2h
О
2!ы
ri II (I) (!)
L и w
а
Рис. 1 - Трехслойная пластина с трансверсально-мягким заполнителем
Сформулирована обобщенная постановка задачи в виде интегральных тождеств относительно функций из пространств Соболева. Для приближенно -го решения задачи построена конечно-разностная аппроксимация задачи. Численное решение осуществляется с помощью двухслойного итерационного метода с предобуславливателем, являющимся линейной частью оператора построенной разностной схемы. На основе разработанного комплекса программ в среде МайаЪ проведены численные эксперименты для модельной задачи. Приведены результаты численных экспериментов. Проведен анализ полученных результатов.
1. Постановка задачи
Задача о равновесии трехслойной пластины с трансверсально-мягким заполнителем в одномерной геометрически нелинейной постановке описывается следующей системой дифференциальных уравнений: .11
dT,
(1)
dx dT,
+ X(11) + q1 = 0, 0 < x < a,
11
(2)
dx
+ X(2) - q1 = 0, о < x < a,
dS
dx
(1) + c3(w(2) - w(1)) + X(3() = 0,0 < x < a,
dS
(1)
(2)
dx
- c3(w(2) - w(1)) + X(32) = 0,0 < x < a
(2)
u(1) - u(2) - H(1) ^ - H(2)
dw(2) dx
1
+
q
„, 2h3 d2q1 л л 2h---— = 0, 0 < x < a,
G13 3E3 dx2 где (ниже считаем, что k = 1,2 ) H(k) = h(k)
+ h.
а - длина пластины, 2Н - толщина заполнителя, 2И(^) - толщина к -го слоя, тЦ - мембранные
1 3
усилия в к -м слое, X , , X , - компоненты по-
(к) (к)
верхностной нагрузки, приведенной к срединной
поверхности к -го слоя,
„(к)
- прогибы точек
(к)
срединной поверхности к -го слоя, и( ) - осевые перемещения точек срединной поверхности к -го
слоя, £ ( - обобщенные перерезывающие силы в
(к)
к -м слое, 013 и Е3 - модули поперечного сдвига
и обжатия заполнителя, д1 - касательные напряжения в заполнителе,
+
ёМ
V1 --
Ь (к) -
11
(к)
ёх
+) + М1) - н (к) ч1
т(1к1) - В(к)
(к)
ёи(к) -+
ёх 2
(
2 ( > I2
м к -- д
2 )
ё^
(к )■
с(к) -
ёх
ё.(к) ёх
В(к) - 2И(к) £(к)/(1 )у21)) — жесткость к -го
12 21
слоя на растяжение-сжатие, Е(к) — модуль упругости первого рода к -го несущего слоя, Д(к) - В(к)Ь(к)/3
- изгибная жесткость к -го слоя, С3 - Е3 / (2Ь), а(к)
- углы поворотов нормалей к срединной поверхности к -го слоя, М(к) - компоненты вектора поверхностных моментов к -го слоя, у 12), ^^ - коэффициенты
Пуассона материала.
Предполагаем, что края несущих слоев пластины жестко закреплены, поэтому уравнения (1) дополняются граничными условиями (при х - 0, х - а )
и(к) - 0, .(к) - 0, а(к) - 0, ч1 - 0, к - 1,2. (2) Сформулируем обобщенную постановку задачи.
Введем следующие обозначения для пространств Соболева (см., например, [5]):
о ( )
¥т - W 2т)(0,а), Wm - ¥т х¥т , т -1,2. Под обобщенным решением рассматриваемой задачи (1), (2) будем понимать функции и - (и(1), и(2)) е Wl, . - (.(1), м>(2)) е W2, ч1 е ¥1, удовлетворяющие при
всех 7-(7(1),7(2)) е W1, г - (2(1), 2(2)) е W2, у е ¥1 интегральным тождествам
- д
ё 2 .(к) ё 2 г(к)
(
- В,
(к)
(к)'
0
ёи(к) 1 -+—
ёх 2
ёх
( > )
ёх
ё. (к) ё2(к)
ёх ёх
Н(1-)ч1 ^ё^Т + (<3 - 2кС (»'2| - »'111) +
+ 43> ); (к)
ёх к '
I
-В,
'(к)
ёх - 0,
Г ёи(к) ((к)) 1 ё7(к)
ёх 2
+ ((3 - 2к)ч1 + X« )щ(к)
ёх ёх - 0,
(.(2) - .(1)) - Н(1)
ё.(1) ё.(2) 2ЙЧ1"
ёх
--Н
(2)
ёх 01
13
У +
2Ь ёд1 ёу
3 Е3 ёх ёх
ёх - 0.
2. Разностная схема
Для приближенного решения задачи (1), (2) предварительно с помощью метода сумматор-ных тождеств [6] построим ее конечно разностные аппроксимации. С этой целью на отрезке [0, а] введем равномерные, с шагом Ье - а / N , сетки
С -{хг, I - 1,2,..., N -1}, с -{, / - 0,1,2,..., N1, а - {хг-, /' - -1,0,..., N +1}. Обозначим, как обычно,
Ух, 1 - (у1+1 - V )/ Ье
Уо, . - (уг+1 - уг-1) /(2Ье). Тогда разностная схема
запишется в виде (для разностных функций оставляем те же обозначения, что и в дифференциальном случае, при этом функции .(к) определены на с , функции и(к), д1 - на а )
- Д(к)-^х"х,1 + В(к)((и(к) + М))2)-?))х, 1 +
+ Н(к)чО + (3 - 2к)С3Й2) - ^ +
+ М(1) о + X,(3) - 0, ' -1,2,.,N -1, к -1,2,
(к) х, 1
"к, 1
В(к )((и ?) + ))2)-?)) х, 1' + + (3 - 2к)ч1 + Х« - 0,1 -1,2,.,N -1,к -1,2, (.(2) .(1)) Н .(1) Н .(2) +
2Ь 1 2^3 1
+0" ч1 - 3Е3Чxx, 1
- 0, 1 - 1,2,., N -1.
Граничные условия (2) аппроксимируются следующим образом:
и (0к) - 0, . (0к) - 0, ч10 - 0, . Ю - 0;
и(к) - 0, ) - 0, чЬ - 0, . % - 0.
Обозначим и - (1),.(2), и(1), и(2), ч1). Пусть ¥2^ - множество разностных функций 2, определенных на а , таких, что 20 -0, 2^0 - 0 , 2у -0, .х, N - 0, ¥1^ - множество разностных функций 7, определенных на а , таких, что 70 -0, щ -0. Обозначим ¥к - ¥1^ х ¥1Ь х ¥2^ х ¥2^ х ¥1Ь . Введем также в рассмотрение разностные операторы Л(*>: ¥ь ^ ¥1Ь , А(^: ¥к ^ ¥2^, к -1,2, : ¥ь ^ ¥1й , у -1,2 по формулам
А(к)и(х) - В(к)ик + (3 - 2к)ч1, к - 1,2, х есс,
е
+
АИи (*)=-%) -хх + Hk )qO+
х
+ (3 - 2к) с3(^(2) - ^(1)), к = 1,2, x £ А^х) = -(и (2) - и (1)) - Н(1) уО^ - Н (2) +
х х
2к 1 2к3 1 о
+--q--qXx , х £Ю.
0 7—! 1 ЛЛ ; -1
13 3Е3
4У (х)=- %)((«х) +
+ £()? ))2)-?)) х, к = 1,2, х £°,
а2> (х) = - | % )(У| ))2) х, к = 1,2, х £°
А2?и(х) = 0, х £ £0, а также функцию ^ = (/У1, , , /)2), /) £ ^,
где
Лк) = м (1) + х (3) ^) = -х
J ) Ш ,, О к > JuW ^
(1)
(к) х
к = 1,2.
/ = 0 на а. Отметим, что А(^, А(к), А^ -
ли-
а(У А((к), - .
Тогда разностную схему можно записать в
неиные операторы, А, А^', - нелинейные.
виде
(А1 + А2)и = ^,
(3)
где АI = (,А (у,А (1),А (и, Ауд ) , у = 1,2 .
3. Итерационный метод и численные эксперименты
Для решения разностной схемы (3) будем использовать следующий двухслойный итерационный процесс с опусканием нелинейности на нижний слой:
и (п+1) - и(п)
А1
■ + (А1 + А2)и(п) = ^,
(4)
где и(0) - заданное начальное приближение, т> 0 -итерационный параметр.
В среде МаИаЪ для численной реализации итерационного метода (4) был разработан комплекс программ. Для модельной задачи проведены численные эксперименты. Итерационный параметр подбирался эмпирически. Расчеты проводились для следующих характеристик: а = 1 см, к = ^ = 0.005 см, к = 0.05 см, в13 = 15 МПа, Е3 = 25 МПа,
X 3 = 0.0319 МПа, X 3 = 0, Е(к) = 7-104 МПа,
(1) (2)
4) = ^ = 0.3 , X1) = 0 , м \к) = 0, к = 1,2. Число
точек сетки N = 100. Начальное приближение и(0) задавалось нулевым. Вычисления согласно (4) проводились до тех пор, пока норма невязки
^ - (А1 + А2)и
(п)
оставалась больше заданной
точности е = 5 • 10 . В качестве нормы вектора 8 = (81, 8 2, •••, 8 т) выбиралась величина
8 = тах{| 81 |,| 8 2 1,-,18 т |} . Оптимальное (по числу итераций) значение итерационного параметра составило т = 1, число итераций при этом равнялось 17.
Результаты численных экспериментов приведены на рис. 2-4.
х 10-6
ч \ -ы<1>
/ / \ \ и '
/ >"■—— -/ / к\ \
/ / / / \
\ / /
\ \ / /
\ ч > * /
\ Чч /
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
Рис. 2 - Осевые перемещения несущих слоев
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
Рис. 3 - Касательные напряжения в заполнителе
0.25 г
0.2 0.15 0.1 0.05 0
-0.05 -0.1 -0.15
_т(1>' '11 ______т(2>
у чч4
11
/ ч V
\/ V
/ \ \
/ \
/ * \
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
Рис. 4 - Мембранные усилия в несущих слоях
Следует отметить, что сформулированные для q1 граничные условия (2) соответствуют отсутствию на кромках х = 0, х = а диафрагм, что приводит к формированию максимальных поперечных касательных напряжений в сечениях заполнителя на расстоянии порядка его толщины 2к , что и наблюдается на рис. 3.
2
0
-3
т
Ограничение свободного смещения торцевых сечений x = 0, x = a в направлении оси O x приводит к формированию в несущих слоях значительных по величине мембранных усилий 7(1), 7(2), из которых усилие 7(11 в сечении x = a /2 оказывается сжимающим. В силу этого в окрестности этого сечения следует ожидать потерю устойчивости несущих слоев по смешанной форме (см. [7]), исследование которой требует постановки соответствующей задачи.
Нетрудно проверить, что из первых двух уравнений системы (1) следует равенство
7(1) + 7(21 = const,
в выполнении которого можно убедиться на основе результатов, приведенных на рис. 4.
Работа выполнена в рамках договора № 02.G25.31.0122 между НПО ОАО «ОКБ им. М.П. Симонова» и Министерства образования и науки РФ по реализации комплексного проекта по созданию высокотехнологичного производства, выполняемого с участием ФГБОУВПО «Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева-КАИ, а также за счет средств субсидии, выделенной в рамках государственной поддержки Казанского (Приволжского) федерального университета в целях повышения его конкурентоспособности среди ведущих мировых научно-образовательных центров.
Литература
1. Paimushin V.N., Bobrov S.N. Refined geometric nonlinear theory of sandwich shells with a transversely soft core of medium thickness for investigation of mixed buckling forms // Mechanics of composite materials. - 2000. - V. 36, № 1. - P. 59-66.
2. Paimushin V.N. Nonlinear theory of the central bending of three-layer shells with defects in the form of sections of bonding failure // Soviet Applied Mechanics. - 1987. - V. 23, Is. 11. - P. 1038-1043.
3. Иванов В.А., Паймушин В.Н., Полякова Т.В. Взаимодействие звуковой волны с трехслойной деформируемой панелью // Вестник Казанского технологического университета. - 2013. - Т. 16, № 18. - С. 226-233.
4. Иванов В.А. Определение реакции заполнителя в задачах взаимодействия его с оболочкой // Вестник Казанского технологического университета. - 2011. - Т. 14, № 8. - С. 224-228.
5. Adams R.A. Sobolev Spaces. - New York, San Francisco, London: Academic Press, 1975. - 286 p.
6. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных задач математической физики. - Казань: Изд-во Казанского университета, 1976. - 156 с.
7. Паймушин В.Н. Теория устойчивости трехслойных пластин и оболочек (этапы развития, современное состояние и направления дальнейших исследований) // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. - 2001. - № 2. - С. 148-162.
© И. Б. Бадриев - д.ф.-м.н., проф., проф. кафедры вычислительной математики Казанского (Приволжского) федерального университета, ildar.badriev@kpfu.ru; В. С. Желтухин - д.ф.-м.н., г.н.с. каф. ПНТВМ КНИТУ, vzheltukhin@gmail.com; М. В. Макаров - асп. кафедры прочности конструкций Казанского национального исследовательского технического университета им. А.Н.Туполева (КНИТУ-КАИ), makarovmaksim@mail.ru; В. Н. Паймушин - д.ф.-м.н., проф., г.н.с. Казанского (Приволжского) федерального университета, проф. кафедры прочности конструкций национального исследовательского технического университета им. А.Н.Туполева (КНИТУ-КАИ), vpajmushin@mail.ru.
© I. B. Badriev - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Chair of Computational Mathematics, Kazan Federal University-KAI, ildar.badriev@kpfu.ru; V. S. Zheltukhin - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head Researcher, Chair of Plasma-chemical and Nanotechnology Macromolecular Materials (PNTVM), Kazan National Research Technological University, vzheltukhin@gmail.com; M. V. Makarov - Postgraduate, Kazan National Research Technical University, makarovmaksim@mail.ru; V. N. Paimushin - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head Researcher, Kazan Federal University, Professor, Head of the Chair of Strength of Materials, Kazan National Research Technical University-KAI, vpajmushin@mail.ru.
