CC BY
87
2. Куропатенко В.Ф. О разностных методах для уравнений гидродинамики // Тр. Мат. и-та им. В.А.Стеклова. 1966. XXIV. С.107-137.
3.'"Буряков О.В., Мустафин В.К. Решение задачи о движении поршня в гетерогенной смеси двух изотермических газов с учетом эффекта "присоединения масс" // Вопр. атомной науки и техники. Сер. Методики и программы численного решения задач математической физики. 1988. Вып.2. С.57-64.
4. Буряков О.В., Куропатенко В.Ф., Мустафин В.К. Распад произвольного разрыва на границе изотермического газа и гетерогенной смеси двух изотермических газов // Вопр. атомной науки и техники. Сер. Мат. моделирование физ. процессов. 1990. Вып.2. С.39-42.
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО
СОСТОЯНИЯ ПАРОВОЙ ОБОЛОЧКИ ВОКРУГ КАПЛИ РАСПЛАВЛЕННОГО МЕТАЛЛА, НАХОДЯЩЕЙСЯ В ЖИДКОСТИ
В.Н.Лукерченко, Н.Н.Лукерчешсо, Г.Н.Шикин
Задача имеет широкий круг практических применений - это и исследование гидрогазодинамических процессов при работе в воде реактивного двигателя с металлизированным топливом, когда продукты сгорания содержат большую, долю расплавленного металла, и изучение возможности возникновения парового взрыва при аварийной ситуации с повреждением активной зоны реактора и попаданием расплавленного топлива в теплоноситель и др. Во всех этих задачах положительный или отрицательный ответ на вопрос об устойчивости паровой оболочки предсказывает то или иное поведение такой среды и, в конечном итоге, определяет нагрузки на элементы конструкций.
Задача решается в предположении, что в каждый момент времени сохраняется сферическая симметрия. При этом рассмотрена устойчивость относительно малых радикальных смещений паровой оболочки, первоначально находящейся в квазистационарном состоянии [3;4].
Для паровой фазы применяется модель идеального газа. Жидкость, окружающая паровую оболочку, рассматривается как вязкая и несжимаемая. Предполагается также, что при возмущении паровой оболочки выполняется условие однородности давления в паровой фазе - свойство гомобаричности, которое означает, что в паровой фазе малы силы инерции, и которое выполняется во многих практически важных случаях [б]. Считается, что теплопроводностью жидкости можно пренебречь и ее температура изменяется только за счет движения.
В этом случае имеем для пара: уравнение неразрывности, уравнение Эйлера, уравнение притока тепла, термическое и калорическое уравнения состояния (параметры жидкости и пара отмечается индексами 1 и 2):
1г+-?!(ггрл)’ <■>
и29=Ч2»=0, (2)
„ (ЭТ2 тт ОТЛ Х2 д ( 2 др7
<3>
Р2=Вр2Т2, 62 = е20+Су2^2> (4)
где ~ коэффициент теплопроводности пара; Ср2 и Су2 - теплоемкость пара при
постоянном давлении и постоянном объёме; В - газовая постоянная.
Уравнение (3) следует из общего уравнения переноса тепла [5] ,
ёв ЭО; / ч
ртаГа1к^+сИу^ут) (5)
и уравнения
Т—
с11 р (11'
где со - энтальпия: со-е + р/р = б0+ СрТ.
Уравнения (1)-(4) рассматриваются в области г0<г<11(1), где г0 -
радиус металлической капли, 11(0 - внешний радиус паровой оболочки.
Система уравнений для вязкой несжимаемой жидкости содержит
уравнение неразрывности, уравнение Навье-Стокса, уравнение притока тепла и уравнение состояния:
^ + рЛ|г(г2и1)=0’ Р1=СОП51,
dt х dr
Ш, SUi 1 dp,
----— + Ui—- =------------—+ v
5t 5r Pi St
r2 dr \ dr J r2
(6)
(7)
Ui=Ulr, U10=U1(p=O,
far этЛ 8 f , этЛ p, dPl ..Jaiif
p,ci>,l^r+Ui-5rJ "7*1 irJ wлг ®
eJ. = 810 + CplT„
где A,] - коэффициент теплопроводности жидкости; Cpi - теплоемкость жидкости; v
и (А - кинематическая и динамическая вязкость жидкости соответственно.
Граничные условия формируются на поверхности расплавленной капли металла г = г0 и на межфазной поверхности г = R(t):
r = r0; T2(r0,t) = C U2(r0)t) = 0; "ф (9)
r=R; Tj-Tj-Tg, jv-x,
6Ti
cT,
ЧГ~Ч1Р
dR
dt
-Ul ± j/pi - u2 ± j/P2>
(10)
(11)
где То - температура капли жидкого металла внутри парового пузырька; J - скорость фазового перехода, отнесенная к единице поверхности (верхний знак в (11) соответствует испарению); I - теплота парообразования. Принимается квазиравновесная схема фазового перехода.
Уравнение Рэлея-Ламба, описывающее движение межфазной поверхности в вязкой несжимаемой жидкости при наличии фазовых переходов, имеет вид [6]
К +102 + Ж = Р2 -_Р1 -4уМ1,- (12)
dt 2 р! р| R
где Р2 - давление пара на межфазную поверхность; р! - давление жидкости вдали
от паровой оболочки; а - коэффициент поверхностного натяжения.
Предположим, что паровая оболочка находится в квазистационарном состоянии (все параметры квазистационарного состояния отмечаются индексом 0). Это означает, что
U20(r,t)sO, ^U^UO, р20= const,
U ю (r> t)s 0,
ЭТ
ю
а
;0, р10= const,
R-R0 -const, T20(R0)-T10(R0)-Ts, P2o~Pio +
2ct
R
0
(13)
Считаем, что pjg = const. Это означает пренебрежение зависимостью давления от температуры.
Решение уравнений (3) и (8) при условиях (13) приводит к следующим равенствам, являющимся начальными условиями задачи:
T20 = (T0-Ts)iJL-v 'R0-r0 ч г
0 -1] +ts, r0 <;r0,
,Rr
Ti0=(TS-Ta))-^+Tw, R0<r. г
(14)
При этом Т0 > Т8 > 1^, где Т8 - температура поверхности паровой оболочки, Тм - температура жидкости вдали от пузырька.
При отсутствии фазовых переходов ]=0. Подстановка (14) в (10) в этом случае дает уравнение
то -Тэ _ ^ (ко ~го)
Тв-Т. Х2 К0 ’ ^
из которого следует, что в квазистационарном состоянии паровой оболочки температура межфазной поверхности определяется однозначно по значениям Т0 и
Т.», если известны параметры паровой оболочки и коэффициенты теплопроводности.
Подставляя Т2о(г) и Т10(г) из (14) в уравнение (5), получаем равенства:
1Г=0’ ^Г=0’ (16)
откуда следует, что в квазистационарном состоянии энтропия каждого участка паровой оболочки и жидкости постоянна во времени и может зависеть только от пространственной координаты.
Рассмотрим устойчивость квазистационарного состояния парового слоя относительно сферически симметричных возмущений межфазной поверхности малой амплитуды. Возмущенная поверхность парового слоя Щ) представляется в виде ,
Я(1) = Я0 +5Я =11о +Р(1), Щ «К0. (17)
Возмущения межфазной поверхности приводят к изменению давления, плотности, температуры и энтропии системы; при этом появляются ненулевые скорости движения пара и жидкости. Поскольку рассматриваются возмущения малой амплитуды, то эти скорости будут намного меньше соответствующих скоростей звука:
и2(г,1)«С2, и1(г,1)«Сь (18)
где С2 - скорость звука в паре, С] - в жидкости.
Возмущенные параметры системы можно представить таким образом:
Т?2 = Рго +^Рг = Рго '*■ а2(г> *)> |аг| << Р2(Ь Р2 - Р20 +5р2 = Р20 + %2 (г- О’ 1X21 « Р20>
Т2 = т20 + бт2 = т20+т2 (Г’ К)<<: т20;
р1=рю+5р1 =Р1о+а1(г>0’ Ы«рю; р =сопв1;
Т1 = Тю +5Т1 = Тю +т1(г, 1), |г]| «Т10.
(19)
(20)
Будем предполагать, что при возмущении квазистационарного состояния паровой оболочки выполняется условие однородности давления в паровой фазе (свойство гомобаричности) [6]. Эго условие реализуется в широком классе задач, когда скорости движения газа гораздо меньше звуковых и нет высокочастотных
или коротковолновых изменений скорости (если 1.^ - характерное время
изменения скорости, то »(Яо -Го)/с2 )• Так как для газа скорость звука
с2 и Р20/Р20 > ТР условие гомобаричности принимает вид
21.6±2^1«1 (21) =2 с31<°)
Условие (21) означает, что в первой фазе малы силы инерции и уравнение сохранения импульса переходит в уравнение равновесия. В этом случае основное значение в тензоре напряжений имеет давление р(0-
Из термического уравнения состояния (4) получаем уравнение
ЭТ^1 (22)
(23)
элучаем уравнение теплопереь
Подставляем (22) в (3) и получаем уравнение теплопереноса в такой форме:
12? А
г2
Проинтегрируем (23) по г от г0 до К, считая, что рг зависит только от I. тогда получим следующее выражение (учитывая, что 112 (г0, 0=0):
ар2 зТР2и2(1м)к2 | з(у-1)^
а
я-3
г3
г0
я-5
-го
Щ
дг
Го (Щ
(24)
Я ' — ' г0
При возникновении возмущений из термического уравнения состояния (4) получаем связь между возмущениями давления, плотности и температуры паровой оболочки:
бр2 = в[р20(г)5Т2 + Т20(г)5р2 ]. (25)
Считая, что 5р2 зависит только от времени, из (25) и (19) получаем равенство
(26)
(27)
(28) (29)
а2 (0 = в[ргоХ2 (г)у2 (1)+Т20а2 (г)Ь2({)], где т2(гд) = х2(г)у2(г), Х2(гд) = а2(г)Ь2((). Из (26) следует, что
Х2(Г)=Вр20(г)’ “2^ ВТ20(г)’
Рг(г> 0 = Р2о(г)
1 +
ь2(0
> Т2 (Г> 0 ~ Т2о(Г)
а2 (О = у2(с)+ь2(1>
С точностью до величин 1-го порядка малости из (24) с учетом (28) получаем равенство
^-г0Н .
(30)
Для несжимаемой жидкости из (6) определяем скорость движения жидкости при возникновении возмущений межфазной поверхности:
(31)
При ЭТОМ У!(\) определяется из (11):
(32)
Интегрирование уравнения (7) с учетом (32) приводит к следующему выражению для давления в жидкости:
Р1(г>*) = Рю+-уУ1(4 (33)
В (33) мы пренебрегаем квадратом иДгд), т.к. в рамках линейной теории устойчивости и I (г, I) является величиной 2-го порядка малости по сравнению с рю.
Будем считать, что возникшее течение жидкости изменяет ее температуру быстрее, чем теплопроводность. В этом случае в уравнении (8) можно пренебречь правой частью, что приводит к уравнению
(34,
(И дг дт
Подставляя Т](гД) из (20) в (34), получаем уравнение для ^(гд) = х^^у^):
у(1)х,(г) = У1(гКт8^т«)к0) (35)
Г
откуда следует
Х1(г)=^ (36)
Из (10) определяем скорость фазового перехода:
. 1
} = -і
^(То — ^)го /л 4(Т3 - Ти)?. -------------------------У2\.*у---------------------------
Р20(^0 _го)^0
^(Т8-Т„)
^У2(0-Л-Уі(0
к20 Р-о
(37)
Из (12) с точностью до величин 1-го порядка малости получаем
уравнение
„т, Л 4\' тт 2а _ осо
21*01)1+— И!----------гуР = ^.
Р-0 Р^О Рі
(38)
Дифференцируем (38) один раз по времени, подставляем и^Яд)® у 1/^0 и а2 из (30) и получаем следующее уравнение:
2\'... а *
у+__у-------р--------------г_—
К§ Р^о 2р)|Ко -го|
Из условия квазистационарности фазового перехода (10) получаем уравнение, связывающее р(1), Уг(0> У1.(0:
Зурго^-о
Р* І/ Р20
(39)
Р-0 ^2 Р20
Из (36) получаем третье уравнение:
РіЛ0
Ло
Ґ N
1 4
----У2------гУі
чР20 ,
(40)
(41)
Для определения трех величин р(1) , И У 2 (г) имеем три уравнения -
(39)-(41). Для определения возмущения плотности пара имеем уравнение (29). Все эти уравнения описывают эволюцию паровой оболочки при возмущении ее межфазной поверхности малой амплитуды.
Исключение из (39)-(41) у2(() приводит к следующей системе
уравнений:
*“ 2У ...
У + —^гУ1
К20 коР1
ст р = _ ЗУ РзоКо
^(^■о -го)
^(т8-тю)
Р|1 + —
Р20^
_El.Il
Р20 Ко
+р
^1(Т5 -Т^)2 { X, ТвР!1
Р11
11=0.
ря2 +
(42)
(43)
Из уравнений (42) и (43) получаем уравнение для у :
(4) -
У) +У1
2у В чЯо
+У]
1 Е 2уВЧ
\Яо
г
+У1
БВ ЕА
чЯо
= 0,
(44)
где
а,4Ь^
Ко
(Т8-Т,) в_>1(т5-т0О)2^
о = _21£2сДо_
Р1г Е =
Т8Р11
\
(45)
2Р2о(К0~го) Зр^Ко-Го3)4 р20' р1К°
Уравнение (44) есть линейное дифференциальное уравнение 4-го порядка с постоянными коэффициентами, решение которого ищем в виде у!^) = е^. При постановке этого решения в (44) получаем алгебраическое уравнение для со:
со +с!со +есо +йо =0,
где
2у-В *о ’
-Л-в.
2уВ Лс ’
Г =
РВ-ЕА Ко '
(46)
(47)
Уравнение (46) имеет одно тривиальное решение со = 0; нетривиальные решения являются корнями кубического уравнения
ев3 +йсо2 +еа +£ = 0,
3УР2оКо ст 2уВ
е =
2Р1 (К- о ~ го) *оР1 Яо’
(48)
(49)
f =
1 ^(Та-Т,)
Ко
Р11
Зур2рКо
2рго(Ко _го)
-ц+—II з+-т"
КоР1
3+-
(50)
Р1 а т8.
В общем случае ю представляется в виде
со=и0+к»о, (51)
где со0 и оз о ‘ действительные величины. Если со о > 0 - решение неустойчиво; если со о = 0 - решение устойчиво; если со о < 0 - решение асимптотически устойчиво.
Корни уравнения (48) записываются так:
а>1=М + К-с1/3, Ю73 =_
м+ы , ,м-ы ----±1—
-л/з-<1/3,
М = з/-Ч/2 + Л/р, М = ^/-Ч/2-Л/0', СННг + 5- ,
где
р = -|с12+е, я = 2((1/3)3 -(1е/3 + Г
Таким образом, вопрос об устойчивости решается в каждом конкретном случае, если известны величины (1, е, £
По приведенным выше формулам для паровых пузырьков, находящихся в воде, были проведены многочисленные расчеты, которые показали следующее. При фиксированном внешнем давлении р10 существует область температур жидкости Тда , при которых паровая оболочка устойчива. Эта область устойчивости лежит ниже некоторого критического значения Т,*, < Ткр; при Тм > Ткр вплоть до
температуры кипения жидкости паровая оболочка неустойчива. Оказалось, что значение Ткр не зависит от размеров парового пузырька и размеров твердой
1 с
частицы (расчеты проводились при 10“ м ^ г0 <Я0 ^ Ю м). Для р0 = 10 Па
значение Ткр~2б,9°С. Значение Ткр ■ изменяется с изменением внешнего
давления. Эта зависимость показана на рисунке. При Тю = Ткр малые возмущения
паровой оболочки быстро затухают, при этом оболочка осциллирует с частотой, зависящей от размеров пузырька К0. Зависимость частоты колебаний п от
5 ~4
значения Я о при р!0 =10 Па, г0 ^0,1 Ид в диапазоне 10 м<Б.0 <0,1 мм с точностью до 0,1% определяется выражением
п = —; к = 2,22.
V
В этом случае при изменении II0 от 0,1 мм до 10 см частота колебаний изменяется от 22200 Гц до 22,2 Гц, т.е. охватывает звуковой диапазон.
Зависимость критической температуры от внешнего давления
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1 Kim В , Corradim ML// Nuclear Science and Engineering 1988 V 98 P 1628
2 Кузнецов Ю H Теплообмен в проблеме безопасности ядерных реакторов М Энергоатомиздат, 1989 296 с
3 ЗоненкоСИ //МЖГ 1985 №4 С 154-157
4 Эль Дивик Ф Ш // Вестн МГУ 1990 № 1 С 96-98
5 Ландау J1Д, Лифшиц Е М Гидродинамика М Наука, 1988 737 с
6 НигматулинРИ Динамика многофазных сред 41 М Наука. 1987 464с
