Распространение и отражение акустических волн в двухфракционных пузырьковых жидкостях Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.529:534.2

РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ОТРАЖЕНИЕ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В ДВУХФРАКЦИОННЫХ ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЯХ

Д. А. ГУБАЙДУЛЛИН, А.А. НИКИФОРОВ, Р.Н. ГАФИЯТОВ, Д.Д. ГУБАЙДУЛЛИНА

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки

Институт механики и машиностроения Казанского научного центра РАН

Теоретически исследовано распространение акустических волн в двухфракционной смеси жидкости с парогазовыми пузырьками с учетом отражения волн от жесткой стенки и последующим прохождением и отражением акустических волн из слоя пузырьковой среды в жидкость. Определены амплитуды возникающих волн через амплитуду исходной волны, получены аналитические выражения для коэффициентов отражения и прохождения волн на границах раздела. С использованием метода быстрого преобразования Фурье выполнены расчеты взаимодействия акустических волн с пузырьковым слоем и жесткой стенкой.

Ключевые слова: дисперсные системы, акустические волны, межфазный тепломассообмен, дисперсионное соотношение.

В настоящее время значительный интерес представляют исследования волновой динамики дисперсных сред. Эффекты дисперсии и диссипации акустических волн в пузырьковых жидкостях изучаются достаточно давно и имеют широкий спектр приложений. Развитие акустических методов диагностики дисперсных сред способствует решению задач безопасности, экологии процессов на промышленных объектах в машиностроении, энергетике (например, в охлаждающих контурах АЭС). Знание закономерностей прохождения и отражения импульсов давления в жидкости с парогазовыми пузырьками также необходимо для решения этих задач. Важно исследовать взаимодействие импульсов давления с твердой стенкой и границей раздела сред в пузырьковом слое.

Различные аспекты волновой динамики и акустики смесей жидкостей с пузырьками газа и пара рассмотрены в известных монографиях [1,2]. Работа [3] посвящена описанию основных особенностей двухфазных сред пузырьковой структуры. Приведен обзор работ по распространению волн в жидкостях с пузырьками постоянной массы и работ по волновой динамике жидкостей, содержащих пузырьки пара или растворимого газа. В статье [4], для смеси жидкости с газовыми пузырьками, получена дисперсионная зависимость волнового числа от частоты колебаний и теплофизических свойств фаз в плоском случае, показана необходимость учета сжимаемости несущей фазы для задач акустики пузырьковых жидкостей. Задача о распространении малых плоских возмущений в жидкости с пузырьками газа в полидисперсном случае рассмотрена автором статьи [5]. В работе [6] рассмотрены парогазовые пузырьки, совершающие малые радиальные колебания в жидкости под действием акустического поля. Показано, что капиллярные эффекты и фазовые переходы в совокупности приводят к новой резонансной частоте мелких паровых пузырьков, отличной от миннаэртовской. В работе [7] в рамках трехтемпературной

© Д.А. Губайдуллин, А.А. Никифоров, Р.Н. Гафиятов, Д.Д. Губайдуллина Проблемы энергетики, 2013, № 1-2

модели исследуется распространение малых возмущении в двухкомпонентнои двухфазной смеси. Показано, что дисперсия определяется неравновесностью тепломассопереноса, а не эффектами скольжения фаз. Модель распространения плоских волн давления малой амплитуды в смеси жидкости с пузырьками газа представлена в статье [8]. Показано, что модель работает хорошо при объемных содержаниях дисперсной фазы 1-2% и только для дорезонансных частот. В работе [9] получено дисперсионное соотношение, определяющее распространение гармонических возмущений в двухфазных смесях жидкости с пузырьками пара и газа для сферического и цилиндрического случая. Показано сильное влияние значения концентрации пара в пузырьках на затухание импульсных волн. Авторами [10] изучена акустика двухфракционных смесей жидкости с пузырьками разных газов без учета фазовых превращений. В работе [11] исследовано распространение акустических волн в двухфракционных смесях жидкости с парогазовыми и газовыми пузырьками различных размеров и разного состава с фазовыми превращениями в одной из фракций.

Рассмотрим случай двухфракционной смеси жидкости с парогазовыми пузырьками различных размеров и состава при наличии фазовых превращений. Линеаризованная система уравнений будет иметь вид аналогичный работам [10, 11], но с учетом фазовых превращений в пузырьках каждой из фракций дисперсной фазы:

^ + Р10-=- 3',

д/ дх

Ф2

д/

др2

II

+ Р1 ду' г 'I

дх

+ П т'II

+ Р20 "Г" = 3 ■■

дх

д/

дn'I I ду'

-+ п0 — = 0,

д/ дх

ду' др\ Р0 — + —

д/ дх

= 0.

Т

Р20с2

I дГ2

= «I дP2I = а 20

д/ д/ п0 912 + п0 92 2 = -/03 'I

дa'I 'I + 'I + ■ = WA + + -

+ п0 92 2 ■

3'

дг

4п

(«0 )2

I О п0Р10

«I + 4\/1 л _р2_

«0-д- + — ^ =—— д «0 Р10

Р1

А

WA =

А

Р2 ~ Р1

О / I \1/3 Р1О0С1 (а20 )

3 ' = 3 л + 3 'п.

д4 + т ду' = ' I

~дГ+Р™ & -3 ,

дРг , II ду' 'п

~дГ+Р™ = 3 :

дп'

II

д?

+ш дх=0,

дх

дТ1 II и и Р10с1 — = п091Е + п0 912 , д/

р20с2

II дТ2

II

д/

= аП дP2J

II

- + п0922 =

п0 912 + п? 9?Е=-/0 г п:

да'

/II

д/

■ = wAíI + ^^ + -

3

л

4п

(«0- )2

II о п0 Р10

я, 'II л 'П «II ^Я + 4v1 ,II Р2_

«0 -дг-+—^ =—— д/ «0 Р10

Р1

w:AI =

л

Р2 - Р1

О I и \1/3 Р1О0С1 (а20 )

2л л

Р1 = чР1 , „'I „'II

^ = +ДЯIV + Т-, Р0 р20 Т0

Р2П

Р0 Р20

иП т^Л

р2 +ДЯП к ' II + Т2

1Т + ДЯ ^ + —, Т0

T- = GI = E nkV2 + G11 i^-

T0 P0 T0 P0

j - rG

al + a2 + = 1, = — n(aj )3 n y ....

kG0 RG0 + kV 0 RV 0

Ej = RV0 P0

;2 + a2 = 1, a2. = 4^)3nV , ARj =

3 kG 0 RG 0 + kV 0R

(1 - 4 0), Gj = ц 0 Ej, kj+kG=i (v=I, II)

R20 10рГ0

P0 =a10Pl°0 + a20(kVPF0 + kGPG?0) + а20(кГРГ0 + kGP°G0) • (1)

Здесь и далее t - время; x - координата; p° , p - истинная и средняя плотность смеси; v -скорость; p - давление; n - число пузырьков в единице объема; T - температура; a -радиус пузырька; w - скорость радиального движения пузырьков; q - интенсивность теплообмена; a - объемное содержание; J - интенсивность фазовых переходов; l -удельная теплота парообразования; k. - массовая концентрация .-го компонента дисперсной фазы; c - удельная теплоемкость; X - коэффициент теплопроводности; v1 -кинематическая вязкость жидкости; С1 - скорость звука в несущей фазе; R - газовая постоянная. Нижние индексы 1 и 2 относятся к параметрам жидкой и газовой фаз, индексы V и G - соответственно к паровому и газовому компонентам дисперсной фазы, индекс X - к поверхности раздела фаз; штрихи обозначают возмущения параметров, индекс 0 - начальное невозмущенное состояние, верхний индекс I относится к параметрам пузырьков первой фракции, индекс II - к параметрам пузырьков второй фракции. Согласно уточнению, приведенному в статье [4], будем полагать, что возмущение радиальной скорости пузырьков w' состоит из двух слагаемых: w'= wR + w'a • Слагаемое wR описывается уравнением Рэлея-Ламба [1], w'a -акустическая добавка, определяемая из решения задачи о сферической разгрузке сферического пузырька в несущей жидкости в акустическом приближении.

Для определения межфазного теплообмена и кинетики фазовых переходов, аналогично работам [5, 7], примем следующие соотношения:

т'j _ 7" j1'j _ j1'j

j j j Z 1 j j j j Z 2

n0 q1Z = c1p20 j , n0 q2Z = c2 P20 j ,

XT1 XT2

xj = 4C1P2j0 (ap)2 xj = 4 p2V0 (aQ )2

T1 3Nu^ ' T 2 3Ш2Ц '

v pj0 kVZ- kVj 2(a0 )2

j'J = —_20--FS-V_ j = v , j = I,II .

1 - kJ xJ m 3ShD

1 ftV0 m

Здесь TZ - температура на поверхности раздела фаз; Nu - число Нуссельта; Sh -

безразмерный коэффициент массообмена (число Шервуда); D - коэффициент бинарной диффузии.

При решении задач о распространении слабых возмущений в парогазожидкостной среде удобно воспользоваться комплексным потенциалом скоростей фаз:

v' = , ф ' = Av exp[z(K*x-rat)], (2)

dx

К* = К + /К** , СР = ю / К,

где / - мнимая единица; К* - комплексное волновое число; К** - линейный

коэффициент затухания. Через Ср обозначена фазовая скорость, ю - частота

колебаний, Ау - амплитуда возмущения скорости. Тогда выражения для скоростей и давления в несущей фазе, можно переписать в виде:

у' = /К*ф', (3)

Р = ('ю)Ф'. (4)

Исследуются решения системы уравнений (1), с учетом (2), имеющих вид прогрессивных волн [1] для возмущений (£,' = р1, р27, п 7 ,Т{,Т27, . )

= А^ ехр[/ (К*х - ю/)] = А^ ехр (-К**х)ехр[/ (Кх - ю/)] , (5)

здесь А - амплитуда возмущений параметра.

Из условия существования у системы линейных уравнений (1) нетривиального решения (5), было получено следующее дисперсионное соотношение:

' V \2 2 I К* 1 = + а 20Р10

. Ю J С12 Р0 ^

н1 + н? + н 2

( М4П

1+-

Ъ?М4 ^

\мз Ь м3

Мз

ъ?

I ( н^ + н^1 ^

М3

мзг

а2оРю

Р0 ^

н1 + н? + н 2

1 + -

( м4 - ъ1м4 ^

МзГ ъ? м3

М3

и

ъи

II .II ^

н24 + н 2 Ъ

м3

м?

где приняты следующие обозначения:

н1 =

Ъ1 тТ 1

м1 = в-7 - м2 -

(ъ{м{ + #/м4 ), Щ

Ь> - 1 ^

ь4 , 7 2

н2 =

м2 =

Ъ1 ТТ1

(ъ/м/ - ^м 3 ),

N2 ¿1

1

1 - ¥ 0

NЯ ^^^ - -1

ь4 , 7 2

м3 =■

N3 ^^ - ¿2 N3

3 1 - 2 3

1 к¥0_

1 - ¥ 0

■ + ¿3 + м

м4 =г

1 - ¥ 0

¿4 - ¿2 N2

г/ т^ -1

¿4--Г

1 - к7

1 кГ0

Щ

К

ъ1 =

С1 Тт 2 С2 ТТ1

NЯ =- м

(/ю)(«0 )

вЯ

Р0 эв^А +1)

вя =—- 1Ю .

(6)

л -

1К -

(«0 )2

4v1

1 Л -

/ ' \1/3 ( а20 )

у 4с1Р2С) («0 )2

ТТ1 ""

С (а

ЗЫиД

1М

ТУ -Тт2 "

4с2' р20 («0 )2

щ -

/ЮТ

Т1

-1,

2т '

- еу (/ютт -1),

¿3 -1 - ^ (1+ь/),

N2 - /юттТ2 -1 ■

¿2 -

10 к2

(1 - 4 о) То

¿4 - ¿1' + да-Ы,

Ы3 - к2' (с2' - 4))-1+3

- + - ¿1' (1 + ь{) ,

Ц -—Т2

2 у'

С'' - о е..

е' -

Ро ^ о

1орго 4

(1 - к' )

20

дл' - %0_%0

*20

^20 - кО 0 0 + кг 0 КУ 0 ■

°' р20

т' - Р20

'-1,11.

р1о р10

Дисперсионная зависимость (6) комплексного волнового числа К* от частоты колебаний ю определяет распространение акустических возмущений в двухфракционной смеси жидкости с парогазовыми пузырьками различных газов

(разных начальных радиусов а) начальных объемных содержаний а2), ' = 1,11) с

учетом межфазного диффузионного массообмена в каждой из фракций. В частном случае, при отсутствии фазовых превращений в двухфракционной смеси жидкости с газовыми пузырьками, дисперсионное соотношение (6) согласуется с [10].

Рассмотрим эволюцию акустических волн давления в слое жидкости с парогазовыми пузырьками при их нормальном отражении от жесткой стенки и последующим прохождением и отражением на границе раздела между жидкостью и пузырьковым слоем. Как схематически показано на рис. 1, имеется жесткая стенка (х - Х2); слой пузырьковой жидкости (Х1 < х < Х2 ), представляющий собой двухфракционную смесь жидкости с парогазовыми пузырьками; область х < Х1 заполнена той же жидкостью без пузырьков. Для решения задачи используется линеаризованная система уравнений, описывающая движение двухфракционной смеси жидкости с парогазовыми пузырьками при наличии фазовых превращений (1). Движение жидкости перед пузырьковом слоем рассматривается в акустическом приближении.

пузырьковая жидкость О О О °

О О ° О О

О о О

Рис. 1 Схема задачи

а

с

х

х

Т

Для описания динамики акустических волн в слое пузырьковой жидкости необходимо сформулировать условия на жесткой стенке (x = x^) и на границе раздела «пузырьковая жидкость - жидкость» (x = xj).

При отражении волны от жесткой стенки при x = x2 должно выполняться условие равенства нулю суммарной нормальной скорости частиц границы [13]. Давление на границе оказывается удвоенным по сравнению с давлением в падающей волне, т.е. при падении волны отражается волна с той же амплитудой.

На границе раздела «пузырьковая жидкость - жидкость» волна частично отражается и частично проходит в жидкость. Пусть ф = A exp[i(K* x -га?)],

ф(1) = A(1)exp[i(-K*x-rat)] - соответственно потенциалы скорости падающей и

отраженной волн в пузырьковом слое, ф(2) = A(2)exp[i(K(2)x-rat)] -потенциал

скорости прошедшей волны в жидкости. Тогда скорости и давления всех волн выражаются следующим образом:

v = /К* A exp [i(K* x -rat)],

v(1) =-/K* A(1) exp [/(-К* x -rat)], v(2) = iK(2)A(2) expГ/(К(2)x - rat)

Pl = irapo A exp [i (K* x -rat)],

= ira po A(1) exp [i (-K*x -rat)], i (((2) x -rat)

p(2) = ira p(2) A(2) exp

(7)

Здесь А, А(1), А(2) - соответственно амплитуды падающей, отраженной и прошедшей волн; К(2) =ю / С - волновое число в чистой жидкости (С - скорость звука в жидкости).

Чтобы определить соотношения между амплитудами трех волн, определяющие пропускную и отражательную способность границы раздела двух сред, запишем условия равенства давлений и скоростей по обе стороны границы раздела при х = х^ [12, 13]:

V + у(1) = У(2), р + р{1),= р12), при х = х1. (8)

Подставляя выражения (7) в граничные условия (8), получаем два уравнения

относительно амплитуд падающей (А) , отраженной (А(1)) и прошедшей (А(2)) волн.

Выражая А(1), А(2) через А , получаем следующие формулы для коэффициентов отражения Я и прохождения и волн на границе раздела «пузырьковая жидкость -жидкость»:

R =

U =

P

(1)

P1

x=x1

P1

(2)

P1

x=x1

p°(2)K*-po K(2) p°(2)K*+po K(2^

2p°(2) K* "p°(2) K*+po K(2),

(9)

Результаты

Импульс давления, создаваемый на границе пузырьковой среды, соответствующий бегущей вдоль оси х волне, задавался как функция времени

р(0,1) = ехр[-((/ - и)/N)2], где и — половина длительности импульса; N - параметр, определяющий ширину пика импульса. Расчеты проводились с помощью дисперсионного соотношения (6), по методике, изложенной в [14], при использовании подпрограмм быстрого преобразования Фурье [15].

С помощью обратного преобразования Фурье определяются комплексные амплитуды гармонических составляющих А исходного импульса давления. Затем, с использованием выражений (8)-(10), определяются амплитуды гармонических составляющих всех возникающих волн и изменение давления, как функция времени в каждой из волн в некоторой точке х = ха, рассчитывается с помощью прямого преобразования Фурье. Сумма давлений во всех распространяющихся волнах дает зависимость от времени давления в заданной точке х = ха .

В качестве примера ниже приводятся результаты расчетов для двухфракционной

I —3

смеси воды с паровоздушными пузырьками (радиуса а = 2 • 10 м) и пузырьками

II —3

гелия с водяным паром (радиуса а = 10 м) при следующих значениях параметров смеси: р0 = 0,1 МПа, Т0 = 327 К, а1 =аП = 0,005.

На рис. 2 показаны зависимости коэффициентов отражения и прохождения от частоты колебаний на границе «пузырьковая жидкость - жидкость». При низких частотах скорость звука в пузырьковой смеси стремится к равновесной скорости Се «100 м/с, которая существенно меньше скорости звука в чистой воде (С = 1500 м/с), и значение коэффициента отражения близко к единице, отражение волн от границы раздела почти аналогично отражению от жесткой границы. С ростом частоты коэффициент отражения становится меньше, и при высоких частотах, когда скорость звука в пузырьковой смеси стремится к замороженной скорости звука Су « С1, значение коэффициента отражения стремится к нулю.

аЬэСЯ,^)

2.0-

1.5-

1.0

0.5-

0.0

/

101

102

103

104

-"1-1

105 ю, Гц

Рис. 2. Зависимость от частоты колебаний коэффициентов отражения (сплошная линия) и прохождения (штриховая линия) волн через границу «пузырьковая жидкость - жидкость»

На рис. 3 показано изменение давления внутри пузырькового слоя и на жесткой стенке (толщина пузырькового слоя Ь = 3м) на начальном (рис. 3,а) и более длительном (рис. 3,6) промежутке времени при распространении волн в слое пузырьковой жидкости и их взаимодействии с границей раздела «пузырьковая жидкость - жидкость» и жесткой стенкой. Кривая I описывает исходный импульс давления, создаваемый на границе пузырьковой среды, кривая II - изменение давления внутри пузырькового слоя (на расстоянии 1,5 м от границы раздела «пузырьковая жидкость - жидкость»), кривая III - изменение давления на жесткой стенке. Первый пик кривой давления II является результатом прохождения исходного возмущения давления в слой пузырьковой жидкости, последующие пики на кривой давления II представляют собой результат отражения и переотражения волн от жесткой стенки и от границы «пузырьковая жидкость - жидкость». На рис. 3, б для более длительного отрезка времени показано, что давление на жесткой стенке снижается монотонно.

5р

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

I

II

III

Ър

1,00.

0,8 "

0,86.

0,84.

0,2 -

0,1 а)

0,2

Г,с

I

II

III

0,5

0,1

1,5

0,2

Г,с

Рис. 3. Изменение давления на внутри пузырькового слоя (кривая II) и на жесткой стенке (кривая III)

л

На рис. 4 показано изменение давления на жесткой стенке на начальном (рис. 4,а) и более длительном (рис. 4,6) промежутке времени при распространении волн в слое пузырьковой жидкости и их взаимодействии с границей раздела «пузырьковая жидкость - жидкость» и жесткой стенкой. Кривые I и II описывают изменение давления на жесткой стенке при различной толщине пузырькового слоя Ь ( 3 и 1м соответственно). Для кривой II характерно наличие большего числа пиков давления вследствие более частого переотражения волн. Амплитуда осцилляции уменьшается с увеличением толщины пузырькового слоя, что связано с большей диссипацией волн внутри слоя. Первые пики кривых давления I и II является результатом отражения исходного возмущения давления единичной амплитуды от стенки. Как видно, степень гашения или усиления импульса давления зависит от толщины слоя.

5р —] I ] II

1,2 " 1 ■

0,8 -

0,4 - V ---~

1 -Н- •ч 1 / 4 -___/ ^ - - 1 1 1 1 1

0,5

0,1

0,15

5р

1,2

0,8 "

0,4 _

-I II

0,25

и

0,5

0,75

Г,с

Рис. 4. Изменение давления на жесткой стенке при различной толщине пузырькового слоя Ь (кривая I

Ь = 3м, кривая II Ь = 1м)

0

)

а

Заключение

Теоретически исследовано распространение акустических волн в двухфракционной смеси жидкости с парогазовыми пузырьками с учетом отражения волн от жесткой стенки и последующим прохождением и отражением акустических волн из слоя пузырьковой среды в жидкость. Определены амплитуды возникающих волн через амплитуду исходной волны, получены аналитические выражения для коэффициентов отражения и прохождения волн на границах раздела. Показано, что наличие пузырькового слоя приводит к тому, что давление в пузырьковом слое монотонно снижается достаточно длительный промежуток времени; при этом степень гашения или усиления импульса давления зависит от толщины пузырькового слоя и основных параметров пузырьковой жидкости в слое.

Работа выполнена при финансовом содействии Совета по грантам Президента Российской федерации для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ РФ (грант НШ-834.2012.1) по программе Президиума РАН №23П, при финансовой поддержке РФФИ (грант № 10-01-00098) и Министерства образования и науки РФ (государственный контракт №14.В37.21.0644).

Summary

Theoretically investigated the propagation of acoustic waves in a two-fractional mixture of liquid with vapor-gas bubbles taking into account of wave reflection from a rigid wall and the transmission and reflection of acoustic waves from of bubble layer in a liquid. On amplitude of original wave determined amplitudes of the emerging waves, the analytical expressions for the reflection and transmission coefficients of waves at the interface. Using the method of fast Fourier transform the calculations of the interaction of acoustic waves from the bubble layer and a rigid wall.

Key words: dispersed systems, acoustic waves, interphase heat and mass transfer, dispersion equation.

Литература

1. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч.1,2. М.: Наука, 1987. 464с.

2. Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Шрейбер И.Р. Волновая динамика газо- и парожидкостных сред. М.: Энергоатомиздат, 1990. 246 с.

3. Губайдуллин А.А., Ивандаев А.И., Нигматулин Р.И., Хабеев Н.С. Волны в жидкостях с пузырьками / В сб.: Итоги науки и техники. Сер. МЖГ. ВИНИТИ. 1982. Т.17. С.160-249.

4. Нигматуллин Р.И., Шагапов В.Ш., Вахитова Н.К. Проявление сжимаемости несущей жидкости при распространении волн в пузырьковой среде // Докл. АН СССР. 1989. Т.304. №5. С.1077-1081.

5. Шагапов В.Ш. Распространение малых возмущений в жидкости с пузырьками // Прикладная механика и техническая физика. 1977. №1. С.90-101.

6. Nigmatulin R.I., Khabeev N.S., Nagiev F.B. Dynamics, Heat and Mass Transfer of Vapour-gas Bubbles in a Liquid // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1981. V.24. №6. P.1033-1044

7. Азаматов А. Ш., Шагапов В. Ш. Распространение малых возмущений в парогазожидкостной среде // Акустический журнал. 1981. Т.27. №2. С.161-169.

8. Kerry W. Commander, Andrea Prosperetti. Linear pressure waves in bubbly liquids: Comparison between theory and experiments // J. of the Acoustical Society of America. 1989. V.85. №2. P.732-746.

9. Губайдуллин Д.А., Никифоров А.А. Акустические возмущения в смеси жидкости с пузырьками пара и газа // Теплофизика высоких температур. 2010. Т.48. №2. С.188-192.

10. Губайдуллин Д.А., Никифоров А.А. Гафиятов Р.Н. Акустические волны в двухфракционной смеси жидкости с пузырьками разных газов и различного начального радиуса // Известия вузов. Проблемы энергетики. 2009. Т.3-4. С.3-9.

11. Губайдуллин Д. А., Никифоров А. А. Гафиятов Р.Н. Акустические волны в двухфракционных пузырьковых жидкостях с фазовыми превращениями // Теплофизика высоких температур. 2012. Т.50. №2. С.269-273.

12. Лепендин Л. Ф. Акустика. М.: Высш. Школа, 1978. 449с.

13. Исакович М.А. Общая акустика. М: Наука, 1973. 496с

14. Губайдуллин Д.А. Динамика двухфазных парогазокапельных сред. Изд-во Казанского математического общества, 1998. 153 с.

15. Гапонов В.А. Пакет программ быстрого преобразования Фурье с приложениями к моделированию случайных процессов. Препринт №14-76. Новосибирск: Изд-во ИТФ СО АН СССР, 1976. Т.5. 19с.

Поступила в редакцию 23 ноября 2012 г.

Губайдуллин Дамир Анварович - д-р физ.-мат. наук, член-корр. РАН, директор Института механики и машиностроения Казанского научного центра Российской академии наук. Тел.: 8 (843) 2365289. E-mail: [email protected].

Никифоров Анатолий Анатольевич - канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник Института механики и машиностроения Казанского научного центра Российской академии наук. Тел: 8 (843) 2319059. E-mail: [email protected].

Гафиятов Рамиль Накипович - канд. физ.-мат. наук, научный сотрудник Института механики и машиностроения Казанского научного центра Российской академии наук. Тел: 8 (843) 2319059. E-mail: [email protected].

Губайдуллина Диля Дамировна - аспирант Института механики и машиностроения Казанского научного центра Российской академии наук. Тел: 8 (843) 2319059. E-mail: [email protected].