Слабые волны разной геометрии в смеси жидкости с пузырьками пара и газа Текст научной статьи по специальности «Физика»

СЛАБЫЕ ВОЛНЫ РАЗНОЙ ГЕОМЕТРИИ В СМЕСИ ЖИДКОСТИ С

Теоретически исследовано распространение акустических возмущений в пузырьковых жидкостях с учетом фазовых переходов. Получено единое общее дисперсионное соотношение, определяющее распространение гармонических возмущений в двухфазных смесях жидкости с пузырьками пара и газа в плоском, сферическом и цилиндрическом случаях, которое не зависит от расстояния до оси или центра симметрии. Рассчитаны дисперсионные кривые, показано влияние паросодержания. Проведен расчет эволюции импульсных волн давления в жидкостях с парогазовыми и газовыми пузырьками. Показана немонотонная зависимость затухания импульсного возмущения давления от начального радиуса пузырьков в жидкостях с парогазовыми пузырьками.

В настоящее время значительный интерес представляют исследования волновой динамики дисперсных сред. Значительное количество работ по акустике пузырьковых жидкостей посвящено теоретическому исследованию распространения гармонических возмущений. Различные проблемы акустики смесей жидкостей с пузырьками газа или пара рассмотрены в известных монографиях [1, 2]. В [3], для смеси жидкости с газовыми пузырьками, получена дисперсионная зависимость волнового числа от частоты колебаний и теплофизических свойств фаз в плоском случае, показана необходимость учета сжимаемости несущей фазы для задач акустики пузырьковых жидкостей. В [4] получено единое общее дисперсионное соотношение, определяющее распространение гармонических возмущений в двухфазных смесях жидкости с пузырьками газа для плоских, сферических и цилиндрических волн с учетом акустической разгрузки пузырьков. Задача о распространении малых плоских возмущений в жидкости с пузырьками в полидисперсном случае рассмотрена в [5]. В [6] исследовано распространение малых плоских возмущений в смеси жидкости с парогазовыми пузырьками. Выявлено влияние тепломассобмена на скорость распространения и затухание малых возмущений. Приведены результаты расчета дисперсионных кривых.

В системе координат, связанной с невозмущенной средой, линеаризованные уравнения сохранения массы, импульсов, числа пузырьков, энергии и пульсационного движения имеют вид:

ПУЗЫРЬКАМИ ПАРА И ГАЗА Д. А. ГУБАЙДУЛЛИН, А.А. НИКИФОРОВ

Институт механики и машиностроения КазНЦ РАН, Казань

(1)

(2)

© Д. А. Губайдуллин, А.А. Никифоров Проблемы энергетики, 2006, № 9-10

дп '

пт+По

0у! дp\

р 10-^=_ а 1^_дТ— /, (5)

дУ2 др! „ _ ч

р 20 ~д2 = - а 20 ~д~ + /, (6)

ді дг

дТ1

Р10с1 “д^ = п0912, (7)

дТ2 др 2

р20с2~д^- = а20 ~~д^~ + п0922 , (8)

п0 912+ п0 9 2 2=-1 о 1, (9)

да' , 3 ,ЛК.

— = * +--------2--------, (10)

ді 4 п 0 Р °0

*' = * л + * А, (11)

д* Л ^V 1 г р 2- р1

а о—— + 4—* л =-------------------------------------------------------------------------, (12)

ді а о

р 10

Г I

> Р 2 - Р1

* А =—----------173, (13)

р 10 С1а 20

о 4 з

р і = р 1 а і , а 1 + а 2 = 1, і = 1,2, а 2 = — па п, (14)

с2 = кУсрУ + кЄсрЄ , кУ + кЄ = 1, кі = —, і = (15)

р 2

Здесь и далее: р°, р- истинная и средняя плотности; у - скорость; р -давление; п - число пузырьков в единице объема смеси; Т - температура; * -скорость радиального движения пузырьков; а - радиус пузырька; 9і2 -интенсивность теплообмена между і-ой фазой и поверхностью отдельного пузырька; / - сила межфазного взаимодействия; 1 - интенсивность фазовых переходов; а - объемное содержание; I - удельная теплота парообразования; кі -массовая концентрация 1-го компонента дисперсной фазы; с - удельная теплоемкость; V 1 - кинематическая вязкость жидкости. Нижние индексы 1 и 2 относятся к параметрам несущей и дисперсной фаз, индексы V и Є -соответственно к паровому и газовому компонентам дисперсной фазы; индекс 2 -к поверхности раздела фаз, индекс 0 - начальное невозмущенное состояние, штрихи обозначают возмущения параметров. Заметим, что здесь и далее при значениях параметров к1 = к2 = 0 описывает плоские волны в декартовых координатах, при к1 = 1, к2 = 0 - цилиндрические волны в цилиндрических координатах, при к1 = к2 = 1 - сферические волны в сферических координатах.

Согласно уточнению, приведенному в [3], будем полагать, что скорость радиального движения пузырьков м> состоит из двух слагаемых: wR и wA, где WA -акустическая добавка, определяемая из решения задачи о сферической разгрузке сферического пузырька в несущей жидкости в акустическом приближении.

Запишем уравнения состояния двухфазной смеси и условие насыщенности пара на поверхности раздела фаз в линеаризованном виде:

р1 =с 2 р 1°, (16)

Р 2 р 2° , Т2 Яу — ЯСг

---=----------+ АЯку + — , =- -, К0 = кО0+ к¥0ЯУ , (17)

Р0 р 20 т0 К0

тУ р 2 Ку Р 0

■ф- = Екуу + а^, Е = -^-™— (1 -ку0), С = Еку0, (18)

т0 Р0 Я0 /0р^0

где С1 - скорость звука в несущей фазе; Я - газовая постоянная г-го компонента дисперсной фазы (г = у, С).

Для силового взаимодействия, теплообмена и кинетики фазовых переходов примем следующие соотношения:

1 д VI — V 2

f = Т р 20 ( v 1— v 2) + р 20----, (19)

2 д^ т v

п 0 9гХ тУ- т1 (20)

------= р 20------------------------------------------------------------, (20)

сг т тг

1 куу — ку

I = р 20I', I ' = —---------уУ----^ , (21)

1 ку0 т т

2 «0 4 с1 р 20 а 0 2 «0

т v = 9у7 , Т Тг = ""э^йдГ" ’ Т т = 3$ь1о 1,

где ту - температура на поверхности раздела фаз; - числа Нуссельта для

теплообмена поверхности фазы с г-й фазой; ^ - коэффициент теплопроводности г-й фазы (г = 1,2); 8Ь1 - безразмерный коэффициент массообмена (число Шервуда); А - коэффициент диффузии; тг - времена релаксации.

Кинематические зависимости (14) после линеаризации примут вид:

Г 9 9 °

а1 р1 р1

а10 р10

р 10

(22)

а 2 П+ 3«-, (23)

а 20 п 0 «0

9 9° г г

-52-=£2_+_п_+3«_, (24)

р 20 р 20 п 0 «0

рУ , Р2

------= К у + Ку 0---------

р 20

р 20

Получили замкнутую систему уравнений, для упрощения которой введем комплексные потенциалы скоростей:

, дф'г

дг

(26)

ф; = Л;ехр\1(К* г — ш^)] - для плоских возмущений,

ф; = Л;Н(К* г)ехр[г(К* г — ш^)] - для цилиндрических возмущений,

ф; = Л; — ехр[1(К* Г — ш^)] - для сферических возмущений, г

к* = к + гк*

Ср = ш/К,

где Лг - амплитуда возмущения, Н(К*,г) - функция Ханкеля; К* - комплексное волновое число; К** - линейный коэффициент затухания, через Ср обозначена фазовая скорость; ш - частота возмущений.

Выражая возмущения параметров их производные системы уравнений (1-13), (16-18), с учетом зависимостей (19-25) через фг, можно получить единое дисперсионное соотношение, определяющее распространение как плоских, так сферических и цилиндрических возмущений в смесях жидкости с парогазовыми пузырьками вида:

к *Л

*

ш

2

= У(ш) П(ш),

(27)

У(шш= 1 + а 20(т ° — 1)"

/, л

1 + 010 2 о ч^ т у

Г 1 а10 , о Л

- + — (а20 + т а 10)

ч2 т

™ а10 , 1 Б(шш=—— + а 20

С

Нк = Л!

Ня + Н

К

Ня =

а 2( го)

гшт я — 2

2тя — (А («»тя — 2)

и 2 Н1Н 2 — и 4 Н1 — 21 и 1Н 2

с 2 т Г1

и2 Н1Н3 — из и4 Н1 + 21 ^ (и4 С — и 1Нз)

Н1 =

гшт г 1

т

и 1 = ^гшт т — 1), и 2

с2 т Г1

10 гшт г 2

- + А — и

и 3 = 1 — С

г \

1+21. т

ч с 2 т Г1 у

Г0с2 (1 — КУ 0 ) и 4 = Ь1Н 2 + и 1, т ° =

— я0) — 1 + С ,

Г1+с 1 т Г 2 ,

ч с2 т Г1 ,

р 20 р 20

т =

р 10 р 10

6

а 0 . а 0 т Я =------, (л =

8 У1 С1 а 103

Исследуем особенности распространения импульсных возмущений малой амплитуды в жидкости с пузырьками газа и пара. На рис. 1, 2 представлены зависимости фазовой скорости и коэффициента затухания от частоты для воды с паровоздушными пузырьками при кУ0 = 0.1 (сплошные линии) и для воды с пузырьками воздуха (штриховые линии) при следующих параметрах смеси: а20 =

0,001, а0 = 1*10-3 м, р0 = 0,1 МПа, Г0 = 300 °К. Кривая зависимости фазовой скорости от частоты показывает, что влияние паросодержания на скорость распространения акустического возмущения мало. Однако для зависимости коэффициента затухания от частоты в тех случаях, когда частота возмущений мала (т.е. ш < шг ~ (ро/р1о )12/4яао), разница между значениями коэффициента затухания для чисто газовых пузырьков (кУ0 = 0) и для парогазовых пузырьков (ку0 = 0,1) существенна.

Рис. 1. Зависимость фазовой скорости от частоты в жидкости с парогазовыми (кривая I) и

газовыми (кривая II) пузырьками

Рис. 2. Зависимость коэффициента затухания от частоты в жидкости с парогазовыми (кривая I)

и газовыми (кривая II) пузырьками

Далее рассмотрим эволюцию импульсов давления типа гауссовой кривой, создаваемых на границе пузырьковой завесы, когда начальная форма импульсов описывается функцией вида

р (0, г) = ехр[ - ((г - г*)/N )2 ],

где г * - половина длительности импульса; г * = 0,001 с; N - параметр, определяющий ширину импульса, N = 0,0001. Расчеты проводились с помощью дисперсионного соотношения (27) при использовании подпрограмм быстрого преобразования Фурье [7] по методике, изложенной в [8]. Будем рассматривать смесь воды с пузырьками, состоящими из водяного пара (кУ0 = 0,1) и воздуха при следующих значениях параметров: а2о = 0,01; а0 = 1*10-3 м; р0 = 0,1 МПа; Го = 300 К.

На рис. 3 представлена эволюция импульсного возмущения давления в смеси воды с паровоздушными пузырьками (сплошные линии) и в смеси воды с пузырьками воздуха (штриховые линии). Числовые указатели у кривых соответствуют расстоянию в метрах от начала координат. Наличие пара в газовых пузырьках даже при невысоких температурах и, соответственно, невысоких массовых концентрациях пара (кУ0 = 0,01 ~ 0,1) приводит к увеличению затухания акустических возмущений.

Рис. 3. Эволюция импульсного возмущения давления в жидкости с парогазовыми (кривая I) и газовыми (кривая II) пузырьками, начального радиуса а0 = 1-10"3 м в плоском случае

Влияние начального радиуса пузырьков на эволюцию импульсного возмущения давления, на примере смеси воды с пузырьками водяного пара и воздуха, показано на рис. 4. Расчетные профили построены на расстоянии 1 м и 2 м от места инициирования импульса соответственно. Сплошная линия рассчитана при а0 = 1 мм, штрихпунктирная - при а0 = 0,5 мм, штриховая - при а0 = 0,1 мм. Как видно, зависимость интенсивности затухания длинноволнового импульса от радиуса пузырьков не монотонна - при уменьшении радиуса пузырьков до некоторого значения (для смеси воды с паровоздушными пузырьками ~ 5^10"4 м) затухание сначала постепенно увеличивается, а затем уменьшается.

5Л

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

Й, =0,001

1 1 /1 /К: 2: II г\ • : дп=0,0005 а, =0,0001 А =0,1, 71=300 К v 77 U

- 1 1 ГГ. /Ч . \Х' IX а2 =0,001

1 1 \\' ЛN I1: А 1г. /м р= 1 МПа

/I/ - 1 \ I \ v 1>:\ \' Г- \

1 \ г - / \ и \ W1 * \ \}/ /: \ >

/ \ г' / 1//.' \.Li • ' yk.* Ч1ч

1 1 1 1 1

0,00 0,01 /, С

Рис. 4. Эволюция импульсного возмущения давления в жидкости с парогазовыми пузырьками при различных значениях начального радиуса

Итак, в настоящей работе для случаев осевой и центральной симметрии в рамках механики гетерогенных сред представлена замкнутая система линейных дифференциальных уравнений движения для монодисперсной смеси жидкости с парогазовыми пузырьками. Выведено дисперсионное соотношение, определяющее распространение плоских, сферических и цилиндрических акустических волн в смеси жидкости с пузырьками пара и газа. Построены дисперсионные кривые. Показано влияние учета массообмена в смеси жидкости с пузырьками пара и газа на эволюцию импульсных длинноволновых возмущений давления. Установлено, что зависимость затухания импульсного возмущения давления от начального радиуса парогазовых пузырьков немонотонна.

Summary

Distribution of acoustic waves in liquids with bubbles in view of phase transitions is theoretically investigated. The general dispersion equation determining propagation of waves in two-phase mixtures of liquid with bubbles of insoluble gas in flat, spherical and cylindrical cases that does not depend on distance up to an axis or the center of symmetry is received. Dispersive curves are calculated, influence of the maintenance vapor is shown. Calculation of evolution of impulse waves of pressure in liquids with vapor-gas and gas bubbles is lead. Nonmonotonic dependence of attenuation of impulse indignation of pressure on initial radius bubbles in liquids with vapor-gas bubbles is shown.

Литература

1. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч.1, 2. - М.: Наука, 1987.

2. Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Шрейбер И.Р. Распространение волн в газо- и парожидкостных средах. - Новосибирск: ИТФ. - 1983. - 238 с.

3. Нигматуллин Р.И., Шагапов В.Ш., Вахитова Н.К. Проявление сжимаемости несущей жидкости при распространении волн в пузырьковой среде // Докл. АН СССР. - 1989. - Т.304. - № 5. - С. 1077-1081.

4. Губайдуллин Д.А., Никифоров А.А. Акустические возмущения разной геометрии в смеси жидкости с пузырьками нерастворимого газа // Известия вузов. Проблемы энергетики. - 2005. - Т. 1-2. - С. 3-10.

5. Шагапов В.Ш. Распространение малых возмущений в жидкости с пузырьками // Прикладная механика и техническая физика. - 1977. - № 1. - С. 91-101.

6. Азаматов А.Ш., Шагапов В.Ш. Распространение малых возмущений в парогазожидкостной среде // Акустический журнал. - 1981. - Т. 27. - № 2. - С. 161-169.

7. Гапонов В.А. Пакет программ быстрого преобразования Фурье с приложениями к моделированию случайных процессов. - Препр. АН СССР, Сиб. Отделение: ИТФ. - 1976. - Т. 5. - 19 с.

8. Губайдуллин Д.А. Динамика двухфазных парогазокапельных сред. Изд-во Казанского математического общества. - 1998. - 153 с.

Поступила 11.09.2006