CC BY
6УДК 536.2
DOI: 10.21779/2542-0321-2022-37-1-12-17 В.Д. Бейбалаев 1 2' А.А. Аливердиев 1 2
Исследование температурного поля в пластине одномерным нелинейным
уравнением теплопроводности
1Институт проблем геотермии и возобновляемой энергетики - филиал ОИВТ РАН; Россия, Республика Дагестан, 367030, г. Махачкала, пр. Шамиля, 43а; kaspij «3'ama.il. ru, aliverdi'amail. ru
Дагестанский государственный университет; Россия, Республика Дагестан, 367000, г. Махачкала, ул. М. Гаджиева, 43а; kaspii «3'amail.ru, aliverdi'amail.ru
Дагестанский государственный университет народного хозяйства; Россия, Республика Дагестан, 367008, г. Махачкала, ул. Джамалутдина Атаева, 5; kaspii «3'ama.il. ru
В статье представлено эмпирическое уравнение для расчета температурно-барической зависимости эффективной теплопроводности с коэффициентами, рассчитанными по экспериментальным зависимостям для Сухокумских газонасыщенных аргиллитов, полученным для диапазонов температур 273-473 K и давлений от атмосферного до 400 МПа. Проводится оценка ошибки аппроксимации экспериментальных данных. На основе данного уравнения осуществлено математическое исследование температурного поля в пластине одномерным нелинейным уравнением теплопроводности. Обнаружено изменение закона распределения температуры: от степенного закона переходит к экспоненциальному закону. Полученные результаты могут быть использованы в моделировании процессов теплопереноса в земной коре, расчете и прогнозировании глубинных температурных полей и т. д., в том числе в призабойной зоне для нефтегазовых и геотермальных приложений.
Ключевые слова: теплопроводность, давление, температура, температурное поле
Благодарности: работа выполнена в рамках гос. задания Министерства науки и высшего образования Российской Федерации при поддержке гранта РФФИ 20-08-00319a.
Введение
Задачи, связанные с исследованием процессов теплообмена в композитных структурированных и пористых материалах искусственного и естественного происхождения, являются на сегодняшний день актуальными, на что указывает огромное количество прикладных задач прикладной инженерии и наук о Земле, в которых на первый план выходит описание температурного поля недр. Как известно из многочисленных работ [1-5], в таких структурах всесторонние напряжения имеют достаточно сложный характер. Под их воздействием происходит изменение объёма и упругих параметров решетки и возникают поперечные и продольные деформации. В ряде работ авторы также указывают на возможность существования обратимого барического фазового перехода второго рода [6-8].
В настоящей работе проводится исследование температурного поля в пластине одномерным нелинейным уравнением теплопроводности на основе полученного ранее эмпирического уравнения, описывающего температурно-барические зависимости теплопроводности образцов Сухокумских аргиллитов (плотность р = 2,626403 кг/м3 , пористость к = 13,3 %, глубина залегания 3923-3930 м) в диапазонах температур 273-473 К и давлений от атмосферного до 400 МПа [9].
1. Температурно-барическая зависимость эффективной теплопроводности
Как показано в [9; 10], в общем случае температурно-барическая зависимость теплопроводности может быть представлена как
ЖР, Т)=Л • / (Рр.)-СЧ (1)
Р Т л гг Вт где Р = —; Т =—; Р0 = 0,1 МПа; Т = 273 К; Ло = 1,55-,
пр Р0 пр Т0 0 0 м • К'
а безразмерные барические функции /(Рпр ) и п(Рпр ) могут быть представлены в виде:
/(Рр ) = /Р^С, п(Рпр) = d(1 + Рпр) т,
игпр. с
где а, Ь, с, d, т - параметры. Значения параметров находим из экспериментальных данных.
Для газонасыщенных аргиллитов значения параметров исходя из экспериментальных данных [8] равны:
а = 667,71; Ь = 0,884; с = 667,826; d = 0,198; т = 0,015. Подставляя в (1) /(Рпр), п(Рпр) и значения параметров, получим: Рпр + 667,71 0198-(1+Р )0,015
цР,Т)=я0--пр.----тГ (1+Рпр) (2)
^ 0,884 • Рпр + 667,826 пр• . (2)
Ошибки аппроксимации
— 0 0974
Ап( Р) =---100% = 1.08%
9,
Ас(р) = 0 1264 • 100% = 1.4% 9 .
Так как ошибки аппроксимации меньше 7 %, то данные уравнения (2) хорошо
согласуются с экспериментальными данными. Индекс детерминации:
4 Р) = 1 - 0000206 = 0.977 п( Р) 0.00879 ,
^ =! - 0.00405 = 0.94
(Р) 0.0685 .
Следовательно, точность подбора уравнений высокая.
2. Исследование температурного поля в пластине
Исследуем теперь температурное поле в пластине при различных температурах на границе и различных значениях давления. Математическая модель данной задачи имеет вид:
Задача. В области Б = {(х, t) : 0 < х < ¿,0 < х < Т} найти решение задачи: дТ(х, X) д{ ит р*) дТ(х, X) ^ _ т
■ = Л(Т, Р ) дх 0 < х < Т, (3)
р-с-
дХ дх
\
Т(х, 0) = Т0, 0 < х < т,
Т(0, X) = Тр., Т(Т, X) = Тр., 0 <X. (4)
Задачу (3), (4) будем решать численным методом. Для этого введем в области Б = {(х, X):0 < х < Т,0 < х < Т} равномерную сетку
сотк = {(хг, ¿и) : = г-к;1 = 0,1,... ,М\ Хп = пт; п = 0, 1,..., Л^} и воспользуемся явно-неявной разностной схемой [13]:
п + 1 п „С ^п+1 ТЙ+1 ТЙ+1 ^п+0
Т" 1 Т 1
р■ с ■—-— = —
х h
Зп Тг+1 ~Тг _ 7П Тг ~Тг-1 '+1/2 - h г_1/2 h
(5)
г = 1,2,..., М-1; п = 0,1,... Т°=Т0, г=0,1,...,М,
Тп = Тгр, ТМ = Т*р,п = 1,2,..., N, (6)
г + хп +яп1
где ^п+1/2 =~—2 ' +1' ^п-1/2 = '—~. Значение Ап при фиксированном значении
давления будем находить по формуле (2). Решение системы (5), (6) найдем методом прогонки. Численно исследуем задачу при различных значениях температуры на границе.
Рассмотрим случай, когда в (2) давление равно Р = 0,1 МПа, тогда равенство (2) примет вид:
А(Т)=4 273 Г. <7>
Исследуем задачу при теплофизических характеристиках пластины:
3 з _ _ кДж Дж
р = 2,626 ■ 103кг/м 3; с = 07-к = 700-К; Т = 0,5 м; Трп = 373 К, 523 К при х = 0,
' кг ■ К кг ■ К гр- 1
Тр = 300 К при х = Т и начальная температура при X = 0 Т0 = 300 К. Графики численного решения приведены на рисунках 1,2.
Как мы видим из рис. 2, при переходе точки х = 0,11 м в зависимости от времени происходит изменение закона распределения температуры, то есть от степенного закона переходит к экспоненциальному закону.
600
50»
bp
400
300
Рис. 1. Графики распределения температуры в пластине в зависимости от координаты в различные моменты времени в случае, когда Тгр = 523 К при х = 0, Т* = 300 К при х = Ь и начальная температура при £ = О Т0 = 300 К
1-х=0.0б
2-х 0 11
3-*=0.17
"О 1500 3000 4500 6000 7500 9000 10500 12000
t,c
Рис. 2. Графики распределения температуры в пластине в зависимости от времени в различных точках пластины в случае, когда Тгр = 373 К при x = 0, T* = 300 К при x = L и начальная
температура при t = О T0 = 300 К
V I = 2400 с-! i=36GOc-2 /= 7200с-2
\
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0
Заключение
Приведенные в статье решения и расчеты помогут при моделировании процессов теплопереноса в земной коре, расчете и прогнозировании глубинных температурных полей и т. д., в том числе в призабойной зоне для нефтегазовых и геотермальных приложений.
Литература
1. Sun Q., Zhang W., Zhu Y., Huang Z. Effect of high temperatures on the thermal properties of granite // Rock Mech. and Rock Eng. 2019. Vol. 52. - P. 2691-2699. https://doi.org/10.1007/s00603-019-1733-0.
2. Norden B., Förster A., Förste H.-J., Fuchs S. Temperature and pressure corrections applied to rock thermal conductivity: impact on subsurface temperature prognosis and heat-flow determination in geothermal exploration // Geothermal Energy. 2020. Vol. 8, № 1. - P. 1-19. https://doi.org/10.1186/s40517-020-0157-0.
3. Merriman J.D., Hofmeister A.M., Derrick D.J., Whittington A.G. Temperature-dependent thermal transport properties of carbonate minerals and rocks // Geosphere. 2018. https://doi.org/10.1130/GES0158L1.
4. Fu H., Zhang B., Ge J., Xiong Z., Zhai S., Shan S., Li H. Thermal diffusivity and thermal conductivity of granitoids at 283-988 K and 0.3-1.5 GPa // Am Mineral. 2019. Vol. 104, № 11. - P. 1533-1545. https://doi.org/10.2138/am-2019-7099/
5. Qiang C.S., Gao Q., et al. Analyses of the factors infl uencing sandstone thermal conductivity / Sun // Acta Geodynamica et Geomaterialia. 2017. Vol. 14, no. 2 (186). -P. 173-180. https://doi.org/10.13168/AGG.2017.0001.
6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. - 2-е изд. - М., 1964. (Теоретическая физика: в 10 т.).
7. GufanA.Yu., NovgorodovaM.I., Gufan Y.M. The properties of ions with intermediate valence and the theory of high-pressure phase structure // Bull. Russ. Acad. Sci. Phys. 2009. Vol. 73. - P. 1085-1096. DOI: 10.3103/S1062873809080218.
8. Emirov S.N., Aliverdiev A.A., Zarichnyak Y.P., andEmirov R.M. Studies of the effective thermal conductivity of sandstone under high pressure and temperature // Rock Mech. and Rock Eng. 2021. - Vol. 54. - P. 3165-3174. https://doi.org/10.1007/s00603-020-02353-3.
9. Эмиров С.Н., Бейбалаев В.Д., Аливердиев А.А. Расчет теплопроводности гра-нулитов в зависимости от давления и температуры // Вестник Дагестанского государственного университета. Сер. 1: Естественные науки. 2020. Т. 35, вып. 3. - С. 31-35.
10. Бейбалаев В.Д., Эмиров С.Н., Аливердиев А.А. Описание температурно-барической зависимости эффективной теплопроводности аргиллитов // Сб. материалов XIV Международной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы математики и информатики», приуроченная к 90-летию Дагестанского государственного университета: - Махачкала, 2021. - С. 69-71.
11. Самарский А.А., ГулинА.В. Численные методы. - М.: Наука, 1989. - 432 с.
Поступила в редакцию 19 октября 2021;
UDC 536.2
DOI: 10.21779/2542-0321-2022-37-1-12-17
Investigation of the Temperature Field in a Plate by a One-dimensional Nonlinear Heat
Equation
V.D. Beybalaev12'3, A.A Aliverdiev12
1 Institute for Geothermal Researches and Renewable Energy - a branch of the Joint Institute for High Temperatures of Russian Academy of Sciences; 367030, Russia, Makhachkala, Shamilyapaver., 30a; kaspij 03amail.ru. aliverdi'a.mail.ru
2 Dagestan State University; 367000, Russia, Makhachkala, Gadzhiev st., 43a; kaspij_03amail.ru, aliverdi-ai, mail.ru
3 Dagestan State University of National Economy; Russia, Dagestan, 367008, Makhachkala, Jamalutdin Ataev st., 5; kaspij_03'ama.il.ru
The article presents an empirical equation for calculating the temperature-baric dependence of the effective thermal conductivity with the coefficients calculated from the experimental dependences for the Sukhokum gas-saturated mudstones, obtained for the temperature ranges of 273-473 K and pressures from atmospheric to 400 MPa. The error of approximation of experimental data is estimated. On the basis of this equation, a mathematical study of the temperature field for a plate is carried out by a one-dimensional nonlinear equation of heat conduction. It is found that the temperature distribution law changes from a power law to an exponential law. The results obtained can be used in modeling heat transfer processes in the earth's crust, calculating and predicting deep temperature fields, etc., including in the bottomhole zone for oil and gas and geothermal applications.
Keywords: thermal conductivity, pressure, temperature, temperature field
Received 19 October 2021
