ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА НА БЕСКОНЕЧНОСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.4.43+517.4

Б01: 10.33184/Ьи11ейп-Ь8и-2022.2.2

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА НА БЕСКОНЕЧНОСТИ

© Г. К. Галина1, Р. Д. Муртазина2, А. Д. Низамова3, Р. Т. Садриева1, Н. А. Сидельникова1*

башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

2Уфимский государственный авиационный университет Россия, Республика Башкортостан, 450008 г. Уфа, ул. Карла Маркса, 12.

гИнститут механики им. Р. Р. Мавлютова УФИЦРАН Россия, Республика Башкортостан, 450054 г. Уфа, пр. Октября, 71.

Тел: +7 (347) 229 96 32. *ЕтаИ: zhiber.na@gmail.ru

В квантовомеханическом описании нерелятивистского потенциального рассеяния двух частиц будем считать частицы бесспиновыми, потенциалы изотропными. Также допустим, что потенциалы взаимодействия зависят только от расстояния между частицами. Тогда движение частиц в системе их центра тяжести описывается стационарным уравнением Шредингера. Решения ф(Х, к, х) этого уравнения не содержат время.

В работе показано, что собственные функции Ц)(Х, к, х) стационарного уравнения Шредингера являются целыми функциями от X и аналитическими функциями от к.

Ключевые слова: уравнение Шредингера, асимптотическое решение, аналитическая функция, потенциальное рассеяние.

Рассмотрим уравнение Шредингера

^ + к2гр(х) - ^гр(х) - У(хШх) = 0. (1)

Будем задавать граничное условие х = го, а для вещественной функции У(х) следующие ограничения:

1) У(х) почти всюду непрерывна;

2) $™\У(х)\йх = М(с) < го;

3) 1о'х№(х)\(1х = М(с') < го.

При этом с и с' могут принимать произвольные значения (с >0, с' > 0).

Для удобства дальнейшего исследования этого уравнения вместо I введем число Я = I +1. Тогда уравнение (1) перепишем в виде

хр"(х) + [к2 - Щ/4 - У(х)] хр(х) = 0, (2)

которое четное относительно X.

При пренебрежении потенциалом и центробежным барьером

Я2 - 1/4

-+ у(х) = 0

х2

будем рассматривать укороченное уравнение

^"(х) + к2^(х) = 0. (3)

Решения уравнения (3) имеют вид:

хр{х) = ае-кх + ре1кх. Будем искать решение *ф(Л, к, х) уравнения (2) с асимптотическим поведением вида

Ите1кх-ф(Х, к, х) = 1.

При условии, что У(х) = 0, имеем

шк,х)\у(х)=0 = Ы*.к,х) = (^У ■ е-Т<л+2)н(2\кх). (4)

(2)

Здесь Н( ' - функция Ганкеля II рода.

Представим функцию Ц>(Х, к, х) в виде следующей суммы

4>(Х, к,х) = а(х)-ф0(Л, к, х) + ^(х)гр0(Х, -к, х). Используя метод вариации постоянных для определения неизвестных а(х) и Р(х), получим следующую систему

(а'(х)^0(А, к, х) + ß'(x)^0(A, -к,х) = 0,

^dxpod К х) дхро^ -к, х) а (х)----+ ß (х)---= У(х)ц>(А, к, х)

и выразим а' (х) и ß' (х)

дх

'а'(х) = -ß'(x)

дх

ф0(Х,—к,х) 1фо(Х,к,х) ,

ßXx) р^адША, к, х) - гРо(А, -к, х) =

L= V(x)^(A, к, х)^0(А, к, х). Продифференцируем (4) по х

д^0(Х,к,х) _ (лкх\2

е 2

дх V 2 )

а также выразим функцию *фо (Я> —к-х) и производную

\ 2х

дх

Щ2)(кх) +

(кх) дх

Ы*. -к, х) = {ff.eT^dHym,

дН(^\кх) дх

Так как

д^0(А, -к, х) df0(A, к,х) -—-fo (Л, к, х) - fo(Л, -к, х)-—-=

= . Л0-+2) . (¿„«(ix) + ■ (f-f ■ e^hh?^) -

-£¡1

д х

д х

и для функций Ганкеля 2-ого рода выполняется свойство

д ^(А,к,х) д ^0(А,к,х)

+

дх

дх

+ А(х)гр(А, к,х) +

дВ(Х,к,х,у) д-ф(Х,к,у) + д2В(Х,к,х,у)

]-Шк,у)) А(у) dy.

д х ду д х ду

Введем формальные итерационные разложения, используя (7) и (10)

гр(А,к,х) = (Л.к.х),

д ^п-г(Х, к,у)

Г ( <

грп(А,к,х) = I I В(А,к,х,у)-

Jx V дУ

+ (^^^n—i&Xy))- A(y)dy,

+

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

д^(Х,к,х) __дгрп(Л,к,х)

= Ln=0

д х

дф (Л, к, х)

д х

дх

+

А(х)ф п—1(Л,к,х) +

(дВ(Х,к,х,у) дф71-1('1'к'У) , д2В(Х,к,х,у) , , . , . ,

!х t^nr2■ дУ + -ibr1 (Ä,k,y))A(y)dy.

ду дх ду

Если к Ф 0, то при всяком X = ц. + (а имеют место следующие неравенства (см [2]):

^ к, х)\ < ^

(13)

(14)

(15)

\в (Л, к, х, у) \ <се\ь\\ М \+1

1 4 , , - и+\к\у) \1+\к\х)

-\м \+2

где у > х, Ъ = 1т к и с - постоянная, зависящая только от Л. Продифференцируем функцию гр0 (Л, к, х) по х

дф(А, к, х)

дх

N

2х

Щ2,(кх) +

дн(2)(кх))

дх

Так как для функций Ганкеля (см. [9]) выполняется следующее соотношение

2^ = Н^Ю -Н&Ю, I = 12,

(16)

то

дн1\кХ) = к,нО) _ иЦ)

дх 2 ^ Х-

При больших х справедливо следующее неравенство

ах -2(н(-1 (кх) -Н(+1(кх)11 = 1,2.

Н(1)Х2)(г) < С

±Ц2-

Хп п\ ' 2 -4)

лг

где С = й(Л).

Отсюда получаем

дН((2)(кх) к 1 <С-дх

-Ц кх-

(Х-1)п п\

лкх

■ - е

-Ц кх-

(Х+1)л л\

-Ц кх-

Хп п\

{еТ -е-т) = 1кн[2)(кх).

_ д-ф0(Х,к,х)

В итоге, оценим-;-так

дх

\д$о(А,к,х)\ I дх I

. д-ф0(Х,-к,х) Аналогично, оценка для-—-следующая

< е

О-

дх

Ьх

д'ф0(Л, -к,х)

дх

<

{Ш + \к \ )'^о(Л,-к, х).

Так как

дВ(Х,к,х,у)

= 2-к-(ЫЪ к, у)

(Х,-к,х) д'фо(Х,к,х)

ах ......- ах ах -к, у)),

д2В(Х,к,х,у) = I (д-фо(Х,к,у) д$0(Х-кгх) __ д^0(Х>к>х) дф0(Х-к,у)\ 'дх 2к V ду дх дх ду /

дудх 2к \ ду дх

то, рассуждая аналогично, получим следующие оценки

(17)

\дВ(Х,к,х,у)\ I дх I

\дВ(Х,к,х,у)\ \ ду \

< се\«, + <„ . Ш+~2 . (^Ц-'» \ +1 . + Ц \ ),

\1+\к\у) \1+ \ к\х) 42 \у\ 1 V

\ М \ +

(18) (19)

д2В(Л, к, х, у)

дудх

<

< се\Ь\У + Ьх . Ш \ " \+1 . \»\ +1 . М + \ к\) . М + \ к\ ).

_ \1+\к\у) \1+ \к\х) 42 \х| \ \) 42 \у\ \ \)

С помощью (17)—(20) установим оценку сверху членов итерационного разложения при Ъ <0

- \ м \ +1

гР-(Л, к, х) = С(В(Л, к,х,у) ^

(Х,к,у) + дВ(Х,к,х,у)

д^1 (Л, к, х) дх

ду

% (Л, к, у)) - А(у) йу,

= А(х) - -ф0(Л,к,х) +

е

+

п

(dB(Л, к, х,у) д-ф0(Л, к,у) д2В(Л, к, х,у)

дх ду + дхду" М,к,У))-А(У)аУ-

Используя условия (15) и (16) при больших к, получим

Гт /V N^ \+2 t X \

\ЫЛ, к, х) \ < j \ А(у) \ • Св1 ьI -- . (_+_) .

, , i - \ м \+2

с \ к \ у

- \ и \

1

Так как -1 < 1, —^, _ ,,,

\У \ 1+\к\у \ к\

1 + Шу/ + И)*

1 №

2 \ fc| + 1

' 1_ \ к\

< -1, и обозначив а(у) = — - \А(у)\ - е(\ъ\+ь^у, имеем

\^1(Л,к,х)\ < с-

< V С \ к \ X у _ V.1+\к \ х)

- \ М \ +

• е

\ к \ Ъх

\м \+2 Ьх Г™ Г ^

•е • Г a(y)dy,

i с\к\х у

V.1+\к\ху

I дх \ \1+\к\х) \ 4 у \

Для следующих членов итерационных рядов (12) и (14) выполняется

\ ЫЪ к, х) \ <

< с

i с \ к \ х ) V.1+\к\ху

\ к\

д^2 (Л, к, х)

\ +1.е

дх

< с

+с

с \ к \ х

1 + \ к \ х

2 \ к \ + 1 ~\к\~

1

- \ м \ +2

-.Ьх

3 2 \ к \ + 1

\ к \

I

j г

а(х)• I a(y)dy +

•Ьш + \к \ У

\гр3(Л,к,х)\ < с2

с \ к \ х 1 + \ к \ х

- \ и\+

jbx

2!

2 \ к \ + 1

W2

, Л (Ca(y)dy) ,

• а(х)--—--+

2!

+ с

д^3(Л, к, х)

дх

< с •

с \ к \ х 1 + \ к \ х

2\к\ + 1)3 (СаЩу)3\ \к\ ) • 3! \

2 \ к \ +1 ~

-\и\+

2с

• а(х) •

(С a(y)dy) 2!

+

+с2

Уй + \ ' \ )

2\к\ +1\3 (Ca(y)dyY , а2(х)

+

I

J у

a(y)dy I.

\ к \ ) 3! \ к \

По индукции для общего члена разложения будут справедливы следующие оценки

'2 \к\ + Ап (^аШуУ

\ 4>п (Л, к, х) \ <

с \ к \ х 1 + \ к \ х

1

- \ м \ +2

-.Ьх

\ к \

а(х) (Са(у^у)"

+

п!

+ЩСГ-

2 \ к \ + 1

\к\ ) \к\ (п - 1)!

i2\k\ + 1)n-4 а2(х) (Ca(y)dy)1

V \ к \ у \ к\2 (п-2)!

+

+

+ ...+Лг,

2\к\ + 1\п-2т ат(х) (Ca(y)dy)

\ к \

\ к \'

(п-т)!

(21)

Здесь для четных п = 2к берется т = 1,...,—; для нечетных п = 2к + 1 определяется т = 1,.

постоянные, вычисляемые по реккурентным формулам. Теперь оценим производные

д^п(Л, к, х)

дх

<

с \ к \ х 1 + \ к \ х

- \ м \ +2

-,Ьх

+ \ \

(2\к\ +1\п (Ca(y)dyT

\ к \

Vrn -

+

п-1

п

С

+Ъсп-1 +Ъсп-2

2\к\ + 1

( )

Ф) Лу)Г'

+ $гг

\к\ ) (п — 1)!

а2(х) (2\к\ + 1)г-3 а(У)¿у)

' \Л| ' ( \Л| ) (п-2)

2\к\ + 1)п+1-2т ат(х) (С а(у)¿у)

\№| ) \/с\т-1 (п-т)

+

-2

+

-

(22)

-+... I.

Здесь для четных п = 2к берется т = 1,...,для нечетных п = 2к + 1 определяется т = 1,...,—+-; Vт и - постоянные, вычисляемые по реккурентным формулам. Выполним проверку оценки (21) для п + 1 членов рядов (7) и (10).

Г™ /V / х \-\>*\+Ь { I

\^+1(Л,к,х)\ < I \А(у~)\с е^У+Ьх ■ ■ (Т+1Щ-) ■ ^

^2\к\ + 1\п (¡™а(№)Г

+Л2

^ +\ к \ )

\ к \

2 \ к \ + АП 2 а

+

П!

\ к \

00 (1уа№)Г>

+\к \ )

2 \ к \ + 1

2 \ к \ + 1

\ к \

п—2т

\ к \

П-4 а2(у) (1ута(1)сИ)

\ к \2 (п — 2)! ат(х) {£а(у)йу)П~т

(п — 1)!

■++...+Чп

+

+* ' )

+

\ к \ ) \ к \т (п — т)!

<

! \ у\

+Ъсп-1

+^сп-2

+ ...+^т+1Сп-т ■

с \ к \ х

\ к \

+

П!

2 \ к \ + 1

а(у)

2 \ к \ +Л п-3 а2

\ к \

(¡™а(1)й1)П

(п — 1)! (у) (!у°°а(№У

^1,1 . л \ п+1-2т

2 \ к \ + 1\ а

\ к \

\ к \ (п — 2)! (У)

+

+

Ыу<

1 + \ к \ х

- \ м \+2

Ьх

2(41 + & ■сП+1

\ к \т-1 (п — т)!

2 \ к \ + 1\ "+1 (СаШу)

+

(2+

\ к \ ) (п + 1)!

2 \к\ +Лп-1 а(х) (Са(У)аУТ

+

п!

+ (I+<•)■

\ к \ ) \ к \ 2 \к\ +А"-3 а2(х) (Са(у)йу)

+

+... +

1 Ут+1 | \ /-К—

т+1 {т+1\

\ к \ ) \ к \2 (п — 1)!

п-т+1 12 \ к\ + ^п-2т+1 ат (х) {¡?д(у)<1у)

+

п-т+1

\ к \т (п-т+1)!

Здесь для четных п = 2к берется т = 1,...,для нечетных п = 2к + 1 определяется т = 1,. Таким же образом проверим оценку для производной (22)

п-1 , 2 '

д4>п+1(Л, к, х)

дх

<

- \ м \+

ь п ,2к]+1\п и™аШу)П

еох ■ | т^1сп ■ I ——— I ■ а(х)--:--+

+Л2С

с \ к \ х

1 + \ к \ х) ~ \Г1~ \ \ к \

2 \к\ +Ли-2 а2(х) (С"Шу)

п

\ к \

\ к \

(п — 1)!

+

п-тп

С

п—т

n-2

+n cn-2 {2_W+1)n-4 ajoo (Ca(y)dy) + +V3C { \к\ ) \к\2 (n- 2)! +

Kn-m

+ +n cn-rn {2 \k\ +1)n-2m am+1(x) (Ca(y)dy) +

+...+^m+lC { \ k \ ) \ k \ ш (n-m)! +

+Vl (2\x \ + \ ^ \ ) C { \ к\ ) (n + 1)! +

4.^2 , И ( 1 , ,.Л n (2\к\ + 1\n-1 a(x) (C a(y)dy)n

+ (T + + \k \ •Ж--n!-+

(2\к\ +1\n-2 a2(x) (fx°°a(y)dy)n-1 +

+ (т + ^Уй + \ * \ )

2 \x \ ' 7 V \k\ ) \k\2 (n- 1)! + +f у.(^+ \ k\)• cn-m+!• {m±1)n-2m+1 • WO (СдЩуГ<

+ ( 2 + (m+l) (2\ x \ + \ k\ ) C { \к\ ) \к\- (n-rn +1)! \<

<{ C\k\X )-\" \ +1 - ( n+i ( 1 + \ fr\ ) {2\к\ + 1Y+1 ( ) (СаШуГ1 + <{ТТ№) 6 ^ Л2Й + \ k \ )\~ТГ) •a(X)--(n + 1)! +

J 4.1 n [Ш + ЛП ,, (Ca(y)dyT ,

+ {„ +1 .Cä+£)).cn-i.{m±1)n-2 ЧС^УГ1 +

+ У12 +2 ( 2 + *3)) C { \ к \ ) \ к \ (n- 1)! +

+ {, +1. ßl + !)).cn-2 .pJ^Y-4^ (СаЩУГ2 +

+ {^3 +2 ( 2+ *4)) C { \ к \ ) \ к \2 (n-2)! + ^

+ 1 +, ) fn-,+i (2\k\ + Лn-2m+2 am(x) ^"ШУГ^1 ( 2 ) • C

\ \ к \ ) \ к \m-1 (n-m +1)!

Здесь для четных п = 2к берется т = 1,..., для нечетных п = 2к + 1 определяется т = 1,..., -+-. Оценивая константы и , получим теперь оценку сверху для всего разложения

\ ^(Я, к, х) \ < У \ фп (X, к, х) \ < \ \pi(X, к, х) \ + \ ф2(Х, к, х)\+...+ \ \рп(Х, к, х) \ +...

п=0

( с\к\х )-\>\+2 bx (у{2 \к\ +1)п (с • f™ a(y)dy)n + ~\1 + \к\х) 6 \к\ ) п!

4 7 \п=0 4 7

а(х) ^ (2\к\ + 1\п-1 (С • f™°a(y)dy)n

п=1

а2(х) у {2\к\ + 1)"-2 (с • fx™ a(y)dy)n п • (п- 1) + \к\2 • 2-,\ \к\ ) • п! • 2! +...+

п=2

ат (х) v (2 \ к \ + 1\п-т (с • С а(У)^у)П п• (п- 1) • ... • (п -т + 1) N

т!

<

+ \ к \т '¿.и { \ к \ ) • п! • ■ +... 1 <

п=т

( с\к\X )-\>\+2 Ьх (У{2 \к\ + 1)п (с • С g(y)dy)n +

~\1 + \к\х) 6 \к\ ) п!

4 7 \п=0 4 7

,а(х) Г™ V™ (2Щ + 1\п-1 (с • f™a(y)dy) а2(х) { С™„г,Л,1,Л2 V™ (2\к\ + 1\

+• с^х a(y)dy • z™=i (—) —(п-i)! ++• (£.fx a(y)dy) • z™=2 (—)

(C • f*a(y)dy?~2 +.„+ (23)

\H-2

(п-2)!

,n-m

+ am(X) { i™ глиТ У {2\k\ +1)n-m (cC^y) + . < + I a(y)dy) .Z^^^)--(n-rn.)!-+...)<

<

с\к\х

■ е

Ьх

I

2\к\ + 1\" (с ■ 1°° а(у)йу)Т

Л+\к\х ¿-,\ \к\ I п!

' п=0 4

^ с ■ а(х) ¡»а&^у (С ■ а(х))2 а&^у) =

+ ^ 1! +( \к\ ) ^ - +... 1 =

с\к\х 1 + \к\х

-м+2

■ е

\к\ 1! V \к\ ) 2!

2\к\ + 1\п (с ■ а(у)йу)п ^ (с ■ а(х) ■ а(у)йу)"

Ьх

I

\к\

I

\к\пп!

а для производных оценки следующие

д'ф(Л, к, х)

дх

<

<

I

\д^п (Л, к, х)

дх

<

д'ф1(Л, к, х)

дх

+

д^2 (Л, к, х)

дх

+... +

дЦ>п(Л, к, х)

дх

+... <

с\к\х \-ы+2

1 + \к\х

~,Ъх

°

+\ * \ м

2 \к\ + Лп (с^°а№уУ

\ к \

+

П!

+а(х) ■ I

2 \к\ + п (с ■ а(у)йу)П п + 2 \ к \

+

+

а2(х) V (2\к\ + Лп1 (с ■ ¡х°° а(у)йу)П 1 п ■ (п + 3) ат(х)

I

I

\ к \ ¿Л \ к \

П=1

п-т+1

+... +

2 \ к \ + 1

<\ к \■

с \ к \ х 1 + \ к \ х

-\м \+

п! 2 2! .....\ к \т-1

(с ■ а(у)йу)'1 п■ (п — 1) ■...■ (п — т + 2) ■ (п + т + 1) п! 2 ■т!

2 \к\ +Лп (с^°а(у)йу)

■ е

Ьх

°

{.2 \ х \ ■ \ к \ + 1) ^ I

\ к \

+...)<

+

(х) V (2\к\ +Лп (с ■ 1° а(у)йу)П п + 2 а2(х)

\к\

I

г

^ V

I

2\к\ + 1\п1 (с ■ 1° а(у)йу)П 1 п +3

\к\

(п — 1)!

+... +

( \к\ ' п+2 _ „ п+3 _ „ . . п+т+1

а"\х) г г» , л , лт-1 (2\к\ + 1\Т

+ ^ ■(с^1X а(У)аУ) ■ £п=т-1

(п-т+1)!

Так как < 2п и < 2п при п> 1, а —-— < 2п при п>т — 1, то улучшим оценки функции

^(Л, к, х) и ее производной

дтр(Х,к,х) дх

\Шк,х)\ <I\Фn(*.к,Х)\

<

<

с\к\х

1 + \к\х

-м+2

п-0

2\к\ + 1 СХ

д^(Л, к, х)

дх

< \к\

с\к\х

еЬх-е ^

1

С'1Х а(у)ау _еща(х>$х а(у)йуш

1 + \к\х

-М

0Ьх

2 ■

I

2\к\+ " (с ■ Са(у)йуУ \к\

+

+

(х) V (с ■ а(х) ■ а(у)йу)Г

\к\

I-

\к\п ■п!

1 + 2с

Отсюда следует, что члены итерационного ряда мажорируются соответствующими членами разложения экспоненты, и, следовательно, эти ряды сходятся всюду благодаря условиям 1), 2), 3).

п=т-1

Теперь получим более грубую оценку для производной функции

дф(Л,к,х)

дх

д^(Х, к, х)

дх

<

I

(X, к, х)

дх

а(х) S.

п-0

а(х> f™a(y)dy

<\ к \

1 + 2с

с \ к \ х 1 + \ к \ х 2 \ к \ + 1

- \ м \+

-,Ьх

f

J у

2 -е

' 2 \ к \ + 1 a(y)dy - е \fcl

2 \ к \ +1 гх> —^— c-jx a(y)dy

с' S^a(y)dy

+

I к \ \ | к \

Для доказательства аналитичности *ф(Х, к, х) относительно к достаточно показать, что каждый член Ц.1п(X, к, х) является аналитической функцией к или же что последовательность производных по к также сходится равномерно и непрерывно по к. Можно вывести свойства *ф(Х, к, х) как функции к или X, исходя из свойств ф(Х, к, х) (решение радиального уравнения в регулярной граничной точке при х = 0, см. [1]) как функции X и к. Так как ф(Х, к, х) является аналитической по X при ^ >0, следовательно *ф(Х, к, х) является аналитической функцией к в области Ъ <0.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема. Функция *ф(Х, к, х) является целой функцией X и аналитической функцией к в области Ъ <0.

Пусть теперь Ъ = 1т к >0, тогда все сказанное выше остается справедливым, если выполняется следующее условие

п Ж

а(Ь)е2Ы аь е 1}(0,ю).

f

J X

Теперь оценки для итерационных рядов принимают вид 1т, к, X) I <?,Ж-014>п(Х, к, х) I << (1+и М

Щ+1 с - £ а(у)е2ЬУау _ а(х) - £ а(у)- е2ЬУаУ

д^(Х, к, х)

дх

<1

\д^п(Х, к, х)\ \ дх \

+ ща(х)-Са(у)-e2bVdy + \ к \ -

< \ к \

1 + 2с

с \ к \ х 1 + \ к \ х

2 \ к \ + 1 \к\~

\ к\ -\М \+2

- е

Ьх

2 -С"(У>?2Ьу*У +

Г 2М+1- с -Га(у)-e2bydy^

■ I a(y)dy -е \к \ с Jx а(У) е йу Jr )

9.

10.

ЛИТЕРАТУРА

Муртазина Р. Д., Садриева Р. Т., Сидельникова Н. А. Регулярность решения радиального уравнения//Вестник Башкирского университета. 2022. №1. С. 4-20.

Де Альфаро В., Редже Т. Потенциальное рассеяние. М.: Мир, 1966. С. 268.

Султанаев Я. Т., Исламова Р. Т. Исследование уравнения для парциальных волн с быстро осциллирующим потенциалом // Математические заметки. 2006. Т. 79. №2. С. 288-293. Мессиа А. Квантовая механика. Т. 1. М.: Наука, 1978. С. 480.

Гюнтер Н. М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных. М.; Л.: ОНТИ Государственное технико-теоретическое изд-во, 1934. С. 363.

Кудашева Е. Г., Муртазина Р. Д., Низамова А. Д., Сидельникова Н. А. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. Устойчивость течения жидкостей в канале с линейным профилем температуры. М.: Русайн, 2021. С. 134. Сидельникова Н. А., Жибер А. В., Муртазина Р. Д. Дифференциальные уравнения гиперболического типа. Уфа: РИЦ БашГУ, 2021.С. 110.

Сидельникова Н. А. Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка. Уфа: РИЦ БашГУ, 2020. С. 92. Свешников А. Г., Боголюбов А. Н., Кравцов В. В. Лекции по математической физике: учеб. пос. М.: изд-во МГУ, 1993. С. 352. Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики (в 3-х т.): учеб. пос. М.: Высшая школа, 1979. Т. III: Волновые процессы. Оптика. Атомная и ядерная физика. С. 511.

6

7

Поступила в редакцию 30.03.2022 г.

DOI: 10.33184/bulletin-bsu-2022.2.2

STUDYING THE RADIAL EQUATION AT INFINITY

© G. K. Galina1, R. D. Murtazina2, A. D. Nizamova3, R. T. Sadrieva1, N. A. Sidel'nikova1*

'Bashir State University 32 Zaki Validi Street, 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

2Ufa State Aviation Technical University 12 Karl Marx Street, 450008 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

3Mavlutov Institute of Mechanics of RAS 71 Oktyabrya Avenue, 450054 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

Phone: +7 (347) 229 96 32.

*Email: zhiber.na@gmail.ru

In the quantum mechanical description of the nonrelativistic potential scattering of two particles, an assumption is made that the particles are spinless and the potentials are isotropic. It is also assumed that the interaction potentials depend only on the distance between the particles. Then the motion of particles in the system of their center of gravity is described by the stationary Schrodinger equation. Solutions y(A, k, x) to this equation do not contain time variable. According to the results of the study, the eigenfunctions y(A, k, x) of the stationary Schrodinger equation are entire functions of X and analytic functions of k.

Keywords: Schrodinger equation, asymptotic solution, analytic function, potential scattering, real function, central barrier, method of variation of constants, Hankel functions, iterative decomposition.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at bulletin_bsu@mail.ru if you need translation of the article.

REFERENCES

1. Murtazina R. D., Sadrieva R. T., Sidel'nikova N. A.Vestnik Bashkirskogo universiteta. 2022. No. 1. Pp. 4-20.

2. De Alfaro V., Regge T. Potentsial'noe rasseyanie [Potential scattering]. Moscow: Mir, 1966. Pp. 268.

3. Sultanaev Ya. T., Islamova R. T. Matematicheskie zametki. 2006. Vol. 79. No. 2. Pp. 288-293.

4. Messia A. Kvantovaya mekhanika [Quantum mechanics]. Vol. 1. Moscow: Nauka, 1978. Pp. 480.

5. Gyunter N. M. Integrirovanie uravnenii pervogo poryadka v chastnykh proizvodnykh [Integration of first-order partial differential equations]. M.; Leningrad: ONTI Gosudarstvennoe tekhniko-teoreticheskoe izd-vo, 1934. Pp. 363.

6. Kudasheva E. G., Murtazina R. D., Nizamova A. D., Sidel'nikova N. A. Differentsial'nye uravneniya v chastnykh proizvodnykh vtorogo poryadka. Ustoichivost' techeniya zhidkostei v kanale s lineinym profilem temperatury [Second-order partial differential equations. Stability of fluid flow in a channel with a linear temperature profile]. Moscow: Rusain, 2021. Pp. 134.

7. Sidel'nikova N. A., Zhiber A. V., Murtazina R. D. Differentsial'nye uravneniya giperbolicheskogo tipa [Differential equations of hyperbolic type]. Ufa: RITs BashGU, 2021. Pp. 110.

8. Sidel'nikova N. A. Differentsial'nye uravneniya v chastnykh proizvodnykh pervogo poryadka [First-order partial differential equations]. Ufa: RITs BashGU, 2020. Pp. 92.

9. Sveshnikov A. G., Bogolyubov A. N., Kravtsov V. V. Lektsii po matematicheskoi fizike: ucheb. pos. [Lectures on mathematical physics: textbook]. Moscow: izd-vo MGU, 1993. Pp. 352.

10. Detlaf A. A., Yavorskii B. M. Kurs fiziki (v 3-kh t.): ucheb. pos. [Physics course (in 3 volumes): textbook]. Moscow: Vysshaya shkola, 1979. Vol. 3: Volnovye protsessy. Optika. Atomnaya i yadernaya fizika. Pp. 511.

Received 30.03.2022.