ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КОЛЬЦА ЛИ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.4.43+517.4

Б01: 10.33184/ЬиПейп-Ь5и-2022.2.3

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КОЛЬЦА ЛИ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

© Г. К. Галина1, Р. Д. Муртазина2, Н. А. Сидельникова1*, Л. З. Уразбахтина2

'Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

2Уфимский государственный авиационный университет Россия, Республика Башкортостан, 450008 г. Уфа, ул. Карла Маркса, 12

Тел: + 7 (347) 229 96 32.

*ЕтаИ: zhiber.na@gmail.ru

Работа посвящена уравнениям в частных производных первого порядка вида

„ / ди ди\ _

РУХ' У'и' ^' ъ) = °.

Показаны вывод характеристической системы для данного уравнения и способы получения системы гиперболических уравнений из характеристической системы. Также рассмотрено уравнение в частных производных в случае, когда искомая функция зависит от п числа переменных. Здесь же вводится определение характеристических колец Ли для уравнения в частных производных первого порядка.

Будут подробно рассмотрены линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка. Для гиперболических систем, полученных из уравнений этого типа, будут рассмотрены характеристические кольца Ли, а также интегралы первого порядка по обеим характеристикам.

Ключевые слова: характеристические кольца, интегралы первого порядка, гиперболические уравнения.

Многие математические модели в различных случаях приводят к дифференциальным уравнениям гиперболического типа:

д2и / ди ди

/ ди ди\

= f{X'У'U' Л' Ту}

дхду \ дх ду)

Как известно, гиперболические уравнения долгое время являлись объектом классических исследований. Так, например, математики ХУШ-Х1Х вв. разработали достаточно много приемов для нахождения точных решений дифференциальных уравнений в частных производных. Теория уравнений в частных производных в качестве одной из задач выдвигает проблему нахождения и исследования уравнений, которые допускают явное интегрирование. Одним из приемов для явного нахождения точных решений является метод каскадного интегрирования Лапласа линейных гиперболических уравнений [1]. Другой метод интегрирования нелинейных уравнений связан с однопараметрическими группами преобразований, т.е. с симметриями [2]. В данной работе будет рассмотрен подход, основанный на понятии характеристических колец Ли [3-4].

Уравнения в частных производных первого порядка

Рассмотрим уравнение в частных производных первого порядка

Ф У'-' £' I) = 0' О

где и - искомая функция двух независимых переменных х, у. Для частных производных применены обозначения Монжа:

ди ди

ТХ = = Ч- 2

Здесь Б - данная функция пяти аргументов. Потребуем существование и непрерывность вторых частных производных от Б по всем аргументам.

Полным интегралом называется решение уравнения в частных производных первого порядка, зависящее от двух произвольных постоянных. Положим, что

и = У(Х'У,а ,Ь ) (3)

является полным интегралом уравнения (1). Путем исключения постоянных а и Ъ из уравнения (3) и уравнений

Р = ТХ'Ч= Ту (4)

можно восстановить уравнение (1). А значит, уравнение (1) эквивалентно уравнениям (3) и (4); и то, и другое задание определяют одну и ту же зависимость между х, у, и, р, ц и, значит, те же поверхности в пространстве трех измерений.

Система

(и = У(х, у, а, Ь)

ду + с0У = 0 (5)

да дЬ

определяет семейство кривых, зависящих от трех параметров. Кривые этого семейства называются характеристическими линиями уравнения (1).

Найдем направляющие коэффициенты касательной к характеристической линии: продифференцируем уравнения системы (5)

, дУ .дУ

аи = — ах +--ау;

дх ду

'(£1 + с^Г)йх + (£1 + с*£\Лу = 0 ' 6

к.\дадх дЬдх/ Удаду доду/

Первое из уравнений (5) является полным интегралом уравнения (1), а значит, верно следующее тождество:

ф ^ o, г;,

дифференцируем его по а и Ъ. Получим

д^дУ + дР д2У + дР д2У = ^ дУ да др дадх дц даду ~ ; д^дУ + дР д2У + дР д2У = 0 дУ дЪ + др дЬдх + дц дЪду = 0' Умножим второе тождество на с и сложим с первым

дР гдУ дУ\ дР / д2У д2У\ ди\да дЬ) друдадх дЬдх) + *±(£1_ + =0,

дц \даду дЬду/

и пользуясь вторым уравнением системы (5), получим окончательно

+с + + с = 0. (8)

др \дадх дЬдх/ дц \даду дЬду/

Сравнение (8) со вторым уравнением системы (6) дает

й X _ йу

др/я др/я

(9)

Продифференцируем тождество (7) по х и у:

дР + дРдУ дРд2У + дР д2У _0_ дх д Удх дрдх2 дцдхду ;

дР + дРдV + дР д2У + д?д2У_0 (1О0)

д у дУду дрдхду дqдy2 '

1 д Р д Р

Если - знаменатель отношения (9), то из (9) имеем — = Айх,— = А йу. Подставим эти значения в (10):

— + —р + Мр = 0,— + —а + Айц = 0.

Сравним полученное с (9) и с первым уравнением системы (6):

йх йу йр

/ оь / о^ оь /др /дц + Р ду

_ й q _ йи

= В Р В Р = В Р В Р = (11)

Полученная система (11) называется характеристической системой уравнения (1) в частных производных первого порядка.

Запишем эту систему следующим образом:

(12)

Из системы (12) можно получить гиперболическую систему уравнений двумя способами: введение «потенциалов» или путем «дифференцирования».

Рассмотрим сперва метод введения «потенциалов». Будем считать, что переменные х, у, и, р, д зависят от параметра . Положим, что

( й X = д р.

йу = д р.

= дч;

й и = --+ а —

й р = - дР дР д х ^ д и

= - дР дР ду ^ д и

x =

тогда (12) примет следующий вид:

дх' ~дг

• У =

ду

дт

, и =

ди' дт

dp' dq'

•Р = Ii'4 =

дт •

* r(dx' dy' du' dp' dq') d2x' _аь\дт • дт • дт • дт • дт )

dsdT

dsdT

дт

ai7(dx' dy' du' dp' dq[\ 0t\дт • дт • дт • дт • дт)

Ж

дт

я^(дх' dy' du' dp' dq[\ av(dx' dy' du' dp' dq'}

dp' at\dT • дт • дт • дт • дт ) dq' at(dT • дт • дт • дт • дт )

dsdT дт

№

дт

дт

№ дт

г(дх' ду' du' др' dq') -(дх' ду' ди' dp' dq')

д2р' at (дт • дт • дт • дт • дт) dp' at (дт • дт • дт • дт • дт)

dsdT

dsdT

, dx'

дЖ

dT

д и'

dT

„(dx' ду' du' dp' dq'\ „(dx' dy' du' dp' dq'\

at(dT • дт • дт • дт • дт) dq' at (дт • дт • дт • дт • дт )

»d-f дт

Сделаем замену s ^ х,т ^ у, х'

и \у

и2, и'

дт

и3, р '

и\ q '

, d и' дЖ

и5. Тогда систему перепишем так

ху

д F(uy,u 2,и уи у, и*)

du*

д F(uy,u 2,и y,u у, Uy)

xy

= ul

lxy

dF(uy, u2,u yU *,u y) du*

dUy

+ U

5 dF (u^,u%,,u^,u$,u5)

du*

(13)

UXy

dF(uyU2,Uy,u*,Uy) 4 д F (uyUyUyUyUy)

dUy

xy

д F(uyu yU yU *,u y)

du2

U1

- Ul

dUy

dF(uy,u yU yU *,u y)

duj

Характеристические кольца Ли полученной гиперболической системы (13) будем называть характеристическими кольцами Ли исходного уравнения (1) в частных производных.

Рассмотрим другой способ приведения системы (12) к гиперболической - путем дифференцирования. Считаем, что переменные х,у,и,р, q зависят от з,т. Тогда продифференцируем (12) по переменной т.

d2х d2F dx

dsdT d 2y dsdT

dpdxdт d2F dx

d2F dy d2F dи d2F dp d2F dq dpdu dT dp2dT dpdqdT'

■ +

dpdy dT d2F dy

+ -

d2F du

+

= —--Y p

dsdT dT dp

dqdx dT dqdy dт dqdu dT

d2F dx d2F dy d2F du

+

+

d2F dp d2Fdq dqdp dT dq2 dT' d2Fdp d2F dq

dpdxdT dpdydт dpdu dт dp2dт dpdqdт

d qdF dT d q

d2F dx d2F dy d2F du

■ +

+ ■

dqdx dT dqdy dт dqdu dT

d2F dp d2Fdq dqdp dT dq2 dT

dsdT

d2Fdx d2F dv d2F dи d2F dp d2 F dq

---I---L +----+---+---1

dx2 dT dxdy dт dxdu dT dxdp dT dxdq dт

d2F dx d2F dy d2Fdu d2F dp d2F dq

---+---L +----+---+---1

dudx dт dudy dт du2 dт dudp dT

dsdT

dudq dт

d2F dx d2Fdy d2F dи d2F dp d2F dq dydx dт dy2 dT dydu dT dydp dT dydq dT

dp dF d т du

dqdF d т du

+

d2F dx d2F dy d2Fdu d2F dp d2F dq

---+---L +----+---+---1

dudy dт du2 dт dudp dT dudq dT

dudx dт

или, после замены 5 ^ х,т ^ у,х

и1,у

и^и3,р ^ u4,q ^и5

1 и'у Ри4и1 ;

■ху

М-ху ±Щ

и3 = и4уРи* + и4 у1ри,и1 + и1ри5 + и5 ^ и^Р^ ;

(14)

и

и

4 =

ху

5

- г$Ри1и, - и*риз - и4 и\ризи1;

ху

= Т.1_ 1 и'у Р и2и'

■ и*

и5 ± и'уРизи1 .

Здесь Р - функция переменных и1, и2, и3, и4, и5.

Характеристические кольца Ли полученной гиперболической системы (14) также будем называть характеристическими кольцами Ли исходного уравнения (1) в частных производных.

Рассмотрим теперь случай, когда и - функция п независимых х1, хг,...,хп. Частные производные:

ди ди ди

Р± = дх1 Р2 = дх2 ,-,Рп= ~дх~п

Уравнение в частных производных первого порядка:

Р(х1,..., хп, р1,..., рп, и) = О, (15)

где Р - данная функция 2п + 1 аргументов. Так же, как и в двумерном случае, будем требовать существование и непрерывность вторых частных производных от по всем аргументам. Характеристическая система уравнения (15) имеет следующий вид:

йХ1 йр1 йи

др1

дР + д£ д X, + д и

ьк_ 1 Рк дРк

= йз.

Отсюда

йх^ _ дР йз др1'

Ар1 =_____

йз дх I Р' д и; йи _ п дР

= ^_гР к-^.

(16)

Из системы (16) получим гиперболическую методом введения «потенциалов». Пусть переменные хг,..., хп, р1,..., рп, и зависят от параметра т. Положим = , р1 = ,и = и, подставив в (16), получим

д¥

д2х[ ЭвЭт

д2р[ = дздх

дх

дУ =

двдх 9т

к_1

дх^ др^ ар; аи^ V дх дх , дх дх , дх)

Эх '

дх¡, др^ , 9т , 9т '

Эр; Эи' , 9т , дх

)

д¥

к 9т ,

° дх

дК др[ , дх , дх ,

Эр; Эи ) , дх , дх )

дх

ЭР

Удх'± Эх; V Эт , , Эт ,

м

дх '

эр; Эи') , Эт , Эт )

дх

В последней системе сделаем замену

ж ^ х, т ^ у, и1, р\ ^ V1, и' ^ г. Тогда получим следующую гиперболическую систему:

. др(иу,..., и", Уу,..., Vу, г)

и'ху = Щ ;

. др(иу,...,и",Уу,...,Vу,г) . др(иу,...,и",Vу,...,V™,г)

ди\,

-V'

^ху

II

=

др(и^,..., и™, у*,..., V™, г)

к_1

Характеристические кольца Ли полученной гиперболической системы будем называть характеристическими кольцами Ли исходного уравнения в частных производных (15).

Теперь приведем систему (16) к гиперболическому виду путем «дифференцирования». Будем считать, что переменные х±,..., хп, р1,..., рп, и зависят от ж, т. Продифференцируем (16) по т:

д2х1 д2Р дх± д2Р дх„

dsdT dpidx1 дт

+ - +

dptdxn дт

+

dF dp, dF дрп d2F du + ^----r1 + - + ^---p- + ■

dpidp± dT

dPidPn 9t dpidu dT'

d2Pi

dsdT

d2F dx± d2F dxn d2F dp± d2F dp„

dxtdpn dT

dxidxt dT

+ - +

dxidxn dT + dxidpx dT

+-+

+

d2F du + dxßu ' дт ~Pi d2F dp

d2F dx-, d2F dxn 1 + - +---^ +

dudxл dT

dudx„ dT

d2u

Ii

= I

+

Pk

dudp± dT d2F dXi

d2F dpn d2F du

1 + - + ^---+

dudpn dT du2 dT

d2F dxn d2F

+ - + --^---+ ■

др!

+ - +

dsdт ¿—1 \dpkdx± dт dpkdxn dт dpkdpí dт

к=1

d2F dpn d2F ди\

+---— +---.

дРкдРп dpkdu dт

Сделаем замену ж ^ х, т ^ у, XI ^ и', Р1 ^ V1, и^ г. Тогда получим следующую гиперболическую систему:

uixy = I[u^Fviuk + VyFvivk\ + zyFvtz '

к=1 n

Vxy = ^НРиЫЬ + VyPuW] + -

k=l n

-viI[ukyFzuk + VyFzvk\ - vlzyF zz;

=

у = Ivk Y^yFvXui + v:уFvK>] + ZyK*

k=l

j=l

Здесь Р - функция переменных щ,..., ип, р1, ..., уп, г.

Характеристические кольца Ли полученной гиперболической системы также будем называть характеристическими кольцами Ли исходного уравнения в частных производных (15).

Уравнение в частных производных вида а(х, у) ^ + Ь(х, у) = 0.

Далее рассматривать будем однородное линейное уравнение в частных производных первого порядка следующего вида:

Его характеристическая система: Запишем ее в другом виде:

а(х, у) g + Ь(х, у) g = 0 .

dx dy a b .

(17)

f£=«*• y) Й=b^y)

(18)

Из этой системы мы можем получить гиперболическую систему уравнений введением «потенциалов»:

_ дх' _ ду'

Х = ~дт'У = ~дт'

Подставим эти значения в характеристическую систему. Система (18) тогда примет вид:

Гд2х' /дх' ду' = а \ ■

дэдт \дт ' дт д2у' _ /дх' ду'

^дБдт \дт'дт

Сделаем замену х' ^ и, у' ^ V, б ^ х, т ^ у. Тогда получим систему двух уравнений в частных производных:

гиху = а(иу, УУ)

[рху = Ъ(иу,уу) ( 9

Также можно получить гиперболическую систему уравнений из системы (18) путем «дифференцирования». Пусть х = х(б, I), у = у(б, £). Продифференцируем (18) по переменной Ь. Тогда (18) примет следующий вид:

' д2х дх ду

дБдг "х дг ' "у дг д2у дх ду

д^д1 = Ъх~дИ + Ьу~дс

Сделаем замену х ^ и, у ^ V, б ^ х, Ь ^ у. Получим систему двух гиперболических уравнений в частных производных:

( д2и * ди , ду

= аи(и, *)— + ау(и,р)-

\дхду иК ' ' ду ' ' ду

Уёгу = ь-(и,р) ё +(и,р) |

Характеристические кольца системы, полученной путем дифференцирования

(20)

Остановимся на системе (2О) подробнее.

Далее будем использовать следующие обозначения:

Щ = их, У1 = Ух, и2 = ихх, = Ухх, ..., Щ = иу, V! = Ру, и2 = иуу, = Руу, ... . Тогда система (20) запишется следующим образом:

ЮПи = аищ + а^щ;

{Оду = Ьищ + Ь^!' (

У системы (21) есть два независимых х-интеграла первого порядка:

ш = и1- а(и, р), ш = р1 - Ь(и, V).

Определим х- и у-характеристические кольца Ли системы (20). Оператор О на функциях от переменных и1, у1, и, V, и1, у1, и2, у2, ... действует по правилу:

5 = Т12Х1 + ^2 + Х3,

где

д

Х1

дщ

Х2 =■

--У1

др-,'

Хз = + + (аиП1 + ауУ1) + (Ъии1 + а^ + "'. Тогда х-характеристическое кольцо Ли - это кольцо А, порожденное векторными полями Х1, Х2, Х3. Характеристические кольца Ли полученной гиперболической системы (20) будем называть кольцами Ли исходного уравнения (17) в частных производных.

Для доказательства того, что х-характеристическое кольцо Ли конечномерно вычислим коммутаторы по правилу [X1, Х2] = Х1Х2 - Х2Х1:

д д д [Х1, Х3] = — + аи-— + Ъи — + -

ди ди1 др1

Результат обозначим Х13 = + + Ьи+ —.

: 13 ди и ди1 и ду±

Аналогично,

д д д Х23 = [Х2, Х3] = — + ау — + Ьу-— + -.

ду ди1 др1

Легко убедиться, что

[ХьХ2] = 0, [Х1,Х13] = 0, [Х2,Х13] = 0, [Х1,Х23] = 0, [Х2,Х23] = 0. Кроме того, можно заметить, что

Х3 = ЩХ13 + &1Х23. Тогда оператор полного дифференцирования по у примет вид:

£> = щХ! + у2Х2 + щХ1Э + у1х23. Нетрудно показать, что коммутатор [Х13,Х23] также равен нулю.

Тогда х-характеристическое кольцо Ли порождается четырьмя операторами: Хг,Х2,Х13,Х23. Следовательно, размерность кольца равна четырем.

Теперь будем искать ограничения на функции а(и, р) и Ь(и, р) такие, чтобы у системы (20) было два независимых -интеграла первого порядка. Оператор полного дифференцирования по переменной х такой

д д д _ д _ д £ ^ — + Щ — + р1 — + 1)(а)—~ + Г)(Ъ) — + •••

дх

ди

dv

du-.

dv-.

или

где

D = и—У— + v-Y2 + Уз,

71 = ди' _ д

7 = Т'

у3 = ^ + 1)(а)^ + 1)(Ъ)^ + -.

3 дх к ' ди± к ' де±

^-характеристическое кольцо Ли тогда порождается тремя операторами: У-, У2, У3. Несложно показать, что если у системы есть два независимых интеграла первого порядка, то размерность кольца равна трем. Тогда коммутаторы [У-^, У2], [У--, У3], [У2, У3] равняются нулю. Из равенства [У-У3] = 0 следует, что

ф(а))и = ф(Ь))и = 0.

Аналогично, из равенства [У2, У3] = 0 получим, что

Ф(а)\ = Ф(Ь)\ = 0.

И(а) и И(Ь) являются правой частью системы (21):

Б (а) = аий1 + аРр1; Б(Ь) = Ьий1 + Ъуу-. Тогда из ф(а))и = ф(Ь))и = 0 и (D(a))v = (D(b))v = 0 следует, что

аиищ + ауиУ1 = 0; аи„щ + = 0;

ЪииЦг + = 0;

Ьи„щ + = 0,

откуда получим следующую систему:

VV —

= 0; = 0;

*vv 0;

ар

Ки = 0;

^иу ^уи 0; Ъуу = 0.

Решая эту систему, приходим к выводу, что функции а(и, р) и Ъ(и, р) должны быть линейными по и и р:

а(и, V) = с1и + с2у + с5;

Ъ(и, р) = с3и + с4р + с6,

где с1, с2, с3, с4, с5, с6 - константы. Тогда аи = с1, аР = с2, Ьи = с3, Ъу = с4, и система (20) примет следующий вид:

(UXy = C1U1 + C2V1; [vxy = с3щ +

Для системы (22) найдем интегралы. Так как оператор полного дифференцирования по х

_ D = Тх + ui~t + v!Tv + + wJ it + ^ + ^ i + •••>

то решение w характеристического уравнения Dw = 0 будем искать в виде

w = а(х,у) *й1 + р(х, у) *v1 + у(х,у). Подставим (23) в характеристическое уравнение, получим следующую систему:

(ах + Cia + С3Р = 0; \рх + с2а + сАр = 0;

(22)

(23)

откуда найдем функции а(х, у), @ (х, у), у(х, у):

Yx = 0,

« = Г(у) * е2(-с1-с4+с) + д(у) * е^(-с1-с4-с); р = -^[Г(у) * (с1 -с4 + с) * е^-с1-с4+с) + д(у) * (с1-с4- с) * е^(-с1-с4-с)

у = у(у), где с = - 2с1с4 + 4с2с3 + .

Тогда в качестве двух независимых интегралов возьмем

со = е2(-с1-с4+с) * щ

IV = е2(-с1-с4-с) * щ

* (С1-С4 + с) * е2

2с„ ■2Г3* (С1

2(-С1-С4 + с)

* V1;

■ с) * е2(-с1-с4-с) * у1.

Таким образом, доказано следующее утверждение. Теорема. Система (20).

' д2и ди ду

__ = ^ (и, ^ _ + (и, ^ _;

д2у ди ду

— = Ъи(и, у) - + К(и, у) -

имеет два независимых интеграла первого порядка и два независимых у-интеграла первого порядка тогда и только тогда, когда функции а(и, у) и Ъ(и, у) линейны по и и у

а(и, у) = с1и + с2у + с5;

Ъ(и, у) = с3и + с4у + с6.

Характеристические кольца системы, полученной путем введения «потенциалов»

Теперь рассмотрим систему (19), полученную путем введения «потенциалов»

^ху ^ , Ку ); Уху = Ь(иу Уу).

Рассмотрим сперва у-характеристическое кольцо Ли. Оператор полного дифференцирования по х:

д д д _ _ д _ _ д Б = — + и1 — + у1 — + а(и1, у1)—^ + Ь(и1, у1)—^ +

ди1 ду1

дх

ди

ду

запишем так

где

+0(а (и^ + 1){Ь (йъ у^щ + -

О = щГ1 + у 1^2 + ¥3,

_ д П = Ы,

а а I2 =' а - а

¥3 = ± + а(щ, 1°1) ± + Ь(щ, 1°1) £о- + 0(а(щ, у^) + 0(Ь(щ, ^ ^ + ".

Нетрудно заметить, что коммутаторы [У 1, ¥2],[¥1, У3], [У2, ^з] равны нулю. Тогда размерность у-характеристического кольца Ли, порожденного операторами ¥±, ¥ 2, У3, равна трем. Характеристическое уравнение системы (19) имеет вид

(х,у,и,У, й1, V!,..., йк, Ук)) = 0. Нас интересуют интегралы первого порядка, то есть IV будет зависеть от переменных х,у,и,г>, и 1, Ю1. Тогда характеристическое уравнение примет вид:

щ¥ ^) + V! ¥ 2 (IV) + ¥3( И/) = 0 . Так как щ Ф 0 , г^ Ф 0 , а оператор ¥3 не зависит от щ, Vъ то

^(Я?) = ¥2(й) = 0 .

Следовательно, IV не зависит от и, V, и характеристическое уравнение запишем так

— + а(и1, ) — + Ь(и1, V-,) — = 0 .

дх К 1 17 ди! 4 1 17 дЮ1

(24)

Уравнение (24) в частных производных первого порядка имеет два функционально независимых решения. Таким образом, доказано следующее утверждение.

Лемма. Система (19).

(иху = а(иу, уу); \"ху = Киу уу)

при любых функциях а и Ь имеет два независимых интеграла первого порядка.

Далее рассмотрим ^-характеристическое кольцо Ли. Оператор полного дифференцирования по у такой

В = 112X1 + V2X2 + Х3,

где

д

Х1 =ТТ",

дщ д

Х2

ОР1

д _д__д__д

Х3 = + р1Т~ + а(и1, р1)^ + Ь(и1,1>1)^— +

ди оу ди1 ор1

+П (а&ь ^ + 0(Ь(й1, ^ ^ + -.

Х-интеграл первого порядка зависит от переменных х, у, и, V, щ, р1. Тогда характеристическое уравнение йю = 0 можно записать как

Х3ю = О

или

_ +^ё+а(и1, ^ £+ь(^, ^ % = (25) Равенство (25) верно для всех ю1, и, V. Зафиксируем 1Р1, и, V, тогда получим

й1с1 + у1с2 + а(й1, Ю1)с3 + Ь(й1, Ю1)с4 = 0. Если же зафиксируем при других значениях, то получим следующее:

Щек, + Ю1с6 + а(й1, Ю1)с7 + Ь(й1, Ю1)с8 = 0. Из последних двух равенств делаем вывод, что функции а(й1, Ю1) и Ь(й1, Ю1) должны быть линейными по щ, х>1. Теперь система (19) преобразуется к виду

(иху = с1й1 + с2Щ;

\уху = с3щ +

что совпадает с системой (22), для которой уже найдены два независимых интеграла первого порядка и два независимых у-интеграла первого порядка.

Таким образом, для системы, полученной путем введения потенциалов, получен такой же результат, что и для системы, полученной путем дифференцирования. Доказано следующее утверждение.

Теорема. Системы (19) и (20).

(иху = а(щ, ЩУ; [уху = Ь(й1, ЩУ; (иху = аи(и, у)щ + а^(и, у)Ю1; \уху = Ьи(и, у)щ + Ьъ(и,

имеют по два независимых интеграла по обеим характеристикам тогда и только тогда, когда правые части этих систем линейны по щ, Ю1:

(иху = с1й1 + с-£0г;

\уху = с3щ + с4Ю1. ( 6

При этом интегралы системы (26)

ш = и1 — сги — c2v; w = v1 — с3и — c4v,

а интегралы следующие

Ш = е%(-с1-с4+с) *й1- -- * (с1 - с4 + с) * е^(-с1-с4+с) * р1;

2С3

й/ = е^(-с1-с4-с) *й1- 21-* (с1-с4-с) * е^2(-с1-с4-с) * р1. ЛИТЕРАТУРА

1. Жибер А. В., Соколов В. В. Метод каскадного интегрирования Лапласа и уравнения, интегрируемы по Дарбу. Уфа, 1996. С. 56.

2. Михайлов А. В., Шабат А. Б., Ямилов Р. И. Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем // Успехи математических наук. 1987. Т. 42. №4. С. 3-53.

3. Жибер А. В., Муртазина Р. Д., Хабибуллин И. Т., Шабат А. Б. Характеристические кольца Ли и нелинейные интегрируемые уравнения. М.: Юрайт, 2022. С. 375.

4. Муртазина Р. Д. Нелинейные гиперболические уравнения и характеристические алгебры Ли // Труды Института математики и механики УрО РАН, 2007. Т. 13. №4. С. 102-117.

5. Гюнтер Н. М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных. М.; Л.: ОНТИ Гос. технико-теоретическое изд-во, 1934. С. 363.

6. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М.: ГОНТИ, 1939. С. 384.

7. Сидельникова Н. А., Жибер А. В., Муртазина Р. Д. Дифференциальные уравнения гиперболического типа. Уфа: РИЦ БашГУ, 2021. С. 110.

8. Кудашева Е. Г., Муртазина Р. Д., Низамова А. Д., Сидельникова Н.А. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. Устойчивость течения жидкостей в канале с линейным профилем температуры. М.: Русайн, 2021. С. 134.

9. Сидельникова Н. А. Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка. Уфа: РИЦ БашГУ, 2020. С. 92.

10. Жибер А. В., Муртазина Р. Д. О нелинейных гиперболических уравнениях, интегрируемых по Дарбу // Труды Института математики с ВЦ УНЦ РАН. 2008. №1. С. 84-92.

Поступила в редакцию 12.03.2022 г.

ISSN 1998-4812

BecTHHK EamKHpcKoro yHHBepcHTeTa. 2022. T. 27. №2

269

DOI: 10.33184/bulletin-bsu-2022.2.3

CHARACTERISTIC LIE RINGS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

© G. K. Galina1, R. D. Murtazina2, N. A. Sidel'nikova1*, L. Z. Urazbakhtina2

1Bashir State University 32 Zaki Validi Street, 460076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

2Ufa State Aviation Technical University 12 Karl Marx Street, 450008 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

The derivation of the characteristic system for a given equation and methods for obtaining a hyperbolic equations system from the characteristic system are shown. The equation in partial derivatives is also considered in the case when the desired function depends on n number of variables. Here we also introduce the definition of characteristic Lie rings for a first-order partial differential equation. Linear homogeneous partial differential equations of the first order are considered in detail. For hyperbolic systems derived from equations of this type, characteristic Lie rings are considered, as well as first-order integrals over both characteristics.

Keywords: characteristic rings, first-order integrals, hyperbolic equations.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at bulletin_bsu@mail.ru if you need translation of the article.

1. Zhiber A. V., Sokolov V. V. Metod kaskadnogo integrirovaniya Laplasa i uravneniya, integriruemy po Darbu [Cascade method of Laplace integration and Darboux integrable equations]. Ufa, 1996. Pp. 56.

2. Mikhailov A. V., Shabat A. B., Yamilov R. I. Uspekhi matematicheskikh nauk. 1987. Vol. 42. No. 4. Pp. 3-53.

3. Zhiber A. V., Murtazina R. D., Khabibullin I. T., Shabat A. B. Kharakteristicheskie kol'tsa Li i nelineinye integriruemye uravneniya [Characteristic Lie rings and nonlinear integrable equations]. Moscow: Yurait, 2022. Pp. 375.

4. Murtazina R. D. Trudy Instituta matematiki i mekhaniki UrO RAN, 2007. Vol. 13. No. 4. Pp. 102-117.

5. Gyunter N. M. Integrirovanie uravnenii pervogo poryadka v chastnykh proizvodnykh [Integration of first-order partial differential equations]. M.; Leningrad: ONTI Gos. tekhniko-teoreticheskoe izd-vo, 1934. Pp. 363.

6. Stepanov V. V. Kurs differentsial'nykh uravnenii [Course of differential equations]. Moscow: GONTI, 1939. Pp. 384.

7. Sidel'nikova N. A., Zhiber A. V., Murtazina R. D. Differentsial'nye uravneniya giperbolicheskogo tipa [Differential equations of hyperbolic type]. Ufa: RITs BashGU, 2021. Pp. 110.

8. Kudasheva E. G., Murtazina R. D., Nizamova A. D., Sidel'nikova N.A. Differentsial'nye uravneniya v chastnykh proizvodnykh vtorogo poryadka. Ustoichivost' techeniya zhidkostei v kanale s lineinym profilem temperatury [Second-order partial differential equations. Stability of fluid flow in a channel with a linear temperature profile]. Moscow: Rusain, 2021. Pp. 134.

9. Sidel'nikova N. A. Differentsial'nye uravneniya v chastnykh proizvodnykh pervogo poryadka [First-order partial differential equations]. Ufa: RITs BashGU, 2020. Pp. 92.

10. Zhiber A. V., Murtazina R. D. Trudy Instituta matematiki s VTs UNTs RAN. 2008. No. 1. Pp. 84-92.

Phone: +7 (347) 229 96 32. *Email: zhiber.na@gmail.ru

The work is devoted to first-order partial differential equations of the form

REFERENCES

Received 12.03.2022.