CC BY
4
УДК 517.4.43+517.4.94
DOI: 10.33184/bulletin-bsu-2022.L3
РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЯ РАДИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
© Р. Д. Муртазина1, Р. Т. Садриева2, Н. А. Сидельникова2*
1Уфимский государственный авиационный технический университет Россия, Республика Башкортостан, 450008 г. Уфа, улица К. Маркса, 12.
2Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.
Тел.: +7 (347) 229 96 32. *Email: zhiber.na@gmail.ru
В данной работе проводится исследование уравнения Шредингера нерелятивистского потенциального рассеяния двух частиц при условии зависимости потенциалов взаимодействия только от расстояния х между частицами. Показано, что решение R(X, г) является аналитической функцией от X.
Ключевые слова: радиальное уравнение, парциальные волны, потенциальное рассеяние.
Введение
При квантовомеханическом описании нерелятивистского потенциального рассеяния движение двух частиц в системе их центра тяжести описывается уравнением Шредингера (см. [1]).
- 2МАр(х) + (и(х) — Е)р(х) = 0. (1)
Здесь h-постоянная Планка, М = т т — приведенная масса, т1 и т2 — массы частиц, и(х) — потенциал,
т^+т.2
х — относительное расстояние между частицами, Е — энергия системы, р — волновая функция. Уравнение (1) умножим на выражение — 22
2 М
Ар(х) — — (и(х) — Е)р(х) = 0
2 М
и заменой v(x)= — — (и(х) — Е) приведем к виду
Ар(х) — v(x)p(x) = 0. (2)
Данное уравнение Шредингера из-за сферической симметрии потенциала удобно решать в сферической системе координат, записывая волновую функцию p(r, р, в) как произведение радиальной R(r) и угловой Y(p, в) функций
i R(r) Y(p, в)= R(r)Ф(р)F(в).
Тогда уравнение для радиальной волновой функции R(r) с целым неотрицательным параметром l (см. [2—3])
^ + (у(г) — R(r) = 0, г >0 (3)
с обязательным граничным условием R(0) = 0.
Пусть Я = I + 2. Тогда уравнение (3) перепишем так
£2т + [v(r) — ХЩ R(r) = 0. (4)
Возьмем вещественную функцию v(r) такой, что
1) v(r) — почти всюду непрерывна;
2) J" |v(f)| df = М(с) <^,с>0;
3) /0";|v(;)| d; = N(d) <^,с>0. Решение уравнения (4) в виде
R(X, t) = a(r)r + P(r)r "я+2
с дополнительным условием
i i a'(r)r я+2 + p(r)r "я+2 = 0
подставим в (4). Определим (см. [1]) функции «(г) и ^(г),
г
«(г) = 1 -
Г
и уравнение (4) с граничными условиями при г ^ 0
Д(Я, f) = r я+2(1 + О (r)), Д(-Я, f) = г"я+2(1 + 0(r))
запишем в виде интегрального уравнения Вольтерра
Д (А, О = гя+^ + £ £ (0я - (г)я) • (Я, о ц. Рассмотрим формальное итерационное разложение
Д(А, О = г),
д0(Я, r) = r A+i
Än+i(A, r) = r я+2 +
i 1
2Я
Пусть Я = ^ + ¿ст ^ 0 и^ >0. Так как в подинтегральном выражении ^ < г, то
rA+i|=rM+2 • |riff|=rM+? • |еiffter| = r'+2 • |Vfflnr | = r'+2 • |cos(ctInr) + isin(aInr)| = r'+2
VcOS2(ff In r) + sin2 (ff In r)=r'+2,
f3+2=f'+2 ЧГК'Ч
Q',(i)' ± (f)3<2 (f)'.
(f/
то
|До(Я, r)| = r'+2 ,
Г
1ВД,г)1 = 2ТЯ[ I I(r) -(ffiVf •KOIlHldf
<
(5)
(6)
(7)
(8)
, 1 Г '+2
_ +1 1 Г zr\' ,--3 + 1 r'+2 Г r'+2
щJ (f) V^• Kf)||fA+2 ¿f =жJf • Kf)| ¿f =жВД,
<
|Я| f
0
r)| = JL f 1 - (T)' ^ • ^^ittr)1 d? <<2T5T
. я я
Vi
2|A|
| (r) - (?) ^ •w^V
1 Г /Г\м --1 r 2
< Ш* Ш ^ ^ ? ^ = —
о
,1 r ГМ+ 2 f
f •|v(?)|N(?) d? = J N(?) d?
rM+2 (N(r))2
<
и аналогично
|«з(Я, г)| <
ГМ+2 (^(г))3
"Щ3
2 ■ 3
|ЙП(Л, г)| <
гм+5 (М(г))п
|Я|п п! '
Здесь Ы(г) — положительная неубывающая конечная функция, определенная в условии (3) для функции у(г). Следовательно, оценка сверху разложения (7) такая
£)1 < I Хп=0 ад г)| < г^+2
1
п
п!|Я|п
Таким образом, решение уравнения (6) с граничными условиями (5) существует. Продифференцируем уравнение (6) по Я
ЭД(Я,г) А+-
- _ г -
эя
/0 ((;/ — (?/) ^ ■ *(£ЖЯ,г) + £Ю ((¿)Я + (^ ■ 1п*П(Я, £) +
+
3 Г ((9я—©я ■ ^
Приведем интерационное разложение частных производных
Эй(я,г) _ ^^ Эй„(я,г)
в(я,г) _ V"1 эдп(я,
_ Лп=0^Г
Эй0(я,г) Я+±, и _ г 2 ]ш\
эя
ЭДп+1(Я, г)
ая
+ 2Я| ((г) + (гЛ^)^ ■ ^(Л г)й£
+2Я[((г)я - ■
аДп(я, г) дЯ
„ Эйо(Я,г) Эй!(я,г)
Оценим сверху ——— и -
эя
эя
. Эйо(я,г) . Д+1. . . I-| < Г 2 1п|г|,
эя
дй1 (Я, г) 1 Г /г\м ,— „+1 1 г /г\м — 1 £
'ткя^Ш ^« +ТЯТ Ш &■ £"+5(11пг
00
(9)
(10)
+ 1п|£|)К£)| Ц.
При £ < г справедливо следующее
1п £
1п|£| < 1п|г|, |1п£ — 1пг| < |1п£ + 1пг| < 21п|г|.
Эй1(я,г) , . Тогда улучшим оценку ——— в (10)
ай1(Я, r) 1 '+i f 3 ln|r| „+1 г 1
I ^ I < Я2r'+2 J f • Kf)I df + r'+2 J f • |v(f)| df = (щ + 3 ln|r|)
3ln|r| '+1
, 1
r'+2
W
f • |v(f)| df
и оценим
<(^+3ln|r|) Ж W
ЭЙ2(Я,Г) ЭЯ
0
ад, (Я, r) 1
I— I < — 1 ая I < я2
©' - • 2 1 /r\' .- • 2
^N(f)Kf)|df+щ (f) V^•VN(f)|v(f)|(
1
f'+2
|Я|
|Я|
J
0
(fi
1
f'+2
|Я|
ln
+
|Я|
0
+3
+1 Г Г
r'+2 f 11 '+1 Г
ln|fl) df < —J N'(f) • N(f) df + - (щ + 5 ln|r|)r'+2 J N'(f) • N(f) df
+ 51 | гМ+2 С^(г))2
Следовательно, общий член итерационного разложения (9) удовлетворяет неравенству
ГМ+2 (М(г))П
I ^ |<(щ +(2n + 1)ln|r|) wn n
Считая, что (11) верно для некоторого п, имеем адп+1(я, г)
|
аЯ
|<
Я2
QM Vf • Kf)l
f+! (^(r))n df+J_
|Я|п n! df + |Я|
J
0
0
Kf)|
(N(r))n |Я|п n!
ln f
r
+ -Я| + (2n + 1) ln|f |) df
<
+1
r'+2 n
|Я|п
(N(f))n
N'(f) df + ^(Щ +
(2n + 3) ln|r|) J N'(f)
r'+2 (N(f))n
(N(f))n n + 1
df < (~W+((2n +1) +1) ln|r|)
(11)
Значит, последовательность производных (9) сходится непрерывно и равномерно по Я. Теорема. Функция Д (Я, ?) является аналитической функцией Я в области Де Я = ^ >0. При Де Я = ^ <0 функцию Д1(Я, г) разобьем на составляющие
Д1(Я'г) = 2я [ ((Г)я - (гЛ*«^• До(Я'г)й? = 2Я [ ((г)я - • й? =
■'О ■'О
'г Г г 1
-1 1 Гг 1 . 1 1 , г
1 *(?) й? - 2я ]о ?гЯ+М?) й? = ^ I ?2Я+М?) й? - ^/ог ?*(?) й?.
С2А+1
- I 1
2Я I „А-2 02
Теперь оценим
1
|Й1(Я, г)| < I-
2Ягя"2
1 г
£2Я+М£)^£| + | ^/мо^ I
0
и
0
-я+2 г2
2Я
-я+2 г2
2Я
я+1 г
|£2я+1| ■ |^(£)| + ^ Ю £ ■КОТ
1г
1-2д-2^ г я+2 Г
| (£) |£ ■ К£)| + ■ К£)|
^-я+2 г2
2Я
1г
/1\-2м гя+2 г
(£) £ ■ К£)| + -2Я"Ю £ ■ К£)|
Л
0
При ^ > 3/2 < 0, £ >0 (т. е. —2^ < £)
Поэтому
©
-2м 1 , < —
^ - ^
|Й1(Я, г)| <
^-я+2 г2
2Я
£
1 гя+2 г г-я+2
£ ■ К£)^£ + £ ■ К£)|^£ _
0
0
^я+2 г2
£1-£ ■ К£)М£ + .
Если £ _ 1, то
г
Ю |^(£)| _ М(0) — М(г)
^-я+2 г2
„я+2 г2
|«1(Я, г)| < (М(0) — М(г)) + <
В случае 0< £ <1 сделаем замену 1=1- £. Тогда 0< С <1 и
/0" ££ ■ К£)| й£= /с! ££ ■ К£)| + /1" ££ ■ К£)|
В первом интеграле данной суммы ££ <1, а значит,
/0 ££ ■ К£)| ¿£ < /0 ^(£)| ¿£= м(0) — м(1).
Во втором слагаемом ££ < £
/1" Г ■ К£)| < /1г £ ■ К£)| ^£=N(^-N(1). В итоге при 0< £ < 1 оценка сверху такая
и
11 r 2 r 2
|Й1(Я,r)| <—— (M(0)- M(r) + N(r) -N(1)) + —— N(r) < то. 2Я 2Я
Теперь рассмотрим случай, когда f >1. Обозначим t=1- £ >0
J^ • |^(f)| df= J1^ • |v(f)| df + J^ • |v(f)| df. (12)
Во втором слагаемом ^ <1, тогда
<
Л Х?)| й? < | К?)| й? = | К?)| й? - | К?)| й? = М(1)- М(г).
1 1 1 г
1
В подынтегральном выражении первого слагаемого >1. Тогда сходимость первого интеграла суммы (12)
зависит от функции u(r)
r-Я+1 1 1 rя+2
|Д1(Я, r)| < — J fT • Kf)I df + — (^(1) - M(r)).
0
Далее будем считать, что Я =0. Тогда уравнение (4) перепишем следующим образом
^Г2 + (v(r) + ¿)ß(r) = 0. (13)
Представим Д (r) как произведение
д(г) = a(r)Vr,
тогда уравнение (13) преобразуется в уравнение Риккати для функции a(r)
1
a"(r) + — a'(r) + v(r)a(r) = 0, r
которое в общем виде не интегрируется в квадратурах (см. [4]).
ЛИТЕРАТУРА
1. Альфаро В. де, Редже Т. Потенциальное рассеяние. М.: Мир, 1966. Т. III. Ч. 2. 268 с.
2. Мессиа А. Квантовая механика. М.: Мир, 1978. Т. I. 480 с.
3. Султанаев Я. Т., Исламова Р. Т. Исследование уравнения для парциальных волн с быстро осциллирующим потенциалом//Матем. заметки. 2006. №2. С. 288-293.
4. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. 4 изд. М.: Наука, 1971. 576 с.
Поступила в редакцию 27.01.2022 г.
DOI: 10.33184/bulletin-bsu-2022.1.3
THE REGULARITY OF THE SOLUTION OF THE RADIAL EQUATION
© R. D. Murtazina1, R. T. Sadrieva2, N. A. Sidel'nikova2*
:Ufa State Aviation Technical University 12 Karl Marx Street, 450008 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.
2Bashir State University 32 Zaki Validi Street, 460076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.
Phone: + 7 (347) 229 96 32. *Email: zhiber.na@gmail.ru
In this paper, the Schrodinger equation of non-relativistic potential scattering of two
particles - ^4^(5) + - = 0, here h is Planck's constant, M = is the
reduced mass, and m2 are the masses of particles, u(x) is the potential, x is the relative distance between particles, E is the energy of the system, ^ is the wave function studied under the condition that the interaction potentials depend only on the distance x between the particles. It is shown that the solution r) is an analytical function A.
Keywords: radial equation, partial waves, potential scattering.
Published in Russian. Do not hesitate to contact us at bulletin_bsu@mail.ru if you need translation of the article.
REFERENCES
1. Alfaro V. de, Regge T. Potentsial'noe rasseyanie [Potential scattering]. Moscow: Mir, 1966. T. III. Pt. 2.
2. Messia A. Kvantovaya mekhanika [Quantum mechanics]. Moscow: Mir, 1978. T. I.
3. Sultanaev Ya. T., Islamova R. T.Matem. zametki. 2006. No. 2. Pp. 288-293.
4. Kamke E. Spravochnik po obyknovennym differentsial'nym uravneniyam [Handbook of ordinary differential equations]. 4 izd. Moscow: Nauka, 1971.
Received 27.01.2022.
