ИССЛЕДОВАНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВНЕШНЕЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

2023

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика и механика Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics

№ 82

Научная статья

УДК 519.64 MSC: 65R20; 31B10

doi: 10.17223/19988621/82/4

Исследование приближенного решения интегрального

уравнения внешней краевой задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца в двумерном пространстве

Эльнур Гасан оглы Халилов

Азербайджанский государственный университет нефти и промышленности, Баку, Азербайджан, [email protected]

Аннотация. Дано обоснование метода коллокации для интегрального уравнения внешней краевой задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца в двумерном пространстве. Предложен новый метод построения квадратурной формулы для потенциалов простого и двойного слоев, дающий возможность определить скорость сходимости этих квадратурных формул, на основе которых рассматриваемое интегральное уравнение заменяется системой алгебраических уравнений, при этом устанавливаются существование и единственность решения данной системы. Доказывается сходимость решения системы алгебраических уравнений к значению точного решения интегрального уравнения в опорных точках и указывается скорость сходимости метода. Кроме того, построена последовательность, сходящаяся к точному решению внешней краевой задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца в двумерном пространстве.

Ключевые слова: внешняя краевая задача Дирихле, уравнение Гельмгольца, потенциалы простого и двойного слоев, функция Ханкеля, квадратурные формулы, метод коллокации

Для цитирования: Халилов Э.Г. Исследование приближенного решения интегрального уравнения внешней краевой задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца в двумерном пространстве // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2023. № 82. С. 39-54. doi: 10.17223/19988621/82/4

Original article

Investigation of an approximate solution of the integral equation of the exterior Dirichlet boundary value problem for the Helmholtz equation in the two-dimensional space

Elnur H. Khalilov

Azerbaijan State Oil and Industry University, Baku, Azerbaijan, [email protected]

Abstract. Since in many cases it is impossible to find an exact solution of the exterior Dirichlet boundary value problem for the Helmholtz equation in the two-dimensional

© Э.Г. Халилов, 2023

space, there is a growing interest in studying its approximate solution. One of the methods for solving the exterior Dirichlet boundary value problem for the Helmholtz equation in the two-dimensional space is its reduction to a curvilinear integral equation. Note that the main advantage of applying the method of integral equations to the study of exterior boundary value problems is that such an approach allows us to reduce the problem posed for an unbounded domain to a problem for a bounded domain of lower dimension. In this work, we substantiate the application of the collocation method for the integral equation

9 + K i^S 9 = 2 f

of the exterior Dirichlet boundary value problem for the Helmholtz equation in two-dimensional space, here

(S9)(x) = 2 j®, (x,y)<p(y)dly , x eL ,

L

(*p)(-)= 2„(y)dly , x e L,

^^ 0 is an arbitrary real number, L c R2 is a closed and twice continuously differentiate curve, fis a given continuous function on L, 9 is the desired continuous function on L, v(y) is an outer unit normal at the point y e L, and (x,y) is a fundamental solution of the Helmholtz equation, i.e.,

ф k ( x y ) =

—ln—Ц at k = 0, 2ж x - y

г-Н{1{k\x - y ) at k * 0,

where H(1 is a zero-degree Hankel function of the first kind defined by the formula H0(l)(z ) = J0 (z )+ iN„ (z ),

( ) 5 (m!)2

is a Bessel function of zero degree,

л2 2 )

N

(. )=ж (-f-с ) л (. )+| (Il ( f )

is a Neumann function of zero degree, and C = 0.57721... is the Euler constant. We propose a new method for constructing a quadrature formula for the potentials of the simple and double layers (5*9)(x) and (K9)(x), respectively, which makes it possible to determine the rate of convergence of these quadrature formulas. Based on these quadrature formulas, we replace the integral equation under consideration by a system of algebraic equations, and establish the existence and uniqueness of a solution to the resulting system. We prove as well the convergence of the solution of the system of algebraic equations to the value of the exact solution of the integral equation at the reference points, and indicate the rate of convergence of the method. In addition, a sequence is constructed that converges to an exact solution of the exterior Dirichlet boundary value problem for the Helmholtz equation in the two-dimensional space.

Keywords: exterior Dirichlet boundary value problem, Helmholtz equation, potentials of simple and double layers, Hankel function, quadrature formulas, collocation method

For citation: Khalilov, E.H. (2023) Investigation of an approximate solution of the integral equation of the exterior Dirichlet boundary value problem for the Helmholtz

equation in the two-dimensional space. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 82. pp. 39-54. doi: 10.17223/19988621/82/4

Введение и постановка задачи

Пусть Б с В2 - ограниченная область с дважды непрерывно дифференцируемой границей L, а f- заданная непрерывная функция на L. Рассмотрим внешнюю краевую задачу Дирихле для уравнения Гельмгольца: найти функцию и е С*2) (В2\DjnC(В2 \Б), удовлетворяющую уравнению Гельмгольца Ди + к2 и = 0

в В2 \ Б, условию излучения Зоммерфельда

/ \ 1

Л i

, gradu (х) -iku (х) = o

x ^ ж,

равномерно по всем направлениям х /|х| и граничному условию

и(х) = / (х) на L, где Д - оператор Лапласа, k - волновое число, причем 1тк > 0 .

Известно, что в частных случаях (когда область является кругом, квадратом и др.) можно найти точное решение внешней краевой задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца в двумерном пространстве. Однако во многих случаях невозможно найти точное решение внешней краевой задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца. В связи с этим возникает интерес к исследованию приближенного решения данной краевой задачи. Одним из методов решения внешней краевой задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца является ее приведение к интегральному уравнению (см.: [1]). Отметим, что основное преимущество применения метода интегральных уравнений к исследованию внешних краевых задач заключается в том, что подобный подход позволяет свести задачу, поставленную для неограниченной области, к задаче для ограниченной области меньшей размерности. О. Панич [2], Х. Бракхаге и П. Вернер [3], а также Р. Лейс [4] независимо друг от друга показали, что комбинация потенциалов простого и двойного слоев

u (х) = л^) - ^ ф* (х, y)] ф (y) dh

9v( y )

x e R2\ D .

с непрерывной плотностью ф представляет собой решение внешней краевой задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца, если ф является решением интегрального уравнения

ф + К ф — 5 ф = 2 /,

которое запишем в виде:

ф + Аф = 2 Г , (1)

здесь ^ ф 0 - произвольное вещественное число, у(х) - единичная внешняя нормаль в точке х е Ь,

Аф = Кф—5ф, (5ф)(х) = 2х,у)ф(у)й1у ,

L

L

(*<р)(х)= 2* (У ) ф(У)dly , х е L,

L

Ф4 (х, у) - фундаментальное решение уравнения Гельмгольца, т.е.

— 1п -—1—- при к = 0,

2л х - у

^Я<1)(k|x-у|) при k Ф 0,

Фк (х У ) = «

где Н(1) - функция Ханкеля первого рода нулевого порядка, определяемая фор» (-2т

мулой Н' (г) = Л0 (г) + ¿Ы0 (г), Л (2) = X 7—4" I _ I - функция Бесселя нулевого

т=о (т!) ^ 2 )

поPяДка, N ) = 2 |1п г + С | КЕН/С11 (-1)}2 - функция Неймана

нулевого порядка, а С = 0.57721... - постоянная Эйлера.

Так как интегральные уравнения в замкнутом виде решаются лишь в очень редких случаях, первостепенное значение приобретает разработка приближенных методов решения интегральных уравнений с соответствующим теоретическим обоснованием. Отметим, что в работах [5-8] дано обоснование метода коллокации для интегральных уравнений различных краевых задач для уравнения Гельмгольца в трехмерном пространстве. Однако известно, что в трехмерном пространстве фундаментальное решение уравнения Гельмгольца имеет вид:

ехрШх - у|) .

Фк (х, У) = 4ф1- у\ , х, У е К , х * У,

и поэтому интегральные операторы, участвующие в уравнении (1), строго отличаются от интегральных операторов, участвующих в интегральных уравнениях внешней краевой задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца в трехмерном пространстве. Кроме того, в работах [9, 10], построив квадратурные формулы для логарифмических потенциалов простого и двойного слоев, дано обоснование метода коллокации для интегральных уравнений некоторых краевых задач для уравнения Лапласа в двумерном пространстве. В работах же [11, 12] исследованы приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений внешней краевой задачи с импедансным условием для уравнения Гельмгольца в двумерном пространстве, а в работе [13] построена квадратурная формула для потенциалов простого и двойного слоев и исследовано приближенное решение уравнения (1). Однако в этой работе для построения квадратурных формул использована асимптотическая формула для функций Ханкеля первого рода нулевого порядка, которая не дает возможности определить скорость сходимости этих квадратурных формул, а значит, и невозможно определить скорость сходимости метода.

Следует отметить, что до сих пор не построены квадратурные формулы для потенциалов простого и двойного слоев без использования асимптотической формулы для функций Ханкеля первого рода нулевого порядка. Учитывая это, в данной работе предложен новый метод построения квадратурных формул для

потенциалов простого и двойного слоев, который дает возможность определить скорость сходимости построенных квадратурных формул. Кроме того, в работе дано обоснование метода коллокации для интегрального уравнения (1) и построена последовательность, сходящаяся к точному решению внешней краевой задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца в двумерном пространстве.

1. Построение квадратурной формулы

Предположим, что замкнутая и дважды непрерывно дифференцируемая кривая Ь с Я2 задана параметрическим уравнением х(/)=(х (), х ()), t е[а,Ъ\. Разобьем

[а,Ъ\ на п > 2Ы0(Ъ — а)/d равных частей: ^ = а + ——а)р, р = 0, п,

промежуток [а,Ъ\ на где

м0 = тах>/ (х^))2 +(х2(/))2 <+»

(см.: [14. С. 560]) и d - стандартный радиус (см.: [15. С. 400]). В качестве опор-

I \ — (Ъ — а)(2 р — 1) ных точек возьмем х\тр), р = 1, п , где \= а + ---- . Тогда кривая L

разбивается на элементарные части: Ь = \Ьр, где £ = {х(?): < г < гр}.

р

р=1

Известно (см.: [9]):

(1) Ур е{1,2,...,п}: тр (п) ~ Яр (п), где

р

а запись а(п) ~ Ъ(п) означает, что

(п) = тп {|х (т р)— х (/р—1)|, |х (/р)— х (т Я. (п) = тах {|х (тр )— х (/р—! )| ^ х (/р )— х (т

С < а(п)< С

С1 " Ъ(п) < С2'

где С и С2 - положительные постоянные, не зависящие от п ;

(2) Ур е{1,2,...,п}: Яр(п)< d/2;

(3) Ур,у е{1,2,...,п}: г(п) ~ тр(п);

(4) т(п) ~ Я(п)-1, где Я(п) = тахЯр(п), т(п) = ттт(п).

п р=1, п р=1, п

В дальнейшем такое разбиение будем называть разбиением кривой L на «регулярные» элементарные части.

Поступая точно так же, как и в доказательстве леммы 2.1 работы [7], можно показать справедливость следующей леммы.

Лемма 1. Существуют такие постоянные С| > 0 и С' > 0, не зависящие

от п, для которых при Ур, у е{1,2,..., п}, у ф р, и Уу е £ справедливы следующие неравенства:

С |у — х(т, )| < |х(ту ) — х(т,)| < С|у — х(т, )| .

Через С(ь) обозначим пространство всех непрерывных функций на Ь с нормой ||ф||ю = тах|ф(х)| и для функции феС(Ь) введем модуль непрерывности вида

Пусть

ю(ф'§)=¡max' < х)-<( у), 5 > 0.

х, yeL

ФЯ(х,у) = k|x-у|), х,у еL , х Фу,

где

tf«(z) = Jon (z) + iNon (z), Jon (z) = Z

_v (- !)m

-o (m!)2 12

m+w \2m

z

Non (z (+C)J - (z^ (j Mr 12

Несложно заметить, что

Щ (х,у)_ i ( Jonn (*|х -у|) .5No,я (к|х-у|)

+ i-

где

dv( у) 4 [ dv( у) dv( у)

J (к|х-у|) ^ (-l)mk1т\х-у|2m-2

dv(у) = (у-х'V(^ 22m-i (m-l)!m!

д^яя{к\х - у) = 2 ( к|х - у | я (к\х - у) | 2 (у - х, v(y))

dv( у)

п ^ 2

Ч C

dv( уу п| х - у|2

Jo,n (к|х -у\)"

+(у - х^(у)); (z 11(- Гк21'х1-;1Г

m=i 1i=i lУ 2 (m-1)!m!

Теорема 1. Пусть Ь - замкнутая и дважды непрерывно дифференцируемая кривая в Я2, феС(Ь) и

2 (6 - а) |sgn (p - j)

дФЯ (х (Xp ), х (Xj ))

dv

( х (Xj))

;ПфЯ (х(хp),х(Xj))

4^(Xj ))2 +(4(Xj ))2.

Тогда выражение

(^ИФ)(хр)) = £^ ф(х(ZJ))

]=1

в опорных точках х(х^), р = 1,п, является квадратурной формулой для интеграла (^4ф)(х), х е Ь, причем справедлива следующая оценка:

z

и

apj =

я

т^|(Аф)(х(тр)) —(А„ф)(х(тр))|< М^ш(ф,1/п) + Ня ^ПТ] .

Здесь и далее через М будем обозначать положительные постоянные, разные в различных неравенствах.

Доказательство. Сначало покажем, что выражение

( *Р)( х (т р ))= ^ £ Ф ( х (т р ), х (ту х;(т, ))2 +( х|(т. ))2 ф( х (ту ))

] * р

в опорных точках х (тр), р = 1, п, является квадратурной формулой для интеграла (5ф) (х), х е Ь. Очевидно, что

(5ф) (х (тр )) — (5иф) (х (тр )) = 21 Фк (х (тр ), у)ф (у^|dly +

+2£ Дфк (х(тр),у) —фТ (х(тр),х(т..)))ф(у)Шу +

] * р ]

+ 2£ /ф (х(тр),х(т]))(ф(у) —ф(х(т] )))Му +

]=1 Ь] ] * р ]

+2£ } фп(х(тр),х(т]х1(/))2 +(х2(/))2 — х1(т]))2 +(х|(т]))21ср(х(ту))Л .

]=1 ]

]*р ]

Слагаемые в последнем равенстве обозначим через КГ (х (т,)), КГ (х (т,))

К (х(т^)) и ИТ (х(т,)) соответственно. Очевидно, что

,(| к| diam Ь)"

Л (к|х — у| )<£" 2 < М , Ух у е Ь (2)

т=0 4 (т!)

да I т

. 1М—1)т+1 ( к1х—у

т=1 V 1=1 I) (т!) следовательно,

\ 2т

2 )

да I т

<М, Ух,уеЬ, (3)

а V 1=1 ') 4т (т!)

фк (х, у) <М| 1п|х — у |, Ух, у е Ь, х * у. (4)

Тогда, применяя формулу вычисления криволинейного интеграла, находим

(х (тр ))< 2М1 Яфк (х (Тр )' у )| Л1У < МН» Л1п т Лт< М1М1Я (п )| 1п я (п) .

Пусть у е Ь и ] * р . Учитывая лемму 1, имеем

х(тр) — уг "iх(тр) — х(т]г <мд\х(т]) — у||х(тр) — уг1 < (5)

< мгя (п)( diam Ь)Г—1

ьр

и

0

In (к|х (хр)- у|) - In (к|х (хр) - х (x.

In

1 +

Iх(Xp)-х(Xj)- х(Xp)-у

х (X p )-у|

In

1 +

х (X i)- у|

v )-у1

< M

R (я)

х (X p)-у|

(6)

где q e N. Тогда, принимая во внимание неравенства (2), (3), (5) и (6), получаем |фк (х(хp),у)-фк (х(хp),х(хj))|<

k|x(хp)-у j (k|x(хp)-х(х)

1

< — 4

иг

(m!)2

\ 2 m \

2п

к|х (х p )-х (х j )| In 1 v '-j + C

(-1)m

(m!)2

к|х (xp )-у\ 1 f к|х (xp )-х (xj )|

, 2m Л

2 п

ln (к|х (X p )- у|)- ln (к|х (X p )- х (X j))) jj

НГ

( m!)2

к|х (X p)-у|

да ( m

1 i(-1)m

к|х (Xp)-у\ 1 f k^(Xp)-х (Xj )|

11y (m!)2

Кроме того, учитывая неравенства

\2 m \

MR (я)

х |х

■)-у

11 \2m\ |2m

|Jo(кх-у)- Jo,(кх-у)< t}1^ < jMp, Vх,у е L, (7)

No (к|х - у|)-No, (к|х - у) < Му\Х - у , VX'у е L,

(8)

имеем:

Ф,

(х(хp),х(хj))-фя (х(хp),х(хj))|

<

М In х(хр)-х(х^

М

(я +1) ! <(я +1) ! |х(хр)-у| ■

В результате находим, что

|фк ( х (х p ), у )-фя ( х (х p ) , х (Xj ))<|фк (х (х p ), у )-фк ( х (х p ), х (Xj ))|-

+ фк(х(х

(х(хp),х(Xj ))-фя (х(хp),х(Xj))|

М f Ч 1 -:-т I R ( я ) +

Л

х (х p)-у|

(я + 1) !

и

m=o

1

2

m=o

v

y

1

+

+

4

и

Следовательно,

I .Л diam Ь 1 I л Л

И (х (т р ))|< М| |фЦ Я п + ^ Д М| |фЦ Я (п) + П ^ 1п Я (п)|. Из неравенства (4), получаем, что

||Ф к (х, у) Л1у

Ь

сходится как несобственный и

||Фк(х,у)Л1у < М , Ух еЬ .

Ь

Тогда из неравенств (7) и (8) получим

|фТ(х,у)Л1у </|Фк(х,у)Л1у +{фк(х,у) —ФТ(х,у)Л1у <М, УхеЬ, УпеМ .

Ь Ь Ь

В итоге, принимая во внимание лемму 1, находим

И (х(Хр))| <Мю(ф,Я(«)) Цф[ [х(Хр),у)|Лу <Ми (ф,Я([)).

Ь

Очевидно, что

х'(/)) 2 +(х2(/)) 2 х;(т])) 2 +(х|(т])) 2 <М([) , У' е[]„г,\. (9) Пусть у е Ь и ] * р . С учетом леммы 1 и неравенств (2) и (3) имеем

30,[ (к|х(тр) — хЫ|)|<£^^ <М , Уп ем,

4 '' т=0 4 (т!)

(к|х(тр) — х(т] )|) <М|1п|х(тр) — у|, Уп еК,

следовательно,

ФМ

;( х (т р), х (т ]) )|< М11п| х (т р) — у||, Уп еК Отсюда получаем, что

\К (х (т р) ) < М| фда Я (п) £ Лфк (х (т р) , х (т ])) Л' <

]=р']—1

п | I

<М1М1 Я(п)£| ф[ (х(тр),х(т])) Лу <

]]=1 Ь

] * р ]

<М1М1Я(ГАЧх(тр) — у||Л1, <М|Ы1Я([.

Ь

Суммируя полученные оценки для выражений И (х (тр)), И[ (х (т^)), И (х(^)) и И[ (х (т) ) и принимая во внимание соотношение Я (п) ~1, получаем, что

тах

р=1, п

(5ф)(х(тр)) — (5[ф)(х(тр))<М ш(ф,1/п)

1п п

jj I х;(х j) )2 + (х2(х j) )2 ф( х (х j))

Теперь докажем, что выражение ^ ^ Г ^ 2(& - а) - ^ (х(хр),хЫ)

(кпф)( х (х Р) ) = X-Т-Т7

п J=1 оу( х (

J*p ^ у

в опорных точках х(х^), р = 1, п, является квадратурной формулой для интеграла (Кф) (х), х е Ь. Нетрудно видеть, что

(К ф)( х (х р))-(Кп ф)( х (х р) ) = 21^^ Ф( У)ШУ +

^ (х(хр),у) Эф (х(хр),х(^))'

+2j J

j=1 j

J * p J v

я .

■2jj J

dv( у ) dv( х (х j))

дфя (х (хp ), х (хj ))

ф( у ) Му +

j=1 l, dv( х (х

i * p J \ V -

(ф( у )-ф( х (х J))) dly

I / дф я (х((Х() ] х((Х J)) (( ^ ))2 +( х'г(* ))2 Ч( х1(х J ))2 + ( х^(х j ))21 ф( х (Xj.pt .

+2j

J=1 j * p

Слагаемые в последнем равенстве обозначим через 5я (х(х^)), 5я (х(х^))

5я (х(х^)) и 5я (х(х^)) соответственно. Так как (см.: [15. С. 403])

|( у - х,у( у))|< М|х - у|

то

dJo (к|х-у|)

< М|х - у2

dNo (к|х -у|)

а значит,

dv( у ) дф к ( х, у )

dv( у)

< М (| х - у >| х - у|| + | х - у2 +1);

dv( у)

< М , V х, у е L, х Ф у .

(10)

(11)

(12)

(13)

Тогда, учитывая формулу вычисления криволинейного интеграла, получим

|§п(х(хрЩН1})^ЩN1Я(п).

0

Пусть у е Ь и ] Ф р . Из леммы 1 и неравенства (10) очевидно, что

|( у - х (х Р), у (у))- (х (х ])- х (х Р), у (х (х ])))| = |( у - х (х ])(у)) +

и

+ (х (т ]) — х (т р ),у( у) — у( х (т ]))) < М|у — х (т р) | Я (п). (14)

Тогда, учитывая неравенства (5), получаем, что

д30 (к|х(тр) — уЦ д30 (к|х(тр) — х(ту) I)

у) ду( х (т уЦ

<|(у — х(тр),у)) — (х(т]) — х(тр),х(т])))|£ |к21Л:— —)!|

+ |(х (т ])— х (т р) ,у(х (т Л)) 1к12т Iх(тр)— х(ту)|2т 2 —Iх(тр)— у\2

т=1 22 т—1 (т — 1)!т!

Кроме того, из леммы 1 и неравенств (10) и (14) имеем

(у — х (т р), у( у) ) (х (т у) — х (т р), у(х (т у) ) )

<М\у — х(тр ) Я (п) . (15)

МЯ (п)

Iх (т р)—у|

|х(тр) — у| |х(тр) — хЫ|

Тогда, принимая во внимание неравенства (2), (6), (11), (12), (14) и (15), нетрудно показать, что

^0 (к|х(тр ) — у|) дм0 (к |х(тр ) — х(ту ) |)

М у)

Мх(т]) )

В результате находим

дФк (х(тр),у) дФк (х(тр),х(ту))

М х (т ]))

ду( у)

Также, учитывая неравенство

дфк (х(тр),х(т^ дф[ (х(тр),х(ту))

МЯ (п)

Iх (т р)—у|

МЯ ( п)

получаем, что

дФк (х(тр),у) дФ[ (х(тр),х(ту) )

Iх (т р)—у|

М\ 1п I х (т р) — у||

(16)

п!

ду( у)

< М

В итоге

52 ( х (т р) ) < М||

< М

ду( х (т ]))

^ diam Ь

Я (п) |1п|х (тр)— у||

х (т р) — у

п!

7 .. diam Ь \

Я (п) I Т +[ 1 11птЛт

Т([) ' т(п)

Я (п) 11пЯ (п)|+1 |.

+

Пусть у е Ь и ] * р . Так как из леммы 1 и неравенств (13) и (16) очевидно, что

дф" (х(тp),х(тj)) Ц х (т у))

дф (х (т,), х (ту)) Ц х (т у) )

дф (х(тр),х(т)) дф" (х(тр),х(т) )

Ц х (т у))

M llnl х (т р) - y II

(17)

то

S" (х(тр)) < 2ш(ф,R (n))J

Ц х (т у))

дф" (х(тр),х(тj))

Vn eN,

n!

dv( y)

dly < Mю(ф,R (n)).

Кроме того, учитывая лемму 1 и неравенства (9) и (17), получим

( х (т р), х (т j) )

Sn ( х (т р) )< M||

,R (n) Z J

j=1 tj-i i*рj

av( х (т j) )

dt <

< M

R (n J

дф: (х (т р), х (т j) )

dly < M||

R (n).

dv( х (т j))

В результате, суммируя полученные оценки для выражений Sn (х (тр)), Sn (х(т^)), Sn (х(т^) ) и S" (х(т^)) и учитывая соотношение R(n) -1, имеем

max | (K ф)( х (т р) )-(Кпф)( х (т р) )|< M [Ю(ф,1/n) 4HL ^ ) .

Этим и завершается доказательство теоремы 1.

2. Обоснование метода коллокации

Пусть C" - пространство и-мерных векторов z" = (z",z",...,z")т, z" e C,

/1 v II n II I n I T

= i, n, с нормой z l| = max zA, где запись a означает транспонирование век-

II II l=i,n ' '

тора a. Используя построенную квадратурную формулу для интеграла (Аф) (х), х e L, уравнение (1) заменяем системой алгебраических уравнений относительно zn - приближенных значений ф(х(тг)l = i,n , которую запишем в виде:

(ln + A")z" = 2f", (18)

где I" - единичный оператор в пространстве Cn, a" =(a0-) , fn = р" f, а рп : C(l) ^ C" - линейный ограниченный оператор, определяемый формулой р-f = (f (х(т,) ), f (х(т2)),..., f (х(тп)) ) T.

+

L

Теорема 2. Уравнения (1) и (18) имеют единственные решения ф, е С (Ь) и 2" е С" соответственно, причем 112" — р"ф,|| — 0 при п — да с оценкой

II2*! — р" ф.|| < М ^ / ,1/п ) + ||/| |Ю ^

Доказательство. Для обоснования метода коллокации будем пользоваться теоремой Г.М. Вайникко о сходимости для линейных операторных уравнений (см.: [16]). Проверим выполнение условий теоремы 4.2 из работы [16], при этом обозначения и необходимые определения и предложения возьмем из [16]. В работах [2-4] доказано, что Кег (I + А) = { 0}. Кроме того, операторы I" + А"

фредгольмовы с нулевым индексом и операторы р": С(ь) — С" линейны и ограничены. Принимая во внимание способ разбиения кривой Ь на «регулярные» элементарные части, получаем, что

1т|| Р"^1 = ^тН g (х (т,))| = max| g (х)\=\\да, Vg е с(ь).

"—да II II П—да I=1," I х 4 у/1 хеЬ 1 4 11 ||да

Следовательно, система операторов Р = {р"} является связывающей для пространств С(ь) и С". Тогда /" —/, и, принимая во внимание теорему 1, получа-

рр

ем, что по определению 2.1 из работы [16] I" + А" — I + А. Так как по определению 3.2 из работы [16] I" — I устойчиво, то по предложению 3.5 и по определению 3.3 из работы [16] осталось проверить условие компактности, которое ввиду предложения 1.1 из [16] равносильно условию v{zn}, 2п еС", |2"|| < М; существует относительно компактная последовательность {Ап 2п }с С(ь) такая, что {А-г" — р"( Ап2")|| — 0 при п — да . В качестве {А2"} выберем последовательность

( 4,2")(х) = ( Кп2")(х) — ,л( Б„2' )(х),

где

, ч я , 5Ф (х, у)

(К"2" )(х ) = ^ [-¡Щ1 аУ , х - Ь

(Бя2п)(х) = |фк (х,у)Му, х е Ь .

М Ь,

Очевидно, что {ап2п }с с(ь) и

\(А"22п )(х)< М2Ц, V х е Ь . Тогда, принимая во внимание условие <М, получаем равномерную ограниченность последовательности {Ап2п }.

Теперь возьмем любые точки х', х" е Ь такие, что | х ' — х" | < d /2. Тогда, поступая точно так же, как и в работе [9], можно показать, что

|(а znХх')—(А zn)(х")| < И\гп\ \.х' — х"\ 11п|х' — х"\\, У х', х" е Ь . Отсюда непосредственно вытекает равностепенная непрерывность последовательности {А 2"}. Тогда из теоремы Арцеля следует относительная компактность последовательности {Ал г"}. Кроме того, поступая точно так же, как и в доказательстве теоремы 1, получим

\Ап2п — р"( Аг")0 при п ^да . В результате, применяя теорему 4.2 из работы [16], находим, что уравнения (1) и (18) имеют единственные решения фе С(Ь) и г" е С" соответственно, причем

с, 5" <|| г" — рп ф.| < С2 5",

где

С = 1 / зир ||/п + А"\\ > 0, с = ||(/п + А")—11 <+да , 5И=|(1" + А" )(р"ф) — 2/"||.

п п II II II II

Принимая во внимание оценки погрешности квадратурной формулы для интеграла (Аф)(х), х е Ь, получаем

5" = ||(I" + А")(р"ф.) — 2р"/| р"ф* + А" (р"ф.) — р" (ф* + Аф.)| =

= 11А" (рпф.) - рп (Аф.)|| = max Z atjф. (х(тj)) - (Аф*) (х(т ))

■" j=i

< м ^Ю(ф,,1/п) + ||ф.||ж 1ПП) Кроме того, принимая во внимание неравенства

ю(Бф,h) < Щф,\н|lnh| , ЦКф,,h) < M|\ф,\\к|lnh| ,

имеем

ю(ф„ 1/п) = ю(2f - Аф.,1/n) < ю(2f,1/п) + ю(Аф.,1/n) <

<Mf ,1/n) +||ф.||m ^j.

В результате, учитывая, что

Ы ж= 2||(I + А)-1 fll <2||(I + А)1

получаем доказательство теоремы.

Следствие 1. Пусть х0 е Я2 \ Б , и 2п, =(г.,г*,...,г.)т является решением системы алгебраических уравнений (18). Тогда последовательность

! \\ \

b - a^

un (хо) =-Z

" j=1

- ( "0,х (т))^( х1(т j) )2 +( *('>))' z.

V.

сходится к значению и(х0) решения и(х) внешней краевой задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца в точке х0, причем

\ип (х0) — и(х0)|<МГа(/,1/п) /|да ^] .

<

Список источников

1. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М. : Мир,

1987. 311 с.

2. Панин О.И. К вопросу о разрешимости внешних краевых задач для волнового уравне-

ния и для системы уравнений Максвелла // Успехи математических наук. 1965. Т. 20, № 1. С. 221-226.

3. Brakhage H., Werner P. Über das Dirichletsche Aussenraumproblem für die Helmholtzsche

Schwingungsgleichung // Archiv der Mathematik. 1965. Bd. 16 (1). S. 325-329.

4. Leis R. Zur Dirichletschen Randwertaufgabe des Aussenraums der Schwingungsgleichung //

Mathematische Zeitschrift. 1965. Bd. 90 (3). S. 205-211.

5. Каширин А.А., Смагин С.И. О численном решении задач Дирихле для уравнения Гельм-

гольца методом потенциалов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52 (8). С. 1492-1505.

6. Каширин А.А., Смагин С.И., Талтыкина М.Ю. Применение мозаично-скелетонного

метода при численном решении трехмерных задач Дирихле для уравнения Гельмголь-ца в интегральной форме // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2016. Т. 56 (4). С. 625-638.

7. Халилов Э.Г. Обоснование метода коллокации для одного класса поверхностных инте-

гральных уравнений // Математические заметки. 2020. T. 107 (4). C. 604-622.

8. Халилов Э.Г. Исследование приближенного решения некоторых классов поверхностных

интегральных уравнений первого рода // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2021. № 74. С. 43-54.

9. Бахшалыева М.Н., Халилов Э.Г. Обоснование метода коллокации для интегрального

уравнения внешней краевой задачи Дирихле для уравнения Лапласа // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2021. Т. 61, № 6. С. 936-950.

10. Халилов Э.Г., Бахшалыева М.Н. Исследование приближенного решения интегрального уравнения, соответствующего смешанной краевой задаче для уравнения Лапласа // Уфимский математический журнал. 2021. Т. 13, № 1. С. 86-98.

11. Turc C., Boubendir Y., Riahi M.K. Well-conditioned boundary integral equation formulations and Nyström discretizations for the solution of Helmholtz problems with impedance boundary conditions in two-dimensional Lipschitz domains // Journal Integral Equations Applications. 2017. V. 29 (3). P. 441-472.

12. Yaman O.I., Ozdemir G. Numerical solution of a generalized boundary value problem for the modified Helmholtz equation in two dimensions // Mathematics and Computers in Simulation. 2021. V. 190. P. 181-191.

13. Kress R. Boundary integral equations in time-harmonic acoustic scattering // Mathematical and Computer Modeling. 1991. V. 15 (3-5). P. 229-243.

14. МусхелешвилиН.И. Сингулярные интегральные уравнения. М. : Физ.-мат. лит., 1962. 599 с.

15. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М. : Наука, 1976. 527 с.

16. Вайникко Г.М. Регулярная сходимость операторов и приближенное решение уравнений // Итоги науки и техники. Математический анализ. 1979. Т. 16. С. 5-53.

References

1. Colton D.L, Kress R. (1983) Integral Equation Methods in Scattering Theory. John Wiley

& Sons. 271 p.

2. Panich O.I. (1965) K voprosu o razreshimosti vneshnikh krayevykh zadach dlya volnovogo

uravneniya i dlya sistemy uravneniy Maksvella [On the solvability of exterior boundary value problems for the wave equation and a system of Maxwell's equations]. Uspekhi Ma-tematicheskikh Nauk. 20(1). pp. 221-226.

3. Brakhage H., Werner P. (1965) Über das Dirichletsche Aussenraumproblem für die Helmholtzsche

Schwingungsgleichung. Archiv der Mathematik. 16(1). pp. 325-329. DOI: 10.1007/BF01220037.

4. Leis R. (1965) Zur Dirichletschen Randwertaufgabe des Aussenraums der Schwingungs-

gleichung. Mathematische Zeitschrift. 90(3). pp. 205-211. DOI: 10.1007/BF01119203.

5. Kashirin A.A., Smagin S.I. (2012) Potential-based numerical solution of Dirichlet problems

for the Helmholtz equation. Computational Mathematics and Mathematical Physics. 52(8). pp. 1173-1185. DOI: 10.1134/S0965542512080052.

6. Kashirin A.A., Smagin S.I., Taltykina M.Yu. (2016) Mosaic-skeleton method as applied to the

numerical solution of three-dimensional Dirichlet problems for the Helmholtz equation in integral form. Computational Mathematics and Mathematical Physics. 56(4). pp. 612-625. DOI: 10.1134/S0965542516040096.

7. Khalilov E.H. (2020) Justification of the collocation method for a class of surface integral

equations. Mathematical Notes. 107(4). pp. 663-678. DOI: 10.1134/S0001434620030335.

8. Khalilov E.H. (2021) Issledovaniye priblizhennogo resheniya nekotorykh klassov poverkh-

nostnykh integral'nykh uravneniy pervogo roda [Investigation of an approximate solution of some classes of surface integral equations of the first kind]. Vestnik Tomskogo gosudarstven-nogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 74. pp. 43-54.

9. Bakhshaliyeva M.N., Khalilov E.H. (2021) Justification of the collocation method for an integral

equation of the exterior Dirichlet problem for the Laplace equation. Computational Mathematics and Mathematical Physics. 61(6). pp. 923-937. DOI: 10.1134/S0965542521030039.

10. Khalilov E.H., Bakhshaliyeva M.N. (2021) Issledovaniye priblizhennogo resheniya inte-gral'nogo uravneniya, sootvetstvuyushchego smeshannoy krayevoy zadache dlya uravneniya Laplasa [Study of approximate solution to integral equation associated with the mixed boundary value problem for the Laplace equation]. Ufimskiy matematicheskiy zhurnal - Ufa Mathematical Journal. 13(1). pp. 85-97. DOI: 10.13108/2021-13-1-85.

11. Turc C., Boubendir Y., Riahi M.K. (2017) Well-conditioned boundary integral equation formulations and Nyström discretizations for the solution of Helmholtz problems with impedance boundary conditions in two-dimensional Lipschitz domains. Journal of Integral Equations and Applications. 29(3). pp. 441-472. DOI: 10.1216/JIE-2017-29-3-441.

12. Yaman O.I., Özdemir G. (2021) Numerical solution of a generalized boundary value problem for the modified Helmholtz equation in two dimensions. Mathematics and Computers in Simulation. 190. pp. 181-191. DOI: 10.1016/j.matcom.2021.05.013.

13. Kress R. (1991) Boundary integral equations in time-harmonic acoustic scattering. Mathematical and Computer Modeling. 15(3-5). pp. 229-243. DOI: 10.1016/0895-7177(91)90068-I.

14. Muskhelishvili N.I. (1962) Singulyarnyye integralnyye uravneniya [Singular integral equations], Moscow: Fizmatlit.

15. Vladimirov V.S. (1976) Uravneniya matematicheskoy fiziki [Equations of Mathematical Physics], Moscow: Nauka.

16. Vainikko G.M. (1981) Regular convergence of operators and approximate solution of equations. Journal of Soviet Mathematics. 15. pp. 675-705. DOI: 10.1007%2FBF01377042.

Сведения об авторе:

Халилов Эльнур Гасан оглы - доктор математических наук, профессор кафедры общей и прикладной математики Азербайджанского государственного университета нефти и промышленности, Баку, Азербайджан, [email protected]

Information about the author:

Khalilov Elnur H. (Doctor of Mathematical Sciences, Professor of the General and Applied Mathematics Department of Azerbaijan State Oil and Industry University, Baku, Azerbaijan). E-mail: [email protected]

Статья поступила в редакцию 07.03.2022; принята к публикации 31.03.2023

The article was submitted 07.03.2022; accepted for publication 31.03.2023