CC BY
9
УДК 517 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2019. Т. 6 (64). Вып. 4
МБС 30035, 32А25
Задачи типа Дирихле высокого порядка в двумерном комплексном кватернионном анализе*
Б. Шнайдер
Остравский университет,
Чешская Республика, 70103, Острава, ЗО.дубна, 22
Для цитирования: Шнайдер Б. Задачи типа Дирихле высокого порядка в двумерном комплексном кватернионном анализе // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2019. Т. 6(64). Вып. 4. С. 646-658. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2019.410
Хорошо известно, что разработка методов решений задач Дирихле важна и актуальна для различных областей математической физики, связанных с уравнением Лапласа, уравнением Гельмгольца, уравнением Стокса, уравнением Максвелла, уравнением Дирака и др. В своих предыдущих работах автор изучал разрешимость краевых задач Дирихле первого и второго порядков в кватернионном анализе. В данной работе изучается краевая задача Дирихле высокого порядка, связанная с двумерным уравнением Гельмгольца с комплексным потенциалом. В данной работе доказывается существование и единственность решения краевой задачи Дирихле в двумерном случае и ищется соответствующее решение этой задачи. Большинство задач Дирихле решается для случая трех переменных. Отметим, что случай двух переменных не является простым следствием трехмерного случая. Для решения поставленной задачи в работе используется метод ортогонального разложения кватернионного пространства Соболева. Данное ортогональное разложение пространства является также инструментом для изучения многих эллиптических граничных задач, которые возникают в различных областях математики и математической физики. В работе также получено ортогональное разложение кватернионного пространства Соболева относительно оператора Дирака высокого порядка.
Ключевые слова: кватернионный анализ, оператор Гельмгольца, краевые задачи типа Дирихле.
1. Введение. Разработка методов решений задач Дирихле важна и актуальна для различных областей математической физики, связанных с уравнением теплопроводности, уравнением Стокса, уравнением Максвелла и др.; см., например, работы [1—7]. Большинство задач Дирихле решается для случая трех переменных. Отметим, что случай двух переменных не является простым следствием трехмерного случая и там также существуют интересные приложения, связанные с электромагнетизмом и теплопроводностью (см., например, [8, 9]).
Теория функций комплексно кватернионных значений является естественным обобщением теории аналитических функций одной комплексной переменной. Основы данной теории излагаются, например, в книгах [1, 10-12] и в статьях [13-16]. Теория кватернионно-значных функций двух переменных была разработана для многих направлений математической физики; см., например, [17-20].
* Работа выполнена при финансовой поддержке исследовательского проекта «Числа, геометрия и физика» Остравского Университета, Чешская Республика.
(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2019
Пусть Г — простая гладкая замкнутая кривая на комплексной плоскости, разбивающая ее на области :=йи := С \ Г2+. Хуан Бори-Рейес, Рикардо Абреу-Блайя, Луис М. Эрнандес-Симон и Барух Шнайдер [21] исследовали разрешимость нижеприведенной краевой задачи Дирихле и ряд связанных с ней вопросов:
(-ДК2 + 2а^ + а2) Н = / в П, (1.1)
Н = д на Г, (1.2)
где Д^2 — оператор Лапласа, V — оператор Дирака, а € С и д — функция, определенная на границе.
Рассмотрим в настоящей работе естественное обобщение данной краевой задачи Дирихле — краевую задачу Дирихле более высокого порядка для нулевых решений двумерного уравнения Гельмгольца в К2. Такие задачи, насколько нам известно, не обсуждались ранее.
Итак, в работе исследуется краевая задача Дирихле высокого порядка для двумерного оператора Гельмгольца в комплексном кватернионном анализе:
'(-ДК2 +2а^ + а2)М Н = / в П, Н = до на Г,
< (-ДК2 +2а^ + а2) Н = д1 на Г, (1.3)
(-ДК2 +2а^ + а2)М-1 Н = дм-1 на Г,
где М € N и до,д1,..., дм-1 —функции, определенные на границе. Задача (1.3) играет важную роль в приложениях математической физики, связанных с теплопроводностью (см., например, [12]).
2. Предварительные сведения. Введем в этом параграфе необходимые обозначения и кратко изложим основные сведения из теории кватернионов. Пусть Н(С) := {а = аово + а^ + Я2в2 + азез, а; € С, I = 0,1, 2, 3} — тело комплексного кватерниона, где ео := 1 и в1,в2 и ез — мнимые единицы кватерниона со следующими правилами умножения:
222
е1 = е2 = е3 = -1, е^2 = ез = —е2еь е2ез = е1 = -езе2, езе1 = е2 = —е1ез.
Обозначим через г мнимую единицу в С. Отметим, что
г • е; = е; • г, I = 0, 1, 2, 3.
Пусть Н(С) —комплексная некоммутативная ассоциативная алгебра с делителями нуля. Обозначим кватернионное сопряжение через е; := —е;, I = 1, 2, 3. Если а € Н(С), то
а := аоео — а1е1 — а2е2 — азез.
Отметим, что модуль кватерниона а совпадает с его евклидовой нормой. Рассмотрим комплексно кватернионно-значную функцию:
/ : П ^ Н(С).
Функция / может быть представлена в виде / = /оео + Дв1 + /2в2 + /зез. Заметим, что такие свойства, как непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость функции / подразумевают, что комплексные компоненты / также удовлетворяют этим свойствам.
Пусть Е — множество в К2, а гильбертово пространство Ь2(Е, Н(С)) состоит из Н(С)-значных функций /, определенных на Е, удовлетворяющих условию /Е |/12 ^V < <х>, где ¿V — мера Лебега на Е. Определим скалярное произведение равенством
</,д >ь2(е,н(с)) := / ■! е
Пусть СЯ(Е, Н(С)), в € N и {0}, — банахово пространство Н(С)-значных функций, определенных в Е, и обладающих непрерывными производными в-го порядка в Е. Класс С0'и(Е, Н(С)) состоит из заданных на Е непрерывных функций, удовлетворяющих условию Гёльдера (Липшица) с показателем V, причем 0 < V < 1.
Символом (Е, Н(С)) обозначим пространство Соболева — пространство функций, принадлежащих ^(Е, Н(С)) и имеющих производные порядка к. Аналогично, обозначим через \¥2 2 (<9Е, И (С)) соответствующее пространство следов Слободецкого. Напомним, что след Н(С)-значных
функций д € W2k(E, Н(С)) на дЕ
определяется как предел в Ь2(8Е, Н(С)):
^эЕд = д|эЕ := Ит Ы^Е'
где {ди} —последовательность в С 1(Е, Н(С)), которая сходится к д по норме пространства W2fc(Е, Н(С)) (см. [22]). В [22] было показано, что
1згЭЕ: И^(Е)-»-
Пусть а — комплексное число такое, что а2 = А, где А € С \ {0}. Точки евклидова пространства К2 обозначим через г = (х, у) := хе1+уе2, £ := £е1+пе2; t := ¿1е1 +£2е2. Пусть
_ д д ^ := "о + "о
дх ду
— дифференциальный кватернионный оператор Дирака, факторизующий евклидо-вый лапласиан в К2, то есть V2 = — Д^2.
Рассмотрим оператор Гельмгольца Д^2 + АХ, где Х обозначает единичный (тождественный) оператор. Таким образом,
— (V + а!)(р — а1) = ДК2 + АХ. (2.1)
Назовем оператор Va := V + аХ возмущенным оператором Дирака.
Функцию /, определенную и дифференцируемую в открытой области П С К2, будем называть а-гиперголоморфной в П тогда и только тогда, когда Va/ = 0 в П. Множество а-гиперголоморфных функций в П будем обозначать через Ма(П, Н(С)). Пусть М € N
и )
(г) обозначает фундаментальное решение оператора (ДК2 + а2)м в К2. Заметим также, что это решение имеет вид
0Ш)Ы . (-1 )М-^-МН^м{а\г\) а \ ) ■ 4г 2м~1(М — 1)! |,г|1~м ' 1 ' ^
где г € К2 \ {0}, {а € С \ {0} : 1т(а) > 0} и Нр1 — функция Ханкеля первого рода, р € К (см., например, [23, с. 59-74]).
Известно, что фундаментальное решение оператора ^а, ядро Коши Ка, может быть вычислено по формуле
Ка{г) := -2>_а [©«(г)] = (-1)^ + И)) , * € К2 \ {0}.
Напомним, что функцию Ханкеля можно разложить в ряд (см. [25, 26]):
2г t Л ^ ( —1)к ¿2к 2г ^ ( —1)к+1 ¿2к А 1
^ 2 л.), ^ 22к(к!)2 22к (к!)2 ^
7 к=0 К ' к=1 К ' т=1
т
+ п 22к+1 /г!(/г + 1)! 1 ^ ш + ^ то / '
к=1 4 ' \ш=1 т= 1 /
где х ~ 0.5772 — константа Эйлера. Кроме того, известно (см., например, [24]), что
Нр1)(^) = ЗД + ¿ВД, р € К,
где функция Бесселя первого рода, определяется равенством
/ + \Р+2к ( _1)к
а Г —гамма-функция. Функция Неймана Мр второго рода определяется как
:= ^ ~ ^ для вт(пр)
где
сов(пр) — п(пр)
р-1 I. 1 м /+\2к-р
„.ч 2Т,Ч1 /'Л 1 ^ (р — к — 1)! А
У 7 к=0 У
1 ~ п\2к+р (-1)к
-тг I ')
п к!(к + р)!
Г'(/с + 1) Т'{к+р+1)
Г(к +1) Г(к + р +1)_
для р € N.
Подробное изложение теории кватернионно-значных функций двух комплексных переменных можно найти в [13-16].
3. Основные результаты. 3.1. Двумерные кватернионные операторы.
Интегральный оператор Теодореску [15, 16] для функций д € £2(П, Н(С)) определяется равенством
Тад(х, у) := / Ка(ж — м, у — «)д(м,-у) ¿м Л ¿V, (ж, у) € К2. ип
Интегральный оператор Коши имеет вид
д(х, у) := — J Ка(х — и, у — «)п(м, «)д(м, V) ¿Г^), (х, у) € К2 \ Г,
х
где д (Е И/22(Г, Ш(С)), а п(и,у) = (п^м,-у), п2(м,-у)) обозначает единичный вектор внешней нормали к Г в точке (и, V). Сингулярный интегральный оператор для функций д € ¿2(Г, Н(С)) записывается в виде
^ад(х, у):= —2 J Ка(х — и, у — «)п(и, «)д(и, V) ¿Г^), (х, у) € Г.
В работе [7, с. 170] была доказана следующая теорема. Теорема 3.1. Справедливы отображения:
Va : W2fc(П, Н(С)) —^ W2fc-1(П, Н(С)), к € N Та : W2fc(П, Н(С)) —^ W2fc+1 (П, Н(С)), к € N и {0}, Та : W2~i(Г, Н(<С)) ^ \\^(П,ВН(С))П кегТ>а, к € N. В работах [1, 12, 16] приводятся следующие теоремы.
Теорема 3.2. (Стокса). Пусть / и д являются Н(С)-значными функциями в W21(П, Н(С)). Тогда
! [tгг/(х,у)]и(х,у)^грд(х,у)] =
= [(/V-a)(x,y)g(x, у) + /(х,у)^ад)(х,у)] ¿х Л ¿у. Jn
Теорема 3.3. (Формула Бореля — Помпею). Пусть Н(С)-значная функция д € W2(П). Тогда
, .. _ ,, .. Г д(х, у), если (х,у) (ЕП+,
[0, если (х, у) € П .
Следствие 3.4. Пусть д € W2(П, Н(С))Пквг Va. Тогда справедливо равенство
д(х, у), если (х, у) € П+,
^ад(х,у)-1 0, если (х,у) € П-.
Теорема 3.5. При д € Ь2(П, Н(С)) справедливо 'равенство
ю Г д)(х у) = / g(x,y), если (х,у) € П+
ад)(х,у) = \ 0, если (х,у) € П-.
х
Теорема 3.6. (формулы Сохоцкого — Племеля). Пусть д £ \¥2 (Г, ПН(С)). Тогда справедливы соотношения:
ЬгГТа[д] = ^Х[д} + ^5а[д],
где 1г- —оператор следа во внешней области П-. 650
Определим проекторы Племеля Р± следующим образом:
'Ра 9 ■= -*гг тад ^»д-
Из справедливости равенств Р + + Ра = I, [Р±]2 = Р± и Р+Ра = РаР + = 0 следует, что Р± являются проекторами.
3.2. Ортогональное разложение. Рассмотрим ортогональное разложение пространства Соболева ^2к(П, Н(С)), к € N и {0}, относительно оператора Дирака высокого порядка . Будем использовать методы, изложенные в работах [1, 2] и [3]. Имеем
-1)г, М =1, Уг € К2 \{0}.
2(М — 1)
При М = 1 формула (3.1) запишется в виде
® И = Я1(1)(«М)> ^ е к2 \ {о}.
Из (2.2) и (3.1) очевидным образом получаем следующее утверждение. Лемма 3.7. Справедливо 'равенство
(3.1)
V еам )(г) =
( —1)М а
М „,2-Ы
2М-1 4г (М — 1)! |г|1-М
, Уг € К2 \{0}.
Введем дополнительные обозначения:
N(П, Н(С)) := {/ : / € ^к(П, Н(С))& V/ = 0}, N(П, Н(С)) := {/ : / € ^2к(П, Н(С))& Д/ = 0 в П}.
Теорема 3.8. Пространство W2k(П, Н(С)) допускает ортогональные разложения:
(а)
^к(П, Н(С)) = ЭТ|(П, Н(С)) ф ^2к (П, Н(С)) П ^2к+М(П, Н(С))^ , М € N со скалярным умножением
< и, V >т = и V ¿м Л ¿V,
где
^ (П, Н(С)) := {/ : / € ^(П, Н(С)), V/ = 0 на Г для 0 < V < к — 1};
Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2019. Т. 6(64). Вып. 4 651
1
п
W2k(П, Н(С)) = (П, Н(С)) ® Дкх(Мк (П, Н(С)) П W2k+M(П, Н(С))
(б)
где
Щ (П, Н(С)) := {/ : / € W2k(П, Н(С)), Дк/ = 0, V,, (Д/) = 0 на Г
для 0 < V < к — 1}.
Доказательство. Докажем утверждение (а). Для любого и, V € W2k(П, Н(С)) имеем
< Vku, V >ь
2 — / va и V ¿и Л ¿V
Va (va 1 и ) V ¿и Л ¿V
(пользуясь теоремой 3.2)
Vk-1u
а
(и,«) п(и,^) [^г ^(и^) ¿Г(„,щ) + < Vka 1 и, V0,v >Ь2
Vk-1u
а
(и, V) п(и, V) [1гг v](u, V) —
Vk-2u
а
(и, V) п(и, V) [^г Vav](м, V) ¿Г(„,Щ)+ < Vk 2u, Vav >Ь2 (и, V) п(и, V) [1гг v](м, V) ¿Г(И Щ) —
Vk-1u
О; ^
Vk-2 u
а
(и, V) п(и, V) [1гг Vаv](м, V) ¿Г(И Щ) — • • •
-----J [Х>аи| ^ггХ>к-2у](г(,г;)ЙГ(и1г;)-
— I [^(и, V) п(и, V) [^г Vk-1v](м, V) ¿Г(и,„) + < u, ^ >Ь2 .
о
Из приведенного равенства следует, что для v €W2k (П, Н(С)) и u € W2k(П, Н(С)) скалярное произведение обращается в нуль тогда и только тогда, когда u € ЭТ|(П, Н(С)). Откуда следует, что
ЭТ|(П, Н(С))
V ( W2k (П, Н(С)) П W2k+M(П, Н(С))
являются ортогональными подпространствами.
Утверждение (б) теоремы 3.8 вытекает из теоремы 3.7 работы [21].
□
г
г
г
г
и
3.3. Задачи Дирихле. Рассмотрим следующие проекторы (см. [19]): Ра : Щ(П, Н(€)) —> Щ(П, Н(€)) П кег 'а
и
Qа : Ь2(П, Н(€)) 'а ^Щ1 (П, Н(€)) П Щ+1(П, Н(с))^ . (3.2)
Из [19] очевидным образом вытекает теорема.
Теорема 3.9. Пусть / € И^(П,1Н(С)) и д € (Г, ВН(С)), /г > 0. Тогда
краевая .задача (1.1), (1-2) имеет единственное решение Н € Щ"2к+2(П, Н(€)), .записываемое в виде
Н = Та[д] + ТаТа [(1ГГ Та<Ра [д] + TаQаТа [/]. (3.3)
Заметим, что единственность и существование решения Н в теореме 3.9 вытекают из теоремы 4.4 работы [21].
Используя идеи, изложенные в работах [1—7], можно доказать следующее свойство оператора Та.
Свойство 3.10. Справедливо равенство
кегЬгТТаТаГ\ (V/(Г,ВН(С)) ПтР„| ={0}.
Доказательство. Если / € кег 1гг ТаТа, то
^г ТаТа = 0. (3.4)
Итак, мы должны доказать, что если / £ (Г, 0Н(С)) П т Ра^, то / = 0. Из
формулы (3.4) и [21, с. 4911] получим, что
Та/ € 1Ш Qа С Щ (П, ВД)^ .
о
Таким образом, существует и €Щ21 (П, Н(С)), для которого верно
Та/ = ®аи.
Откуда Та/ € кег'а. Пользуясь тем, что
Та : \¥2^(Г,ВН(С)) —\\^(П,Н(<С)) Пкег Т>а, получаем следующую краевую задачу:
'та 2 >
и = 0 на Г.
(-ДК2 + 2а' + а2)и = 'аТа/ = 0 в П,
Из теоремы 3.9 следует, что и = 0. Из равенства 'аи = 0 вытекает равенство Та/ = 0. Пользуясь тем, что 1гг ТаТа/ = 0 и / € т Ра, получим / € кег 'а и Та/ = 0. Откуда / = 0. □
Теорема 3.11. Пусть / € 1Н(С)), до € * (Г, 1Н(С)) и д1 €
И72 Т2(Г,[Н(С)); к >0. Тогда
краевая задача '(-ДК2 + 2а^ + а2)2 Н = / в П,
Н = 0о на Г, (3-5)
ч(-ДК2 + 2а^ + а2) Н = 01 на Г
имеет единственное решение Н € ^2к+4(П, Н(С)):
Н = Та[0о] + ТаТа (^г ТаТа )-1 Ра [0о] + + ТаРаТа (Та[01] + ТаТа (^г ТаТа) 1 Q
а. Ы) + (TаQаТа)2 /.
Доказательство. Пусть / € ^к(П, Н(€)). Если V = (-ДК2 + 2а^ + а2) Н, то краевая задача
Г(-ДК2 + 2а^ + а2) V = / в П, [V = 01 на Г
имеет единственное решение V € ^2к+2(П, Н(€)):
V = ^а[01] + Та^а [(^г ТаТа)-1] Ра [01] + ТаРаТа [/]. Таким образом, краевая задача
Г(-ДК2 +2а^ + а2) Н = V в П, Н = 0о на Г
имеет единственное решение Н € "^"2к+4(П, Н(€)):
Н = ^а[0о] + Та^а [(^г ТаТа)^] Ра Ы + ТаРа Та [V]. Следовательно, единственное решение краевой задачи (3-5) имеет вид
Н = ^а[0о] + Та^а (tГг ТаТаРа [0о] + + ТаРаТа (Та[01] + ТаТа (tГг ТаТа) 1 Р
а. Ы) + (ТаРаТа)2 /.
□
В завершении параграфа рассмотрим вопрос о решении краевой задачи (1.3).
Теорема 3.12. Пусть / € И^(П,1Н(С)) и др € ВН(С)). Тогда
краевая задача (1.3) имеет единственное решение Н € "^"2к+2М(П, Н(С)):
м
Н = Т аЫ+^(Т
1]+
^=1
+ ТаТа (tГг ТаТа)-1 Ра ^-1]) + (ТаРаТа)М /. (3-6)
Доказательство. При M = 1 формула (3.6) совпадает с формулой (3.3). Для доказательства теоремы для M > 1 воспользуемся индукцией и теоремой 3.11. □
Из теоремы 3.12 очевидным образом получаем следующую теорему.
Теорема 3.13. Пусть / G W"2fe(il, Н(С)) и др G W^2^^ (Г, 1Н(С)). Тогда краевая задача
'-(ДК2 + A)M h = f в fi, h = g0 на Г, < —(Д^2 + A) h = gi на Г,
ч-(Дк2 + A)M— 1 h = дм-i на Г имеет единственное решение h € W2fc+2M(fi, H(C)):
M
h = F_a[go]+^(T а ) (F* —a [gv — i]+
V=1
+ T—aFa (trr T—aF«) —1 Q—a[gv—i]) + ( — 1)M (T— aQaTa)M f.
Автор выражает свою благодарность рецензентам, замечания которых способствовали улучшению текста статьи.
Литература
1. Giirlebeck K., Sprossig W. Quaternionic and Clifford calculus for Physicists and Engineers. New York: Wiley, Chichester, 1997.
2. Kaehler U. On a direct decomposition of the space Lp(П) // Z. Anal. Anwend. 1999. Vol.18, No. 4. P. 839-848.
3. Le H. T. Hyperholomorphic structures and corresponding explicit orthogonal function systems in 3D and 4D. Ph. D. Thesis, Institute of Applied Analysis, 2014. Freiberg University of Mining and Technology, Germany.
4. Le H. T., Morais J., Sprossig W. Orthogonal decompositions of the complex quaternion Hilbert space and their applications // 9th International Conference on Clifford algebras and theirs Applications in Mathematical Physics, Weimar, Germany 15-20 July, 2011 / ed. K. Giirlebeck. 2011.
5. Le H. T., Morais J., Sprossig W. Orthogonal decompositions and their applications // Proceedings of the 19th International Conference on the Application of Computer Science and Mathematics in Architecture and Civil Engineering, Weimar, Germany 04-06 July, 2012 / eds. K. Giirlebeck, T. Lahmer, F. Werner. 2012.
6. Le H. T., Morais J., Sprossig W. Orthogonal decompositions of the complex quaternion Hilbert space and their applications // 9th International Conference on Mathematical Problems in Engineering, Aerospace and Sciences: ICNPAA 2012. AIP Conf. Proc. 2012. Vol. 1493. P. 595-602.
7. Sprossig W. On decompositions of the Clifford valued Hilbert space and their applications to boundary value problems // Adv. Appl. Clifford Algebras. 1995. Vol.5, No. 2. P. 167-186.
8. Ammari H., Bao G., Wood A. W. An integral equation method for the electromagnetic scattering from cavities // Math. Methods Appl. Sci. 2000. Vol. 23, no. 12. P. 1057-1072.
9. Li D., Mao J. F. A Koch-like sided fractal bow-tie dipole antenna // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on. 2012. Vol.60, no. 5. P. 2242-2251.
10. Giirlebeck K., Sprossig W. Quaternionic analysis and elliptic boundary value problems. Basel: Birkhauser, 1990.
11. Kravchenko V. Applied quaternionic analysis. In: Research and Exposition in Mathematics. Vol. 28. Germany: Heldermann Verlag, 2003.
12. Kravchenko V., Shapiro M. Integral representations for spatial models of mathematical physics. In: Pitman Res. Notes in Math. Ser. Vol.351. Harlow: Longman, 1996.
13. Gerus O.F., Shapiro M. On boundary properties of metaharmonic simple and double layer potentials on rectifiable curves in R2 // Zb. Pr. Inst. Mat. NAN Ukr. 2004. Vol. 1, No. 3. P. 67-76.
14. Gerus O.F., Shapiro M. On a Cauchy-type integral related to the Helmholtz operator in the plane // Bol. Soc. Mat. Mex., III. Ser. 2004. Vol. 10, No. 1. P. 63-82.
15. Shapiro M., Tovar L. Two-dimensional Helmholtz operator and its hyperholomorphic solutions // J. Natur. Geom. 1997. Vol. 11. P. 77-100.
16. Shapiro M., Tovar L. On a class of integral representations related to the two-dimensional Helmholtz operator // Contemp. Math. 1998. Vol.212. P. 229-244. Amer. Math. Soc., Providence, RI.
17. Abreu Blaya R., Avila-Avila R., Bory Reyes J., Rodriguez-Dagnino R. M. 2D Quaternionic Time-Harmonic Maxwell System in Elliptic Coordinates // Adv. Appl. Clifford Algebras. 2015. Vol.25. Issue 2. P. 255-270.
18. Bory Reyes J., Abreu Blaya R., Rodriguez-Dagnino R. M., Kats B. A. On Riemann boundary value problems for null solutions of two dimensional Helmholtz equation // Anal. Math. Phys. 2019. Vol.9. Issue 1. P. 483-496.
19. Bory Reyes J., Abreu Blaya R., Pérez de la Rosa M. A., Schneider B. On the 2D Quaternionic Metaharmonic Layer Potentials // Mediterranean Journal of Mathematics. 2017. Vol. 14. Issue 4. Art. no. 195.
20. Luna-Elizarraras M.E., Pérez-de la Rosa M.A., Rodriguez-Dagnino R.M., Shapiro M. On quaternionic analysis for the Schrodinger operator with a particular potential and its relation with the Mathieu functions // Math. Methods Appl. Sci. 2013. Vol.36, No. 9. P. 1080-1094.
21. Bory-Reyes J., Abreu-Blaya R., Herné,nd,ez-Simon L.M., Schneider B. Dirichlet-Type Problems for the Two-Dimensional Helmholtz Operator in Complex Quaternionic Analysis // Mediterranean Journal of Mathematics. 2016. Vol. 13. P. 4901-4916.
22. Wloka J. Partielle Differentialgleichungen [Partial differential equations]. Sobolevraume und Randwertaufgaben [Sobolev spaces and boundary value problems]. Mathematische Leitfaden. [Mathematical Textbooks]. Stuttgart: B. G. Teubner, 1982.
23. Garnir H. G. Les Problèmes aux Limites de la Physique Mathématique, Basel: Birkhaüser,
1958.
24. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables / Eds. M. Abramowitz, I. A. Stegun. New York etc.: John Wiley & Sons, 1972.
25. Arfken G.B., Weber H.J., Harris F.H. Mathematical Methods for Physicists. 7th edn. Waltham: Academic Press, Elsevier, 2013.
26. Watson G. N. A Treatise on the Theory of Bessel Functions. 2nd edn. Cambridge: Cambridge University Press, 1995.
Статья поступила в редакцию 20 марта 2019 г.;
после доработки 5 июня 2019 г.; рекомендована в печать 13 июня 2019 г.
Контактная информация:
Шнайдер Барух — Ph.D.; [email protected]; [email protected]
Higher order Dirichlet type problems for
the two-dimensional Helmholtz operator in complex quaternionic analysis
B. Schneider
University of Ostrava, 30.dubna, 22, Ostrava, 70103, Czech Republic
For citation: Schneider B. Higher order Dirichlet type problems for the two-dimensional Helmholtz operator in complex quaternionic analysis. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2019, vol. 6(64), issue 4, pp. 646-658. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2019.410 (In Russian)
It is well known that the development of methods for solving Dirichlet problems is important and relevant for various areas of mathematical physics related to the Laplace equation, the Helmholtz equation, the Stokes equation, the Maxwell equation, the Dirac equation, and others. In the previous work, the author studied the solvability of Dirichlet problem of the first order and the second order in the quaternion analysis. In the present paper studies the Dirichlet boundary value problem of high order, associated with the two-dimensional Helmholtz equation with complex potential. In this paper, the existence and uniqueness and a representation formula for the solution of Dirichlet boundary value problems in the two-dimensional case are proved. Most of Dirichlet boundary value problems are focused to the 3D case. Note that the case is not a simple consequence of the three-dimensional case. For solving the problem, we use the method of orthogonal decomposition of the quaternion Sobolev space. This orthogonal decomposition of space is also the basis for the study of many elliptic boundary value problems that are in various areas of mathematics and mathematical physics. Orthogonal decompositions of the quaternionic-valued Sobolev space with respect to the Dirac operator of high order as well as the corresponding orthoprojections onto the subspaces of theses decompositions are obtained.
Keywords: quaternion analysis, Helmholtz operator, boundary problems of Dirichlet type. References
1. Giirlebeck K., Sprossig W., Quaternionic and Clifford calculus for Physicists and Engineers (Wiley, Chichester, New York, 1997).
2. Kaehler U., "On a direct decomposition of the space Lp(Q)", Z. Anal. Anwend. 18(4), 839—848 (1999).
3. Le H.T., Hyperholomorphic structures and corresponding explicit orthogonal function systems in 3D and 4D (Ph. D. Thesis, Institute of Applied Analysis, 2014. Freiberg University of Mining and Technology, Germany).
4. Le H. T., Morais J., "Sprossig W. Orthogonal decompositions of the complex quaternion Hilbert space and their applications", 9th International Conference on Clifford algebras and theirs Applications in Mathematical Physics, Weimar, Germany 15-20 July, 2011 (ed. K. Giirlebeck, 2011).
5. Le H. T., Morais J., Sprossig W., "Orthogonal decompositions and their applications", Proceedings of the 19th International Conference on the Application of Computer ¡Science and Mathematics in Architecture and Civil Engineering, Weimar, Germany 04-06 July, 2012 (eds. Giirlebeck K., Lahmer T., Werner F., 2012).
6. Le H.T., Morais J., Sprossig W., "Orthogonal decompositions of the complex quaternion Hilbert space and their applications", 9th International Conference on Mathematical Problems in Engineering, Aerospace and Sciences: ICNPAA 2012. AIP Conf. Proc. 1493, 595-602 (2012).
7. Sprossig W., "On decompositions of the Clifford valued Hilbert space and their applications to boundary value problems", Adv. Appl. Clifford Algebras 5(2), 167-186 (1995).
8. Ammari H., Bao G., Wood A. W., "An integral equation method for the electromagnetic scattering from cavities", Math. Methods Appl. Sci. 23(12), 1057-1072 (2000).
9. Li D., Mao J.F., "A Koch-like sided fractal bow-tie dipole antenna", Antennas and Propagation, IEEE Transactions on 60(5), 2242-2251 (2012).
10. Giirlebeck K., Sprossig W., Quaternionic analysis and elliptic boundary value problems (Birkhauser, Basel, 1990).
11. Kravchenko V., Applied quaternionic analysis, in: Research and Exposition in Mathematics 28 (Heldermann Verlag, Germany, 2003).
12. Kravchenko V., Shapiro M., Integral representations for spatial models of mathematical physics, in: Pitman Res. Notes in Math. Ser. 351 (Longman, Harlow, 1996).
13. Gerus O. F., Shapiro M., "On boundary properties of metaharmonic simple and double layer potentials on rectifiable curves in R2", Zb. Pr. Inst. Mat. NAN Ukr. 1(3), 67-76 (2004).
14. Gerus O.F., Shapiro M., "On a Cauchy-type integral related to the Helmholtz operator in the plane", Bol. Soc. Mat. Mex, III. Ser. 10(1), 63-82 (2004).
15. Shapiro M., Tovar L., "Two-dimensional Helmholtz operator and its hyperholomorphic solutions", J. Natur. Geom. 11, 77-100 (1997).
16. Shapiro M., Tovar L., "On a class of integral representations related to the two-dimensional Helmholtz operator", Contemp. Math. 212, 229-244 (Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998).
17. Abreu Blaya R., Avila-Avila R., Bory Reyes J., Rodriguez-Dagnino R. M., "2D Quaternionic Time-Harmonic Maxwell System in Elliptic Coordinates", Adv. Appl. Clifford Algebras 25, issue 2, 255— 270 (2015).
18. Bory Reyes, J., Abreu Blaya, R., Rodriguez-Dagnino R. M., Kats B. A., "On Riemann boundary value problems for null solutions of two dimensional Helmholtz equation", Anal. Math. Phys. 9, issue 1, 483-496 (2019).
19. Bory Reyes J., Abreu Blaya R., Perez de la Rosa M.A., Schneider B., "On the 2D Quaternionic Metaharmonic Layer Potentials", Mediterranean Journal of Mathematics 14, issue 4, 195 (2017).
20. Luna-Elizarraras M.E., Perez-de la Rosa M.A., Rodriguez-Dagnino R. M., Shapiro M., "On quaternionic analysis for the Schrödinger operator with a particular potential and its relation with the Mathieu functions", Math. Methods Appl. Sci. 36(9), 1080-1094 (2013).
21. Bory-Reyes J., Abreu-Blaya R., Hernandez-Simon L. M., Schneider B., "Dirichlet-Type Problems for the Two-Dimensional Helmholtz Operator in Complex Quaternionic Analysis", Mediterranean Journal of Mathematics 13, 4901-4916 (2016).
22. Wloka J., Partielle Differentialgleichungen [Partial differential equations]. Sobolevraume und, Randwertaufgaben [Sobolev spaces and boundary value problems] (Mathematische Leitfaden, B. G. Teub-ner, Stuttgart, 1982).
23. Garnir H. G., Les Problèmes aux Limites de la Physique Mathématique (Birkhaüser, Basel, 1958).
24. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (Eds. M. Abramowitz, I. A. Stegun, John Wiley & Sons, New York etc., 1972).
25. Arfken G.B., Weber H. J., Harris F. H., Mathematical Methods for Physicists (7th edn., Academic Press, Elsevier, Waltham, 2013).
26. Watson G.N., A Treatise on the Theory of Bessel Functions (2nd ed., Cambridge University Press, Cambridge, 1995).
Received: March 20, 2019 Revised: June 5, 2019 Accepted: June 13, 2019
Author's information:
Baruch Schneider — [email protected]; [email protected]
