ИССЛЕДОВАНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ, СООТВЕТСТВУЮЩЕГО СМЕШАННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 13. № 1 (2021). С. 86-98.

УДК 517.2; 519.64

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ, СООТВЕТСТВУЮЩЕГО СМЕШАННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА

Э.Г. ХАЛИЛОВ, М.Н. БАХШАЛЫЕВА

Аннотация. Одним из методов решения внешних краевых задач является ее приведение к интегральному уравнению. Основное преимущество применения метода интегральных уравнений к исследованию внешних краевых задач заключается в том, что подобный подход позволяет свести задачу, поставленную для неограниченной области, к задаче для ограниченной области меньшей размерности. В работе исследуется приближенное решение интегрального уравнения, к которому сводится смешанная краевая задача для уравнения Лапласа. Разыскивая решение смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа в виде комбинации логарифмических потенциалов простого и двойного слоев, смешанная краевая задача для уравнения Лапласа приводится интегральному уравнению, зависящему не только от операторов, порожденных логарифмическими потенциалами, но и от композиции таких операторов. Доказывается, что полученное интегральное уравнение имеет единственное решение в пространстве непрерывных функций.

Так как интегральные уравнения в замкнутом виде решаются лишь в очень редких случаях, первостепенное значение приобретает разработка приближенных методов решения интегральных уравнений с соответствующим теоретическим обоснованием. Поэтому, разбивая кривую на элементарные части, в определенно выбранных опорных точках построены квадратурные формулы для одного класса криволинейных интегралов и для композиции интегралов, порожденных логарифмическими потенциалами, а также оценены погрешности этих квадратурных формул. Пользуясь этими квадратурными формулами, полученное интегральное уравнение заменяется системой алгебраических уравнений. Затем с помощью теоремы Г.М. Вайникко о сходимости для линейных операторных уравнений устанавливается существование и единственность решения этой системы. Доказывается сходимость решения полученной системы алгебраических уравнений к значению в опорных точках точного решения интегрального уравнения. Кроме того, в работе указывается скорость сходимости метода. В результате, построена последовательность, сходящаяся к решению смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа с известной скоростью сходимости.

Ключевые слова: криволинейный интеграл, метод интегральных уравнений, метод коллокации, смешанная краевая задача, уравнение Лапласа.

Mathematics Subject Classification: 45Е05, 31В10

1. Введение и постановка задачи

Пусть D с R2 - ограниченная область с дважды непрерывно дифференцируемой границей L.

E.H. Khalilov, m.n. Bakhshaliyeva, Study of approximate solution to integral equation

associated with mixed boundary value problem for laplace equation.

© Халилов Э.Г., Бахшалыева м.Н. 2021.

Поступила 6 мая 2020 г.

Рассмотрим смешанную краевую задачу для уравнения Лапласа: найти функцию и Е С(2) Р| С (К2\Д), обладающую нормальной производной в смысле равномерной

сходимости, удовлетворяющую уравнению Лапласа Аи = 0 в М2\1), условию излучения Зоммерфельда

( -—-, grad и (х)

) И2)

X —> сю,

равномерно по всем направлениям х/ |ж| и граничному условию

ди (ж)

дп (ж)

+ Хи (х) = / (ж) на Ь,

где п (х) - единичная внешняя нормаль в точке х Е Ь, X - заданное число, а / - заданная непрерывная функция на Ь. Одним из методов решения смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа является ее приведение к интегральному уравнению. Известно, что основное преимущество применения метода интегральных уравнений к исследованию внешних краевых задач заключается в том, что подобный подход позволяет свести задачу, поставленную для неограниченной области, к задаче для ограниченной области меньшей размерности.

Пусть Ф(ж, у) - фундаментадьное решение уравнения Лапласа, V (х,р) - логарифмический потенциал простого слоя, а т (х,р) - логарифмический потенциал двойного слоя, т.е.

Ф(х,у) =

2ж |ж - у1

х,у Е К2

х = y,

Г [ дФ(х у)

V (х,р) = ! ф(х,у) р (у) АЬу, Ы (х,р) = у ^ ^ р (у) АЬу.

Очевидно, что при этом т (х, у) =

Г дФ(Х,У)/ I ф(ч1+) п т ^^ ] ИГ ^ е К2

1ь дп (у) УЛ

ф(у,г)р(г)¿ьл аьу, ж е к2.

Принимая во внимание предельные значения логарифмических потенциалов и поступая точно также, как и в работе [1], нетрудно показать, что функция

и (х) = V (х, р) + щ-хи (х, ь), х Е К2\И,

где р = 0 - произвольное действительное число, является решением смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа, если плотность р является решением однозначно разрешимого интегрального уравнения

р + Ар = <р, (1.1)

где

А = - (2 + 1р)-1 (2К + ИрН + X (2 + щ) в + ШрО^ <р = -4(2 + гр)-1 ¡,

(Бр)(х) = 2 ! Ф(х,у) р (у) (!ЬУ, х Е Ь, (Кр) (х) = 2 £ Р (У) *ЬУ, х Е Ь,

(Яр) (х)

5Ф (х,у)

1ь дп (у)

С

Ф(у,г) Р (г) ¿Ь-^ аь,

X Е Ь,

ч Г дФ(х,у) ( Г дФ(у,г) . . 1Т \ 1Г

Так как интегральные уравнения в замкнутом виде решаются лишь в очень редких случаях, первостепенное значение приобретает разработка приближенных методов решения интегральных уравнений с соответствующим теоретическим обоснованием. Отметим, что целый ряд работ [2]-[5] посвящен исследованию приближенных решений интегральных уравнений различных краевых задач. Однако, до сих пор не исследовано приближенное решение интегрального уравнения (1.1), к которому сводится смешанная краевая задача для уравнения Лапласа, чему и посвящена настоящая заметка.

2. Построение квадратурной формулы

Предположим, что кривая Ь задана параметрическим уравнением х(1) = (Х1(1),Х2(1)), Ь е [а, Ь]. Разобьем промежуток [а,Ь] на

, Ь — а п > 2МГ

d

равных частей:

(Ь — а) к

где

tk = а +--, к = 0,п,

п

М1 = maxJ^ (t))2 + (х'2 (t))2 <

t£[a,b] '

[6, Гл. VI] и d - стандартный радиус [6, Гл. I], [7, Гл. V]. В качестве опорных точек возьмем х (тк), к = 1,п, где

(Ь — а) (2к — 1)

тк = а + --—--.

к 2п

Тогда кривая L разбивается на элементарные части: L = (J™=1 Li, где

Lk = [х (t) : tk-i < t < tk} .

Известно, что [8]

(1) для любого к £ [1, 2,... ,п} имеет место гк(п) ~ Rk(п)1, где

гк(п) = min[1х(тк) — x(tk-i)|, lx(tk) — х(тк)|} , Rk(п) = шах [1х(тк) — x(tk-i)|, lx(tk) — х(тк)|} ;

(2) для любого к £ [1, 2,... ,п} выполнявтея Rk (п) < |;

(3) для любых k,j £ [1, 2,... ,п} имеет место rj (п) ~ гк (п);

(4) г (п) ~ R (п) ~ 1, где

R (п) = maxRk (п), г (п) = minj'k (п).

к=1,п к=1,п

Лемма 2.1. [3],[9]. Существуют такие постоянные С'0 > 0 и С1 > 0, независящие от п, для которых при любых k,j £ [1, 2,... ,п} , j = к и у £ Lj справедливо следующее неравенство:

С0 1у — х (тк) | < |я (т3) — х (тк) | < С1 1у — х (тк) |.

; (п) ~ b (п) означает, что С\ < < С2, где C*i и С2 положительные постоянные, не зависящие от

1

п

Для функции p(x) € С (L) вводим модуль непрерывности вида

i х\ х й{(р, т) ш(мр, о) = о sup-, о > 0,

где

, ^ = №x) - мШ

\х-у\<т x,y£L

Рассмотрим матрицу Ап = (ац )™j=1 с элементами

(п п \

2 bij + 4ipj^ bi™brnj + X (2 + ip) cij + 4iXp £ 6 ImC-m j I

m=l m=l J

где

hi = cu = eii = 0 при I = 1,п, (b - а) дФ (x (77) ,x (rj)) п дП (x (77))

bij =--' -J (xl(Tj)) + (x2 (Tj)) при IJ = 1,п и 1 = j,

(¡) — а) /---

cij =—п— Ф^ (П) ,x (Tj))y(x[ (Tj))2 + (x'2 (Tj))2 при l,j = 1,n и 1 = j,

(b - а) дФ (x (77) ,x (т-j)) n dn (x (Tj))

eij =--' -J (xl(Tj)) + (x2 (Tj)) при l,j = 1,n и 1= j.

Всюду далее через М будем обозначать несущественные положительные постоянные, разные в различных неравенствах.

Теорема 2.1. Выражение

(Ар)п (x (Ti)) = Y^aijP (x (т^)), (2.1)

j=i

построенное с помощью опорных точек х (77), I = 1,п, является квадратурной формулой для (Ар) (х), причем, справедлива, следующая оценка:

max 1(Ар) (x (77)) - (Ар)п (x (77))| < М

i =1,п

1\ ,, ,, и[р,-\ +

(«э

п) .....~ п

где ||р|те = max ^ (x)l

xGL

Доказательство. В работе [8] доказано, что выражения

Бп (x (Tk)) = 2^Т^ it Ф (x (Tk) , x (Tj )) ^(xl (Tj ))2 + (x'2 (Tj ))2р (x (Tj ))

j=l

j=k

и

/ / чч 2(Ь — а) дФ (x (Tk) ,x (т.))/,,, 772 ТГ7 / / чч Кп (x (Tk)) = £ ^)ы) j)W(x'i (Ъ))2 + (x2 (rj))2р (x (Tj))

j=l

построенные с помощью опорных точек x (Tk) , k = 1,п, являются квадратурными формулами для интегралов ( Sр) (x) и {Кр^) (x)i соответственно, причем

m^ |( Бр) (x (Tk)) - Бп (x (Tk ))| <м(и(р, + ||р|_ ^ , k=l^ \ \ п/ п J

тах

к=1,п

х (Тк)) - Кп (х (Тк)) | ^ + ||р||те .

Теперь построим квадратурную формулу для интеграла ((р) (х). Выражение

п п

((р)п (х (ц)) = Е Е е с«Ч Р (х (т>)), (2-2)

]=1 \т=1 /

построенное с помощью опорных точек х (ъ), I = 1,п, является квадратурной формулой для интеграла ((р) (х). Оценим погрешность квадратурной формулы (2,2), Очевидно, что

п п

((р) (х (п)) - ((р)П (х (п)) = (((р) (х (п)) - ( е И £ сэтР (х (Тт)) 1

.7=1 V т=1 /

- !дНхЫ)-у) (IФ(у.0р(0чь,)чь,-Ъ-а

1ь дп (у) (

п

£ 9))т^3 £ Ф(х(т3),х(Тт)) тт))2 + (х'2(тт))2р (Х(гт))

=1

=

т=1

т=]

3=1

=

п

\

)

/

= =

(Т3) , Х (Тш))У (х>1 (Тш))2 + (х'2 (Тш))2р (Х (Тт))

т=1

т=]

дФ(х (Т1),у) ( [ ф(у, *)р а) аьу

ф (у, г) Р (г) ¿и -1 ф (X (Т3), г) Р (г) ¿ь^ иу

Аг 9п (у) Киь

+ ^ Г дф(Х (Т1) , у) 3 = 1

дп (у)

дФ(х (п), у) дФ(х (п) ,х (тз))

дп (у)

дп (х())

+Е

=1

=

+±;-фщ^иФ(* (ч), ^ «

]з=1

Ь — а

Ф(х (т,), г)р(г) ли

п

£ ф (Х (Ту) , X (тт)) у (х[ (Тт))2 + (х2 (Тт))2р (Х (Тт))

т= 1

тф]

тез Ь^

+ ^ - М (,))2 + « (Ч))2

3=1

)

п

£ ф (Х (Ту ) , X (Тт))У (х[ (Тт))2 + (А (Тт)? Р (Х (Т«))

т=1

т=]

Ь

Слагаемые в правой части последнего равенства обозначим через (п), Q2 (п), Q3, (п), Я4 (п) и Q5 (п), соответственно.

Принимая во внимание, что кривая Ь дважды непрерывно дифференцируема, имеем (см.[7, Гл. V]):

|(ж - у,п (у))! = ^ -у||сова (х - у,п (у))1 < М ^ - у]2 , х^ Е L, (2.3)

где через а (х - у,п (у)) обозначен угол между векторами х - у и п (у). Тогда дФ (х, у)

дп (у)

1 \(х — у,п (у))|

-у, УУ))\ <М, х,у ЕЬ, X = у.

(2.4)

2ъ ]х - у]2

Так как оператор Б ограниченно действует из пространства С (Ь) в пространство С (Ь), то

1^1 (п)!<

ф(у , г)р (г) ли

( дФ (х (п), у)

<х ^ Ь дп(у)

йьу < М

'ь1

<1~ЬУ < М

Я(п).

Кроме того, учитывая неравенство (см. [10, Теорема 2.12]

и (8р,К) < М ||р||те к |1п к! получаем, что для любого у Е Ьу

I Ф(у, 1)р (I) (1Ьг -у Ф(х (т3) , 1)р (I) (1Ьг

следовательно,

|^2 (п)!<М ||р^д (п) |1п Я (п)!

дФ (х (п) , у)

дп (у)

<м |иид (п) |1п я (п^

<1Ьу <М ||р^Д (п) |1п Я (п^ .

Принимая во внимание лемму 2.1, получаем, что для любого у Е Ьу и для любых V1,з Е[1,2,...,п] , 3 = 1,

дФ(ж (т{),у) дФ(х (п) ,х (ту))

дп (у) дп (х (ту))

(х (п) - у,п (у)) ^х (п) -Х (Ту^ - ^ (п) -у\2)

№ (п) -y| ^ (п) -х (Ту^ (Х (Т1) - у,п (у) - П (Х (Ту))) + (Х (Ту) - у,п (Х (Ту)))

^ (п) X (Ту)|2

М

(Ту) -y| ^ (п) -y| .

Тогда

|<5з (п)км

М

Ф (х, г) р(Ь) дьЬ1

£

у=1

у=

ж у = 1иЬз

д Ф(х (п) , у) дФ(х (Т1) ,х (ту))

дп (у)

дп (х (ту))

Я (п)

сИу

<м НрН^Д (п) |1п Я (п) .

1ь\ь1 ^ (П) -y|

Учитывая неравенство (2.4) и оценку погрешности квадратурной формулы для логарифмического потенциала простого слоя, имеем

(п) КМ [||р||те Я (п) |1п Я (П) | +и (р,Я (п))].

Учитывая неравенство

^(х\ (I))2 + (х!2 (г))2 - ^(х\ (Т, ))2 + (¿2 (Ту))

<мя (п), ье [гу-1, гу]

оо

эо

Ь

Ь

Ь

2

получаем:

1

тевЬ,-

, ( + (*т2 - т3 ))2 + (х2( т3 ))2^

Ь—Я (п)

п

< м

Ь—а

т1

< МЯ (п)

где т1 = тт

ге[а, ь]

(г)) + (х2 ^ > 0 [6, Гл. VI]. Кроме того, очевидно, что

^(х>1 (Т3 ))2 + (¿2 (Т3 ))

Ь—а

п

тев Ь

< М.

Тогда, принимая во внимание лемму 2.1, получаем

Кб (п)1

^ /дФ(х (п) ,Х (Т3))те81 (1 - ь-—а\]К (Ъ))2 + (^2 (Т3))2

=1

=

дп (х (т3))

тев Ь3

^ Ь-П ^(А (Тт))2 + (х2 (Тт))2 ^

2_^Ф(х (Т3 ) , X (Тт)) тезЬт--р (х (Тт ))

т=1

т=

тев Ьг

<МЯ (п)

'ь\ь1

дФ (х (п) , у)

дп (у)

¿у |Ф(ж (т3), г)1<и<мп (п)

Итак, суммируя полученные оценки для выражений (1 (п), (2 (п), (п), (п) и (б (п), имеем

т^ | ((( р) (х (п)) - ((Р)п (х (п))| < М [П^П^ Я (п) |1п Я (п) | + ^ (р,Я (п))].

I =1,п

Аналогичным образом можно показать, что выражение

п п

( Яр)П (х (п)) = £ | £ ЬшЬтз I р (х (т3)) ,

3=1 \т=1 /

построенное с помощью опорных точек х (ъ) ,1 = 1,п, является квадратурной формулой для интеграла ( Яр) (х), причем

т^ |( Яр) (Х (п)) - (Яр)п (х (п))| < М [|рП« Л (п) |1п Я (п^ (р,Я (п))].

I =1,п

В результат принимая во внимание построенные квадратурные формулы для интегралов (Бр) (х), (Кр) (х), (((р) (х), (Яр) (х) и их оценки погрешности, получаем, что выраже-

ние (2.1), построенное с помощью опорных точек х (ъ), I = 1,п, является квадратурной формулой для (Ар) (х), причем

т^ |(Ар) (Х (п)) - (Ар)п (Х (п))| <М [||р||те Я (П) |1п Я (п)| (р,Я (п))].

I = 1,п

Тогда, учитывая соотношение Я (п) ~ п. получаем доказательство теоремы.

□

2

оо

оо

3. Обоснование метода коллокации

Пусть Сп - пространство п-мерных векторов zn = (¿п, ..., гЩ) , zj1 € C, I = 1,п, с нормой ||гпЦ = m^ |z]11, где запись «ат» означает транспонировку вектора а. Используя

i=1,п " "

квадратурную формулу (2,1), интегральное уравнение (1.1), заменяем системой алгебраических уравнений относительно z^ - приближенных значений р (x (77)), I = 1,п, которую запишем в виде

(Г + Ап) za = рп, (3.1)

п C п

М = -4(2 + in)-1 p-f, арп : С (L) < Сп - линейный ограниченный оператор, определяемый формулой

рп f = ( f(x (n)) , f (x (7-2)) ,..., f (x (Тп)))т

и называемый оператором простого сноса.

Обоснование метода коллокации получим из теоремы Г.М. Вайникко о сходимости для линейных операторных уравнений [11]. Для ее формулировки приведем в обозначениях работы [11] необходимые определения и утверждения.

Определение 3.1. [11]. Пусть Е и Еп - банаховы пространства. Систему Q = {дп} операторов дп : Е < Еп будем называть связывающей для, Ей Еп, если, для, любых р,р € Е и а, а € C

||(tM^ < ¡HL пРи п < <

||дп (ар + а'р') - (адпр + а'дпр')|| < 0 щи п < ж.

Определение 3.2. [11, Опр, 1.1]. Последовательность {рп} элементов рп € Еп

Q - сходится, к р € Е, есл,и Црп - (fpH < 0 щи п < ж. При этом, будем писать Q

Мп^М-

Определение 3.3. [11, Опр. 1.2]. Последовательность {рп} элемент ов рп € Еп Q - компактна, если, любая, ее подпоследовательность {<рпт} содержит Q - сходящуюся подпоследовательность {<рптк } •

Q = { п}

операторов дп : Е < Еп является связывающей для Е и Еп. Тогда, следующие условия равносильны:

1. последовательность {рп} Q - компактна и .множество ее Q - предельных точек компактно в Е;

2. существует относительно компактная последовательность {р(п^ С Е 'такая, что ||рп - дпр(п)|| < 0 щи п < ж.

Определение 3.4. [11, Опр. 2.1]. Последовательность операторов Ап : Еп < Еп QQ - сходится, к оператору А : Е < Е, если для любой Q - сходящейся, последовательности {рп} имеем рп<р ^ Апрп<Ар. При этом будем писать Ап<<А.

Определение 3.5. [11, Опр. 3.3]. Последовательность операторов Ап € L (Еп,Еп)

компактно сходится к оператору А € L (Е, Е), если Ап<А и выполнено следующее условие компактности:

рп € Еп, Ц'рпЦ < М ^ {Ап'рп} Q - компактна. Теорема 3.1. [11, Теорема 4.2]. Пусть выполнены следующие условия:

1, Кег (I + А) = {0}, где I - единичный оператор в пространстве Е;

2, операторы, 1п + Ап фредгольмовы, с нулевым индексом;

3, фп—ф, фп еЕп,ф е Е;

4, Ап — А компактно.

Тогда, уравнение (I + А) ф = ф имеет единственное решение ф е Е, уравнение (1п + Ап) фп = фп имеет единственное решение фп е Еп, и фп—ф с оценками

С1 Ц(Г + Ап) дпф -фп|| < Цф,п - дпфЦ< С2 Ц(Г + Ап) дпф - фп||

где

1

> 0, С2 = вир\\(Г + Ап) — Ч\ < +то

вир || 1п + Ап||

Теорема 3.2. Уравнения (1,1) и (3,1) имеют единственные решения р* е С (Б) и е Сп, соответственно, причем, ||%п - рпр*|| — 0 при п — то с оценкой

||^ -рпр*П < м

ш

( >$+

1п п

п

Доказательство. Так как уравнение (1,1) однозначно разрешимо, то Кег (I + А) = {0}, Очевидно, что операторы 1п + Ап фредгольмовы с нулевым индексом и операторы рп : С (V) — Сп линейны и ограничены. Принимая во внимание способ разбиения кривой Ь на элементарные части, получаем, что для любого д е С (V)

Пт Ыд|| = Ит тах ^ (= тах ^ = ^^.

п^те п^-те 1=1 п х£Ь

Следовательно, система операторов простого сноса Р = {рп} является связываю-

р

щей для пространств С (V) и Сп, Тогда фп—ф и в силу теоремы 2,1 получаем, что рр

1п + Ап—I + А. По определению 3,5 осталось проверить условие компактности, которое в виду предложения 3,1 равносильно условию: для любого {гп} , хп е Сп, ||гп|| < М, существует относительно компактная последовательность {Апгп} С С (V) такая, что

||Ап гп - рп (Апгп)Ц — 0 при п — то.

{ Ап п}

(А^п) (х) = - (2 + гр) — 1 (2 (К^) (х) + 4гр (К^п) (х) + \ (2 + гр) (Б^п) (х) + 4г\р (((пгп) (х)),

где

п „

(Бпгп) (х) = 2 £ Ф (х, у) (!ЬУ, х е Ь,

■ — 1 О Ь А

3=1 ° ^

(Кпгп) (х) = 2 ^г] [ ^ , ж еЬ

3=1

ь. дп (ж) дФ(х, у) ( Г дФ(у, г)

^) = Е ^ ^ Ц, « (,

сИц с1Ьу, х е Ь,

((п ) (X) = ^ $ I д-Ш[ I Ф(у, V <11*) с1Ьу,

=1

дп (у)

х <Е Ь.

1

п

п

зо

Пусть Ьа(х) = {у Е Ь : \у - х\ < ¿}. Возьмем любые точки х', х" Е Ь такие, что

\х' - х" | = б <

шш {1,д}

Так как

г™ Ф(у, I) йи

у=1

<||гпЦ!^Ф(у,1)\йЬ1 < М ||ГЦ

то

| (Япгп) (х') - Шп) (х") |

дФ(х', у) дФ(х", у)

<М ЦгпЦ } <М ||Л ' + М ||гпЦ + М ||гпЦ + М Цг1

дп (у) дп (у)

дФ (х', у)

Ь б (х') 2

дп (у) дФ (х", у)

с1Ьу + М ||

'Ь 6 (х') 2

дФ (х", у)

' Ь 5 (х') 2

дп (у)

йЬу + М ||гпЦ

дп (у) дФ (х', у)

(1Ьу,

'Ь в (х'') 2

>Ьл(х)\{ь| (х') иЬ| (х''))

дп (у) дФ(х', у) дФ(х", у)

йЬу

дп (у) дп (у)

Ну,

>Ь\Ьл(х')

дФ(х', у) дФ(х", у)

дп (у) дп (у)

с1Ьу.

Принимая во внимание неравенство (2,4), имеем:

' Ь е (х') 2

1ь 5 (х'') 2

' ЬI (х') 2

дФ (х', у)

дп (у) дФ (х", у)

Зь4 (х) \х' -у\2

2

' ЬI (х)

с1Ьу < Мб,

дп (у) дФ (х", у)

йЬу < Мб,

дп (у)

йЬу = —

^-Уу л (Ну < М

и

Зьд(х) \х" у\ 5Ф (х', у)

' ь i (х) 2

(1Ьу < Мб

'ь5 (х') 2

дп (у)

йЬу < Мб.

Так как

дФ (х1, у) д Ф (х", у) 1 ((х' - у,п (у)) (х" - у,п (у))\

" \х" - У12 )

дп (у)

/ (х'- :

V №

дп (у) 2ж V \х' -у\2

(х' - у,п (у)) (\х" -у\- \х' - у\) (\х" у\ + \х' - у\)

2ж \х' - у\2 \х" - у[

+

(х' - х",п (у))

2тт \х" - у\2 и для любого у Е Ьа(х')\(Ь«(х1) и^^(х"))

\х' - у\ < \х' - х"\ + \х" - у\ < 3 \х" - у\, \х" - у\ < 3 \х' - у\

то, учитывая неравенство (2,3), находим:

дФ(Х, у) дФ(х", у)

дп (у) дп (у)

<

а значит,

I-, yeLd(x')\(L,(X) |Jli(X')), дФ(Х, у) дФ (X', у)

lLd(x')\(l« (x') (JL« (x''))

дп (у) < ms i

дп (у)

dLy,

L

у

JLd(x')\(bS (X) UL|(x'')) \x' -У\ fd dt

<MS — < MS |ln5\.

Кроме того, очевидно, что

'L\Ld(x' )

дФ(Х, у) дФ(х", у)

дп (у) дп (у)

dLy < MS.

Суммируя полученные выше оценки, находим

\(Qnzn) (х') - (Qnzn) (x")\ < M IIzl S \ln5\

(3.2)

Таким же образом можно доказать эту оценку для последовательностей { Snzn}, |înzn| и { Rnzn}. Тогда

I(A,nzn) (x') - (Anzn) (x")l < M ||zn|| S |lnSI, (3.3)

a, значит, {Anzn} С С (L).

| n| < M

{ An n}

сти. Тогда из теоремы Арцеля получаем относительную компактность последовательности { An n} L

му 2.1, нетрудно показать, что

Il An zn - pn (Anzn)H — 0 при n — то.

Тогда, применяя теорему 3.1, получаем, что уравнения (1.1) и (3.1) имеют единственные решения р* G С (S) и z™ G Cn, соответственно, причем

ClSn < ||гП - РПp*II < C2S„

где

1

Cl

> 0, C2 = sup\\(In + An)-l\\ < to,

sup iiIn + AnII

n

Sn = ii (/n + An)(pnp*) -^ii.

Применяя теорему 2.1, имеем:

Sn = IIpnp* + An (pnp*) - pn (p* + Ap*

= max

l=l,n

ii An (Pnp*) - Pn (Ap*

ln п

M

п

+ ш[р,~

п

£ р* (х (Тз)) - {Ар*) (х (т1))

3 = 1

Так как оператор А является слабо сингулярным интегральным оператором, тогда и является компактным оператором в С (V) [10, Теорема 2.6]. Кроме того, из однозначной

n

разрешимости интегрального уравнения (1.1), очевидно, что оператор I + А инъективен, а значит, обратный оператор (I + А)-1 ограничен [10, Теорема 1,16], Тогда

| | Р* | |оо= \\(1 + АГ1р\\ < ||(/ + А)-1Г

„V- . r„ „V- . „ и. и < M „,„

Кроме того, поступая точно так, как и в доказательстве неравенства (3,2), можно показать, что

ш (Rp*,h) < M \\р*\\^ h |Ьhl

и

ш (Qp*,h) <М\\р*\\h |Ьhl. Тогда, учитывая неравенства (см, [10, Теорема 2,12], [10, Теорема 2,16])

ш (Sp*,h) <M\\р*\\те h |ln hl

и

ш (Kp*,h) <M\\р*\\те h |ln hl ,

находим:

i , - \ ,, lnn „,.. „.. lnn

ш[АрnJ <M\\р*\\ж — <M\\/\\те —

Значит,

(р*, — ) = ш (p — Ар*, — ) <ш\р, — ) + ш (Ар*, — ) n n n n

w )

<ш\р,-\ +M

M

""•ni +

ln n

n

В результате, принимая во внимание полученные выше оценки, имеем:

5п<М1ш[{, - ] +

□

п / ~ п

Теорема доказана

Непосредственно из теоремы 3,2 вытекает

Следствие 3.1. Пусть х0 Е Ж2\1Э и г* = (г*, г**,..., гП )т является решением системы, алгебраических уравнений (3,1). Тогда, последовательность

2 п

и,п(хо) = -—- > ' Ф(Хо,Х\

n

п /--/h — \ 2 . п

^Ф(Х0,Х (Т3))^(х[ (т3))2 + (х2 (т3))2z* + гр( — £

j=i \ n J j=1

дф (хо,х (tj)) д'л (х (tj))

(

\

Y, Ф(Х (Tj) ,Х (тт))^(х[ (тт))2 + (х2 (тт))2z*m у/х (Tj))2 + (Х2 (Tj))2

, m=1 \m=j

/

сходится к значению и (х0) решения и (х) смешанной краевой задачи, для, уравнения Лапласа, в точке х0, причем,

1ип (хо) — и (хо)l <М[ш[/,п) +

К*—)+■ ^

эо

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. R.J. Hevdarov. On solvability of an external problem with impedance boundary condition for Helmholtz equation by integral equations method // Proceedings of IMM of NAS of Azerbaijan. 42:1, 3-9 (2016).

2. Э.Г. Халилов. Конструктивный метод решения краевой задачи для уравнения Гельмгольца с импедансным условием // Дифференциальные уравнения. 54:4, 544-555 (2018).

3. Э.Г. Халилов. Обоснование метода коллокации для одного класса поверхностных интегральных уравнений // Математические заметки. 107:4, 604 - 622 (2020).

4. Е.Н. Khalilov. On approximate solution of external Dirichlet boundary value problem for Laplace equation by collocation method // Azerbaijan Journal of Mathematics. 5:2, 13-20 (2015).

5. R. Kress. Boundary integral equations in time-harmonic acoustic scattering // Mathematical and Computer Modeling. 15: 3-5, 229-243 (1991).

6. Н.И. Мусхелешвили. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Физ. - мат. литература. 1962.

7. B.C. Владимиров. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1976.

8. Е.Н. Khalilov, M.N. Bakhshaliveva. Quadrature formulas for simple and double layer logarithmic potentials // Proceedings of IMM of NAS of Azerbaijan. 45:1, 155-162 (2019).

9. Ю.А. Кустов, Б.И. Мусаев Кубатурная формула для двумерного сингулярного интеграла и ее приложения // Деп. в ВИНИТИ. 4281-81, 60 с. (1981).

10. Д. Колтон, Р. Кресс. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир. 1987.

11. Г.М. Вайникко. Регулярная сходимость операторов и приближенное решение уравнений // Итоги науки и техники. Математический анализ. 16, 5-53 (1979).

Халилов Эльнур Гасан ог.пл.

Азербайджанский государственный университет нефти и промышленности,

пр. Азадлыг, 20,

AZ 1010, г. Баку, Азербайджан

E-mail: [email protected]

Бахшалыева Мехпара Нуерат кызы,

Азербайджанский государственный университет нефти и промышленности,

пр. Азадлыг, 20,

AZ 1010, г. Баку, Азербайджан

E-mail: [email protected]