CC BY
2
ФИЗИКА PHYSICS
УДК 539.2
DOI 10.24147/1812-3996.2022.27(3).16-26
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕРАВНОВЕСНОГО КРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ СИЛЬНО НЕУПОРЯДОЧЕННОЙ ТРЕХМЕРНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ МОДЕЛИ ГЕЙЗЕНБЕРГА
В. В. Прудников, П. В. Прудников, В. В. Хитринцева
Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, г. Омск, Россия
Аннотация. Представлены результаты численного Монте-Карло исследования проявления сильного структурного беспорядка в неравновесном критическом поведении трехмерной анизотропной модели Гейзенберга со спиновой концентрацией р = 0.5 при эволюции из высокотемпературного и низкотемпературного начального состояния. Показано, что наличие сильного беспорядка изменяет характеристики неравновесного критического поведения анизотропной модели с анизотропией типа «легкая ось» по сравнению как с чистой анизотропной, так и изотропной моделями Гейзен-берга.
Информация о статье
Дата поступления 29.09.2022
Дата принятия в печать 13.10.2022
Дата онлайн-размещения 20.12.2022
Ключевые слова
Метод Монте-Карло, неравновесное критическое поведение, трехмерная анизотропная модель Гейзенберга, дефекты структуры, эффекты старения
Финансирование
Исследование выполнено по госзаданию Минобрнауки РФ (соглашение № 0741-2020-0002)
NONEQUILIBRIUM CRITICAL BEHAVIOUR OF STRONGLY DILUTED THREE-DIMENSIONAL ANISOTROPIC HEISENBERG MODEL
V. V. Prudnikov, P. V. Prudnikov, V. V. Khitrintseva
Dostoevsky Omsk State University, Omsk, Russia
Article info Abstract. The results of a Monte Carlo study of strongly structural disorder influence on
Received nonequilibrium critical behavior of three-dimensional anisotropic Heisenberg models with
29.09.2022 spin concentration p = 0.5 are presented with its evolution from high and low temperature
initial state. It is shown that presence of strongly disorder changes characteristics of Accepted nonequilibrium critical behavior of anisotropic model with easy axis anisotropy type in com-
13.1°.2°22 parison with both pure anisotropic and isotropic Heisenberg models.
Available online 20.12.2022
Keywords
Monte Carlo method, nonequilibrium critical behaviour, three-dimensional anisotropic Heisenberg model, defects, aging
Acknowledgements
The reported study was funded by the Ministry of Education and Science of Russian Federation in the framework of the state assignment (No. 0741-2020-0002)
1. Введение
В настоящее время интерес исследователей вызывает поведение систем с медленной динамикой, поскольку для таких систем характерно проявление эффектов старения, а также нарушение флук-туационно-диссипативной теоремы. Кроме того, величины, описывающие поведение систем с медленной динамикой, характеризуются аномально большими и долгоживущими флуктуациями, сильно коррелирующими между собой, и введение малого возмущения приводит к изменению критического поведения. Наличие замороженных структурных дефектов в изучаемых образцах привело к необходимости рассмотрения классов универсальности критического поведения систем для возможности их систематизации. По критерию Харриса [1] изменение критического поведения систем возможно даже при введении малого количества дефектов системы, если критический индекс теплоемкости чистой системы 2 — йу = а > 0, где й - пространственная размерность системы, V - критический индекс корреляционной длины. Данный критерий выполняется только для систем, описываемых трехмерной моделью Изинга, что нашло подтверждение в результатах экспериментальных, теоретических ренормгруппо-вых и численных Монте-Карло исследований [2-7].
Для систем, описываемых трехмерной изотропной моделью Гейзенберга, известны значения критического показателя теплоемкости [8]: а = — 0.122(10), рассчитанного ренормгруппо-выми методами, а = — 0.1339(33), полученного методами Монте-Карло, а = — 0.135(20), измеренного экспериментально. В результате влияние некоррелированного замороженного беспорядка оказывается несущественным для критического поведения модели Гейзенберга, и оно характеризуется значениями критических показателей чистой модели. Однако, исследование чистой анизотропной трехмерной модели Гейзенберга [9] показало, что трехмерная анизотропная модель Гейзенберга является изингоподобной, в связи с этим влияние некоррелированных замороженных дефектов структуры на неравновесное критическое поведение системы требует детального рассмотрения.
2. Исследование неравновесного критического поведения
Ранее нами было рассмотрено влияние слабого структурного беспорядка на неравновесное критическое поведение трехмерной анизотропной модели Гейзенберга (см.: [10]). Было показано, что даже малая концентрация дефектов структуры, а именно 10 %, приводит к существенным изменениям критического поведения. Данная работа посвящена исследованию неравновесного критического поведения системы с сильным структурным беспорядком, где концентрация дефектов составляет 50 %.
Гамильтониан ферромагнитной модели Гей-зенберга с анизотропией типа «легкая ось» и вмороженными дефектами структуры задается в следующем виде:
N
Н = 4^ Р1Р] [(1 — + +
а,])
+5?5[], (1)
где ] > 0 - константа обменного взаимодействия; Б?, Б?, Б? - компоненты трехмерного единичного вектора спина ^, находящегося в ¿-м узле кристаллической решетки; {1,]) указывают на то, что суммирование проводится по ближайшим соседям; числа заполнения вводятся как случайные числа, принимающие значения 0 или 1: р^ принимается равным 1, если в ¿-м узле находится спин, и 0 в случае его отсутствия (магнитный атом замещен немагнитным атомом примеси); Д - безразмерный параметр анизотропии, в данной работе Д = 0.63 [11].
Для исследования неравновесного критического поведения необходимо знание критической температуры Тс. Для определения значения Тс применялся метод кумулянтов Биндера 4-го порядка, поскольку кумулянты имеют важную скейлинговую форму и4(Т,Ь) = и(Ь1/у(Т — Тс)), позволяющую определить значение критической температуры для бесконечной системы на основе пересечения кривых и4(Т,Ь) для систем с различными Ь.
Кумулянт Биндера 4-го порядка задается соотношением [12]:
- 17
ил
(2)
2 Г М2(Т) где Мп - п-й момент намагниченности - описыва ется выражением
Мп =
>
(3)
В выражении (3) угловые скобки обозначают статистическое усреднение по шагам Монте-Карло в состоянии равновесия при фиксированном распределении дефектов, а квадратные - усреднение по различным конфигурациям дефектов, N = р1? -число спинов в решетке. Дефекты распределялись каноническим образом в соответствии с функцией распределения Р(р{) = (1 - р)8(рд + 8(рд, где р = (р1) задает величину спиновой концентрации в системе. Положение дефектов структуры фиксируется для отдельной конфигурации. Рассчитываемые термодинамические и корреляционные характеристики получаются дополнительным усреднением по различным конфигурациям дефектов.
Для получения критической температуры Тс для анизотропной модели Гейзенберга со спиновой концентрацией р = 0.5 осуществлялось компьютерное моделирование систем с различными линейными размерами кубической решетки Ь = 24, 32,40 и реализацией усреднения по 2000 примесным конфигурациям и 1 прогонке для каждой примесной конфигурации для Ь = 24, 32 и усреднения по 700 примесным конфигурациям и 1 прогонке для каждой примесной конфигурации для Ь = 40.
На рис. 1 представлены графики температурной зависимости кумулянтов Биндера и4(Т,Ь) с шагом по температуре АТ = 0.005. Для фазовых переходов второго рода кривые температурной зависимости кумулянтов имеют некоторую область пересечения для разных Ь - треугольник, - близкую к критической температуре Тс. В результате была определена критическая температура Тс(р = 0.5) = 0.7740(3).
Для исследования неравновесного критического поведения в качестве характеристик неравновесного процесса рассматривались такие величины, как:
• намагниченность
M(t) =
N
автокорреляционная функция
C(t,tw) =
1 J
1=1
(4)
(5)
N N
Рис. 1. Температурная зависимость кумулянтов Биндера
и4(Т,Ц) для различных линейных размеров I = 24,32,40 для трехмерной анизотропной модели Гейзенберга со спиновой концентрацией р = 0.5 с шагом АТ = 0.005 и линейной аппроксимацией для значений и4(Т,1) в окрестности критической температуры Тс = 0.7740(3) (на вставках)
• динамическая восприимчивость, являющаяся интегральной функцией отклика, расчитывалась с применением алгоритма глауберовской динамики [13]:
1 '
X(t, tw) =—![(pi^i(t)A^i(tw)>],
c i=i
iw / \ bSi (tw) = Mi (o))
(6)
(7)
1=1
где угловые скобки обозначают статистическое усреднение по реализациям начального состояния, а квадратные скобки - усреднение по примесным конфигурациям.
Проведенные ранее исследования критической релаксации в трехмерной чистой модели Гей-зенберга с анизотропией типа «легкая ось» показали, что медленной критической динамикой характеризуется только составляющая намагниченности М2(Ь) вдоль оси анизотропии (см.: [9]). Это приводит к тому, что ¿-составляющая спинов является долго-живущей и определяет долговременное поведение рассматриваемых характеристик.
Ранее было показано, что для случая слабо неупорядоченных систем анизотропная модель Гейзенберга с анизотропией типа «легкая ось» и показателем анизотропии Д = 0.63 демонстрирует схожее поведение со слабо неупорядоченной трехмерной
1=1
1=1
п
1=1
1=1
моделью Изинга, и критические индексы, описывающие поведение систем, соотносятся в рамках статистических погрешностей (см.: [10]). Для сильно неупорядоченной системы ожидается аналогичное сходство, но уже с сильно неупорядоченной трехмерной моделью Изинга.
Для определения критических индексов проводилось моделирование намагниченности при эволюции из различных начальных состояний. Для определения критического показателя ß/vz рассматривалось неравновесное поведение намагниченности при эволюции из полностью упорядоченного низкотемпературного состояния с ш0 = 1.0. На рис. 2 представлена временная зависимость z-ком-поненты намагниченности Mz(t) для системы со спиновой концентрацией р = 0.5. Линейная аппроксимация данных на участке t 6 [500,2000] позволяет определить ß/vz = 0.1736(4).
100 I, МСв/Б
Рис. 2. Временная зависимость г-составляющей намагниченности М2 для систем со спиновой концентрацией р = 0.5 с аппроксимацией данных на отрезке £ е [500,2000]
Помимо критического показателя р/уг в ходе работы определялись динамический критический индекс г и 0', задающий степенной рост намагниченности при эволюции из высокотемпературного начального состояния.
Критический индекс г можно определить с помощью кумулянта Биндера второго порядка У2, имеющего степенную зависимость:
(8)
Аппроксимация данных, представленных на рис. 3, на временном диапазоне £ е [5720,7960]
позволяет определить ^/г = 1.066(29). Учитывая, что для трехмерной анизотропной модели Гейзен-берга а = 3, г = 2.81(7).
100
1, МБ б/Б
Рис. 3. Временная зависимость У2 для систем со спиновой концентрацией р = 0.5 с аппроксимацией данных на отрезке £ е [5720,7960]
Для определения значения критического индекса 0' рассматривалось поведение системы при эволюции из различных начальных состояний с начальной намагниченностью ш0 = 0.003, 0.005, 0.007 (рис. 4). Полученные 0'(шо) для каждого ш0 экстраполировались к ш0 ^ 0. В результате аппроксимации и последующей экстраполяции было получено значение 0' = 0.165(7).
В ходе работы были определены критические показатели анизотропной модели Гейзенберга с р = 0.5. На основе представленных в таблице значений критических показателей можно сделать вывод, что для анизотропной модели Гейзенберга с анизотропией «легкая ось» и спиновой концентрацией р = 0.5 полученные значения соотносятся со значениями для сильно неупорядоченной модели Изинга, что свидетельствует о том, что модели относятся к одному классу универсальности критического поведения.
Значения критических показателей
Анизотропная модель Гейзенберга с р = 0.5 Сильно неупорядоченная модель Изинга
ß/vz 0.1736(4) 0.173(14)
e' 0.165(7) 0.167(18)
z 2.81(7) 2.663(30)
Рис. 4. (о) Временная зависимость намагниченности при эволюции из высокотемпературных начальных состояний с т0 = 0.003,0.005,0.007; (б) значения в'(т0) и их экстраполяции к т0 ^ 0
Рассматриваемая в качестве характеристики неравновесного критического поведения автокорреляционная функция отражает в своем поведении проявление эффектов старения, являющихся одной из характерных черт для систем с медленной динамикой. Поскольку анизотропная модель Гейзенберга с анизотропией типа «легкая ось» и параметром анизотропии Д = 0.63 является системой с сильной одноосной анизотропией и z-составляющая спина является долгоживущей, то особенности неравновесного критического поведения для автокорреляционной функции должны проявляться только в автокорреляционной функции Czz для z-со-ставляющих спинов:
Czz(P, tw) =
{1^PiSf(t)Sf(tw))
i=1
N
{1^PiS!(t)){1^Pist(tw))
(9)
1=1 1=1 Так, на рис. 5 представлена временная зависимость г-компонент автокорреляционной функции С22(Ь,ЬШ) для системы со спиновой концентрацией р = 0.5 при эволюции из высокотемпературного начального состояния с намагниченностью т0 = = 0.001 и низкотемпературного начального состояния с намагниченностью т0 = 1.0.
100 тиии 1ииии 1 ю
•" МСв/в I. ^ МСз/8
а) 6)
Рис. 5. Временная зависимость г-компонент автокорреляционной функции С22(Ь, для систем с р = 0.5 при эволюции из (о) высокотемпературного и (б) низкотемпературного начальных состояний при временах ожидания Ь„ = 30,50,100,200 МСб/б
В поведении автокорреляционной функции Czz(t> tw) проявляются эффекты старения, т. е. временное спадание автокорреляционной функции замедляется с увеличением времени жизни образца tw. Сопоставление неравновесной критической релаксации автокорреляционной функции при эволюции из различных начальных состояний, высокотемпературного состояния с т0 = 0.001 и полностью упорядоченного низкотемпературного т0 = 1.0 показывает, что кривые Czz для случая эволюции системы из низкотемпературного начального состояния с т0 = 1.0 характеризуются более сильным замедлением на временах t — tw~tw и ослаблением влияния времен ожидания tw, чем при эволюции из высокотемпературного начального состояния. Данная особенность связана с более сильным влиянием дефектов структуры на эффекты корреляции по сравнению со слабо неупорядоченной анизотропной моделью Гейзенберга с р = 0.9.
Так, влияние дефектов структуры на поведение системы можно наблюдать при рассмотрении спиновой и магнитной составляющих автокорреляционной функции:
" ^ N
css(t, tw) = (^ PiSzi(t) Szi(tw))
i=1
1 N 1 N (1^PiSzi(t))(i^piSzi(tw))
C-mm iP, tw)
(10)
(11)
1=1 1=1 По графикам этих двух составляющих автокорреляционной функции С22(Ь,ЬШ), представленным на рис. 6, видно, что на временах наблюдения значения спиновой С88{р,Ьш) и магнитной Стт(Ь,Ьш) составляющих сближаются, но разница между значениями остается существенной, определяемой высокой концентрацией дефектов. В случае чистой анизотропной модели Гейзенберга спиновая и магнитная составляющие компенсируют друг друга в долговременном режиме на временах с [9]. Данная особенность в поведении автокорреляционной функции для структурно неупорядоченных систем объясняется пиннингом доменных стенок на дефектах структуры [14].
Из теории неравновесного критического поведения известно [15], что в режиме старения, реализующемся для времен Ь — , автокорреляционная функция описывается соотношением
С(1,1т)~1т-2в/™¥с(1/1т) (12)
со скейлинговой функцией РС(Ь/ЬШ), убывающей на временах Ь — » 1 по степенному закону
Fc(t/tw)~(t/tw)-c",
(13)
100 I - ^ МСэЛз
Рис. 6. Сравнение временных зависимостей составляющих С55(Ь,ЬК) и Стт(Ь,Ьк) автокорреляционной функции для системы со спиновой
концентрацией р = 0.5 при эволюции анизотропной модели Гейзенберга из низкотемпературного начального состояния
и с показателем = d/z — 0' при эволюции системы из высокотемпературного начального состоя-
(ьт)
ния с т0 « 1 [12; 16] и показателем с^ = = 1 + (3(5 + при эволюции системы из низко-
температурного начального состояния с т0 = 1.0 [17-19].
В ходе исследования была проведена проверка скейлинговых соотношений для автокорреляционной функции (12) в случае сильно неупорядоченной анизотропной модели Гейзенберга. На рис. 7 (о, б) представлены скейлинговые зависимости от Ь/Ьш при эволюции системы из начального состояния с т0 = 0.001 и т0 = 1.0. Результаты расчетов для случая эволюции из высокотемпературного состояния и низкотемпературного состояния демонстрируют коллапс данных лишь на временах до режима старения Ь — В долго-
временном режиме с Ь — Ьш» Ьш» 1 полного совпадения данных на некоторой универсальной кривой не происходит. Таким образом, полученные данные демонстрируют нарушение скейлинговых соотношений, характерных для канонического старения, что связано с сильным пиннингом спиновых возбуждений на дефектах структуры.
Для восстановления коллапса данных в долговременном режиме необходимо введение более сложной скейлинговой зависимости в виде Рс(Ь/(£щ)^). Совпадение данных для различных для эволюции из высокотемпературного начального состояния реализуется при значении показателя ц = 1.5(1), а в случае эволюции из низкотемпера-
турного начального состояния при ц = 3.2(1). Из рис. 8 видно, что восстановление коллапса данных для автокорреляционной функции в долговремен-
ном режиме с £ говой функции РС(Ь/(ЬШ)^) разрушает коллапс этих же данных для времен Ь — <
а) б)
Рис. 7. Скейлинговые зависимости для автокорреляционной функции Ьк2в/у2С22(Ь,Ьк) от при эволюции из (а) низкотемпературного начального состояния и (б) высокотемпературного начального состояния
а) б)
Рис. 8. Эффект сверхстарения, наблюдаемый в скейлинговом поведении автокорреляционной функции Ък22в/у2С22(1,1к) в зависимости от при эволюции из (а) низкотемпературного начального состояния и (б) высокотемпературного начального состояния
Случай скейлинговой зависимости, характеризуемой показателем ц > 1, классифицируется в теории неравновесных процессов как явление сверхстарения [20]. Таким образом, поведение автокорреляционной функции для сильно неупорядоченной анизотропной модели Гейзенберга c р = 0.5 описывается теорией сверхстарения. Кроме того, проявление сверхстарения в эволюции системы из высокотемпературного начального состояния является специфической особенностью анизотропной модели Гейзенберга с р = 0.5 по сравнению с сильно неупорядоченной трехмерной моделью Изинга [18].
Помимо автокорреляционной функции, в качестве характеристики неравновесного критического процесса рассматривается динамическая восприимчивость x(t,tw). На рис. 9 представлена временная зависимость динамической восприимчивости X(t, tw) для структурно неупорядоченной анизотропной модели Гейзенберга со спиновой концентрацией р = 0.5 для различных времен ожидания tw при эволюции системы из высокотемпературного т0 = 0.001 начального состояния. По графикам видно, что с увеличением времени ожидания замедляется временное спадание динамической воспри-
имчивости, и это указывает на проявление эффектов старения в поведении данной характеристической функции.
100 t -t,,, MCs/s
Рис. 9. Временная зависимость динамической восприимчивости Tcx(t,tw) для различных времен ожидания tw = 30,50,100,200 MCs/s при эволюции анизотропной модели Гейзенберга со спиновой концентрацией р = 0.5 из высокотемпературного начального состояния
Принципиально важным проявлением медленной динамики в поведении системы служит нарушение флуктуационно-диссипативной теоремы (далее -ФДТ), когда связь функции отклика системы на внешнее возмущение R(t, tw) и корреляционной функции C(t, tw) осуществляется через введение дополнительной величины X(t,tw), получившей название флуктуационно-диссипативного отношения (далее -ФДО):
R(t,tw) =
X(t,tw)dC(t,tw)
T
dt.
(14)
ФДО рассматривается как мера нарушения ФДТ
[21].
X(t,tw) = TR(t,tw)
1
dC(t,twy dt„,
(15)
Для времен Ь > » Ьге1 ФДТ устанавливает Ьщ) = 1. Однако в общем случае для времен « Ьге1 Х(Ь,ЬШ) Ф 1 асимптотическое значение ФДО, вводимое как
= lim limX (t, tw),
(16)
оказывается важной универсальной характеристикой неравновесных процессов в различных системах.
Поскольку вместо функции отклика рассматривается динамическая восприимчивость, ФДО может быть определено как [15]
xœ(tw)=\im тс
(17)
откуда можно определить предельное флуктуаци-онно-диссипативное отношение (16).
На заключительном этапе исследования был проведен расчет флуктуационно-диссипативного отношения. Графики параметрической зависимости динамической восприимчивости Тсх(Ь,Ьш) от автокорреляционной функции С22(Ь,ЬШ), представленные на рис. 10, позволяют по асимптотической кривизне определить значения ФДО Х(ЬШ) для каждого времени ожидания Ьш.
Рис. 10. Параметрическая зависимость динамической восприимчивости Тсх(Ь,Ьк) от автокорреляционной функции Сгг^Лы) при эволюции системы из высокотемпературного т0 « 1.0 начального состояния при временах ожидания
гк= 30,50,100,200 МСБ/Б
Применяя к полученным значениям Х(ЬШ) процедуры линейной аппроксимации и последующей экстраполяции Х(ЬШ ^ &>), было определено значение предельного ФДО Хт = 0.443(2).
Значения предельного ФДО X™ = 0.443(2) для анизотропной модели Гейзенберга со спиновой концентрацией р = 0.5 и предельного ФДО Хт = 0.438(28) [22] для трехмерной модели Изинга со спиновой концентрацией р = 0.5 соотносятся в рамках погрешности. Можно говорить о том, что модели принадлежат к одному классу универсальности критического поведения.
В заключение отметим, что в представленной работе было осуществлено численное Монте-Карло исследование особенностей влияния дефектов структуры на неравновесное критическое поведение трехмерной анизотропной модели Гейзенберга со спиновой концентрацией р = 0.5 при эволюции из
различных начальных состояний. Показано, что анизотропная модель Гейзенберга с р = 0.5 и сильно неупорядоченная трехмерная модель Изинга относятся к одному классу универсальности критического поведения, однако анизотропная модель Гей-зенберга с р = 0.5 имеет специфическую особенность при эволюции из высокотемпературного состояния - поведение автокорреляционной функции описывается теорией сверхстарения в отличие от поведения автокорреляционной функции трехмерной сильно неупорядоченной модели Изинга, которое характеризуется теорией канонического старения. Таким образом, присутствие дефектов изменяет характеристики неравновесного критического поведения анизотропной модели Гейзенберга с анизотропией типа «легкая ось» при эволюции как из высокотемпературного, так и низкотемпературного начальных состояний.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Harris A. B. Effect of random defects on the critical behaviour of Ising models // Journal of Physics C: Solid State Physics. 1974. Vol. 7, no. 9. P. 1671-1692. DOI: 10.1088/0022-3719/7/9/009.
2. Фольк Р., Головач Ю., Яворский Т. Критические показатели трехмерной слабо разбавленной замороженной модели Изинга // Успехи физических наук. 2003. Т. 173. С. 175-200.
3. Муртазаев А. К., Камилов И. К., Бабаев А. Б. Критическое поведение трехмерной модели Изинга с вмороженным беспорядком на кубической решетке // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2004. Т. 126. С. 1377-1383.
4. Прудников В. В., Прудников П. В., Вакилов А. Н., Криницын А. С. Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной неупорядоченной модели Изинга // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2007. Т. 132. С. 417-425.
5. Прудников В. В., Прудников П. В., Вакилов А. Н. Теоретические методы описания неравновесного критического поведения структурно неупорядоченных систем. М. : Физматлит, 2013. 316 с.
6. Berche P. E., Chatelain C, Berche B., Janke W. Bond dilution in the 3D Ising model: a Monte Carlo study // The European Physical Journal B - Condensed Matter and Complex Systems. 2004. Vol. 38, iss. 3. P. 463-474. DOI: 10.1140/epjb/e2004-00141-x.
7. Hasenbusch M., Toldin F.P., Pelissetto A., Vicari E. The universality class of 3D site-diluted and bond-diluted Ising systems // Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. 2007. Vol. 2007. Art. 02016. DOI: 10.1088/1742-5468/2007/02/P02016.
8. Pelissetto A., Vicari E. Critical phenomena and renormalization-group theory // Physics Reports. 2002. Vol. 368, № 6. P. 549-727.
9. Прудников В. В., Прудников П. В., Лях А. С. Исследование влияния начальных состояний, анизотропии и дефектов структуры на неравновесное критическое поведение трехмерной модели Гейзенберга // Физика твердого тела. 2020. Т. 62, № 5. С. 732-747.
10. Прудников В. В., Прудников П. В., Хитринцева В. В. Неравновесное критическое поведение слабонеупорядоченной трехмерной анизотропной модели Гейзенберга // Вестник Омского университета. 2022. Т. 27, № 2. С. 31-39. DOI: 10.24147/1812-3996.2022.27(2).31-39.
11. Прудников П. В., Прудников В. В., Медведева М. А. Размерные эффекты в ультратонких магнитных пленках // Письма в ЖЭТФ. 2014. Т. 100, вып. 7. C. 501-505.
12. Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е. А. Численные исследования влияния дефектов структуры на эффекты старения и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы в неравновесном критиче-
Вестник Омского университета 2022. Т. 27, № 3. С. 16-26
ISSN 1812-3996-
ском поведении трехмерной модели Изинга // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2014. Т. 145. C. 462-471.
13. Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Pospelov E. A., Lyakh A. S. Simulation of non-equilibrium critical behavior of the 3D isotropic and anisotropic Heisenberg models // Journal of Physics: Conference Series. 2021. Vol. 1740 : International Conference on Computer Simulation in Physics and beyond (CSP 2020) 12-16 October 2020, Moscow, Russia. Art. 012004. DOI: 10.1088/1742-6596/1740/1/012004.
14. Прудников В. В., Прудников П. В., Демьяненко А. Д., Ковалев Ю. В. Влияние дефектов структуры на неравновесное критическое поведение трехмерной анизотропной модели Гейзенберга // Вестник Омского университета. 2020. Т. 25, № 2. С. 13-23. DOI: 10.24147/1812-3996.2020.25(2).13-23.
15. Прудников В. В., Прудников П. В., Мамонова М. В. Особенности неравновесного критического поведения модельных статистических систем и методы их описания // Успехи физических наук. 2017. Т. 187, вып. 8. С. 817-855.
16. Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Pospelov E. A., Vakilov A. N. Influence of disorder on critical ageing in 3D Ising model // Physics Letters A. 2015. Vol. 379, iss. 8. P. 774-778. DOI: 10.1016/j.physleta.2015.01.005.
17. Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е. А., Маляренко П. Н. Эффекты старения и памяти в неравновесном критическом поведении структурно неупорядоченных магнетиков при эволюции из низкотемпературного начального состояния // Письма в ЖЭТФ. 2015. Т. 102. С. 192-201.
18. Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Pospelov E. A. Influence of disorder on aging and memory effects in non-equilibrium critical dynamics of 3D Ising model relaxing from an ordered state // Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. 2016. Vol. 2016. Art. 043303. DOI: 10.1088/1742-5468/2016/04/043303.
19. Calabrese P., Gambassi A., Krzakala F. Critical ageing of Ising ferromagnets relaxing from an ordered state // Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. 2006. Vol. 2006. Art. 06016. DOI: 10.1088/1742-5468/ 2006/06/P06016.
20. Henkel M., Pleimling M. Non-equilibrium phase transitions. Heidelberg : Springer, 2010. 544 p.
21. Маляренко П. Н. Численные исследования неравновесного критического поведения структурно неупорядоченных систем : дис. ... канд. физ.-мат. наук. Казань, 2020. 136 с.
22. Прудников В. В., Прудников П. В., Маляренко П. Н. Исследование влияния различных начальных состояний и дефектов структуры на характеристики неравновесного критического поведения трехмерной модели Изинга // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2017. Т. 152. С. 1293-1308.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Прудников Владимир Васильевич - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической физики, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: prudnikv@univer.omsk.ru.
Прудников Павел Владимирович - доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры теоретической физики, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: prudnikov_pavel@mail.ru.
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Prudnikov Vladimir Vasiljevich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of the Department of Theoretical Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: prudnikv@univer.omsk.ru.
Prudnikov Pavel Vladimirovich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Professor of the Department of Theoretical Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: prudnikov_pavel@mail.ru.
Хитринцева Валерия Вадимовна - студент физического факультета, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: valeri_valeria@mail.ru.
Khitrintseva Valeriya Vadimovna - student of the Faculty of Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: valeri_ valeria@mail.ru.
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Прудников В. В., Прудников П. В., Хитринцева В. В. Исследование неравновесного критического поведения сильно неупорядоченной трехмерной анизотропной модели Гейзенберга // Вестн. Ом. ун-та. 2022. Т. 27, № 3. С. 16-26. ЭО!: 10.24147/1812-3996. 2022.27(3).16-26.
FOR GTATIONS
Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Khitrintseva V. V. Nonequilibrium critical behaviour of strongly diluted three-dimensional anisotropic Heisenberg model. Vest-nik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2022, vol. 27, no. 3, pp. 16-26. DOI: 10.24147/1812-3996.2021.27(3).16-26. (In Russ.).
