CC BY
5
УДК 539.2
DOI 10.24147/1812-3996.2022.27(2).31-39
НЕРАВНОВЕСНОЕ КРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ
СЛАБО НЕУПОРЯДОЧЕННОЙ ТРЕХМЕРНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ МОДЕЛИ ГЕЙЗЕНБЕРГА
В. В. Прудников, П. В. Прудников, В. В. Хитринцева
Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, г. Омск, Россия
Информация о статье
Дата поступления 03.07.2022
Дата принятия в печать 04.07.2022
Дата онлайн-размещения 08.09.2022
Ключевые слова
Метод Монте-Карло, неравновесное критическое поведение, трехмерная анизотропная модель Гейзенберга, дефекты структуры, эффекты старения
Благодарности
Исследование выполнено по госзаданию Минобрнауки РФ (соглашение № 0741-2020-0002)
Аннотация. Представлены результаты численного Монте-Карло исследования проявления слабого структурного беспорядка в неравновесном критическом поведении трехмерной анизотропной модели Гейзенберга со спиновой концентрацией р = 0.9 при эволюции из высокотемпературного начального состояния. Показано, что наличие даже слабого беспорядка изменяет характеристики неравновесного критического поведения анизотропной модели с анизотропией типа «легкая ось» по сравнению как с чистой анизотропной, так и изотропной моделями Гейзенберга.
NONEQUILIBRIUM CRITICAL BEHAVIOR OF WEAKLY DILUTED THREE-DIMENSIONAL ANISOTROPIC HEISENBERG MODEL
V. V. Prudnikov, P. V. Prudnikov, V. V. Khitrintseva
Dostoevsky Omsk State University, Omsk, Russia
Abstract. The results of a Monte Carlo study of weakly structural disorder influence on nonequilibrium critical behavior of three-dimensional anisotropic Heisenberg models with spin concentration p = 0.9 are presented with its evolution from high temperature initial state. It is shown that presence of even weakly disorder changes characteristics of nonequilibrium critical behavior of anisotropic model with easy axis anisotropy type in comparison with both pure anisotropic and isotropic Heisenberg models.
Keywords
Monte Carlo method, nonequilibrium critical behavior, three-dimensional anisotropic Heisenberg model, defects, aging
Acknowledgements
The reported study was funded by the Ministry of Education and Science of Russian Federation in the framework of the state assignment (No. 0741-2020-0002)
Article info
Received 03.07.2022
Accepted 04.07.2022
Available online 08.09.2022
1.Введение
Изучение критического поведения магнитных систем с замороженным структурным беспорядком ввело дополнительные факторы, влияющие на систематизацию систем по классам универсальности критического поведения. Было показано, что присутствие даже слабого некоррелированного беспорядка может изменить критическое поведение систем, для которых выполняется критерий 2-Ь\=а>0, где Ь - пространственная размерность системы, V - критический индекс корреляционной длины и а - критический индекс теплоемкости для чистой системы [1]. Данный критерий выполняется только для систем, описываемых трехмерной моделью Изинга, что нашло подтверждение в результатах экспериментальных, теоретических ре-нормгрупповых и численных Монте-Карло исследований [2-7].
Для систем, описываемых трехмерной изотропной моделью Гейзенберга, известны значения критического показателя теплоемкости: а = - 0.122(10) -рассчитанного ренормгрупповыми методами, а = - 0.1339(33) - полученного методами Монте-Карло, а = - 0.135(20) - измеренного экспериментально [8]. В результате влияние некоррелированного замороженного беспорядка оказывается несущественным для критического поведения модели Гейзенберга, оно характеризуется значениями критических показателей чистой модели.
2. Исследование неравновесного критического поведения
В данной работе ставится задача исследования влияния слабого структурного беспорядка на неравновесное критическое поведение трехмерной анизотропной модели Гейзенберга. Предсказывается, что посредством учета анизотропии типа «легкая ось» присутствие структурного беспорядка в трехмерной модели Гейзенберга даже при спиновой концентрации р = 0.9 (концентрация дефектов 10 %) вызовет изменение универсальных характеристик критического поведения.
Гамильтониан неупорядоченной ферромагнитной модели Гейзенберга с анизотропией типа «легкая ось» задается выражением
N
Н=-[(1 -А)(БХБ; + Б'Б/) + Б.'Б/], (1)
где Л > 0 - константа обменного взаимодействия; Б', Б? , Б* - компоненты трехмерного единичного вектора спина Б1., находящегося в /-м узле кристал-
лической решетки; (/',/) указывают на то, что суммирование проводится по ближайшим соседям; числа заполнения p вводятся как случайные числа, принимающие значения 0 или 1: p принимается равным 1, если в ¿-м узле находится спин, и 0 в случае его отсутствия (магнитный атом замещен немагнитным атомом примеси); А - безразмерный параметр анизотропии, в данной работе А = 0.63 [9].
Для нахождения критической температуры для трехмерной анизотропной модели Гейзенберга со спиновой концентрацией p = 0.9 был применен метод кумулянтов Биндера [10], задаваемых соотношением
UA(T ,L) =-|3 -
M4(T) M2(T )2
(2)
где M4 - n-й момент намагниченности - описыва-
ется выражением
Mn =
N%
YJ,
(3)
В выражении (3) угловые скобки обозначают статистическое усреднение по шагам Монте-Карло в состоянии равновесия при фиксированном распределении дефектов, а квадратные - усреднение по различным конфигурациям дефектов, N = р1? -число спинов в решетке. Дефекты распределялись каноническим образом в соответствии с функцией распределения Р(р) = (1 -р)5(р.) + 5(р,.), где р = (р,)
задает величину спиновой концентрации в системе. Положение дефектов структуры фиксируется для отдельной конфигурации. Рассчитываемые термодинамические и корреляционные характеристики получаются дополнительным усреднением по различным конфигурациям дефектов.
Кумулянт и(ТД) имеет важную для описания поведения конечных систем скейлинговую форму ил (Т Д) = и^'" (Т - Тс)), которая указывает, что температурные зависимости кумулянта, полученные для систем с различными линейными размерами ¿, пересекаются при температуре, равной Т , в реальности в некоторой окрестности Тс, размер определяется статистическими погрешностями вычисления кумулянта и.
Для получения значения температуры фазового перехода Т для анизотропной модели Гейзенберга со спиновой концентрацией р = 0.9 осуществлялось компьютерное моделирование систем с различными
линейными размерами кубической решетки L = 16, 24, 36 и реализацией усреднения по 140 примесным конфигурациям и 10 прогонкам для каждой примесной конфигурации. На рис. 1 представлены графики температурной зависимости кумулянтов Биндера U(T,L) с шагом по температуре AT = 0.001 (о) и
шагом AT = 0.0005 (b). Для фазовых переходов второго рода кривые температурной зависимости кумулянтов имеют ярко выраженную зависимость от линейного размера решетки L и некоторую область пересечения - треугольник, - близкую к критической температуре Tc. В результате была определена критическая температура Tc(p = 0.9) = 1.48248(29).
а)
=>"0,7
▲ ▲
▲ A . • • A * • A А мго • *
■ I * * 4620 мам 1Ш v<&» I.4CM 1 «ню
■ L = 16 • L = 24 • L = 36 A A A A
Ь)
Рис. 1. Температурная зависимость кумулянтов Биндера и (ТД) для различных линейных размеров I = 16, 24, 36
для трехмерной анизотропной модели Гейзенберга со спиновой концентрацией р = 0.9 с шагом АТ = 0.001 (о) и АТ = 0.0005 (Ь) и линейной аппроксимацией для значений и„ (ТД) в окрестности критической температуры Тс = 1.48248(29) (на вставках)
Проведенные ранее исследования критической релаксации в трехмерной чистой модели Гейзенберга с анизотропией типа «легкая ось» показали, что медленной критической динамикой характеризуется только составляющая намагниченности М2(Г) вдоль оси анизотропии [11]. Это приводит к тому, что г составляющая спинов является долгожи-вущей и определяет долговременное поведение рассматриваемых характеристик.
Предполагается, что поведение анизотропной модели Гейзенберга с анизотропией «легкая ось» и показателем анизотропиии А= 0.63 и модели Изинга схожи, следовательно, критические индексы, описывающие поведение моделей, должны совпадать в рамках статистических погрешностй. Так, для определения показателя р/ VI рассматривалось неравновесное критическое поведение намагниченности. На рис. 2 представлена временная зависимость г-компоненты намагниченности М2 (Г) для системы со спиновой концентрацией р = 0.9. С использованием линейной аппроксимации было определено, что р = 0.9 соответствует р /\г = 0.249(3).
Рис. 2. Временная зависимость г-составляющей намагниченности М2 для систем со спиновой концентрацией р = 0.9 с аппроксимацией данных на отрезке Г е [3000,4800]
Известно, что для систем с медленной динамикой характерно проявление эффектов старения, которые отражаются в двухвременной зависимости автокорреляционной функции С(Г ) от времени ожидания ^ и времени наблюдения (Г -^). Следовательно, можно утверждать, что автокорреляционная функция является важной характеристикой при исследовании неравновесной критической динамики
Вестник Омского университета 2022. Т. 27, № 2. С. 31-39
-ISSN 1812-3996
системы. При моделировании автокорреляционная функция С$Д ) задается формулой:
C(t ) =
i N _
(4)
i" _ \/i«
Поскольку анизотропная модель Гейзенберга с типом анизотропии «легкая ось» и параметром анизотропии Д = 0.63 является системой с сильной одноосной анизотропией и г-составляющая спина является долгоживущей, то особенности неравновесного критического поведения для автокорреляционной функции должны проявляться только в автокорреляционной функции С для г-составляющих спинов:
С(t,tw)=
-I N
- ^ (t)^ (tw
1 N \ I 1 N
NЕ-*-,и Nps'
(5)
На следующем этапе было проведено численное исследование двухвременной зависимости автокорреляционной функции Сн^) структурно неупорядоченной анизотропной модели Гейзенберга со спиновой концентрацией р = 0.9 для различных времен ожидания ^ = 30, 50, 100, 200 MCs/s при эволюции систем из различных начальных состояний.
Так, на рис. 3 представлена временная зависимость г-компонент автокорреляционной функции С22) для системы со спиновой концентрацией р = 0.9 при эволюции из высокотемпературного начального состояния с намагниченностью т0 = 0.001 и низкотемпературного начального со-
стояния с намагниченностью m„
1.0.
В поведении автокорреляционной функции видно проявление эффектов старения, которые отражаются в двухвременной зависимости автокорреляционной функции Сн) от времени ожидания ^ и времени наблюдения ^ -^) и проявляются в замедлении временного спадания автокорреляционной функции при увеличении ^ . Сопоставление поведения автокорреляционной функции Сн) при эволюции системы из высокотемпературного и низкотемпературного начальных состояний показывает, что кривые Сн ^ ) имеют более сильную зависимость от времени ожидания для случая эволю-
ции системы из низкотемпературного начального состояния, нежели при эволюции системы из высокотемпературного начального состояния.
' ' '' I • • •
.-i-1........i-1.....
1» = 30
1„ = 50
' «» = 100
«i»= 200
100 t -1„. MCs/s
а)
100 t -t,„, MCs/s b)
Рис. 3. Временная зависимость z-компонент автокорреляционной функции Са(t,tn) для систем с p = 0.9 при эволюции из высокотемпературного (о) и низкотемпературного (b) начальных состояний при временах ожидания tw = 30,50,100,200 MCs/s
Автокорреляционную функцию можно разбить на две составляющие - спиновую и магнитную:
Cs (t,tw ) =
1 N
(И Л ) =
(6)
(7)
На рис. 4 представлены графики двух составляющих г-компонент автокорреляционной функции С2 $ ). По графикам видно, что на временах наблюдения ^ -t ) >t значения спиновой С кД ) и маг-
II \ № ' № 55 * ' № '
нитной Стт(t) составляющих сближаются, но полной компенсации не происходит, в отличие от со-
ставляющих для чистой анизотропной модели Гейзенберга [12]. Данное поведение автокорреляционной функции для структурно неупорядоченной анизотропной модели Гейзенберга при эволюции системы из низкотемпературного начального состояния объясняется пиннингом доменных стенок на дефектах структуры, происходящим при переходе от однодоменного состояния при T0 = 0 с начальной намагниченностью m0 = 1, к многодоменной флук-туационной структуре, возникающей при критической температуре T [12].
100
t -1„. MC s/s
Рис. 4. Сравнение временных зависимостей составляющих Css (t,tm ) и Cmm (t,tm ) втокорреляционной
функции для системы со спиновой концентрацией p = 0.9 при эволюции анизотропной модели Гейзенберга из низкотемпературного начального состояния
Из теории неравновесного критического поведения известно [13], что в режиме старения, реализующемся для времен [t—tw)~tw, автокорреляционная функция описывается соотношением
C(t,tw)~tw-2WvzFc(t/tw) (8)
со скейлинговой функцией Fc(t¡tw), убывающей на временах (t-t )»t » 1 со степенным законом
Fc[t/tw)~[t/twr- (9)
и с показателем c(HT 1 = d/z-9' при эволюции системы из высокотемпературного начального состояния с т0<к1 [10; 14] и показателем с^1' =l + ß(S + 2)/vz при эволюции системы из низкотемпературного начального состояния с т0 «1.0 [15-17].
Для подтверждения скейлинговой зависимости для автокорреляционной функции (8) для структурно неупорядоченной анизотропной модели Гейзенберга с p = 0.9 было осуществлено построение зависимости tw2p/vzCz(t,tw 1 от t/tw с использованием полученного
в ходе работы значения показателя р/\г = 0.249(3). На рис. 5 представлены результаты расчетов для случая эволюции системы из высокотемпературного и низкотемпературного начальных состояний. Результаты расчетов для случая эволюции из высокотемпературного начального состояния демонстрируют коллапс данных, полученных для различных ^, на соответствующих универсальных кривых, характеризуемых скейлинговыми функциями Гс (Г / ^).
а)
•г. о,1
3
t. = 30 t. = 50 t. = 100 t» = 200
1Л.
Ь)
Рис. 5. Скейлинговые зависимости для автокорреляционной функции (Г,С) от Г/
при эволюции из низкотемпературного начального (о) и высокотемпературного начального состояния (Ь)
Результаты расчетов для случая эволюции из низкотемпературного начального состояния демонстрируют коллапс лишь на временах до режима старения (t—tw)~tw. В долговременном режиме с (t-tw)^>tw^> 1 полного совпадения данных на некоторой универсальной кривой не происходит. Данное поведение связано с пиннингом доменных стенок на дефектах структуры при неравновесном изменении доменной структуры системы.
Представление скейлинговой зависимости для автокорреляционной функции в долговременном режиме в виде ^/(^)ц) позволяет получить совпадение данных для различных ^ при ц = 2.6(1). Такой случай скейлинговой зависимости, характеризуемой показателем ц> 1, классифицируется в теории неравновесных процессов как являение «сверхстарения» [18]. Из рис. 6 видно, что восстановление коллапса данных для автокорреляционной функции в долговременном режиме с (£-£„):»£„ через введение скейлинговой функции ^/(^ )ц) разрушает коллапс этих же данных для времен ^ - ^) < ^.
Рис. 6. Эффект «сверхстарения», наблюдаемый в скейлинговом поведении автокорреляционной функции
t,.,
'2Сг^) в зависимости от t /(^)ц при эволюции
системы из низкотемпературного начального состояния
В ходе работы были определены критические показатели анизотропной модели Гейзенберга с р = 0.9. На основе представленных в таблице значений критических показателей можно сделать вывод, что для анизотропной модели Гейзенберга с анизотропией «легкая ось» и спиновой концентрацией р = 0.9 полученные значения соотносятся со значениями для слабо неупорядоченной модели Изинга, что свидетельствует о том, что модели относятся к одному классу универсальности поведения.
Также стоит отметить, что значения показателей сп, полученные аппроксимацией, согласуются с теоретически предсказываемыми значениями с(ат = 1 + Р(§ + 2)/У2 = 1 + d / 2 + р/М = 2.62(5) и с1ант) = d / 2-9' = 1.26(5), что свидетельствует о корректности проведенных расчетов.
Значения критических показателей
Анизотропная модель Гейзенберга с p = 0.9 Слабо неупорядоченная модель Изинга [10; 15]
P /(zv) 0.249(3) 0.244(2)
0' 0.1198(2) 0.127(16)
z 2.171(23) 2.185(25)
Выч. знач. Теор. знач.
cL) 2.604(5) 2.62(5 2.59(9)
,.(HT) ca 1.249(3) 1.26(5) 1.242(10)
Помимо автокорреляционной функции, в качестве характеристики неравновесного критического процесса рассматривается функция отклика системы на внешнее воздействие ). Однако более удобной величиной является интегральная функция отклика - динамическая восприимчивость ). Для ее моделирования применялся алгоритм глауберов-ской динамики. Рассматриваемая система имеет структурные дефекты, таким образом динамическая восприимчивость принимает вид [19]:
AMU=I>
(
1-th
W
AHi(t)
V 2 'с
(10) (11)
//
где угловые скобки обозначают статистическое усреднение по реализациям начального состояния, а квадратные скобки - усреднение по примесным конфигурациям.
На рис. 7 представлена временная зависимость динамической восприимчивости ) для струк-
турно неупорядоченной анизотропной модели Гейзенберга со спиновой концентрацией р = 0.9 для различных времен ожидания ^ при эволюции системы из высокотемпературного т0 = 0.001 начального состояния. График демонстрирует проявление эффектов старения в поведении динамической восприимчивости Тсх^ ) - с увеличением времени ожидания ^ замедляется временное спадание динамической восприимчивости.
Принципиально важным проявлением медленной динамики служит нарушение флуктуаци-онно-диссипативной теоремы (далее - ФДТ), когда связь функции отклика системы на внешнее возмущение ) и корреляционной функции С^,^) осуществляется через введение дополнительной ве-
1
личины X(t,tw 1, получившей название флуктуаци онно-диссипативного отношения (далее - ФДО): X(t ,t 1 dC(t,tw 1
R(t ,tw 1=:
dt...
(12)
100 t -1„, MCs/s
Рис. 7. Временная зависимость динамической восприимчивости 7"cx(t ,tm ] для различных времен ожидания t„ = 30,50,100,200 MCs/s при эволюции анизотропной модели Гейзенберга со спиновой концентрацией p = 0.9 из высокотемпературного начального состояния
Флуктуационно-диссипативное отношение рассматривается как мера нарушения ФДТ [20]:
1
X(t ,tw 1 = TR(t ,tw
dC(t ,tw 1 '
dt,.,
(13)
Для времен t>tw»trel ФДТ устанавливает X(t,tw) = l. Однако в общем случае для времен t.t <sct , Xlt.t Асимптотическое значение
W Гс I * ' W'
ФДО, вводимое как
Х°° = limlim X(t ,t„), (14)
tw t ^^
оказывается важной универсальной характеристикой неравновесных процессов в различных системах.
Поскольку вместо функции отклика рассматривается динамическая восприимчивости, ФДО может быть определено как [13]
dl(t ,tw)
X"(t. 1 = .lim T
C(t.twм> c dC(t,twГ
(14)
откуда можно определить предельное ФДО.
На заключительном этапе исследования был проведен расчет ФДО. Для расчета ФДО была построена параметрическая зависимость динамической вос-
приимчивости Тх(Г ) от автокорреляционной функции Си(Г). Графики параметрической зависимости на рис. 8 позволяют по асимптотической кривизне определить значения ФДО Х(^) для каждого времени ожидания Г .
Рис. 8. Параметрическая зависимость динамической восприимчивости Tcx(t,t„, 1 от автокорреляционной
функции C t ,f„ 1 при эволюции системы из высокотемпературного т0 <к1.0 начального состояния при временах ожидания t„ = 30,50,100,200 MCs/s
Применяя к полученным значениям X(tw 1 процедуры линейной аппроксимации и экстраполяции X(t^ , было определено значение предельного
ФДО X " = 0.402(231.
Значения предельного ФДО X " = 0.402(231 для анизотропной модели Гейзенберга со спиновой концентрацией p = 0.9 и предельного ФДО X" = 0.413(71 [12] для модели Изинга со спиновой концентрацией p = 0.95 соотносятся в рамках погрешности. Можно говорить о том, что модели принадлежат к одному классу универсальности.
3. Заключение
Отметим, что в представленной работе было осуществлено численное Монте-Карло исследование особенностей влияния дефектов структуры на неравновесное критическое поведение трехмерной анизотропной модели Гейзенберга со спиновой концентрацией p = 0.9 при их эволюции из различных начальных состояний. Выявлено, что анизотропная
модель Гейзенберга с p = 0.9 и слабо неупорядоченная трехмерная модель Изинга относятся к одному классу универсальности критического поведения. Присутствие дефектов изменяет характеристики неравновесного критического поведения анизотропной модели с анизотропией типа «легкая ось» при эволюции как из высокотемпературного, так и низкотемпературного начальных состояний.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Harris A. B. Effect of random defects on the critical behaviour of Ising models // Journal of Physics C: Solid State Physics. 1974. Vol. 7, № 9. P. 1671-1692. DOI: 10.1088/0022-3719/7/9/009.
2. Фольк Р., Головач Ю., Яворский Т. Критические показатели трехмерной слабо разбавленной замороженной модели Изинга // Успехи физических наук. 2003. Т. 173, № 2. С. 175-200.
3. Муртазаев А. К., Камилов И. К., Бабаев А. Б. Критическое поведение трехмерной модели Изинга с вмороженным беспорядком на кубической решетке // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2004. Т. 126, № 6. С. 1377-1383.
4. Прудников В. В., Прудников П. В., Вакилов А. Н., Криницын А. С. Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной неупорядоченной модели Изинга // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2007. Т. 132, № 2. С. 417-425.
5. Прудников В. В., Прудников П. В., Вакилов А. Н. Теоретические методы описания неравновесного критического поведения структурно неупорядоченных систем. М. : Физматлит, 2013. 316 с.
6. Berche P. E., Chatelain C, Berche B., Janke W. Bond dilution in the 3D Ising model: a Monte Carlo study // The European Physical Journal B - Condensed Matter and Complex Systems. 2004. Vol. 38, iss. 3. P. 463-474. DOI: 10.1140/epjb/e2004-00141-x.
7. Hasenbusch M., Toldin F. P., Pelissetto A., Vicari E. The universality class of 3D site-diluted and bond-diluted Ising systems // Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. 2007. Vol. 2007. Art. P02016. DOI: 10.1088/1742-5468/2007/02/P02016.
8. Pelissetto A., Vicari E. Critical phenomena and renormalization-group theory // Physics Reports. 2002. Vol. 368. No. 6. P. 549-727.
9. Прудников В. В., Прудников П. В., Мамонова М. В., Медведева М. А. Теоретические методы описания критических свойств ультратонких пленок : моногр. Омск : Изд-во Ом. гос. ун-та, 2016. 138 с.
10. Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е. А. Численные исследования влияния дефектов структуры на эффекты старения и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы в неравновесном критическом поведении трехмерной модели Изинга // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2014. Т. 145, № 3. C. 462-471.
11. Прудников В. В., Прудников П. В., Лях А. С. Исследование влияния начальных состояний, анизотропии и дефектов структуры на неравновесное критическое поведение трехмерной модели Гейзенберга // Физика твердого тела. 2020. Т. 62, № 5. С. 732-747.
12. Прудников В. В., Прудников П. В., Демьяненко А. Д., Ковалев Ю. В. Влияние дефектов структуры на неравновесное критическое поведение трехмерной анизотропной модели Гейзенберга // Вестник Омского университета. 2020. Т. 25, № 2. С. 13-23. DOI: 10.24147/1812-3996.2020.25(2).13-23.
13. Прудников В. В., Прудников П. В., Мамонова М. В. Особенности неравновесного критического поведения модельных статистических систем и методы их описания // Успехи физических наук. 2017. Т. 187, № 8. С. 817-855.
14. Prudnikov P. V., Prudnikov V. V., Pospelov E. A., Vakilov A. N. Influence of disorder on critical ageing in 3D Ising model // Physics Letters A. 2015. Vol. 379, iss. 8. P. 774-778. DOI: 10.1016/j.physleta.2015.01.005.
15. Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е. А., Маляренко П. Н. Эффекты старения и памяти в неравновесном критическом поведении структурно неупорядоченных магнетиков при эволюции из низкотемпера-
38 -
Herald of Omsk University 2022, vol. 27, no. 2, pp. 31-39
Вестник Омского университета 2022. Т. 27, № 2. С. 31-39
ISSN 1812-3996-
турного начального состояния // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2015. Т. 102, № 3-4. С. 192-201.
16. Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Pospelov E. A. Influence of disorder on aging and memory effects in non-equilibrium critical dynamics of 3D Ising model relaxing from an ordered state // Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. 2016. Vol. 2016. Art. 043303. DOI: 10.1088/1742-5468/2016/04/043303.
17. Calabrese P., Gambassi A., Krzakala F. Critical ageing of Ising ferromagnets relaxing from an ordered state // Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. 2006. Vol. 2006. Art. 06016. DOI: 10.1088/1742-5468/2006/06/P06016.
18. Henkel M., Pleimling M. Non-equilibrium phase transitions. Heidelberg : Springer, 2010. 544 р.
19. Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Pospelov E. A., Lyakh A. S. Simulation of non-equilibrium critical behavior of the 3D isotropic and anisotropic Heisenberg models // Journal of Physics: Conference Series. 2021. Vol. 1740 : International Conference on Computer Simulation in Physics and beyond (CSP 2020) 12-16 October 2020, Moscow, Russia. Art. 012004. DOI: 10.1088/1742-6596/1740/1/012004.
20. Маляренко П. Н. Численные исследования неравновесного критического поведения структурно неупорядоченных систем : дис. ... канд. физ.-мат. наук. Казань, 2020. 136 с.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Прудников Владимир Васильевич - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической физики, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: prudnikv@univer.omsk.ru.
Прудников Павел Владимирович - доктор физико-математических наук, профессор, проректор по научной работе, профессор кафедры теоретической физики, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: prudnikov_pavel@mail.ru.
Хитринцева Валерия Вадимовна - студент физического факультета, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: valeri_valeria@mail.ru.
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Прудников В. В., Прудников П. В., Хитринцева В. В. Неравновесное критическое поведение слабо неупорядоченной трехмерной анизотропной модели Гейзенберга // Вестн. Ом. ун-та. 2022. Т. 27, № 2. С. 31-39. DOI: 10.24147/1812-3996.2022.27(2). 31-39.
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Prudnikov Vladimir Vasiljevich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of the Department of Theoretical Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: prudnikv@univer.omsk.ru.
Prudnikov Pavel Vladimirovich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Vice-rector for scientific work, Professor of the Department of Theoretical Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: prudnikov_ pavel@mail.ru.
Khitrintseva Valeriya Vadimovna - student of the Faculty of Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: valeri_ valeria@mail.ru.
FOR GTATIONS
Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Khitrintseva V. V. Nonequilibrium critical behavior of weakly diluted three-dimensional anisotropic Heisenberg model. Vest-nik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2022, vol. 27, no. 2, pp. 31-39. DOI: 10.24147/ 1812-3996.2022.27(2).31-39. (in Russ.).
