CC BY
14
УДК 539.2
DOI 10.24147/1812-3996.2020.25(3).23-32
НЕРАВНОВЕСНОЕ КРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ТРЕХМЕРНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ МОДЕЛИ ГЕЙЗЕНБЕРГА: ДИНАМИЧЕСКАЯ ВОСПРИИМЧИВОСТЬ И ФЛУКТУАЦИОННО-ДИССИПАТИВНОЕ ОТНОШЕНИЕ
В. В. Прудников, П. В. Прудников, А. С. Лях
Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, г. Омск, Россия
Информация о статье
Дата поступления 18.08.2020
Дата принятия в печать 15.09.2020
Аннотация. При реализации глауберовской динамики осуществлено моделирование неравновесного критического поведения трехмерной анизотропной модели Гейзенберга и впервые для этой модели проведен расчет динамической восприимчивости и флуктуационно-диссипативного отношения при эволюции системы из высокотемпературного начального состояния.
Дата онлайн-размещения 28.12.2020
Ключевые слова
Неравновесное критическое поведение, трехмерная анизотропная модель Гейзенберга, динамическая восприимчивость, флуктуационно-диссипативное отношение
Финансирование
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 20-32-70189, госзадания Минобрнауки РФ (№ 0741-20200002) и гранта Президента РФ МД-2229.2020.2
NON-EQUILIBRIUM CRITICAL BEHAVIOR OF THE THREE-DIMENSIONAL ANISOTROPIC HEISENBERG MODEL: DYNAMICAL SUSCEPTIBILITY AND FLUCTUATION-DISSIPATION RATIO
V. V. Prudnikov, P. V. Prudnikov, A. S. Lyakh
Dostoevsky Omsk State University, Russia, Omsk
Article info Abstract. Simulation of the non-equilibrium critical behavior of the three-dimensional ani-
Received sotropic Heisenberg model is carried out with realization of Glauber dynamics and the dy-
18.08.2020 namical susceptibility and the fluctuation-dissipation ratio are calculated with evolution of
system from a high-temperature initial state.
Accepted 15.09.2020
Available online 28.12.2020
Keywords
Non-equilibrium critical behavior, three-dimensional anisotropic Heisenberg model, dynamical
Вестник Омского университета 2020. Т. 25, № 3. С. 23-32
-ISSN 1812-3996
susceptibility, fluctuation-dissipation ratio
Acknowledgements
The reported study was funded by the RFBR according to the research project 20-32-70189, by the Ministry of Education and Science of Russian Federation in the framework of the state assignment (№ 0741-2020-0002), and grant of the President of the Russia MD-2229.2020.2
Трехмерная ферромагнитная модель Гейзен-берга является одной из традиционных статистических моделей, используемых для описания фазовых переходов в самых различных спиновых системах, в частности, в таких переходных металлах, как Fe, Со, и их сплавах.
Однако модель Гейзенберга является изотропной и не учитывает эффекты анизотропии, возникающие в реальных магнитных системах за счет влияния кристаллического поля, спин-орбитального взаимодействия, магнитного диполь-дипольного взаимодействия [1]. Несмотря на то, что энергия анизотропии на два-три порядка меньше по величине энергии обменного взаимодействия, в результате действия магнитной кристаллографической анизотропии в кристалле возникают некоторые выделенные направления для ориентации намагниченности - оси легкого намагничения или плоскости легкого намагничения. Детальный учет эффектов магнитной кристаллографической анизотропии при их теоретическом описании является очень сложной задачей, в настоящее время не решенной до конца. Для облегчения теоретического описания влияния эффектов магнитной анизотропии на обменное взаимодействие был предложен подход [2-4], основанный на введении анизотропной модели Гейзенберга.
Критическая динамика анизотропной модели Гейзенберга описывается релаксационной моделью А в классификации Гальперина - Хоэнберга (см. обзор: [5]), в которой не сохраняются как параметр порядка, так и энергия. Для этой модели динамический критический индекс г = 2 + сп с с = 6 1п(4/3) - 1 и 0,726 и п - индекс Фишера. Ожидается, что за счет одноосной анизотропии критическое поведение анизотропной модели Гейзенберга эквивалентно критическому поведению модели Изинга с п и 0,036(1) [6] и z и 2,026(1). В работе [7] был проведен расчет динамического критического
индекса z для трехмерной модели Изинга в рекордном четырехпетлевом приближении в рамках теоретико-полевого подхода непосредственно для размерности системы б = 3 и с применением техники суммирования Паде - Бореля получено значение г = 2,017. Проведенный в работе [8] более тонкий анализ сходимости рядов теории и их суммирования показал, что при применении метода суммирования Паде - Бореля получается значение г = 2,0171(1), при применении метода Паде - Бореля - Лероя г = 2,0168(1) и метода конформного Паде - Бореля г = 2,0372(1). Усреднение значений, полученных разными методами суммирования, дает z = 2,0237(55).
В данной работе исследуется неравновесное критическое поведение трехмерной анизотропной модели Гейзенберга методами Монте-Карло. Известно, что поведение систем вблизи температуры фазового перехода второго рода характеризуется медленной динамикой, так как время релаксации таких систем является расходящейся величиной ~1Т-Тс1~^, где г, V- критические индексы. В настоящее время поведение систем, характеризующихся медленной динамикой, вызывает у исследователей большой интерес. Это обусловлено наблюдаемыми при медленной эволюции систем из неравновесного начального состояния свойствами старения и нарушениями флуктуационно-диссипативной теоремы [9]. На временах t << trel в неравновесном поведении систем проявляются эффекты старения. Эти эффекты выражаются в осуществлении двухвремен-ных зависимостей для автокорреляционной функции и функции отклика и зависимости их поведения от начальных состояний. В исследовании влияния начальных состояний различают высокотемпературное состояние, создаваемое при температурах Та>> Тс и низкотемпературное состояние при Та< Тс. Высокотемпературное состояние характеризуется
начальной намагниченностью mo(To) << 1, в то время как низкотемпературное полностью упорядоченное состояние - начальной намагниченностью mo(To = 0) = 1.
Важным проявлением медленной динамики является нарушение флуктуационно-диссипативной теоремы (ФДТ) [9], которая связывает функцию отклика системы на внешнее возмущение R(t, tw) и корреляционную функцию C(t, tw):
X(t,tw) 3C(t,tw)
R(t ,tw) = -
(1)
kT dtw
где X(t, tw) - флуктуационно-диссипативное отношение (ФДО). ФДТ утверждает, что в равновесном состоянии X(t > tw >> trel) = 1.
Предельное значение флуктуационно-дисси-пативного отношения
X"= lim limX(t,tw) (2)
tw ^^ t
может быть использовано в качестве новой универсальной характеристики для неравновесного критического поведения различных систем.
В работах [10-14] нами было осуществлено исследование неравновесного критического поведения трехмерной изотропной и анизотропной моделей Гейзенберга. Рассматривалось влияние различных начальных состояний с намагниченностью в интервале 0 < mo < 1 на критическую релаксацию намагниченности в данных моделях и исследовались особенности двухвременных зависимостей для автокорреляционной функции при эволюции систем из высокотемпературного и низкотемпературного начальных состояний с выделением эффектов старения. В работе [11] нами впервые для трехмерной изотропной модели Гейзенберга был осуществлен расчет динамической восприимчивости и флуктуа-ционно-диссипативного отношения при эволюции системы из высокотемпературного начального состояния. В настоящей работе будет осуществлено моделирование неравновесного критического поведения трехмерной анизотропной модели Гейзенберга с реализацией глауберовской динамики и проведен расчет двухвременной зависимости динамической восприимчивости и флуктуационно-дис-сипативного отношения при эволюции системы из высокотемпературного начального состояния.
Гамильтониан ферромагнитной модели Гейзенберга с анизотропией типа «легкая ось» задается выражением
где J > 0 характеризует короткодействующее обмен-
I
ное взаимодействие между спинами 5(. , зафиксированными в узлах простой кубической решетки,
I
Д - параметр анизотропии. Спин 5 = ($*,,) задается как классический единичный вектор. Для данного исследования параметр анизотропии принимал значение Д = 0,63 [15; 16]. Моделировалась система с размерами L х L х L при L = 100 и наложенными периодическими условиями. Алгоритм глауберовской динамики [9; 11] выбирался для моделирования односпиновых переворотов в модели Гейзенберга как метод, адекватно передающий релаксационную динамику системы и в то же время позволяющий рассчитать двухвременную зависимость динамической восприимчивости без использования процедуры случайных малых магнитных полей [17-20].
В качестве характеристик неравновесного процесса выступают такие величины, как намагниченность
М«) = 11 ^ 5(х = ^ £ I, (4)
и двухвременная автокорреляционная функция
С(< К)
С(* ) \ЛТ ^ ^ (^ ^ (*" У " М(*т*)' (5)
где Ns = I3 характеризует число спинов в решетке, угловые скобки обозначают статистическое усреднение по реализациям начального состояния.
Для получения функции отклика R(t,tw) и динамической восприимчивости х(^) для модели Гейзенберга, определяемых соотношениями
1
R(t ) =1J d
„х8 <S(x,t)>,
8h(x,tw)
tw
X(t ,tw) = J dt'R(t ,t'),
(6)
(7)
нами была применена методика, реализованная в работах [19-30] для модели Изинга и позволяющая при моделировании динамики системы с помощью алгоритма глауберовской динамики получить функцию отклика и динамическую восприимчивость без введения магнитного поля в процедуру расчета. Ключевой момент методики [17-19] заключается в
H = -J^[(1-A)(SXS X +SyS y) + SzS z], (3) записи вероятности переворота спина l/l/(S(. —>Si
0
1/1/(5 -»S,. ) =
-PH[S']
-PH[S] eßH[S]
(8)
(в = 1/Т) для случая применения случайного локального поля на/-м узле и вычислении производной
от И/(5(. —) по полю в пределе —>0. Реализация данной методики к модели Гейзенберга при осуществлении преобразования спина [11]
S, =5, - 2(5, - г ) - г
(9)
(г, - случайный единичный вектор на /-м узле решетки) привела к следующему соотношению для динамической восприимчивости:
р."
/V /=1
A5,!i(ÎJ = X[5,M(S)-5,!|w(S)L
S=1
s!|и/ (s) = s!1 (s)i/)(ß5(.'1
(10)
где 5'1 - параллельная проекция спина на направление вектора г!.
Моделирование неравновесного критического поведения данной трехмерной анизотропной модели Гейзенберга проводилось при критической температуре Тс = 1,64497(45), определенной нами в работах [12; 14] с использованием метода кумулянтов Биндера. В анизотропной модели Гейзенберга при критической температуре медленной динамикой характеризуется только z-составляющая намагниченности Мх^). Это наглядно видно из представ-леных на рис. 1 графиков временных зависимостей полной намагниченности М^), х-составляющей намагниченности Мг(^ и ху-составляющей намагниченности М^) при эволюции системы из низкотемпературного полностью упорядоченного начального состояния с то = 1. Поэтому особенности неравновесного критического поведения должны проявляться в автокорреляционной функции Си^^) только для
х-составляющих спинов:
С22()=(-Ц тк^ -м2тг). (11)
Нами было проведено численное исследование двухвременной зависимости автокорреляционной функции Си^^) для различных времен ожидания tw = 20, 40, 80, 160 мсб/б при эволюции системы из высокотемпературного начального состояния с начальной намагниченностью т0 = 0,001 (рис. 2). 26 -
Представленные на рис. 2 в двойном логарифмическом масштабе графики наглядно демонстрируют проявление эффектов старения в поведении автокорреляционной функции, а именно замедление ее временного спадания с ростом времени ожидания tw.
Рис. 1. Сопоставление графиков временных зависимостей полной намагниченности М^),
х-составляющей намагниченности Мг(^ и ху-составляющей намагниченности Мху^) при эволюции системы из низкотемпературного полностью упорядоченного начального состояния с т0 = 1
100 юоо
t -MCs/s
Рис. 2. Временная зависимость автокорреляционной функции Czz(t,tw) для различных времен ожидания tw = 20, 40, 80, 160 MCs/s при эволюции системы из высокотемпературного начального состояния с m0 = 0,001
Сопоставление полученных динамических зависимостей автокорреляционных функций для анизотропной и изотропной [10; 14] моделей Гейзенберга (рис. 3) показывает, что кривые автокорреляционной функции Czz(t,tw) для анизотропной модели спадают быстрее, чем кривые автокорреляционной функции для изотропной модели. Однако для автокорреляционной функции анизотропной модели заметно более сильное влияние времени ожидания tw
(более сильное проявление эффектов старения), чем для изотропной модели.
10° m0 = 0.001 "i
10~1 Изотропная модель c(t У
0
10~2 Анизотропная модель cz(t tj
1
10
1000
100 I, МСв/Б
Рис. 3. Сопоставление временных зависимостей автокорреляционной функции С^,^} для анизотропной
модели и С^,^] для изотропной модели при их эволюции из высокотемпературного (m0 = 0,001) начального состояния для различных времен ожидания tw
В данной работе был осуществлен расчет с применением соотношений (10) динамической восприимчивости х(^ tw) анизотропной модели Гейзенберга. На рис. 4 представлены в двойном логарифмическом масштабе рассчитанные двухвременные зависимости динамической восприимчивости Tcх(t, tw) от времени наблюдения t-tw для различных времен ожидания tw. Графики наглядно демонстрируют проявление эффектов старения в зависимости Х^, tw) от «возраста» системы tw (с увеличением времени ожидания динамическая восприимчивость спадает медленнее).
Сопоставление полученных двухвременных зависимостей динамической восприимчивости Tcх(t, tw) для анизотропной и изотропной моделей Гейзенберга (рис. 5) показывает, что кривые восприимчивости для анизотропной модели спадают быстрее, чем для изотропной модели с близким по характеру проявлением эффектов старения, т. е. зависимости от времени ожидания tw.
В режиме старения, реализующемся для времен t-tw ~ tw, двухвременная зависимость автокорреляционной функции и динамической восприимчивости удовлетворяет следующим скейлинговым зависимостям [9; 22]:
СС)~ ^$ / ^)'
7( )~ ^^ / ^) со скейлинговыми функциями Fc,х(t/tw), которые убывают на долговременном этапе эволюции с t-tw >> tw>>1 в соответствии со степенным законом
(12)
FcJt/tj~(t/tj-c°- (13)
с показателями Ca(HT) = Cx(HT) = d/z - 0' при эволюции из высокотемпературного начального состояния с mo << 1 [9; 22].
10 100
МСв/э
Рис. 4. Временная зависимость динамической восприимчивости 7"схи, tw) для различных времен
ожидания tw = 20, 40, 80, 160 МСб/б при эволюции системы из высокотемпературного начального состояния с т0 = 0,001
100
t - tw, MCs/s
Рис. 5. Сопоставление временных зависимостей динамической восприимчивости Tcx(t, tw) для анизотропной и изотропной моделей при их эволюции из высокотемпературного начального состояния для различных времен ожидания tw
Для подтверждения скейлинговых зависимостей (12) для автокорреляционной функции и динамической восприимчивости было осуществлено построение зависимостей tw2p/zvCzz(t,tw) и tw2p/zvx(t,tw) от t/tw с использованием полученного в работе [12] значения показателя p/zv = 0,2565(4) для анизотропной модели Гейзенберга. На рис. 6 (a, б) представлены результаты расчетов для случая эволюции системы из высокотемпературного начального состоя-
ния, которые демонстрируют коллапс полученных для различных tw данных на соответствующих универсальных кривых, характеризуемых скейлинго-выми функциями Fc(t/tw) и Fx(t/tw). Для временных интервалов с t/tw >> 1 были определены значение показателя CaIHT> = 0.956(2) для скейлинговой функции Fc(t/tw) и показателя Cx(HT) = 0,954(3) для скейлинговой функции Fx(t/tw). Данные значения показателей в пределах статистических погрешностей хорошо согласуются друг с другом и с теоретически предсказанным значением Ca(HT) = 3/z - 0'= 0,956 при z = 2,020(4) и 0'= 0,529(1), рассчитанными в работе [12]. Аналогичные исследования, проведенные для трехмерной изотропной модели Гейзенберга, дали значения Ca(HT) = 0,979(6) и cx(HT) = 0,984(2), хорошо согласующиеся друг с другом и с теоретически пред-
(HT)
сказанным значением са z = 2,035(4) и 9'= 0,490(1) [10].
3/z - 9'= 0,984 при
Рис. 6. Скейлинговые зависимости для автокорреляционной функции Сгг(^^) (а) и восприимчивости х(Ь^) (б) от демонстрирующие коллапс полученных для различных ^ данных
Для расчета флуктуационно-диссипативного отношения (ФДО) для анизотропной модели Гейзен-берга была построена параметрическая зависимость T:X(t,tw) от автокорреляционной функции C(t,tw) (рис. 7). Действительно, в долговременном режиме (t-tw) динамическая восприимчивость может быть записана [9] в виде
T X (t ,tw ) = j X (q)dq.
(14)
отношение = lim X(t ,tw )
t^<x>
(15)
Тогда флуктуационно-диссипативное как функция времени ожидания X(tw
может быть задано соотношением: X(t ) = lim.
( w) cm dC(t,tw)
Графики параметрической зависимости динамической восприимчивости от автокорреляционной функции на рис. 7 позволяют в соответствии с соотношением (15) по асимптотической кривизне представленных кривых определить значения ФДО X(tw) для каждого из рассмотренных значений времени ожидания tw. Применяя к полученным значениям ФДО X(tw), процедуру линейной аппроксимации (рис. 8), а затем экстраполяции X(tw^~) было определено предельное значение флуктуационно-дис-сипативного отношения X~= 0,392(7) для трехмерной анизотропной модели Гейзенберга.
0.000 0.005 0.010 0015 0.020 0.025 0.030 0.035
cyt, и
Рис. 7. Параметрическая зависимость динамической восприимчивости от автокорреляционной функции для анизотропной модели Гейзенберга.
На графике показаны участки, на которых определялись X(tw) при С ^ 0
Проведем сопоставление полученного значения предельного ФДО X~= 0,392(7) для трехмерной анизотропной модели Гейзенберга со значениями предельного ФДО для трехмерной модели Изинга,
0
рассчитанными ранее в работах [19-23]. Так, при исследовании вопроса о влиянии дефектов структуры на неравновесное критическое поведение трехмерной модели Изинга в работах [19; 21-23] при применении алгоритма тепловой бани (соответствует глау-беровской динамике для модели Изинга) был проведен расчет предельного ФДО и для чистой модели Изинга. Было получено значение Х°°= 0,380(13). В работах [20-22] нами для расчета динамической восприимчивости был применен метод малых случайных магнитных полей при реализации динамики од-носпиновых переворотов с помощью алгоритма Метрополиса. Последующий расчет предельного ФДО для структурно неупорядоченной и чистой трехмерной модели Изинга позволил получить значение X~= 0,390(12) в [20] и X~= 0,391(12) в [21; 22] для чистой модели Изинга. Оба значения X~= 0,391(12) и X~= 0,380(13) в пределах погрешности хорошо согласуются со значением предельного ФДО X~= 0,392(7) для трехмерной анизотропной модели Гейзенберга.
Анизотропная модель
m0 = 0.001 m
L.J. Xin' = 0.392(7) i . »
0.52
0.50
0.48
3 0.46 X
0.44 0.42 0.40 0.38
0.00 0 01 0.02 0.03 0.04 0.05
Рис. 8. Расчёт предельного флуктуационно-диссипативного отношения для анизотропной модели Гейзенберга в пределе 1/и ^0
В данной работе был также проведен расчет предельного ФДО для трехмерной изотропной модели Гейзенберга. Так, на рис. 9 представлены для изотропной модели графики параметрической зависимости динамической восприимчивости Ъх^М от автокорреляционной функции С(^), которые позволили по асимптотической кривизне представленных кривых определить значения ФДО X^
w) для каждого из рассмотренных значений времени ожидания tw. Применяя к полученным значениям ФДО ХМ процедуру линейной аппроксимации (рис. 10), а затем экстраполяции было определено
предельное значение флуктуационно-диссипатив-ного отношения Х°°= 0,383(6). Данное значение оказывается ниже значения ФДО Х~= 0,392(7) для трехмерной анизотропной модели Гейзенберга, хотя и имеется малое пересечение областей значений с учетом погрешности.
0.010
Рис. 9. Параметрическая зависимость динамической восприимчивости от автокорреляционной функции для изотропной модели Гейзенберга
О 36
0.32
X 0.28
0.24
Изотропная модель ,
m3 = 0.001 .
X"" = 0.383(6)
0.00
0.01
0.02
0 04
005
003
Рис. 10. Расчёт предельного флуктуационно-диссипативного отношения для изотропной модели Гейзенберга в пределе 1/и ^0
В заключение отметим, что проведенные численные Монте-Карло исследования особенностей неравновесного критического поведения трехмерной анизотропной модели Гейзенберга с анизотропией типа «легкая ось» позволили выявить проявление эффектов старения в двухвременных зависимостях динамической восприимчивости и автокорреляционной функции при эволюции из высокотемпературного начального состояния. Проведено сопоставление с реализацией данных эффектов в двух-
временных характеристиках для трехмерной изотропной модели.
Доказано выполнение скейлинговых зависимостей для динамической восприимчивости изотропной и анизотропной моделей. Рассчитанные скейлинговые функции демонстрируют «коллапс» данных для различных значений времен ожидания tw на соответствующих универсальных кривых. Были определены значения показателей, характеризующих степенное поведение динамической восприимчивости в долговременном режиме, с^ = 0,984(2) для изотропной модели и с^ = 0,954(3) для анизотропной модели при эволюции из высокотемпературного начального состояния. Данные значения показателей в пределах погрешностей хорошо согласуются со значениями аналогичных показателей, характеризующих степенное поведение автокорреля-
ционной функции в долговременном режиме, Ca(HT) = 0,979(6) для изотропной модели и Ca(HT) = = 0,956(2) для анизотропной модели.
Совместный анализ двухвременных зависимостей для динамической восприимчивости и автокорреляционной функции при эволюции системы из высокотемпературного начального состояния позволил определить универсальную характеристику неравновесной критической динамики, такую как предельное флуктуационно-диссипативное отношение со значением X~= 0,383(6) для изотропной модели и X~= 0,392(7) для анизотропной модели Гейзенберга. Полученное значение предельного ФДО для анизотропной модели хорошо согласуется со значением X°°= 0,391(12) для трехмерной модели Изинга, рассчитанным в работе [22] тем же методом, что и в данной статье.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Прудников В. В., Прудников П. В., Мамонова М. В. Квантово-статистическая теория твердых тел. СПб. : Лань, 2016. 448 с.
2. Боголюбов Н. Н., Тябликов С. В. Об одном применении теории возмущений к полярной модели металла // ЖЭТФ. 1949. Т. 19. С. 251-255.
3. Боголюбов Н. Н., Тябликов С. В. Приближённый метод нахождения низших энергетических уровней электронов в металле // ЖЭТФ. 1949. Т. 19. С. 256-268.
4. Тябликов С. В. Методы квантовой теории магнетизма. М. : Наука, 1975. 530 с.
5. Hohenberg P. C., Halperin B. I. Theory dynamic critical phenomena // Rev. Mod. Phys. 1977. Vol. 49, № 3. P. 436-479.
6. PelissettoA., VicariE. Critical phenomena and renormalization-group theory // Phys. Reports. 2002. Vol. 368, № 6. P. 549-727.
7. Прудников В. В., Иванов А. В., Федоренко А. А. Критическая динамика спиновых систем в четырехпет-левом приближении // Письма в ЖЭТФ. 1997. Т. 66. Вып. 12. С. 793-798.
8. Криницын А. С., Прудников В. В., Прудников П. В. Расчет динамического критического индекса методом суммирования асимптотических рядов // Теоретическая и математическая физика. 2006. Т. 147. Вып. 1. С. 137-154.
9. Прудников В. В., Прудников П. В., Мамонова М. В. Особенности неравновесного критического поведения модельных статистических систем и методы их описания // УФН. 2017. Т. 187. Вып. 8. С. 817-855.
10. Прудников В. В., Прудников П. В., Лях А. С., Поспелов Е. А. Неравновесное критическое поведение трехмерной классической модели Гейзенберга // Вестн. Ом. ун-та. 2018. Т. 23. № 3. С. 64-72.
11. Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е. А., Лях А. С. Расчет флуктуационно-диссипативного отношения для неравновесного критического поведения трехмерной классической модели Гейзенберга // Вестн. Ом. ун-та. 2019. Т. 24. № 2. С. 44-50.
12. Прудников В. В., Прудников П. В., Лях А. С. Неравновесное критическое поведение трехмерной анизотропной модели Гейзенберга // Вестн. Ом. ун-та. 2019. Т. 24. № 3. С. 39-48.
13. Pospelov E. A., Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Lyakh A. S. Non-equilibrium critical behavior of the 3D classical Heisenberg model // J. Phys.: Conf. Ser. 2019 . Vol. 1163. Р. 012020.
14. Прудников В. В., Прудников П. В., Лях А. С. Исследование влияния начальных состояний, анизотропии и дефектов структуры на неравновесное критическое поведение трехмерной модели Гейзенберга // Физика твердого тела. 2020. Т. 62. Вып. 5. С. 732-747.
15. Прудников П. В., Прудников В. В., Медведева М. А. Размерные эффекты в ультратонких магнитных пленках // Письма в ЖЭТФ. 2014. Т. 100. Вып. 7. C. 501-505.
30 -
Herald of Omsk University 2020, vol. 25, no. 3, pp. 23-32
Вестник Омского университета 2020. Т. 25, № 3. С. 23-32
ISSN 1812-3996-
16. Prudnikov P. V., Prudnikov V. V., Medvedeva M. A., Piskunova N. I. Dimensionality crossover in critical behaviour of ultrathin ferromagnetic films // J. Magn. Magn. Mater. 2015. Vol. 387. P. 77-82.
17. Ricci-Tersenghi F. Measuring the fluctuation-dissipation ratio in glassy systems with no perturbing field // Phys. Rev. E. 2003. Vol. 68. Р. 065104.
18. Godreche C., Krzakala F., Ricci-Tersenghi F. Non-equilibrium critical dynamics of the ferromagnetic Ising model with Kawasaki dynamics // J. Stat. Mech. 2004. Vol. 2004. P. 04007.
19. Прудников П. В., Прудников В. В., Поспелов Е. А. Расчет флуктуационно-диссипативного отношения для неравновесного критического поведения неупорядоченных систем // Письма в ЖЭТФ. 2013. Т. 98. Вып. 10. С. 693-699.
20. Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е. А. Численные исследования влияния дефектов структуры на эффекты старения и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы в неравновесном критическом поведении трехмерной модели Изинга // ЖЭТФ. 2014. Т. 145. C. 462-471.
21. Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Pospelov E. A. Ageing properties of three-dimensional pure and sitediluted Ising ferromagnets // J. Phys.: Conf. Series. 2014. Vol. 510. P. 012015.
22. Prudnikov P. V., Prudnikov V. V., Pospelov E. A., Malyarenko P. N., Vakilov A. N. Aging and non-equilibrium critical phenomena in Monte Carlo simulations of 3D pure and diluted Ising models // Prog. Theor. Exp. Phys. 2015. Р. 053A01.
23. Prudnikov P. V., Prudnikov V. V., Pospelov E. A., Vakilov A. N. Influence of disorder on critical ageing in 3D Ising model // Phys. Lett. A. 2015. Vol. 379. P. 774-778.
24. Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е. А., Маляренко П. Н. Эффекты старения и памяти в неравновесном критическом поведении структурно неупорядоченных магнетиков при эволюции из низкотемпературного начального состояния // Письма в ЖЭТФ. 2015. Т. 102. С. 192-201.
25. Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Pospelov E. A. Influence of disorder on aging and memory effects in non-equilibrium critical dynamics of 3D Ising model relaxing from an ordered state // J. Stat. Mech. 2016. Vol. 2016. P. 043303.
26. Прудников В. В., Прудников П. В., Маляренко П. Н. Исследование влияния различных начальных состояний и дефектов структуры на характеристики неравновесного критического поведения трехмерной модели Изинга // ЖЭТФ. 2017. Т. 152. № 6(12). С. 1293-1308.
27. Прудников В. В., Прудников П. В., Маляренко П. Н. Монте-Карло-исследование влияния начальных состояний и дефектов структуры на неравновесное критическое поведение трехмерной модели Изинга // Физика твердого тела. 2018. Т. 60. № 6. С. 1086-1098.
28. Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е. А., Маляренко П. Н. Эффекты сверхстарения и перколя-ционного кроссовера в неравновесном критическом поведении двумерной неупорядоченной модели Изинга // Письма в ЖЭТФ. 2018. Т. 107. № 9. С. 595-603.
29. Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Pospelov E. A. Inuence of initial states and structure defects on non-equilibrium critical behavior of 3D and 2D Ising models // J. Phys.: Conf. Series. 2019. Vol. 1163. Р. 012005.
30. Прудников В. В. Прудников П. В., Маляренко П. Н., Щур Л. Н. Исследование маргинального влияния дефектов структуры на неравновесное критическое поведение двумерной модели Изинга // ЖЭТФ. 2020. Т. 157. № 2. C. 308-326.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Прудников Владимир Васильевич - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической физики, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: prudnikv@univer.omsk.ru.
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Prudnikov Vladimir Vasiljevich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of the Department of Theoretical Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: prudnikv@univer.omsk.ru.
Прудников Павел Владимирович - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра теоретической физики, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: prudnikov_pavel@mail.ru.
Лях Анастасия Сергеевна - студентка физического факультета, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: lyakhnastya@gmail.com.
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Прудников В. В., Прудников П. В., Лях А. С. Неравновесное критическое поведение трехмерной анизотропной модели Гейзенберга: динамическая восприимчивость и флуктуационно-диссипативное отношение // Вестн. Ом. ун-та. 2020. Т. 25, № 3. С. 2332. DOI: 10.24147/1812-3996.2020.25(3).23-32.
Prudnikov Pavel Vladimirovich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, the Department of Theoretical Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: prudnikov_pavel@mail.ru.
Lyakh Anastasiya Sergeevna - Student of Physics Faculty, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: lyakhnastya@gmail.com.
FOR GTATIONS
Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Lyakh A. S. Non-equilibrium critical behavior of the three-dimensional anisotropic Heisenberg model: dynamical susceptibility and fluctuation-dissipation ratio. Vestnik Omskogo uni-versiteta = Herald of Omsk University, 2020, vol. 25, no. 3, pp. 23-32. DOI: 10.24147/1812-3996.2020. 25(3).23-32. (in Russ.).
