CC BY
9
ФИЗИКА
Вестник Омского университета, 2006. № 3. С. 29-31. лтчтк" ^чо 17Q
© М.В. Рынков, В.В. Прудников, 2006 ^ •MJ.i«
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕРАВНОВЕСНОГО КРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ НЕУПОРЯДОЧЕННОГО АНТИФЕРРОМАГНЕТИКА СО СЛУЧАЙНЫМИ ПОЛЯМИ*
М.В. Рычков, В.В. Прудников
Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского, кафедра теоретической физики
644077, Омск, пр. Мира, 55а
Monte-Carlo simulations for the 3D Ising model of disordered antiferromagnet with random fields are realized for the spin concentration with p = 0,8 and magnetic field with H = 2. The obtained dynamic critical exponent value z = 2, 64(10) demonstrates the slowing down of critical relaxation due to influence of random fields.
Более 20 лет усилия многих исследователей были направлены на изучение влияния примесей и других дефектов структуры на поведение различных систем при фазовых переходах. Особый интерес представляют эффекты влияния «замороженных» примесей, проявляющихся в виде случайных возмущений локальной температуры фазового перехода для ферро- и антиферромагнитных систем в отсутствие внешнего магнитного поля или в виде случайных магнитных полей для антиферромагнетиков во внешнем магнитном поле. С учетом того, что магнитное поле меняет симметрию системы относительно изменения знака спина, статические и динамические свойства таких неупорядоченных систем существенно отличаются. Несмотря на многочисленные исследования критического поведения систем со случайными магнитными полями, в настоящее время существует немного надежно установленных фактов о поведении подобных систем, а полученные результаты являются во многом противоречивыми [1].
В данной статье осуществлено численное исследование неравновесного критического поведения трехмерной неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга с эффектами случайных магнитных полей. Случайные магнитные поля обусловливались введением примесей с концентрацией с^тр = 0,2 и включением внешнего поля Н = 2. Неупорядоченная антиферромагнитная модель Изинга определялась как система спинов с концентрацией р = 1 — , связанных с N = рЬ3 узлами кубической решетки с периоди-
*Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты 0402-17524 и 04-02-39000)
ческими граничными условиями. Гамильтониан исследуемой модели имеет вид:
И = Л /'•/';"•"; + 1К1''
гг,к г
(1)
где иI = ±1; 3\ = 1 характеризует обменное взаимодействие ближайших спинов, носящее антиферромагнитный характер; 3-2 = —1/2 характеризует ферромагнитное взаимодействие спинов, следующих за ближайшими соседями; р^, р^ -случайные переменные, описываемые функцией распределения
Р(рг)= рё(рг- I) + (I ~ р)6(р>) (2)
и характеризующие распределенные по узлам решетки замороженные немагнитные атомы примеси (пустые узлы).
Моделирование проводилось методом корот-ковременной динамики, основная особенность которого заключается в том, что информация о критическом поведении системы может быть выявлена уже в пределах макроскопически малого интервала времени эволюции системы в критической точке или её окрестности. Согласно [2], статические и динамические критические индексы могут быть получены из следующих скейлин-говых соотношений для временных зависимостей термодинамических и корреляционных функций
М„9(*,т) (3)
с)т 1пМ8(9(£, т) |т=о ~ (4)
Щ*) = [(М^д)]/[{Магд)]2 -1(5)
где Мц1д = М\ — М-2 - «шахматная» намагниченность (М\, М-2 - намагниченности двух подре-
30
М.В. Рычков, В.В. Прудников
Рис. 1. Временная эволюция «шахматной» намагниченности в двойном логарифмическом масштабе
шеток), дтl^lMstg(t,т) - логарифмическая производная «шахматной» намагниченности в критической точке; и(1) - кумулянт Биндера 2-го порядка; I - время, т = (Т — Тс) /Тс - приведенная температура, с! - размерность системы, г -динамический критический индекс, /3, V - статические критические индексы.
В данной работе исследовались динамические процессы, начинающиеся из начального состояния с Мцц = 1, соответствующего температуре Т=0 (когда все спины каждой подрешетки направлены параллельно друг другу и антипарал-лельно спинам другой подрешетки). Моделирование проводилось на временах до 1000 шагов Монте-Карло.
Из (3) видно, что при критической температуре (г = 0) реализуется степенная временная зависимость для «шахматной» намагниченности, т. е. в двойном логарифмическом масштабе график М81д{1) имеет вид прямой линии. Для температур, отличающихся от критической, но близких к ней, для графика в двойном логарифмическом масштабе должно наблюдаться с изменением I отклонение от прямой вверх или вниз в зависимости от знака г. Это позволяет по поведению г) определить критическую температуру системы. При моделировании спиновых систем с линейными размерами Ь = 64 и Ь = 128 анализ среднеквадратичного отклонения полученных для ряда температур графиков временной зависимости от степенного закона (3) позволил определить критическую температуру системы Тс = 7,345(45) (рис. 1). Определение как «шахматной» намагниченности Мц1д{1), так и других величин в (4), (5) проводилось путем их статистического усреднения по 2500 примесным конфигурациям при 10 прогонках на каждую примесную конфигурацию для решеток с Ь = 64 и по 1500 примесным конфигурациям при 1 прогонке на каждую для решеток с Ь = 128.
Рис. 2. Временная эволюция кумулянта Биндера в двойном логарифмическом масштабе
Аппроксимация полученных затем при Т = = Тс графиков временной зависимости «шахматной» намагниченности N1^(1), кумулянта Биндера 11(1) и логарифмической производной намагниченности <9Т 1п г) |т=о прямой (в
двойном логарифмическом масштабе) осуществлялась на временном интервале от 300 до 1000 шагов Монте-Карло (рис. 1-3). Углы наклонов аппроксимирующих прямых позволили рассчитать значения динамического и статических критических индексов, приведенных в таблице для случая решеток с Ь = 128.
Рис. 3. Временная эволюция логарифмической производной «шахматной» намагниченности в двойном логарифмическом масштабе
Полученные временные зависимости для кумулянтов Биндера и(1) для решеток с размерами Ь = 64 и Ь = 128 позволили получить значения динамического критического индекса г и другими альтернативными методами. Так, требование обобщенной однородности термодинамических и корреляционных функций в критической точке приводит к реализации для них соотношений конечномерного скейлинга, связывающих значения этих функций при масштабных преобразованиях системы на произвольный масштабный множитель Ъ. В частности, для кумулянтов Биндера
Неравновесное критическое поведение неупорядоченного антиферромагнетика.
31
Сравнение значений критических индексов для неупорядоченного антиферромагнетика со случайными полями, полученных в данной статье, со случайной температурой фазового перехода из работ [4 6]
Индекс Случ. поля Случ. температура
z 2,64(10) 2,76(14) 2,87(18) 2,165 [4], 2.15(2) [5] 2,14(2) [5] 2,14(2) [5]
V 0,94(9) 0,678(10) [6]
ß 0,13(2) 0,352(23) [6]
Рис. 4. Расчет индекса методом локальной скейлинговой аппроксимации
данное скейлннговое соотношение имеет вид [3]:
U(t,L) = U(t',L'), (6)
где t' = bzt,L' = ЪЬ. Соотношение (6) позволяет определить значение z, подобрав такой множитель bz, при котором кумулянты U(t, L) и U(t',L') для двух решеток различных размеров L и L' совпадут. Этот метод называется методом глобальной скейлинговой аппроксимации [3]. В данной работе для решеток с размерами L = 64 и И = 128 вычислялись временные зависимости кумулянтов (рис. 2), для которых на определенных временных интервалах методом наименьших квадратов подбирался множитель 2Z, обеспечивающий равенство кумулянтов. Применение данного метода позволило определить значение динамического критического индекса z = 2, 76 ± 0,14, которое в пределах статистических погрешностей проведенных расчетов согласуется со значением индекса z = 2, 64 ± 0,10, полученным на основе анализа критической временной зависимости для кумулянта Биндера U(t).
Значение динамического критического индекса из выражения (6) может быть также получено с помощью процедуры локальной скейлинговой аппроксимации [3]. Так, сопоставляя значения кумулянтов U(t,L) и U(t',L') для решеток двух различных размеров на каждом шаге Монте-Карло, выделяется такой момент времени t', при котором соотношение (6) выполняется. В результате определяется bz = t'/1 и выделяется зависимость значений индекса z от времени t (рис. 4). Окончательное значение индекса z = 2, 87 ± 0,18 было определено путем усреднения по времени. Проведенный анализ показывает, что метод локальной скейлинговой аппроксимации характеризуется наибольшей погрешностью, хотя все полученные значения динамического критического индекса согласуются в пределах указанных статистических погрешностей.
Сравнительный анализ приведенных в таблице значений критических индексов, полученных в данной работе для модели со случайными магнитными полями, с известными из литературных источников значениями аналогичных критических индексов для неупорядоченной ферромагнитной модели Изинга с эффектами случайной температуры фазового перехода (критические характеристики эквивалентны антиферромагнитной модели Изинга в отсутствие внешнего магнитного поля), рассчитанными в рамках ре-нормгруппового теоретико-полевого подхода [?], а также результатами численного исследования аналогичными методами такой же антиферромагнитной модели при Н = 0 [5] показывает, что эффекты влияния случайных магнитных полей приводят к значительному увеличению времени релаксации системы в критической области ~ 17"|_г1'))1 аномальному росту корреляционной длины (£ ~ М-") и более сглаженному температурному поведению «шахматной» намагниченности (М8(9 ~ (—г)'3).
[1] Прудников В.В., Марков О.П., Осинцев Е.В. Фазовые превращения в неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга // ЖЭТФ. 1999. Т. 116. № 3. С. 953-961.
[2] Zheng В. Monte Carlo simulations of short-time critical dynamics. // Int. J. Mod. Phys. 1998. V. B12. P. 1419-1484.
[3] Li Z., Schulke L., Zheng B. Finite scaling and critical exponents in critical relaxation // arXivxond-mat/9508148. 1995. P. 1-24.
[4] Прудников В.В., Велим С.В., Иванов А.А., Осинцев Е.В., Федоренко А.А. Критическая динамика слабо неупорядоченных спиновых систем // ЖЭТФ. 1998. Т. 114. № 3. С. 972-984.
[5] Прудников В.В., Семикина М.Н. Исследование критического поведения неупорядоченного антиферромагнетика методом коротковременной динамики //Вести. Ом. ун-та. 2005. № 1. С. 26-28.
[6] Pelissetto A., Vicari Е. Randomly dilute spin models: a six-loop field-theoretic study // Phys. Rev. B. 2000. V. 62. P. 6393.
