CC BY
7
ФИЗИКА
Вестник Омского университета, 2005. № 1. С. 26-28. © В.В. Прудников, М.Н. Семикина, 2005
ИССЛЕДОВАНИЕ КРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ НЕУПОРЯДОЧЕННОГО АНТИФЕРРОМАГНЕТИКА МЕТОДОМ КОРОТКОВРЕМЕННОЙ ДИНАМИКИ*
В.В. Прудников, М.Н. Семикина
Омский государственный университет, кафедра теоретической физики 644077, Омск, пр. Мира, 55а
Получена 25 апреля 2004 г-
Monte Carlo simulations of the short-time dynamic behaviour are reported for three-dimensional Ising diluted antiferromagnet with the next-nearest-neighbor spin interactions. The static and dynamic critical exponents are calculated with the use of the corrections to scaling.
В данной работе исследуется трехмерная антиферромагнитная модель Изинга с учетом взаимодействия спинов, следующих за ближайшими соседями, и влияния немагнитных атомов примеси, задающих возмущение типа случайной локальной температуры фазового перехода. Модель определяется гамильтонианом:
Н = /'■/';-4.-4; + ¿2 ^Р^Рквгвк, (1)
где б'г = ±1; Jl = 1 характеризует обменное взаимодействие ближайших спинов, имеющее антиферромагнитный характер; ^ = —1/2 задает ферромагнитное обменное взаимодействие спинов, следующих за ближайшими соседями; р^ -случайные переменные, описываемые функцией распределения Р(рг) = рб(рг - 1) + (1 - р)6(рг) и характеризующие распределенные по узлам решетки замороженные немагнитные атомы примеси (пустые узлы) с концентрацией = 1 — р, где р - спиновая концентрация системы.
Известно, что для изингоподобных систем присутствие замороженных точечных примесей приводит к новому типу критического поведения (см. [1]). Обычные методы Монте-Карло численного определения характеристик критического поведения систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия, сильно осложняются из-за эффектов критического замедления времени релаксации и времени корреляции состояний системы вблизи температуры фазового перехода. Обычно эти трудности преодолевают
*Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант 04-0217524) и Минобразования России (грант Е02-3.2-196)
путем применения для моделирования критического поведения кластерных алгоритмов, типа алгоритмов Вольфа и Свендсена-Ванга. Однако они неприменимы для исследования динамических критических свойств, так как меняют динамический класс универсальности системы. В последнее время был предложен и отработан в процессе исследования критического поведения однородных систем метод коротковременной динамики, который позволяет получать информацию о характеристиках критического поведения на ранних этапах эволюции системы (см.. напр..
[2]).
С помощью метода ренормгруппы было показано, что некоторые системы уже на макроскопически малых временах демонстрируют универсальное скейлинговое поведение [3]. Для систем, эволюционирующих из абсолютно упорядоченного начального состояния, справедливо следующее скейлинговое соотношение для к-го момента параметра порядка (для двухподрешеточного антиферромагнетика роль параметра порядка играет «шахматная» намагниченность М8(9 - разность намагниченностей подрешеток):
М(*>(*, г, Ь) = ЬЬ), (2)
где Ь - скейлннговый множитель, I - время динамической эволюции, Ь - линейный размер решетки, г = (Т — Тс)/Тс - приведенная температура. Существует несколько способов получения значений критических индексов с помощью данного выражения. В первом скейлннговый множитель Ь принимается равным ги пренебрегается в (2) зависимостью от размера решетки. В результате в критической точке (г = 0) временные зависи-
Исследование критического поведения неупорядоченного антиферромагнетика.
27
1_=32
кюо
Рис. 1. Временная зависимость «шахматной» намагниченности для размеров решетки Ь = 32 и Ь = 64
Рис. 3. Временные зависимости «шахматной» намагниченности для решеток с размерами Ь=32 и Ь=64: квадраты — перемасштабированные значения намагниченности для Ь = 64
Рис. 2. Временная зависимость кумулянтов Биндера для размеров решетки Ь = 32 и Ь = 64
мости для параметра порядка М(1) и кумулянта Биндера 11(1) принимают следующий асимптотический вид:
М'2
(3)
(4)
где с! - размерность системы. При компьютерном моделировании неупорядоченных систем с замороженными примесями временные зависимости для к-х моментов параметра порядка получаются не только усреднением по «прогонкам», задающим статистическое усреднение, но и по различным реализациям случайного распределения примесей по образцу - примесным конфигурациям. В данной работе термодинамические характеристики поведения получались при моделировании решеток с размерами Ь = 32 и 64 и усреднении соответственно, по 500 и 200 примесным конфигурациям при 20 «прогонках» для каждой примесной конфигурации.
Соотношения (3) - (4) позволяют определить как температуру фазового перехода Тс, так и критические индексы г, V, /3 по наклону графиков, получаемых, например, при компьютерном моделировании критического поведения соответствующих величин от времени, в двойном лога-
Рис. 4. Временные зависимости кумулянта для решеток
с размерами Ь = 32 и Ь = 64: квадраты — перемасштабированные значения кумулянта для Ь = 64
рифмическом масштабе (рис. 1, 2). В работе была выделена температура фазового перехода системы Тс = 8, 010 ± 0, 001. В таблице представлены полученные из анализа временных зависимостей Мц1Я(1) и 11(1) для решетки с размером Ь = 64 значения динамического индекса г и отношения индексов /3/г/.
Однако для небольших размеров решетки, доступных для компьютерного моделирования, зависимость М^ от Ь в (2) может оказаться существенной, поэтому важным оказывается применение метода конечномерного скейлинга [4]. Из (2) при г = 0 можно получить выражения:
и(%ц = ща,ь'), (5)
\М(^Ь)\ = Ь^\М(^Ь')1 (6)
где 1' = , Ь' = ЬЬ. Соотношение (5) позволяет определить значение динамического индекса .г, подобрав такой множитель Ьг, при котором кумулянты 17(1, Ь) и и(1',Ь') для двух решеток различных размеров Ь и И совпадут. Этот метод называется глобальной скейлинговой аппроксимацией. В данной работе для решеток с размерами Ь = 32 и V = 64 вычислялись временные зависимости «шахматной» намагни-
28
B.B. Прудников, M.H. Семикина
Значения показателей z,ß/v, полученные различными методами
Рис. 5. Значения . вычисленные методом локального конечномерного скейлинга
Рис. 6. Значения i/ f. вычисленные методом локального конечномерного скейлинга
ченности (рис. 1) и кумулянтов (рис. 2), для которых на определенных временных интервалах методом наименьших квадратов подбирался множитель 2Z, обеспечивающий равенство кумулянтов. Используя полученное значение z, на основе соотношения (6) аналогичным образом можно найти значение показателя /З/V. Значения критических индексов, определенные методом глобальной скейлинговой аппроксимации, также представлены в таблице. Достоверность полученных данным методом значений критических индексов продемонстрировано на рис. 3, 4, на которых представлены результаты перемасштабирования зависимостей Mstg(t) и U(t) для решетки с L = 64 с масштабными множителями, соответственно равными v и 2Z . На рисунках видно, что перемасштабированные Mstg(t) и U(t) для решетки с L = 64 прекрасно совпадают с Mstg(t) и U(t) для решетки с L = 32.
Получить значения критических индексов из выражений (5), (6) можно также с помощью процедуры локальной скейлинговой аппроксимации. Так, сопоставляя значения кумулянтов U(t, L) и U(t',L') для решеток двух различных размеров на каждом шаге Монте-Карло, выделяем такой момент времени t', при котором соотношение (5) выполняется. В результате получаем bz = t'/t. Для того же t', зная z, находится из (6) значе-
Методы z ß/v
Критическая 2,15 ±0,02 0, 534 ± 0, 004
асимптотика
Глобальный 2,14 ±0,02 0, 529 ± 0, 004
конечномерный
скеилинг
Локальный 2,14 ±0,02 0.528 ± 0, 007
конечномерный
скеилинг
Теоретико- 2,17 ± 0, 01 [5] 0, 52 ± 0, 01 [1]
полевой подход
ние показателя ß/v. В итоге выделяются значения критических индексов как функции времени t (рис. 5, 6). Окончательные значения критических индексов определяются путем усреднения по времени (приведены в таблице).
Сопоставление в данной работе значений критических индексов, полученных различными методами, с известными из литературных источников значениями индексов, рассчитанными в рамках теоретико-полевого подхода, показывает их хорошее согласие в пределах статистических погрешностей результатов. Наряду с этим результаты проведенных исследований позволяют признать примененный в данной работе метод коротковременной динамики надежной альтернативой традиционным Монте-Карло методам получения характеристик критического поведения для неупорядоченных систем, в которых проявляются эффекты случайных обменных взаимодействий.
[1] Фольк Р., Головач Ю., Яворский Т. Критические показатели трехмерной, слабо разбавленной замороженной модели Изинга // УФН. 2003. Т. 173. № 2. С. 175-200.
[2] Zheng В. Monte Carlo simulations of short-time critical dynamics // Int. J. Mod. Phys. 1998. B12. P. 1419-1484.
[3] Janssen H.К., Schaub В., Schmittmann В. // Z. Phys. 1989. В 73. P. 539.
[4] Li Z., Schulke L., Zheng В. Finite scaling and critical exponents in critical relaxation // arXivxond-mat/9508148. 1995. P. 1-24.
[5] Велим C.B., Осинцев E.B., Прудников B.B., Фе-доренко A.A. Критическая динамика неупорядоченных магнетиков в трехпетлевом приближении // ФТТ. 1998. Т. 40. №.8. С. 1526-1531.
