Исследование напряженного состояния в шестиугольной пластинке, ослабленной двумя круглыми отверстиями с шероховатостью Текст научной статьи по специальности «Математика»

Исследование напряженного состояния в шестиугольной пластинке, ослабленной двумя круглыми отверстиями с

шероховатостью

Калбиев.Р.К (elektroset@box.az)

Азербайджанский Архитектурно-строительный университет г. Баку, Азербайджанский Республика

Развитие современной техники невозможно без наличия надежных, научно обоснованных и экспериментально подтвержденных методов расчета напряженного состояния деталей машин и элементов конструкций.

Работоспособность деталей машин и элементов конструкций в виде пластин зависит от наличия в них концентратов напряжений типа полостей, щелей, шероховатостей и т.д. Поэтому изучение распределения напряжений и деформаций около таких дефектов представляет теоретический и практический интерес.

Одна из важнейших проблем механики деформируемых твердых тел - анализ их напряженно-деформированного состояния около указанных дефектов.

В работе на основе методов теории функции комплексного переменного и конформного отображения рассмотрены напряженное состояние для неодносвязных областей. Искомые функции ищутся в виде степенных рядов, коэффициенты которых определяются решением совокупности некоторых бесконечных систем линейных алгебраических уравнений.

Работа посвящена вопросу напряженного состояния шестиугольной пластинки, ограниченной снаружи шестиугольным контуром а изнутри симметрично расположенными двумя близкими круговыми отверстиями. Считается, что реальная поверхность детали имеет микро или макроскопические неровности технологического характера, образующие шероховатость.

Исследуем однородную изотропную пластинку, состоящую из трехсвязной области Б ограниченной снаружи шестиугольным контуром Ь0, а изнутри симметрично расположенными двумя близкими круговыми отверстиями Ь1 и Ь2 с одинаковыми радиусами г1 ( г1 = г2 ).

Введем полярную систему координат. Представим границу внутренних контуров Ь1 и Ь2 пластинки в следующем виде р(Э)=Г1,2+51,2(е)

Запишем второе слагаемое в правой части уравнения в следующем виде

5и(е)=бНи(е)

здесь 8-малый параметр, равный отношению высоты наибольшего выступа профиля к радиусы отверстия или отношению глубины наибольшей выпадины профиля к радиусу отверстия; Ни(е)-функция, независящая от малого параметра. Компоненты тензора напряжений ищем в виде [1] разложений по малому параметру 8:

аг = а(0) + шР +...

°в = а(е0) + еа™ +... ( 1 )

те = тв0) + £тв1) +...

в которых для упрощения задачи пренебрегаем членами, содержащими малый параметр 8 в степени выше первой. В соотношениях (1) ог(0), ое(0) и Т1-е(0) - напряжения нулевого приближения, а ог(1), ое(1) и Т1-е(1) -напряжения первого приближения. Каждое из приближений удовлетворяет системе дифференциальных уравнений теории упругости.

При этом на контуры пластинки действуют кусочно-равномерно распределенные нагрузки с интенсивностью Р0, Р1 и Р2 соответственно под углом 2а0, 2а1 и 2а2 (Рис. 1).

Как известно [1], определение напряженного состояния в данной области приводиться к нахождению двух аналитических функций фф и уф комплексных переменных, удовлетворяющих определенным граничным условиям:

ф(1) + ф(1) + = + С , t е Ц , (] = 02)

Здесь t - аффикс точек контура Ь С] -вещественные постоянные (одну из которых, например С0, примем равной нулю, а С1, С2 определяются по ходу решения задачи). ^(1) примем в виде

степенного ряда, т.е.

<х> _

f ] (1) = ^ (] = 0, 2 )

V=-х>

т-аффикс точки контура единичной окружности, И^ определяются из условия непрерывности функций на контуре Ь]. Аналитические функции фф и уф в трехсвязной области Б ищем в виде

Ф(ъ) = а(^)к +. I. Ь^Ь^ +. I. е^Ь^

-)к + Ь к=о "Д к=1 к 'ъ-е^ к=1 к + е2

Ф(ъ) = 1 Дк1^ + 1 вк1)(—-—)к + 1 е(1)(———)к

к=0>к КД' ' к=1^к чъ-е/ ' к=1^к чъ + е2 основе геометрических и (к = 0, Ы) будут вещественными.

На основе геометрических и силовых симметрии коэффициенты а^Ь^ек1', дС^вС^Ек"1

Рис. 1.

Так как контур Ь0 отличен от окружности, при решении поставленной задачи будем использовать функции [3]

ъ = Ат

т

1 +

V т^ )

(2)

а + Ь | , а - Ь

где А = —-; т _--

2 1 1 а + Ь

а и Ь соответственно радиусы окружностей, описанных вокруг шестиугольник и вписанных в шестиугольник Ь0; д-число осей симметрии (число сторон), д=6.

Знак т определяет форму расположения контура Ь0 в плоскости 2=х+гу. Когда т>0, большая ось симметрии кривой совпадает с осью абсцисс, а когда т<0, то малая ось симметрии кривой совпадает с осью абсцисс. Очевидно, что в (2) при т=0 контур Ь0 превращается в окружность, а при д=2 в эллипс. При д>2 абсолютное значение т может быть определено по формуле:

I I 1 6 1

т _-— и для шестиугольника д=6; т _ —

(ч -1)2 25

После некоторых выкладок и преобразований [1] находят коэффициенты

а^.Ь^.е^, а[,1),в[,1),е[,1) (к = 0,Ы). После этого по формуле Колосова-Мусхелешвили

определяется компоненты напряжений ог, ое в точках произвольно взятых центральных сечений пластинки.

Перейдем к решению задачи в первом приближении [2]. Граничные условия этой задачи имеют вид

Ф1(1)+Ф1(1)+= ^(1) + с(1), 1 е ц , (] = 072")

е _

f ( 1 >(1) = -1г] \ (Хп +1 Уп)сЮ (] = 0, 2 )

0

Хп + ¡Уп =-(Ы + И)е'е

При г=г1=г2

N _ а <1)|г _ п = -н(е) +2тГ0) Л сн(е)

г |г=Г1 5г ге р се

Т _ т(1)| „ _ (о(0) о(0)) 1 сн(е) н(е) дте0г) Т _ тег 1г_г1 _ (ое - ог - Н(е)^-

^(1) _ £Н^1тх

т _ ею

V _-<х>

Дальнейший ход решения задачи аналогичен нулевому приближению [2]. Для удобства в первом приближении сохранены обозначения для искомых коэффициентов. Таким образом в

первом приближении для определения коэффициентов а к1), Ь к1), е к"1), А^В^Ек1 (к _ 0, N

получены 6 группы бесконечных систем линейно алгебраических уравнений, отличающихся от нулевого (что очень удобно при расчетах на ЭВМ) правой частью системы.

Полученные решение в зависимости от параметров шероховатости, геометрических и силовых факторов можно распространит на решение многочисленных частных задач.

В случае, когда пластинка подвержена наружному давлению при а0=300, а0=900, Р0=Р, ^=е2=е1=Р2=Р1=0, 8=0,04, г1 / в =0,5 (Рис. 2) определены компоненты напряжений ог, ое в сечении х=0. Граничные условия в характерных точках удовлетворяются достаточно точно.

а0=900, Р0=Р, r2=е2=еl=Р2=Рl=0, 8=0,04, Г1 / в =0,5 (Рис. 3).

V Р V р

Рис. 3

а0=300, Р0=Р, r2=е2=еl=Р2=Рl=0, 8=0,04, п / в =0,5 (Рис. 4).

Р

Р

-1,33

-1

Рис. 4

Заключение

Результаты численных примеров показывает, что влияние шероховатости сказывается увеличении коэффициентов концентрации напряжений, это влияние имеет место в поверхностном слое не превышающем утроенного размера максимальной впадины или выступа. Отношения кратчайшего расстояния от центра отверстий до наружного контура к радиусу отверстий (в /Г]) имеют существенное влияние на концентрацию напряжений. Когда г/в увеличивается показатели шероховатости е существенно влияет на концентрации напряжений. Результаты показывают что, с увеличением показатели шероховатости е концентрация напряжений в начале постепенно а в дальнейшем резко увеличивается.

Литература.

1. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 648с.

2. Калбиев Р.К. Исследование напряженного состояние в квадратной пластинке ослабленной двумя круглыми отверстиями с шероховатостью, под действием кусочно-равномерно распределенных контурных нагрузок// Ученые записки №1,2 АзИСУ, Баку, 2000, с. 240-244.

3. Кулиев С. А. Двумерные задачи теории упругости. М.: Стройиздат, 1991. 351с.