Научная статья на тему 'Исследование напряженного состояния в шестиугольной пластинке, ослабленной центральным круглым отверстием с шероховатостью'

Исследование напряженного состояния в шестиугольной пластинке, ослабленной центральным круглым отверстием с шероховатостью Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

CC BY
86
27
Поделиться

Аннотация научной статьи по механике и машиностроению, автор научной работы — Калбиев Р. К.

Работа посвящена изучению напряженного состояния шестиугольной пластинки, ограниченной снаружи шестиугольным контуром, а изнутри центрально расположенным отверстием, близким к круговому. На основе методов теории функции комплексного переменного и конформного отображения рассмотрено напряженное состояние для неодносвязных областей. Искомые функции ищутся в виде степенных рядов, коэффициенты которых определяются решением совокупности некоторых бесконечных систем линейных алгебраических уравнений.

Похожие темы научных работ по механике и машиностроению , автор научной работы — Калбиев Р. К.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Investigation of tension state within hexagonal plate weakened by round rough center hole

This work was devoted to the studies of tension state of hexagonal plate bounded with hexagonal contour on the outer side and inside it was bounded with aperture located in the center close to circular one. The sate of tension for multiply connected areas was considered basing on the theory methods of complex alternating and conforming reflection functions. The functions were represented in the form of exponential series the coefficients of which were determined by nonterminating systems of linear algebraic equation solution.

Текст научной работы на тему «Исследование напряженного состояния в шестиугольной пластинке, ослабленной центральным круглым отверстием с шероховатостью»

потери через наружные поверхности бруса и бревна (кривые 2) вначале резко растут, достигая при ч максимальных значений, а затем уменьшаются, стремясь к своим стационарным значениям. Тепловые потери через внутренние поверхности бруса и бревна (кривые 1) с самого начала постоянно медленно растут, также асимптотически стремясь к своим стационарным значениям только снизу. После выхода процесса теплопереноса на стационарный режим тепловые потери через внутреннюю и наружную поверхности каждого из фрагментов уравниваются, что служит одним из подтверждений достоверности расчетов. При этом тепловые потери через утепленный брус ниже, чем через утепленное бревно: 6,3 Вт и 7,8 Вт соответственно.

Таким образом, на основании математического моделирования процессов нестационарного тепло-переноса в неоднородных брусе и бревне выявлены

закономерности распределения температур и плотностей тепловых потоков в их поперечных сечениях; проведен сравнительный анализ теплозащитной эффективности. Показано, что снижение теплопроводности утеплителя и использование деревянных фрагментов в форме утепленного бруса вместо утепленного бревна приводит к повышению теплозащитной эффективности деревянных наружных ограждений. Разработанная численная технология позволяет проводить тепловую экспресс-диагностику наружных утепленных деревянных стен с различными теплофизическими и геометрическими характеристиками древесины и утеплителя в реальных условиях эксплуатации.

Работа выполнена по программе Федерального агентства по образованию "Развитие научного потенциала высшей школы" (Подпрограмма 2. Прикладные исследования и разработки по приоритетным направлениям науки и техники), код проекта 7756.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. СНиП 11-3-79*. Строительная теплотехника / Госстрой России. - М.: ГУП ЦПП, 2000. - 29 с.

2. Пат. 38793 Россия. МПК E04C 3/292. Деревянный брус / А.Н. Хуторной, С.В. Хон, А.Г. Козырев, А.В. Колесникова, О.И. Недавний, А.Я. Кузин, Н.А. Цветков. Приоритет 22.03.2004. Зарегистрирован 10.07.2004. Бюл. № 19. - 2 с.: 1 ил.

3. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. - Новосибирск: Наука, 1967. -195 с.

4. Гришин А.М., Берцун В.Н. Итерационно-интерполяционный метод и теория сплайнов // Доклады АН СССР. - 1974. - Т. 214. - № 4. - С. 751-754.

5. Гришин А.М., Зинченко В.И., Ефимов К.Н., Субботин А.Н., Якимов А.С. Итерационно-интерполяционный метод и его приложения. - Томск: Изд-во Томск. ун-та, 2004. - 318 с.

6. Гришин А.М., Кузин А.Я., Миков В.Л., Синицын С.П., Трутников В.Н. Решение некоторых обратных задач механики реагирующих сред. - Томск: Изд-во Томск. ун-та, 1987. - 247 с.

7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1973. - 831 с.

8. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. - М.: Наука, 1978. - 592 с.

9. Богословский В.Н. Строительная теплофизика. - М.: Высшая школа, 1970. - 376 с.

УДК 621.923

ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ В ШЕСТИУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНКЕ, ОСЛАБЛЕННОЙ ЦЕНТРАЛЬНЫМ КРУГЛЫМ ОТВЕРСТИЕМ С ШЕРОХОВАТОСТЬЮ

Р.К. Калбиев

Азербайджанский архитектурно-строительный университет, г. Баку E-mail: elektroset@box.az

Работа посвящена изучению напряженного состояния шестиугольной пластинки, ограниченной снаружи шестиугольным контуром, а изнутри центрально расположенным отверстием, близким к круговому. На основе методов теории функции комплексного переменного и конформного отображения рассмотрено напряженное состояние для неодносвязных областей. Искомые функции ищутся в виде степенных рядов, коэффициенты которых определяются решением совокупности некоторых бесконечных систем линейных алгебраических уравнений.

Работоспособность деталей машин и элементов конструкций в виде пластин зависит от наличия в них концентратов напряжений типа полостей, щелей, шероховатостей и т.д. Поэтому изучение распределения напряжений и деформаций около таких дефектов представляет теоретический и практический интерес.

Как известно, в отличие от идеальной, изображаемой на чертежах, реальная поверхность тел (деталей) никогда не бывает абсолютно гладкой, а всегда имеет микро- или макроскопические неровности, образующие шероховатость. Качество обработки поверхности деталей машиностроении существенно влияет на их прочность. Так, например,

повышение чистоты обработки при прочих равных условиях увеличивает статическую прочность, особенно хрупкую, и, в большей степени, предел выносливости. Эти факты объясняются влиянием микрогеометрии обработанной поверхности на напряженное поле. Таким образом, неровности, образующиеся при обработке рабочей поверхности, являются эффективными концентраторами напряжений и могут в несколько раз снижать прочность.

Исследуем однородную изотропную пластинку, состоящую из двухсвязной области ограниченной снаружи шестиугольным контуром Ьь а изнутри центрально расположенным отверстием, близким к круговому Ьг (рис. 1).

Рис. 1. Шестиугольная пластинка, ослабленная центральным круглым отверстием с шероховатостью

Введем полярную систему координат. Представим границу внутреннего контура пластинки в следующем виде (рис. 2):

р(в)=г2+5(в), где в - аргумент точки контура Ь2.

Запишем второе слагаемое в правой части уравнения в виде 8(в)=еН(в). Здесь е - малый параметр, равный отношению высоты наибольшего выступа профиля к радиусу отверстия или отношению глубины наибольшего отступа профиля к радиусу отверстия; Н(в) - функция, независимая от малого параметра.

Компоненты тензора напряжений ищем в виде разложений по малому параметру е:

а=а(0)+еа(1)+...,

ав=авГ+еав(1)+..., (1)

т =т (о) +ет (1)+

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1гв 'в г в '•••>

в которых для упрощения задачи пренебрегаем членами, содержащими малый параметр е в степени выше первой. В соотношениях (1) а(0), ав<0> и тв(0) - напряжения нулевого приближения, а а (1), ав(1) и тгв(1) - напряжения первого приближения. Каждое из приближений удовлетворяет системе дифференциальных уравнений равновесия.

Рис. 2. Шероховатость внутреннего контура

Граничное условия на внешнем шестиугольном контуре будут [1] в нулевом приближении такие же, как в исходной задаче

ящ=т

и в первом приближении будут нулевыми

¿(1)(0=о.

Значения компонент напряжений (а(0), ов(0), тв<0), а(1), ов(1), тгв(1>) при г=р(в) найдем, разлагая в ряд выражения для напряжений в окрестности г= г2.

5о.(0) ■

и

(0)

= и(0) +-

r =р r r= Г2

dr

sH (в) +...

(2)

T(1) =T(1) +

в r=p 1 в r r =r2 ^

5т(1) I

ULer

dr '

=r2 sH (в) +...

Граничные условия на контуре L2 представим в виде

ип = иг cos2 р +ив sin2р- 2тгв sinp cosp = 0, rnt = (ив -иг )sinpcosp +тгв (sin2p- cos2p) = 0. (3)

Если взять sinp и cosp с точностью до величин первого порядка малости и подставить выражения (2) в граничные условие (3), то после преобразования краевые условия при r= r2 получим в следующем виде:

И(0) = 0; т(? = 0,

И + h (в) ди^ - 2r.(°) — die = 0,

dr

dQ

г« + H (в) Т-

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

dr

(ив(°) -CTr(0))—= 0. r2 ёв

(4)

Решение в нулевом приближении является известным. При этом на контуры пластинки действуют кусочно-равномерно распределенные нагрузки с интенсивностями Р1 и Р2 соответственно под углом 2а1 и 2а2 (рис. 1).

Перейдем далее к представлению компонент напряжения при помощи функций ф, у. С этой целью найдем выражение для усилия, действующего на элемент какого-либо профиля, проведенного в плоскости Оху.

Рассмотрим на этой плоскости какую-либо дугу АВ. Для определенности припишем ей некоторое положительное направление, а именно от А к В, и будем проводить нормаль п к ней вправо по отношению к наблюдателю, движущемуся в положительном направлении. Иными словами, предположим, что положительные направления нормали и касательной расположены друг относительно друга так же, как направления осей Ох, ООу (рис. 3). Под усилием (Х^, У^), действующим на элемент ds дуги контура, будем, как всегда, подразумевать усилие, действующее со стороны положительной нормали [1].

Найдем выражение для главного вектора усилий, приложенных к данной дуге АВ, расположенной в области занятой телом. Обозначим через (X, Т) главный вектор.

Если считать точку А зафиксированной, а точку В - переменной, и обозначить ее аффикс через 1=х+1у, получим:

ф( z) + 2ф'( z) z) = i J (Xn + iYn )ds +

const =

= i(X + iY) + const, (5)

где (X, Y) представляет собой главный вектор усилий, приложенных со стороны положительной нормали к произвольной дуге, соединяющей фиксированную точку А с переменной точкой В(х, у), причем положительная нормаль считается обращенной вправо по отношению к наблюдателю, движущемуся по рассматриваемой дуге от А к В (рис. 3).

Рис. 3. Представление компоненты напряжений

В случае задачи I граничное условие можно выразить двумя различными способами. Мы укажем только один из них. Способ, на котором мы остановимся, заключается в следующем. Пусть Хп(/), Тп(/) или, при иных обозначениях, Х„(я), 7п(я), - заданные значения компонент внешнего напряжения в данной точке / контура; через 5 обозначена, как всегда, дуга контура, соответствующая точке отсчитываемая в положительном направлении от некоторой фиксированной точки ¡0. За положительное направление на Ь примем то, что остается в области 5 слева.

На основании формулы (5) имеем:

t

ф (t) + tW) +W) = i J (X„ + iYn )ds =

t0

s

= i J (Xn + iYn )ds.

(6)

Выражение в левой части формулы (6) следует понимать как граничное значение выражения

ф(т) + 2ф '(2) +у(2)

при стремлении г к точке I контура Ь. Это граничное значение, как легко видеть, существует вследствие принятого нами условия относительно непрерывности компонент напряжения вплоть до контура Ь. Заметим еще, что формулу (6) мы написали, опираясь на формулу (5), которая была выведена в предположении, что дуга, обозначенная через АВ, целиком расположена в Однако, как легко видеть, в нашем случае последняя формула применима и тогда, когда дуга АВ принадлежит границе Ь; это вытекает из того же условия непрерывности компонент напряжения вплоть до границы [1].

Таким образом, граничное условие задачи I выражается формулой (6), понимаемой в указанном выше смысле.

Как известно [1], определение напряженного состояния в данной области приводиться к нахождению двух аналитических функций ф(г) и у(г) комплексных переменных, удовлетворяющих определенным граничным условиям на

Ф(0 + Ф) +У(0 = /(О + с^, Г е , (] = 1,2). (7)

Здесь / - аффикс точек контура Ь; - вещественные постоянные (одну из которых, например С1, примем равной нулю, а С2 подлежит определению). /() примем в виде степенного ряда, т.е.

f i(t) =£ VvT, fx(t) = 0,

(8)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где т=е'в, т- аффикс, а в - аргумент точки контура единичной окружности, определяются из условия непрерывности функций Д/) на контуре Ь1.

Аналитические функции ф(г) и у(г) в трехсвяз-ной области 5 ищем в виде

Ф( Z) = £ ^ ll

(z)=£ А" 1А

+£ iz

+£ ^ 17

(9)

На основе геометрических и силовых симметрий (это есть условие равенства нулю главного момента внешних усилий) коэффициенты ае(1), ее(1), Д.(1), Ек11) (к=0,<») будут вещественными [1]. N - верхний предел суммы. Выбирается в зависимости от точности, с которой желательно получить искомое решение. Формально, лишь с целью несколько облегчить математические выкладки, верхний предел возьмем равным бесконечности, в последующем, для иллю-

АВ

х

страции решения фактически будем рассматривать

а + в

лишь укороченные системы; А = .

Внешность правильного многоугольника Ьь как известно, отображается на внешность единичного круга в плоскости £ с помощью следующей функции [3]

2 = Ат| 1 +

т

где т = -

(10)

а ив соответственно радиусы

Стг(0) +

(11)

Перейдем к решению задачи в первом приближении [2].

Граничные условия этой задачи имеют вид

Ф1 (/) + ) (/) = /(1)(/) + С(р, I е Ц, (] = 1,2),

в

/1 (Г) = 0, /«(/) = -/г,1(Хп + /Уп)(в, (] = 1,2),

о

где ¡=г2е'в.

Х, + /Уп =- (Ж + /Т )е'в.

Будем считать заданными нормальную и касательную компоненты N и Т внешнего напряжения,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

действующего на границу Ьг (если заданы Хп, Уп, то тем самым будут заданы N Т, и обратно). Мы будем считать, что N представляет собой проекцию напряжения, приложенного к дуге границы, на внешнюю нормаль п, а Т - проекцию того же напряжения на касательную к границе, направленную влево, если смотреть вдоль п.

При г=г2, из выражения (4)

дст.(0) „ (0) 1 с(Н(в)

а + в

окружностей, описанных вокруг многоугольника и вписанных в многоугольник Х1; д - число осей симметрии (число сторон), д=6.

Знак т определяет форму расположения контура Ь1 в плоскости 1=х+1у.

Когда т>0, большая ось симметрии многоугольника совпадает с осью абсцисс, а когда т<0, то малая ось симметрии многоугольника совпадает с осью абсцисс. Очевидно, что в (4) при т=0 контур Ь0 превращается в окружность, а при д=2 в эллипс. При д>2 абсолютное значение т может быть определено по формуле:

1

т =-2,

1 ' (ч -1)2

и для шестиугольника д=6; т=1/25.

Далее, принимая во внимание (8), (9) и (10) в граничных условиях (7) на (/'=1, 2), производятся математические выкладки с таким расчетом, чтобы из преобразованных краевых условий можно было бы сравнить коэффициенты при одинаковых степенях соответствующих переменных.

Таким образом, в конечном итоге, определение коэффициентов ак(1), ек(1>, Лкт, Ект, (к=0^) разложений в (9), сведено к решению четыре групп взаимосвязанных бесконечных систем линейных алгебраических уравнений.

После этого по формуле Колосова-Мусхелеш-вили определяются компоненты напряжений аг, ав в точках произвольно взятых центральных сечений пластинки:

ст<°> + ств0) = 4Яе[ф '(г)],

2/тв0) = 2[ ~гф "(г) + г)]е2Ю.

N =а

(1)

(1)

= - Н (в)-

Т = т

дг 1

- + 2т

(Н (в) - Н(в) дтво)

с1в дг

Для каждого профиля обработанной поверхности (реализация шероховатой поверхности) внутреннего контура пластинки функцию Н(в) можно разложить в степенной ряд на отрезке [0; 2п]. Используя формулы (11), разложение функции Н(в), представим правую часть краевого условия /2(1)(0 в виде степенного ряда при г=г2

да

/^) =Х Н(2)ту; т = е'в.

V = -да

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Исследование распределения напряжений возле границ пластинки с неровностями на контуре можно проводит в детерминистической и случайной постановке. Для расчетов и был принят следующий закон распределения шероховатости:

Н (в)=( (12)

й - высота выступов, а I - шаг.

Дальнейший ход решения задачи аналогичен нулевому приближению. Для удобства в первом приближении сохранены обозначения для искомых коэффициентов. Таким образом, в первом приближении для оппределения коэффициентов ак(1>, ек(1>, Лк(1>, Ек(1\ (к=0,N) получены 4 групп бесконечных систем линейно алгебраических уравнений, отличающихся от нулевого (что очень удобно при расчетах на ПЭВМ) правых частей системы.

Полученные решения в зависимости от параметров шероховатости (12), геометрических (г2/в) и силовых факторов (Р1, Р2, а1, а2) можно распространить на решение многочисленных частных задач.

В случае, когда пластинка подвержена наружному давлению при а1=30°, а2=90°, Р1=Р, Р2=0, е=0 (в нулевом приближении), е=0,04, г2/в=0,5 (рис. 4) определены компоненты напряжений аг, ав в сечении х=0. В характерных точках проверены граничные условия и выяснено, что наибольшее отклонение не превышает 1 %.

Нами были рассмотрены следующие конкретные примеры:

а1=90°, Р1=Р, Р2=0, е=0,04, г2/в=0,5 (рис. 4, а). а1=30°, Р1=Р, Р2=0, е=0,04, г2/в=0,5 (рис. 4, б). а1=30°, Р1=Р, Р2=0, е=0, г2/в=0,5 (рис. 4, в).

Выводы

Анализ численных примеров показывает, что влияние шероховатости сказывается на увеличении коэффициентов концентрации напряжений, это влияние имеет место в поверхностном слое, не превышающем утроенного размера максимальной впадины или выступа. Отношения кратчайшего расстояния от центра отверстий до наружного контура

к радиусу отверстий (в/г2) имеют существенное влияние на концентрацию напряжений. Когда отношение г/в увеличивается, показатели шероховатости е существенно влияют на концентрации напряжений. Показано, что с увеличением показателя шероховатости е концентрация напряжений вначале постепенно, а в дальнейшем резко увеличивается. Это на внутреннем контуре более существенно.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука, 1966. - 648 с.

2. Калбиев Р.К. Исследование напряженного состояние в квадратной пластинке, ослабленной двумя круглыми отверстиями

с шероховатостью, под действием кусочно-равномерно распределенных контурных нагрузок // Ученые записки АзИСУ (Баку). - 2000. - № 1, 2. - С. 240-244.

3. Кулиев С.А. Двумерные задачи теории упругости. - М.: Строй-издат, 1991. - 351 с.

Результаты расчета абсолютной длины L по формуле (5) представлены на рис. 3. По мере перемещения контакта с входа на выход наблюдается изменение L с максимума до минимума.

Исследование передач с двух- и трехзаходным червяком показало, что с увеличением заходности поле зацепления и длина контактных линий изменяются незначительно.

Поверхность витков червяка. Осевое сечение витков

В процессе обработки шлифовальный круг перемещается относительно заготовки червяка, образуя семейство плоскостей параметра p0. Обрабатываемая винтовая поверхность П1 является огибающей однопараметрического семейства плоскостей. Из дифференциальной геометрии известно, что огибающая однопараметрического семейства плоскостей является линейчатой развертывающейся поверхностью. Уравнение винтовой поверхности витка червяка получаем, переписав контактную линию на производящей плоскости (1) в систему заготовки червяка, используя матрицу M01:

x1(b3 cos p -b2 sinp) + y1 (b3 sinp + b2 cosp) +

+Zj(b4 coss0 -tgesins0) -aw0jb3 + CJ = 0,

-x1 (b5 cos cp1 + b6 sin cp1) + y1 (b6 cos cp1 - b5 sin (p1) +

+zb cos So + awobA — 0,

где ¿5=¿4+¿2«io; b6=b3(Mio+sinso).

Из (6) видно, что поверхность зависит от пяти параметров: двух наладок станка - aw01, u10 и трёх установочных углов шлифовального круга - ап, в, s0. Заметим, что в работах [2, 3] учитывались не все перечисленные выше параметры при формообразовании поверхности витка червяка. При фиксированном угле p1 (6) является уравнением контактной линии на огибающей поверхности. Для определения координат точек осевого сечения витков червяка решаем выражение (6) при y1=0 относительно X1, Z{: '2 ,

(6)

awo1 (Ьз cos So + bb) - cb cos Sp b9 sin cp1 + c3 cos cp1

. aw01[b3c4 + Ь4(Ь2 sin P - b3 cos^1)] - C1C4

b9 sin p1 + c3 cos p1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(7)

где ¿7=Ь4+Ь2и10; ¿8=Ь2(и1(^те0); ¿9=¿1¿8-¿2¿2coss0; cз=¿1¿7+¿з2coss0; с^^^^+Ь^т^.

С помощью выражений (7) установлена специфика геометрии поверхности витков червяка. Решены вопросы определения максимальной величины «накопленного» припуска под шлифовку. Эти данные позволили сделать вывод о практической целесообразности использования заготовки типа классического червяка для получения глобоидного червяка со шлифованными плоскостью рабочими витками. Более того, при нарезании заготовки можно ввести модификацию [4], в результате чего максимальное значение припуска (с учетом профиль-

ного угла ап и угла подъема винтовой линии) на шлифование витков одно-, двух- и трехзаходного червяка (ГОСТ 9369-77) выравнивается по всей длине червяка и достигает допустимое значение.

Подрезание поверхности витков червяка

Исследование зоны подрезания поверхности витков червяка выполняется методом, разработанным Н.И. Колчиным [5]. Идея этого метода состоит в том, что подрезание выявляется путём расчета в неподвижной системе координат точек предельной линии, соответствующей ребру возврата рассматриваемой поверхности. Дифференцируем второе уравнение системы (2) по координатам и параметру p0:

dxb3 cos s0 - dyb5 + dzb6 - [xb4 cos s0 + 1 +y(1 + «10 sin Sp)Ьз + z(U10 + sin Sp)b4 + J (8)

+a w01b5u10sin S0]dP0 = 0 J

Условие, необходимое для определения границ поверхности витка червяка в неподвижной системе координат, найдём, подставив в (8) значения дифференциалов dx, dy, dz, выраженных из условия приравнивания нулю элементарного перемещения dS1=0 контактной точки по поверхности витка червяка. Последнее отыскивается при помощи дифференцирования формул преобразования rS=MS1r1. Проекции этого перемещения в дифференциальной форме имеют вид:

dx — dx1,

dy — dyx + zuwdp0, dz — dzx -uw(y + aW01)dp.

Введя условие dS1=0, получаем dx — 0,

dy — zu10dp0, I (9)

dz —-U10(y + aw01)dP0. ,

Подставляя (9) в (8) и рассматривая совместно с (2), запишем

xb1 + yb3 + zb2 + C1 — 0,

xb3cosS0 -yb5 + zb6 -C4 — 0, > (10) xb4 cos S0 + yk1 + zk2 + aw01k3 — 0,

где ^1=u10b6+b3(1+u10sinS0); k2=u10b5(u10+sinS0); ^3=uu(b6+b3sinS0).

Таблица. Параметры передач с номинальными наладками

Вариант передач aw, мм в, град а„, град e, мм

1 50 Т 8 20

2 160 50 2 16 47,414

3 37 Т 20 27

Уравнения (10) позволяют получить данные о зоне подрезания витков червяка производящей плоскостью.

Рис. 4. Проекция предельных линий

Для передач, параметры которых указаны в таблице, по уравнениям (10) произведен расчет координат точек предельных линий (рис. 4).

Расположение линий 1, 2, 3 за пределами поля зацепления указывает на отсутствие опасности подрезания ножки витка червяка производящей плоскостью

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Колчин Н.И. Метод винтового комплекса в теории пространственных зацеплений // Теория передач в машинах: Тр. III со-вещ. по основным проблемам теории машин и механизмов. -М., 1953. - С. 7-18.

2. Акулич В.К. Аналитическая геометрия и кинематика контакта в глобоидном зацеплении со шлифованным червяком и некоторые вопросы модификации зацепления: Дис. ... канд. техн. наук. - Л., 1969. - 313 с.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

3. Акулич В.К. Глобоидное зацепление с поверхностью витков червяка, шлифуемой плоскостью // Изв. вузов. Машиностроение. - 1975. - № 1. - С. 81-84.

4. Сагин Л.И. Улучшение методов производства и эксплуатационных качеств глобоидных передач // Тр. ЦНИИТМАШ. -1960. - № 14. - С. 6-63.

5. Колчин Н.И. Аналитические основы дифференциального метода исследования зубчатых зацеплений // Тр. Ин-та машиноведения АН СССР. Семинар по теории машин и механизмов. -1957. - Т. 16. - Вып. 64. - С. 26-53.

УДК 622.233.5

РАСЧЕТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ СТАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РАБОЧИХ ПРОЦЕССОВ ПНЕВМОУДАРНОГО МЕХАНИЗМА

А.Н. Глазов

Томский политехнический университет E-mail: ZVM@tpu.ru

Рассматривается статическая модель рабочих процессов в камерах пневмоударного механизма. Получены расчетные зависимости для определения характеристик рабочих камер и пневмоударного механизма по теоретическим индикаторным диаграммам. Даны уравнения для определения оптимальной степени наполнения рабочих камер. Приведены результаты расчетов на ПЭВМ оптимальной степени наполнения и минимального удельного расхода газа задней от штанги камеры для показателей политропы равных 1,4 и 1,0 для процессов расширения и сжатия. Представлены формулы для определения удельного расхода воздуха.

В основу методики исследования пневматических бурильных машин входит анализ индикаторных диаграмм [1]. Теоретическая индикаторная диаграмма идеального механизма является предельной статической моделью процессов в рабочей камере. Целью данной работы является получение

расчётных зависимостей характеристик рабочих камер и пневмоударного механизма от параметров статической модели процессов.

При рассмотрении теоретического рабочего процесса делаются следующие допущения: рабочее тело - идеальный газ; отсутствуют потери на тре-

ние и утечки сжатого воздуха; процесс расширения сжатого воздуха протекает при неизменном показателе политропы; воздух в цилиндре не содержит влаги; неизменное состояние воздуха в камере во время наполнения и выхлопа. Рабочие процессы пневмоударного механизма в определенной степени идеализируются и отождествляются с обратимыми термодинамическими процессами.

Ьт з = ру2

£ — £ тр —1

- + £, -е„ -

£ с — £ -А>(-г £<>— ££<>+1

т„ — 1

(1)

где тр, тс - показатели процессов расширения и сжатия воздуха. Если положить тр=1,4, тс=1 [2] и учесть, что

Нш(£т —£)(шс — 1)—1 = £ 1п£,

из (1) имеем

1т з = РУг

0,4

- + £1 —£0 — Я0(£ 1П££0 — ££0 + 1)

Теоретическое среднее индикаторное давление

равно

Р/ = 1т зК = 1т 3^(1— £0)]

где Ур=У2-У0 - рабочий объем камеры. Массовый расход воздуха за цикл

Отз = Р1К1(^Т1)—1 — р0¥з(ЯТ0)- \

(2)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где Я - универсальная газовая постоянная, Т1 - температура воздуха в процессе наполнения, Т0 - температура воздуха в момент окончания выталкивания.

Используя зависимости между параметрами процессов цикла, можно записать

Т =-

0

Т

Р1 (К

Р0 { К

Рис 1. Обобщенная диаграмма (1) и расчетные оптимальные циклы процессов для £¡¡=0,12, Х0=0,185, 2) £=4,3 3) £=5,74) £=2,1

Обобщенная теоретическая индикаторная диаграмма процессов для задней камеры пневмоудар-ного механизма (ПУМ) имеет вид, приведенный на рис. 1 [1 и др.]. Она состоит из фаз: а-Ь - наполнение воздухом камеры; Ь-с - процесс расширения воздуха; с-й - выхлоп сжатого воздуха в атмосферу; й-е - выталкивание воздуха из цилиндра, при котором состояние рабочего тела не изменяется, а уменьшается его масса в камере; е-/ - процесс сжатия газа; /-а - впуск сжатого воздуха. Давление воздуха в задней камере в период его выталкивания р 0, как правило, выше атмосферного р0.

Параметрами цикла процессов являются: степени сжатия £=У3/У0 и наполнения камеры £\=У\/Уъ относительные величины вредного пространства £0= У0/У2 и давления наполнения Я0=р '0/Рх.

Здесь рх - давление воздуха при наполнении; объём воздуха: У3 - в момент окончания выталкивания, У0 - вредного пространства, У - при наполнении; У2 - объем камеры.

Индикаторная работа задней камеры Ьп за цикл с учетом политропного характера процессов

или, выделяя безразмерные параметры,

Т0 = Т1^0

(3)

(4)

где тВ - показатель процесса в период впуска воздуха. С учетом (3), формулу (2) можно представить в виде

( 1 тс \

оТЗ = ру2 (Я-Т)—1 Если тВ^ж, тс=1, то

От з = РК2(ЯТ)-1(£—£0).

Теоретический удельный расход, т.е. полезный расход воздуха в задней камере на единицу теоретической индикаторной мощности равен

ЧТ 3

О' От

ыт

(5)

'Т ^Т 3

где О' - расход воздуха в единицу времени, ЫТ -теоретическая индикаторная мощность.

После подстановки ОТ3, Ьп из (4), (1) и некоторых преобразований формула (5) принимает вид

Чт 3

£, —

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ЯТ

ш„

' т — 1 т — 1

— £ —

т — 1

На рис. 2 представлены два вида цикла передней камеры. Диаграмма, рис. 2, а, характерна для ПУМ, у которых управление выпуском воздуха осуществляется специальным распределителем. Это приводит к усложнению структуры механизма. При этом трудно обеспечить быстрый выхлоп воздуха, особенно у мощных ПУМ. Поэтому такой цикл применяется редко.

—1

т, — 1

тс —1 1—т

в

Ьтп

-1-уС р V' - р'2ю -

тс - 1

(р'¥ - р0У) + р' (VI'- V') - р0 V - ¥зу

После введения безразмерных параметров цикла и некоторых преобразований, с учетом поли-тропного характера процессов, получим

^тп ро¥2

гтс тр-1\ г 1/ гтс-1

е се (1 - е1 р ) е0е (е с -1)

тр-1

т, -1

+е'т, (е'-е') - 1 + е'е'0

Теоретический цикл (рис. 2, б) осуществляется на части длины хода поршня и имеет 4 фазы: ^Ь -наполнение камеры воздухом; Ь-с - процесс расширения воздуха; с-е - выхлоп воздуха; е^ - процесс сжатия воздуха. Его характеризуют параметры: 81=У1/УЬ е=У,/Уь 8,= У,/У,.

Работа теоретического цикла рабочих процессов в передней камере определяется как алгебраическая сумма работ с учетом политропного характера процессов.

1

^ТП 1

тр -1

1

(р' V, ' - р2¥' ) -

т,-1

( р¥0 - р¥ )+р¥ Vо' )

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

или

^Тп ро¥з

е'те[ (1 -е'тр-1) -тр-1

гт,-1 -I

-8-—+е'тс (е'-е'_1)

т -1 8 е )

При т=тс=\,4 работа равна

^Тп ро¥з

4е;(1 -е'0-4)

Рис. 2. Теоретические диаграммы передней камеры пнев-моударного механизма

Возможен цикл процессов без сжатия воздуха в передней камере в период прямого хода поршня. Но это приводит к усложнению структуры управления механизмом и к необходимости быстрой подачи довольно большого объема сжатого воздуха в начале обратного хода поршня. Поэтому в известных нам промышленных образцах ПУМ такой цикл не применяется.

Цикл с выталкиванием (рис. 2, а) характеризуется следующими параметрами: е'1=У1/У2 - степень наполнения камеры; е'=У3/У0 - степень сжатия; е'0=У0/У2 - относительная величина вредного пространства передней камеры.

Работа теоретического цикла камеры ЬТП выражается площадью, ограниченной контуром индикаторной диаграммы (рис. 2, а).

0,4

-2,5(е'°-4 -1) + е' 1-4(е1'-е'_1) Среднее индикаторное давление воздуха

рпТ = 1тп /¥'(1 -е'). Массовый расход воздуха равен

-(е; -е'-1).

с = ру1_ р¥ = рУе" тп ЯТ1 ЯТ0 ЯТ1

При анализе работы и проектировании пневматического механизма представляет значительный интерес определение оптимального значения степени наполнения. Как и при всякой оптимизации, результат может зависеть от выбора критерия оптимальности. Разумным критерием служит теоретический удельный расход воздуха дт.

Очевидно, что при е1=1 достигается максимум индикаторной работы цикла, но при этом увеличивается и расход сжатого воздуха. Представляет интерес, при каком значении е1 достигается минимальный удельный расход воздуха. Математически задача оптимизации сводится к определению значения е1, минимизирующего дт(е1). Эта задача решена в работе [3] и получено уравнение

ех=/(е1),

где

/е=

тРкт- е- 8о

т -1

р

еоЛ> [т-е ео -еео+1)-( 1 к \ т

хт- ет- е

ло ь ьо

тр-1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Для его решения применяется метод последовательных приближений (метод итераций). Алгоритм

а

б

+

итераций сводится к вычислению по схеме (е1);=/[(е1);-1], ¡=1,2...; (е)0 - начальное значение е1.

В соответствии с алгоритмом проведены расчеты на ПЭВМ оптимального параметра е1опт и минимального удельного расхода воздуха д^ для широкого диапазона значений параметров цикла. Фрагменты результатов исследования представлены на рис. 3, 4 для случая т^=1,4; %=<»; шс=1. Такие показатели близки к фактическим для ударного узла перфоратора [4].

большем значении е1 получается цикл процессов 3 (рис. 1) с неполным расширением воздуха. Уменьшение е1 против предельного значения приводит к диаграмме с отрицательной петлей работы или к циклу работы на части рабочей длины цилиндра. Из графика (рис. 3) видно, что только при е выше предельной величины, увеличение е0 приводит к возрастанию ех и

'€'3,5 Лв'С1т

0,06

0,1

0,14

0,18 0,22 £

Рис. 4. Зависимость оптимальной степени наполнения от относительной величины вредного пространства

Увеличение относительной величины давления выхлопа Х01, степени обратного сжатия епри постоянном е0 приводит к увеличению е1опт и дшП. Интенсивность возрастания е1опт и д^ по е тем выше, чем больше исходная величина е0. Это объясняется тем, что большим значениям е0 соответствуют более высокие величины объема воздуха в начале его сжатия У3=еУ0, что увеличивает работу обратного сжатия.

Ло=1 2 3 4 5

0,20

0,15

0,10

0,05

1 - 0.245

2-0.225

3-0.205

4-0.185

5-0.165

Рис. 3. Зависимости а) оптимальной степени наполнения камеры и б) минимального удельного расхода воздуха от параметров цикла: 1-6) е0=0,06; 0,09; 0,12; 0,15; 0,18; 0,21

Точка пересечения кривых соответствует предельному значению е1, при котором происходит полное расширение сжатого воздуха от начального давленияр1 до конечногор'0 (диагр. 2 на рис. 1). При

2 3 4 5 8

Рис. 5. Зоны существования £"

Расчеты показали, что есть область значений параметров цикла, заштрихованная на рис. 5, в которой д^ и е°т не существуют, т.е. задача оптимизации цикла не решается.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Степень наполнения передней камеры е\ можно определить методом итераций из следующего уравнения

тр

+ 1 7 +

ру;

р

где Y = s

mc

1

mc -11 mc -1

при mc=1,4 y=3,5s'°'4-2,5;

mp

a=s

mp-1

при mp=1,4 a=3,5s'1'4.

q =

GT

GT 3 + Grn

или с учетом того, что часть энергии удара отражается

q =

GT 3 + GTn

Л (1 - К2)пу Pi

Теоретическая индикаторная работа сжатого воздуха по совершению прямого хода поршня равна

Ltp = L1 + L3 - L0 - Lcx , (6)

где L1=p1V2(mp-1)-1(s1-s1m') - работа расширения сжатого воздуха в задней камере, L3=p1 V2(s1-s0) - работа наполнения воздухом задней камеры, L0=p0V2 -работа газа при изменении объема с V2 до V0,

Lcx = PoVi(mc - 1)-1(Smc-1 -1)-p0V3'(1-S-1).

После подстановки в зависимость (6) выражений ее составляющих работ получим

mp

LTp = P1V2 (Sm £-1 + S1 - s0) - PoV2 (1 - s0) -

~rmc-1 1

- PoV'(^-1 ^

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Энергия удара равна

Ay = LTp Пмех ПП ,

где Пмехз - механический КПД прямого хода поршня, п'п - коэффициент полноты силовой диаграммы, равный отношению действительной и теоретической работ сжатого воздуха по перемещению поршня в период прямого хода.

Работа теоретического цикла передней камеры связана с индикаторной работой задней камеры

L =JA_-г

^ТП п ^Т 3 ?

I мех

где пмех - механический КПД ПУМ.

Удельный расход воздуха пневмоударного механизма

АуПуРн ГтПмех зПППу Pu

где GT - теоретический расход воздуха ПУМ, ny=GT/G - коэффициент утечек, G - фактический расход воздуха, рн - плотность воздуха при нормальных атмосферных условиях, fc0=(4/^)1/2 - коэффициент отскока, А - энергия отскока поршня. Если принять КПД равными единице, то получатся значения энергетических параметров и удельного расхода воздуха идеального пневмоударного механизма, что позволяет, в частности, оценить совершенство реального устройства.

Выводы

Получены зависимости для определения энергетических и расходных характеристик рабочих камер и пневмоударного механизма.

Показано, что задача определения оптимальной степени наполнения задней камеры имеет решение. Получены графические зависимости оптимальной степени наполнения и минимального удельного расхода воздуха от параметров цикла процессов. Увеличение объёма вредного пространства приводит к возрастанию минимального удельного расхода при определённом интервале значений степени сжатия. Зависимость степени наполнения и удельного расхода воздуха от степени сжатия тем значительней, чем выше значение относительного давления вредного пространства и давление недовыхлопа. Показано, что существует область значений параметров цикла, при котором задача определения оптимальной степени наполнения и минимального расхода не имеет решения.

Получено уравнение для определения степени наполнения передней камеры, которая зависит от параметров и индикаторной работы задней камеры.

Представленные результаты будут полезны при синтезе и оценке совершенства конструкций пнев-моударных механизмов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алимов О.Д., Басов И.Г., Горбунов В.Ф., Маликов Д.Н. Бурильные машины. - М.: Госгортехиздат, 1960. - 360 с.

2. Глазов А.Н. Снижение удельного расхода воздуха пневматических машин ударного действия // Известия вузов. Горный журнал. - 1977. - № 2. - С. 102-105.

3. Глазов А.Н., Глазов Г.Н. Оптимальная степень наполнения камеры сжатым воздухом // Известия вузов. Горный журнал. -1988. - № 6. - С. 84-87.

4. Глазов А.Н. Рабочие процессы пневмоударного механизма перфоратора // Известия Томского политехнического университета. - 2005. - Т. 308. - № 6. - С. 132-136.