CC BY
2ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.
№1 (86) / 2024.
УДК 539.3
doi:10.24412/0136-4545-2024-1-61-72 EDN:UGOKGO
©2024. С.А. Калоеров1, Е.В. Авдюшина2, А.Б. Мироненко3
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ГОРНОГО МАССИВА С ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ВЫРАБОТКОЙ КРИВОЛИНЕЙНОГО СЕЧЕНИЯ И РАЗГРУЗОЧНЫМИ ЩЕЛЯМИ ОБОБЩЕННЫМ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
С использованием комплексных потенциалов и обобщенного метода наименьших квадратов решена задача по определению напряженного состояния массива горных пород с выработкой вдали от дневной поверхности и разгрузке вокруг поверхности выработки щелями. При этом сечение выработки представляется сводом, определяется распределение напряжений вокруг свода, находятся зоны высокой концентрации, в качестве которых выступают окрестности углов при основании свода. Также устанавливается факт выпучивания в середине основания. Для снятия высокой концентрации напряжений около углов свода проводятся плоские трещины из углов основания, что резко снижает эту концентрацию напряжений, но приводит к увеличению уровня и зоны выпучивания. Последнее снимается проведением вертикальных разрезов из середины основания. Исследовано, при каких размерах указанных плоских трещин происходит полная разгрузка зоны высоких напряжений около основания и ликвидация зон выпучивания поверхности основания.
Ключевые слова: горная выработка, концентрация напряжений, выпучивание, разгрузочные щели, комплексные потенциалы, обобщенный метод наименьших квадратов.
1 Калоеров Стефан Алексеевич - доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории упругости и вычислительной математики им. акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонГУ, Донецк, e-mail: [email protected].
Kaloerov Stefan Alekseevich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Donetsk State University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.
2 Авдюшина Елена Владимировна - канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теории упругости и вычислительной математики имени акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонГУ, Донецк, e-mail: [email protected]
Avdiushina Elena Vladimirovna - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Donetsk State University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.
3Мироненко Андрей Борисович - канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теории упругости и вычислительной математики имени акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонГУ, Донецк, e-mail: [email protected].
Mironenko Andrey Borisovich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Donetsk State University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.
Введение. В горной промышленности при добыче полезных ископаемых широко практикуется проведение долговременных горизонтальных подземных выработок, вблизи поверхностей которых с течением времени возникают зоны с высоких концентраций напряжений, приводящих к изменению форм этих поверхностей или даже к разрушению горных пород. Во избежание этого практикуется проведение в зонах высоких концентраций напряжений разгрузочных щелей [1]. Для определения соответствующих зон и уровней концентрации напряжений, мест и глубин разгрузочных щелей необходимо решать соответствующие задачи теории упругости по определению напряженного состояния упругого тела с отверстиями и трещинами.
Установлено, что наиболее достоверные результаты по определению напряженного состояния упругого тела с отверстиями и трещинами получаются при решении соответствующих задач теории упругости с использованием комплексных потенциалов теории упругости анизотропного тела [2] с удовлетворением граничным условиям при их определении дискретным методом наименьших квадратов [3, 4, 5] или обобщенным методом наименьших квадратов (ОМНК) [6], причем решение задач с применением ОМНК оказывается наиболее простым для реализации алгоритма и эффективным при проведении численных исследований.
В данной статье методом комплексных потенциалов плоской задачи теории упругости анизотропного тела и ОМНК для их определения решена задача об определении напряженного состояния массива горных пород с горизонтальной выработкой и разгрузочными щелями. Проведены численные исследования, с помощью которых установлены закономерности распределения напряжений около поверхности горной выработки, их концентрации и снижения с помощью разгрузочных щелей. Как частный случай рассмотрен и случай выработки в изотропном горном массиве.
1. Комплексные потенциалы задачи о напряженно-деформированном состоянии многосвязной анизотропной пластинки и их определение ОМНК.
Рассмотрим отнесенную к прямоугольной системе координат Оху занимающую бесконечную многосвязную область 5 анизотропную пластинку с конечным числом произвольно расположенных эллиптических отверстий с контурами Ь/ (I = 1, С) и полуосями а,/, 6/ (рис. 1). Эллиптические контуры могут переходить в прямолинейные разрезы, располагаться произвольно относительно друг друга, пересекаться, образуя контуры отверстий произвольной конфигурации. В локальных системах координат О\Х\у1 с началами в центрах эллипсов и на- Рис" 1
правлениями осей О1Х1 координат вдоль полуосей а параметрические уравнения
Исследование напряженного состояния горного массива с горизонтальной выработкой эллипсов имеют вид
xi = ai cos в, yi = bisind, (1)
а системе координат Oxy будут такими:
x = xoi + xi cos pi - yi sin pi,
... (2) У = yoi + xi sin pi + yi cos pi.
Здесь в - параметр параметрического задания эллипса, изменяющийся от 0 до 2п; xoi, yoi - координаты центра эллипса Li в основной системе координат Oxy; pi - угол между направлениями осей Ox и Oxi, отсчитываемый от оси Ox против часовой стрелки.
Будем считать, что контуры отверстий не загружены и не подкреплены; на бесконечности заданы напряжения , , , а угол поворота всей пластинки как целой равен нулю = 0).
Если решение задачи теории упругости для рассматриваемой пластинки проводить с помощью комплексных потенциалов [2], то оно сводится к нахождению из соответствующих граничных условий функций Фj. (zk) {к = 1, 2) обобщенных комплексных переменных
Zk = x + ¡k y, (3)
где ¡k - корни характеристического уравнения
aii¡4 - 2ai6^3 + (2ai2 + aee) ¡2 - 2a26¡ + a22 = 0; (4)
aij - коэффициенты деформаций материала пластинки.
Комплексные потенциалы Фк (zk) определены в многосвязных областях Sk, получаемых из заданной области S аффинными преобразованиями (3) и в рассматриваемом случае имеют вид [4]
L
Фк (Zk)=ГкZk + ^>i(zk), (5)
i=i
где Tk - постоянные, определяемые из решения системы линейных алгебраических уравнений
А ( о 1 \ ( ai6a™ + 3a26\
2R -J Tfc = fv?, <т~, Ж 2q22 У j ; (6)
Фkl(zk) - функции, голоморфные вне контуров Lki, соответствующих контурам Li при аффинных преобразованиях (3). Отобразив конформно внешности единичных кругов |(ki| > 1 на внешности контуров Lki, используя функции [4]
Zk = Zki + Rki (<ы + ^r^J , (7)
в которых
Rkl — ты —
Zkl — xoi + цыVol, (Ц (cos Lpi + ¿tfc sin Lpi) + j hi (sin Lpi - jj,k COS щ) 2
(Ц (cos Lpi + ¿tfc sin У?;) - j ft; (sin ^ - /Xfc COS щ) 2Rkl
голоморфные вне контуров Ькг функции Фк&к) можно разложить в ряды Лорана и для комплексных потенциалов (5) окончательно получим выражения
С те
<S>k(zk) = rkzk + J2El^> (9)
l=1 n=1 Zkl
где akin - неизвестные коэффициенты рядов Лорана, которые определим из граничных условий на контурах, которые в данном случае имеют вид [2]
2
2Re^(l,/ifc)$fc(ifc) = (clbc2i) {1=Т7Т), (10)
k=1
в котором си, C2l - постоянные, произвольные на одном из контуров.
Для многосвязных областей граничным условиям (10) удобнее удовлетворять в дифференциальной форме. Продифференцировав их по дуге s контура, получим
2
2 (1, Рk) 5kФ'ы(tk) — (0, 0), (11)
k=1
где 5k — dtk/ds;
С те
Ф'к = Г,-УУ-^-- (12)
Граничным условиям (11) будем удовлетворять обобщенным методом наименьших квадратов [6, 7, 8]. Для этого на каждом из контуров Ьр (р = 1, С) выберем систему точек Мрт(хрт, урт) (т = 1, Мр), в которых удовлетворим условиям (11). В результате получим следующую переопределенную систему линейных алгебраических уравнений:
2 С те
211е (1, /1к) 5к(^крт)-т^-—- =
к=1 1=1 п=1 Вк1 У*21 (^кРт) — ткг) (ы (^крт)
О (13)
2 Re (1, Pk) 5k(tkpm)rk,
k=1
где tkpm — xpm + Pk Vp m
Систему (13) будем решать методом сингулярных разложений [9, 10]. После решения системы уравнений (13) станут известными постоянные акп, а следовательно, и функции (12). Это позволит в любой точке найти основные напряжения
2
(ах, Оу, тХу) = 2И,е^ (¿к, 1, -у,к) Ф'к(гк), (14)
к=1
а по ним и нормальные и касательные напряжения [2, 11]
оп = оХео82(пх) + оу ео82(пу) — 2тху ео8(пх) ео8(пу), о3 = оХео82(пу) + оу ео82(пх) + 2тху ео8(пх) ео8(пу), (15)
тп.в = (оу — оХ) ео8(пх) ео8(пу) + тху (ео82(пх) — ео82(пу))
на любых площадках с нормалью п и касательной е. По основным напряжениям
в любой точке можно найти и упругий потенциал
1 2 1 2 1 2
V = -ацах + а\2(тхау + ашсгхтху + -а2гсту + а2бсгутху + -аттху. (16)
Как частный случай из приведенного следует решение задачи для выработки в изотропном горном массиве. В последнем случае один из коэффициентов деформации а^ нужно брать несколько отличным от реального, например, ац и а22 брать отличающимися друг от друга 5-6 значащей цифрой в конце. В этом случае корни характеристического уравнения (4) будут близки к мнимой единице г, но несколько отличаться друг от друга (слабая анизотропия) и общая программа позволит получать значения напряжений и деформаций, практически совпадающие с данными, получаемыми при решении задачи теории упругости изотропного тела с использованием комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили [11].
2. Решение задачи о разгрузке поверхностей горных выработок. Пусть в массиве горных пород, обладающих в общем случае свойствами прямолинейно-анизотропного тела, вдали от дневной поверхности проведена горизонтальная выработка, и напряженное состояние в массиве без выработки обусловлено весом горных пород. Так как геометрические размеры выработок и щелей относительно реальных глубин ведения работ малы, то в качестве исходного напряженного состояния горного массива без выработок будем принимать напряженное состояние в форме [12, 13]
оХ° = —^И, о~ = —1И, тХГу = 0, (17)
где 7 = рд - средний удельный вес горной породы: р - ее плотность; д - ускорение свободного падения; И - глубина проведения выработки; Л - коэффициент бокового распора.
В
г
с
У >
Е
/ \
А
4
о г X
4 4
В работе [1] проведены многочисленные исследования для различных конфигураций выработок. Но в практике применения чаще всего используется выработка сводчатого сечения (рис. 2). Опять же, исходя из практического использования, длину основания выработки будем считать равной 5г, длины боковых сторон - 2г, высоту крышки - 2г, т. е. высота всей выработки - 4г, где г - масштабная единица длины. Прямолинейные участки контура свода будем аппроксимировать внешними берегами разрезов (эллипсов ¿2, ,
для полуосей которых имеют место равенства Ъ = 10-4а;, что соответствует известному неравенству Ъ < 10-за; [4, 5], когда эллипс можно считать прямолинейным разрезом-трещиной). Купол эллипса будем считать половиной контура эллипса Ь\. При этом для всех аппроксимрующих элементов параметр в параметрического задания эллипсов (1) изменяется от 0 до п (0 < в < п).
Таким образом, при использовании приведенного выше решения задачи теории упругости для свода будем считать, что
<7
Рис. 2
С = 4;
Ь1 : а1 = 2, 5г, Ъ1 = 2г, х01 = 0, У 01 = а2 = г, <р1 = 0;
¿2 : а2 = г, Ъ2 = 10-4а2, Х02 = -аз = -2, 5г,
У02 = 0, < 2 = п/2; (18)
¿з : аз = 2, 5г, Ъз = 10-4аз, хоз = 0,
У03 = -а2 = -г, < 3 = п;
Ь4 : а4 = г, Ъ4 = 10-4а4, х04 = аз = 2, 5г, У04 = 0, <4 = 3п/2,
причем при формировании точек, для которых составляются уравнения системы (13), угол в параметрического задания всех эллипсов будем менять от 0 до п.
3. Описание результатов численных исследований для частных задач. Были проведены многочисленные исследования распределения напряжений вокруг горной выработки без разгрузочных щелей и с разгрузочными щелями в зонах высокой концентрации напряжений. При этом считалось, что коэффициент бокового распора 7 = 0, 7.
При проведении численных исследований количество членов в бесконечных рядах Лорана (13) и количество «коллокационных точек» Мр на Ьр (р = 1, £), для которых составлялись уравнения системы (13), увеличивалось до тех пор, пока граничные условия на контурах не удовлетворялись с достаточно высокой
степенью точности (пока значения нормальных напряжений на площадках, касательных к контурам, не были менее 10_3 вместо нуля). В описываемых ниже случаях для такого удовлетворения граничным условиям необходимо было в указанных рядах оставлять от 20 до 50 членов, и на каждом из контуров брать от 100 до 300 «коллокационных точек».
Исследования были проведены для горных массивов из трансверсально-изо-тропного алевролита (материал М1) и гранита изотропного (материал М2). Технические постоянные этих материалов приведены в табл. 1 [14]. Заметим, что коэффициенты деформации а^ по известным техническим постоянным вычисляются по формулам: ац = 1/Е1, а22 = 1/Е2, а12 = —У21/Е1 = —У12/Е2,
абб = 1/^12.
Заметим, что в случае изотропного материала М2 модули Юнга Е2 = Е1, корни ^к характеристического уравнения (4) равны г и система (13) будет вырожденной. Чтобы избежать этого, постоянная Е2 принята незначительно отличной от истинного значения, чтобы изотропный массив рассматривать как анизотропный и использовать приведенное выше решение. Как установлено многочисленными исследованиями при решении частных задач (в том числе в случае точных решений задач), получаемые при этом значения напряжений отличаются от истинных менее сотых долей процента.
Таблица 1. Технические постоянные материалов
Материал Еъ МП а Е2, МПа G12, МПа V21
Ml 10740 5230 12000 0,413
М2 4200 4199 17000 0,22
На рисунке 3 изображены графики распределения напряжений вдоль
контура свода (рис. 3,a для боковых сторон и основания, рис. 3,б для крышки в зависимости от параметра в параметрического задания эллипса L\: x = a\ cos в, y = bi cos в). Графики приведены для правой половины свода, для левой половины они легко восстанавливаются в силу симметрии напряженного состояния относительно оси Oy, выбранной в центре прямоугольника ABCD. Сплошные линии рисунка 3 соответствуют напряжениям в массиве из алевролита, пунктирные линии - из гранита.
Как следует из данных рисунка 3, вблизи вершин углов основания свода (точки B и C) возникает весьма высокая концентрация сжимающих напряжений, которая может приводить к разрушению породы в этих зонах; вблизи середины основания свода (точка E) возникают растягивающие напряжения, которые могут приводить здесь к пучению пород; по поверхности крышки возникают сравнительно небольшие сжимающие напряжения и лишь здесь опасности разрушения нет; концентрация сжимающих напряжений наблюдается и в углах крышки, но она значительно ниже концентрации напряжений вблизи углов основания, поэтому нужно принимать меры снижения концентрации напряжений в углах основания, а чтобы не было выпучивания поверхности выработки, также
в центре основания. Из данных рисунка 3 также видно, что на значения напряжений значительно влияет степень анизотропии материала породы - значения сжимающих напряжений в углах основания для выработки из М1 почти в 2 раза больше аналогичных напряжений для выработки из М2.
Высокую концентрацию напряжений будем снижать за счет проведения разгрузочных щелей-трещин в зонах ее возникновения. С этой целью из углов основания проведем плоские щели в виде эллиптических разрезов с весьма малыми полуосями Ъ[, т. е. когда Ъ\/а\ мало.
В таблице 2 для свода (18) в массиве из алевролита с разгрузочными наклонными эллиптическими щелями Ь2з и Ьз4 с полуосями а2з = аз4 из точек пересечения сторон Ь2 и Ьз, Ьз и £4 основания свода вдоль биссектрис углов (рис.4 а) даны значения напряжений а3/^И в зависимости от параметров в параметрических заданий эллипсов Ьх, Ь2, Ьз. Для разгрузочных щелей имеют место соотношения
Ь2з : а2з, &23 = 10 4а2з, Х023 = -аз,
У023 = а2, ^>23 = 3п/4;
_4 (19)
Ьз4 : аз4 = а2з, Ьз4 = 10 аз4, Х034 = аз = 2, 5г,
Уоз4 = -а2, Рз4 = -п/4.
Для наглядности углы даны с точностью до п/180.
а) б)
Рис. 4
Как следует из таблицы 2 создание наклонных разгрузочных щелей в углах основания свода даже небольшой длины резко уменьшает значения напряжений (всюду имеется в виду по абсолютной величине), особенно вблизи вершины углов С и Б основания Но при этом не только не уменьшаются, а наоборот резко увеличиваются значения положительных напряжений вблизи центра основания (около точки основания Е), что приведет к усилению процесса выпучивания. Для уменьшения последних напряжений в центре основания Ьз проведем вертикальную разгрузочную эллиптическую щель (рис. 4,б)
Ьзз : азз, Ьзз = 10-4азз, Хозз = 0,
Уозз = -а2, Р23 = -п/2.
В таблице 3 для свода (18) в массиве из алевролита с разгрузочными наклонными щелями £23 и £34 с полуосями а2з = аз4 = 0,1 г из углов основания свода вдоль биссектрис углов (рис.4 а) даны значения напряжений а3/^И в зависимости от параметров в параметрических заданий эллипсов Ьх, Ь2, Ьз.
Таблица 2. Значения а, /'уИ в некоторых точках сторон левой половины свода с наклонными щелями из углов основания в зависимости от их длины агз = Я34
Сторона в (рад.) Я2з/г
0 0,1 0,25 0,5 0,75 1
¿1 90тг/180 -1,32 -1,359 -1,409 -1,492 -1,571 -1,646
135тг/180 -1,33 -1,340 -1,348 -1,358 -1,364 -1,368
178тг/180 -2,52 -2,479 -2,393 -2,238 -2,088 -1,950
179тг/180 -2,44 -2,397 -2,309 -2,152 -2,001 -1,864
¿2 7Г/180 -10,38 -2,704 -2,222 -2,038 -1,890 -1,764
2тг/180 -5,13 -2,427 -2,209 -2,043 -1,893 -1,762
45тг/180 -1,92 -1,856 -1,757 -1,589 -1,436 -1,304
90тг/180 -1,81 -1,692 -1,487 -1,193 -0,979 -0,826
135тг/180 -2,40 -1,680 -0,986 -0,532 -0,354 -0,263
178тг/180 -32,06 -0,131 -0,045 -0,044 -0,041 -0,040
179тг/180 -96,44 -0,793 -0,256 -0,211 -0,183 -0,173
Ь3 7Г/180 -63,87 -0,314 -0,146 -0,065 -0,050 -0,046
2тг/180 -23,58 -0,001 -0,030 -0,012 -0,011 -0,011
45тг/180 -0,25 0,133 0,559 0,826 0,862 0,830
88тг/180 0,10 0,216 0,400 0,653 0,819 0,912
89тг/180 0,11 0,216 0,400 0,653 0,819 0,912
90тг/180 0,11 0,216 0,400 0,653 0,819 0,912
Таблица 3. Значения ав/^И в некоторых точках сторон левой половины свода с наклонными щелями из углов основания а23 = а34 = 0,1 г при различных значениях длины щели азз из центра основания
Сторона 6»(рад.) а.зз/г
0 0,1 0,25 0,5
¿1 90тг/180 -1,359 -1,359 -1,359 -1,361
135тг/180 -1,340 -1,340 -1,340 -1,341
178тг/180 -2,479 -2,491 -2,477 -2,478
179тг/180 -2,397 -2,421 -2,393 -2,395
¿2 тг/180 -2,704 -0,391 -2,551 -2,561
2тг/180 -2,427 -1,487 -2,363 -2,362
45тг/180 -1,856 -1,852 -1,855 -1,856
90тг/180 -1,692 -1,690 -1,692 -1,693
135тг/180 -1,680 -1,679 -1,679 -1,683
178тг/180 -0,131 -0,052 -0,052 -0,046
179тг/180 -0,793 -0,297 -0,296 -0,255
Ь3 тг/180 -0,314 -0,122 -0,117 -0,098
2тг/180 -0,001 0,028 0,030 0,033
45тг/180 0,133 0,131 0,127 0,163
88тг/180 0,216 0,039 0,015 0,002
89тг/180 0,216 0,018 -0,004 -0,011
Кстати, проведение разгрузочных щелей из углов и центра основания незначительно уменьшает концентрацию напряжения и вблизи верхних углов выработки и около крышки. Но если она значительна и необходимо дальнейшее уменьшение напряжений в этих зонах, то можно проводить и щели из углов крышки. Но последнее связано с определенными трудностями и следует его избегать.
Исследования проводились в ФГБОУ ВО «ДонГУ» в рамках государственного задания (№ госрегистрации 124012400354-0).
1. Полухин В.А. Управление напряженным состоянием породного массива и устойчивостью горных выработок / В.А. Полухин, С.А. Калоеров, Ю.Б. Грядущий, Е.С. Горянская.-Донецк: Юго-Восток, 2002. - 304 с.
2. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела / С.Г. Лехницкий. - М.: Наука, 1977. - 416 с.
3. Калоеров С.А. Антиплоская деформация тел с трещиной и эллиптической полостью / С.А. Калоеров, Е.Ф. Косилова, В.А. Лапко // Прикладная механика. - 1989. - Т. 25, № 7.
- С.92-99.
4. Калоеров С.А. Двумерное напряженное состояние многосвязного анизотропного тела с полостями и трещинами / С.А. Калоеров, Е.С. Горянская // Теорет. и прикладная механика.
- 1995. - Вып. 25. - С.45-56.
5. Калоеров С.А. Концентрация напряжений в многосвязных изотропных пластинках / С.А. Калоеров, Е.В. Авдюшина, А.Б. Мироненко. - Донецк: Изд-во ДонНУ, 2013. - 440 с.
6. Калоеров С.А. Термовязкоупругое состояние многосвязной анизотропной пластинки / С.А. Калоеров, О.А. Паршикова // Прикладная механика. - 2012. - Т. 48, № 3. - С. 103-116.
7. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры / В.В. Воеводин. - М.: Наука, 1977. - 304 с.
8. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, M. Малькольм, K. Моулер. - М.: Мир, 1980. - 280 с.
9. Drmac Z. New fast and accurate Jacobi SVD algorithm. 1 / Z. Drmac, K. Veselic // SIAM J. Matrix Anal. Appl. - 2008. - Vol. 29, No. 4. - P. 1322-1342.
10. Drmac Z. New fast and accurate Jacobi SVD algorithm. 2 / Z. Drmac, K. Veselic // SIAM J. Matrix Anal. Appl. - 2008. - Vol. 29, No. 4. - P. 1343-1362.
11. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н.И. Мусхелишвили. - М.: Наука, 1966. - 707 с.
12. Динник А.Н. О давлении горных пород и расчет крепи круглой шахты / А.Н. Динник // Инж. работник. - 1925. - № 7. - С. 1-2.
13. Динник А.Н. Распределение напряжений вокруг подземных выработок / А.Н. Динник, А.Б. Моргаевский, Г.Н. Савин // Тр. совещ. по управл. горным давлением. - М., Л.: Изд-во АН СССР, 1938. - С. 7-55.
14. Ержанов Ж. С. Сейсмонапряженное состояние подземных сооружений в анизотропном слоистом массиве / Ж.С. Ержанов, Ш.М. Айталиев, Ж.К. Масанов. - Алма-Ата: Наука, КазССР, 1980. - 212 с.
S.A. Kaloerov, E.V. Avdyushina, A.B. Mironenko
Investigation of the stress state of the mountain range with horizontal production of a curved section and discharge slots the generalized least squares method.
Using complex potentials and the generalised least squares method, the problem of determining the stress state of a rock massif with an excavation far from the daytime surface and unloading around
the excavation surface by slots. In this case, the excavation cross-section is represented as a vault, the stress distribution around the vault is determined, and zones of high concentration are found, which are the vicinities of the corners at the base of the vault. The fact of bulging in the middle of the base is also determined. To remove the high stress concentration around the corners of the vault, flat cracks are made from the corners of the base, which drastically reduces this stress concentration, but leads to an increase in the level and bulging zone. The latter is removed by carrying out vertical cuts from the middle of the base. It is investigated, at what sizes of the specified flat cracks there is a complete unloading of the high stress zone near the base and elimination of bulging zones of the base surface.
Keywords: mine excavation, stress concentration, buckling, unloading slots, complex potentials, generalised least squares method.
Статья поступила в редакцию 26.08.2024; доработана 11.09.2024; рекомендована к печати 20.09.2024.
