CC BY
20
Исследование напряжений возле плоского горизонтального выреза
П.В. Дородов
Ижевская государственная сельскохозяйственная академия, г. Ижевск, Удмуртия
А.В. Кулагин
Камский институт гуманитарных и инженерных технологий, г. Ижевск,Удмуртия
Часто детали машин и строительные конструкции имеют технологические вырезы, ослабляющие их (рис. 1). Под действием внешних нагрузок возле краев таких вырезов возникает концентрация напряжений, приводящая к возникновению трещин или больших остаточных деформаций, что является недопустимым явлением.
Рис. 1 Расчетная схема прямоугольной полосы с горизонтальным вырезом
Задач является актуальной проблемой прочности , так как аналитические решения, при условии их корректности и правильного задания дополнительных краевых условий, позволяют решать не только прямые, но и обратные задачи. Основные трудности в решении связаны с определением напряжений на линии сопряжения, совпадающей с осью х. Для решения этой задачи используем характеристическую часть сингулярного интегрального уравнения с постоянными коэффициентами А и В на отрезке [-а;а] [1]:
Ар(х)+ — У ^ = f (х),
т ■’ с-х
-а?
,( \ ёи ёу
где т (х) =--------г —, и, V
ёх ёх
- перемещения точек линии сопряжения; <р(х) = а°у (х) + гт° (х); <у°у (х),т° (х) - нормальные и касательные напряжения на линии
сопряжения.
В случае неограниченного решения в узлах х = ±а имеем:
(\ Л*л\ — 1 1у1а 2 -с2/ (£),е С
ф) = А /(х)+ — 1 ^ п р-----------, ^+
т 4хГ^с2
С-х
V2 2
х - а
где А *, В*, С - постоянные.
Допустим, что на линии интегрирования Щ > а перемещения принимают вид:
у(х) = -5,
х,
где ё, ё] - некоторые постоянные.
а
Тогда
а выражение (1) можно переписать
п*
(р(х)=аА 5 + ■
/ (х ) = £1:
5 +/^1^ + .
с
л 4х2 - а2 -а ^- х 2 - а2
из которого, разделяя действительную и мнимую части, получаем:
(х) = А*5г -
В *5 х Вх
1 = А - - 1
I 2 2
л/х - а
1 I 2 2 ’
л/х - а
т°(х
(х) = -
с
I 2 2
Л/х -г
1х - а
где А1 = А’5, — = Б”5, - постоянные, зависящие от упругих свойств и внешней нагрузки.
Для их определения составим условия равновесия:
откуда
и краевое условие
21 Сх = 2ді,
а
I
21 тХА = о,
А (і - а)-В^ї2 - а2 = ді,
С = о,
С (ї )= А - В1Ї
2 2 а
= д.
(2)
(3)
Решая совместно (2) и (3), получаем
А1 = -д
а
і — а
В1 = -ді
/і + а і — а
Напряжения примут вид:
(х)=
д
і + а
а
і — а -(а 12
у V х )
і — а
т°(х
(х )= 0
Касательные напряжения на линии сопряжения отсутствуют, следовательно, ау главное напряжение. Главное напряжение <г° определим через максимальные касательных напряжений:
_0 О
С „ - С „
т = ■
шах
2 2
= ±, ( д > 0 ), & =&0 - д
Таким образом, имеем
>
а
1
V
о° (х
(х ) = |
I + а
°°(х
(х ) = Ч
I - с
I + а
1 -
I - с
I - а
1-
I - а
-1
(х
(х ) = 0-
Если устремить I к бесконечности, получим приближенные формулы:
=
о° = Ч
1 -
к I2
1 -, 1 -
¥х Ч2
1-
(ах )!
(5)
Аналогично будет, если вырез рассматривать как эллиптическое отверстия с полуосями а и Ь, радиус Ь которого стремится к нулю [2]. Определим отношение 1/1, при котором отклонение напряжений, найденных по выражениям (4) и (5) не превышают
заданной погрешности А. Для этого достаточно сравнить ст0 и о 0, откуда
1
а
2
а
X
У
1
а
2
а
х
V.
У
Ч
I
- >
1 л/2Д-Д2 '
Например, при Д = 0,05 - - > 3,2; при Д = 0,03 - - > 4,1.
Из формул (4) и (5) видно, что на концах плоского разреза напряжения стремятся к бесконечности, хотя на самом деле концы имеют радиус, который равен И (рис. 2).
Рис. 2 Вырез с закругленными концами
Обозначим через а] теоретический коэффициент концентрации напряжений по
— О
нормальным напряжениям о , то есть
1
ах =
о0 1
у шах 1
Ч
1 -
где а1 - половина длины разреза с идеально острыми концами.
Пусть напряжения о° (а) равны напряжениям на контуре эллиптического отверстия
с большей полуосью 2а, при у=0. Совмещая концы контуров выреза и эллиптического отверстия (рис. 3), можно определить параметр а1
Рис. 3 Схема приведения выреза с закругленными концами к эллиптическому
отверстию
Ь
аг =
С другой стороны, согласно [2]
Приравняв (6) и (7), получим
1 Н + 4~Н + 8аН
Ь =----------------, а = а„
2 1 1
Н
2а + Ь Ь
(6)
(7)
1 -
2Н
Н + л/Н + 8аН у
,&!=■
Н + V Н2 + 8аН ~2к
Итак, для случая ограниченного решения на концах разреза выражения (4) можно переписать
( \
оУ,(х
(х ) = Ч
V
(
о°(х ) = Ч
1- + а 1
1 — а (а ^2
1- — 1
V Vх У
1- + а 1
а
а
I — а
Га V 1 -а
-1
(х
(х )=0-
(8)
а =
2
>
Кроме радиусов закруглений концов плоского выреза, на коэффициент концентрации влияет текучесть. В этом случае следует считать
от
а =—^,
Ч
где оТ - предел текучести.
Доказывая решения (8) на рис. 4 показаны теоретические и экспериментальные эпюры напряжений о0 в безразмерных величинах при а/Н « 7 , а/1« 0,1. Эксперименты
были проведены на модели из органического стекла при помощи лазерного интерферометра по методике, описанной в [3].
6/ь
о
■ о 1 ч эксперимент —теория
/
/
/
е- V а
-6
-5
-4
-2
Рис. 4 Сравнение теории с экспериментом
Сравнительный анализа показал, что относительное отклонение теории от эксперимента не превышает 8% на участке 1,16 <
х ( х \
< 4,6 . У концов выреза 1 < < 1,16
а V а У
наблюдается существенное расхождение кривых из-за того, что в этой зоне материал пластичен, то есть эффективный (опытный) коэффициент концентрации напряжений в этой зоне должен быть равен
о А
ау =
Ч
что также согласуется с теорией.
Таким образом, можно сделать вывод, что представленные аналитические решения (4) и (8) могут быть использовано для исследования концентрации напряжений возле технологических вырезов или дефектов различного рода в деталях машин.
Литература:
1.Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: «Наука», 1968. - 512 с.
2. Демидов С.П. Теория упругости: Учебник для вузов. - М.: Высш. школа, 1979.
- 432 с.
3.Беркутов В.П., Гусева Н.В., Дородов П.В., Киселев М.М. Интерферометр для определения нормальных напряжений в плоских прозрачных моделях // Датчики и системы, - №2. - 2009. - С. 26-30.
