Метод оптимального проектирования деталей в зоне контакта Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

АГРОИНЖЕНЕРИЯ

УДК 621.81:539.3

М.Н. Ерохин, доктор техн. наук

Российский государственный аграрный университет — МСХА имени К.А. Тимирязева П.В. Дородов, канд. техн. наук

Ижевская государственная сельскохозяйственная академия

МЕТОД ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ ДЕТАЛЕЙ В ЗОНЕ КОНТАКТА

Интерес к контактным задачам объясняется тем,

что сельскохозяйственная техника состоит из взаимодействующих деталей и доля конструктивных отказов по причине контактной усталости достигает 20 %. Разрушению под действием контактных напряжений подвергаются болты и заклепки, зубья шестерен, подпирающие клинья, шейки и цапфы валов, детали шарикоподшипников и т. п. Контактные напряжения при статическом нагру-жении хрупких материалов приводят к излому изделия, пластичных — к возникновению местных остаточных деформаций, что недопустимо. При повторном действии нагрузок в зоне контакта пластичного материала может появиться трещина, которая, постепенно проникая в деталь, приводит к ее разрушению [1]. Например, при испытаниях мини-комбайна (копатель ОМК-1) [2] появилась трещина в направляющих выгрузного транспортера — сепаратора, которые в сечении представляли собой соединение типа «ласточкин хвост». Трещина развилась в хвостовике от фиксирующего клина.

Проблемам исследования напряженно-деформированного состояния при известной форме деталей в зоне контакта (прямая краевая задача) посвящено значительное число работ. Однако из-за сложности математического аппарата актуальным остается определение геометрии контактирующих тел при заданных контактных напряжениях (обратная краевая задача), например, при оптимальном проектировании. В данной статье предлагается один из методов ее решения.

Следует рассмотреть вдавливание жесткого штампа в упругое основание при плоской деформации (рис. 1).

Здесь неизвестной является форма линии контакта (границы Г) плоской области 0(х, г < 0), удовлетворяющей условию [3]:

< Я (Т т

= к ^

или Я (Ттах )) ^ СО^,

(1)

где g — заданная функция максимальных касательных напряжений в зоне контакта, которая является критерием оптимальности; к — константа, характеризующая свойства упругого материала.

Для определения контактных напряжений можно воспользоваться сингулярным интегральным уравнением [4—7]:

аф(х) + -] -ф® й С = / (х), (2)

га - с - х

.. , йи , , , , . , , £ , 1

где /(х) = ~т - ; ф(х) = 012(х) + щ (х); а = -; Ь = -;

ах ах 8 8

1 - 2 V 8 О Е

£ = гг.-г; 8 = --; О = —--; Е — модуль упруго-

2(1 -V) 1 -V 2(1 + v)

Рис. 1. Взаимодействие жесткого штампа с упругим основанием:

1 — жесткий штамп; 2 — упругая полуплоскость

сти; V — коэффициент Пуассона; и, — перемещения точек линии контакта; о1г(х), т^х) — контактные нормальные и касательные напряжения.

В случае ограниченных напряжений на обоих концах отрезка [—?; ?] границы Г решение уравнения (2) имеет вид [4, 6]:

Ь ,_+1

ф(х) = а /(х)--2 - х2 [

/ (5)

(5- X)

-5, (3)

причем решение существует тогда и только тогда, когда

+г / (5)

г л5 = о,

(4)

т. е. выражение (4) для плоских контактных задач является эквивалентом условия (1).

Для симметричных задач условие (4) выполняется, если /(5) будет нечетной функцией. Ее можно представить в виде степенного ряда возле точки разложения х = 0:

~ ^ л (2п-1)/(о)

1 (х ) = Пк (2п -1) йх2п-1 •

Пренебрегая перемещениями вдоль оси х, вертикальные перемещения вдоль оси г должны подчиняться закону

/ч П./ ъ в V х2п й(2п)/(0) в

*(х )=а / (х |йх+8=х +8

где 8 — жесткое перемещение вдавливаемого тела (штампа) в упругое основание.

Так как интересует только форма тела, а не деформации, принимают 8 = 0, т. е. выражение

( ) ^ х2п -(2п)/(0)

*(х) = Х( ) Л П=(2п) -х

будет определять оптимальную форму линии контакта.

С технологической точки зрения штамп проще всего изготовить с постоянным радиусом кривизны Я у его основания (рис. 2).

Форма основания штампа в явном виде описывается известным уравнением окружности:

г (х ) = Я - VЯ2 -.

(5)

Функцию (5) можно разложить в ряд Макло-

рена:

г (х ) = г (0) + Х-

-(п /(0)

п=1

т

йх п

Так как для жестких материалов пятно контакта ограничено (? < Я), то достаточно учесть только два первых отличных от нуля члена ряда. Предполагая, что в зоне контакта упругое основание принимает круглую форму основания штампа, записывают

х2 х4

* =--1--т

2Я 8Я3

(6)

Например, при х = ±Я/2 погрешность ряда (6) не превышает 0,9 % по сравнению с функцией (5). Тогда

/ (х) = -

3

хх — + —*

Я 2Я

которое подчиняется условию (4) и после разделения переменных решение (3) запишут так:

А + 5

3

Дх)= Я 1Я }

х } п (5-х)

й5

т, = - а

X X — + —5

Я 2Я3

3 \

(7)

(8)

где упругие постоянные имеют следующий вид:

Ь* =

е

е2 -1

; а = еЬ ; е =

а

-; е =

1 - 2 V

(1 -V) 2 (1 -V)'

Согласно [2, 5]

+1

й5

-(т^ (5- х)

= 0,

-I г ь V/ / X

р

\

1

Рис. 2. Взаимодействие круглого штампа с упругой полуплоскостью:

1 — жесткий штамп с круглым основанием; 2 — упругая полуплоскость

тогда сингулярный интеграл в формуле (7) имеет следующее решение:

'А+-53.Л

Я 2 Я3

й5

= 11 Я

(5- х) + х

2Я

(5-х) (5-х)

к+' (( - х3)

Я2 J

- 5 +

_) х й 5 = п

(5-х) 5= Я

22 ?2 х2 1 + —2 + —2 4Я2 2 Я

Таким образом, контактное напряжение формулы (7) перепишется:

'17

= Ь-4?~-.

Я

Г х 1 +-т +

2

4Я2 2 Я

(9)

п

*

о

Условие равновесия для упругой полуплоскости и штампа при сжатии можно записать так:

| о12 йх = - Р или

П Ь

откуда

Ь_ Я

2В. 2Р

1 +

3? 8В2

2

= - Р,

П2

1+

3?

2

8В2

(10)

Учитывая формулу (10), выражения (8) и (9) примут такой вид:

= —

2 Р^^-.

П2

1+

3?

2

Т1 =

8В2

2Р £В

1+

?2

2

4Я2 2 В2

П2

1+

3?

2

8В2

х — + ■

,3 Л

В 2В3

(11)

(12)

При вдавливании штампа в упругое основание меняется пятно контакта, т. е. неизвестным является параметр t. Для его определения переписывают выражение (10) в виде уравнения четвертой степени относительно £

3 4 2 2РВ . —4 + ?2 + —- = 0. 8В2 пЬ*

(13)

Оставляя только действительный и положительный корень уравнения (13), получают

? =

2В

1-

3Р пЬ*В

-1

(14)

Для проверки решения рассматривают взаимодействие штампа из дюралюминия радиусом основания В = 350 мм, шириной X = 21,6 мм и прямоугольной полосы из органического стекла с размерами: 40Ч107 мм и толщиной 5 = 7,17 мм. Нагрузка на штамп составила р = 981 Н или на единицу толщины модели Р=р / 5 = 137 Н/мм. Упругие постоянные: модуль сдвига О = 890 МПа, коэффициент Пуассона V = 0,35, тогда О

8 =

(1 -V)

Ь*=

= 1,19 • 103 МПа, £ = 1 2\ = 0,23,

8

£2 - 1

2 (1 -V)

= -1446,25 МПа.

Из выражения (14) имеют t = 4,04 мм. По формулам (11) и (12) определяют контактные нормальные и касательные напряжения, а по выражениям

°1,2 =

о

12

2

о1 - о

012 2

+ Т1

2 = -

12 т т , МПа

т шах'

главные и максимальные касательные напряжения.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Рис. 3. Сравнение теоретической эпюры максимальных касательных напряжений на линии сопряжения с экспериментальными данными для упругой полосы на глубине 1 мм

Для сравнения теории с экспериментальными данными на рис. 3 построены эпюры максимальных касательных напряжений.

Экспериментальная эпюра построена для прямоугольной полосы из органического стекла на глубине 1 мм под поверхностью контакта. Экспериментальные исследования проведены на установке с комбинированным оптико-механическим прибором (лазерном интерферометре) по методике, описанной в работах [8—10]. Сравнительный анализ показал, что теоретическая кривая не выходит за пределы доверительного интервала стандартного отклонения 5 %. Следовательно, округлое основание штампа во втором приближении является одной из оптимальных форм в контактных задачах. Максимальные эквивалентные напряжения составили оэ = (о. - о2) = 19,5 МПа, а но-

э V 1 2 /тах ' '

минальные — о; = Р / 2t = 17 МПа. Следовательно, действительный коэффициент концентрации нормальных напряжений ао = 1,15. Для прямоугольного штампа он составляет 1,7 [10], или на 32 % выше по сравнению с округлым.

Выводы

Разработана методика оптимального проектирования формы основания штампа, которая включает следующие этапы:

1. Задается внешняя нагрузка на жесткий штамп Р.

2. Определяется упругая механическая характеристика материала Ь* детали, на которую действует штамп.

3. Выбирается необходимый параметр пятна контакта t.

4. Определяется оптимальный радиус основания жесткого штампа В, используя выражение (10). Если его раскрыть относительно оптимального радиуса, получают кубическое уравнение:

х, мм

2

Т=

тах

R3 +

nb't2 2 3nb*t4

R2 +■

= 0,

2P 16P

действительное решение которого имеет вид

R =

((iß2 + 12ßa3 - 108ß - 8a3

,>3

2a2

a

где

?(i^81ß2 + 12ßa3 - 108ß - 8a3

nb*t2 3nb*t4 a = . „ , ß =

К 3'

(15)

2P 16P

5. Применяя стандартную методику масштабно-физического моделирования, изготавливается плоская модель детали из органического стекла, штамп с круглым основанием из жесткого материала (металл) и проводятся исследования НДС по методике и установке, описанной в работах [8, 10].

6. Затем этапы 1...4 повторяются при изготовлении реальной детали с оптимальной формой контура в зоне контакта.

Данная методика позволяет проектировать сопряжения деталей, не прибегая к сложному математическому аппарату или дорогостоящему программному обеспечению [11], причем ошибка в расчетах не превысит 5 %.

Список литературы

1. Детали машин и основы конструирования: учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по агроин-женерным специальностям / М.Н. Ерохин, А.В. Карп, Е.И.Соболев [и др.]; под ред. М.Н. Ерохина. — М.: Колос, 2008. — 462 с.

2. Максимов П.Л. Разработка универсальных технических средств для уборки корнеклубнеплодов: монография. — Ижевск: Изд-во ИжГСХА, 2002. — 172 с.

3. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. — М.: Наука, 1980. — 256 с.

4. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. — М.: Наука, 1968. — 512 с.

5. Александров В.М., Чебаков М.И. Введение в механику контактных взаимодействий. — Ростов-на-Дону: Изд-во ООО «ЦВВР», 2007. — 114 с.

6. Дородов П.В. Приведение краевой задачи для плоского упругого тела к одному особому интегральному уравнению [Электронный ресурс] // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. — 2012. — № 80. — С. 1-10. — Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/ 2012/06^/14^

7. Дородов П.В. Исследование напряжений на линии сопряжения ступенчатой пластины [Электронный ресурс] // Инженерный вестник Дона. — 2013. — Т. 25. — № 2 (25). — С. 36. — Режим доступа: http://www.ivdon.ru/

8. Интерферометр для определения нормальных напряжений в плоских прозрачных моделях / В.П. Беркутов, Н.В. Гусева, П.В. Дородов [и др.] // Датчики и системы. — 2009. — № 2. — С. 26-29.

9. Полярископ для определения разности главных напряжений в плоских моделях, изготовленных из оптически малочувствительных прозрачных материалов / В.П. Беркутов, Н.В. Гусева, П.В. Дородов [и др.] // Вестник Ижевского государственного технического университета. — 2008. — № 4 (40). — С. 108-110.

10. Киселев М.М. Разработка установки для определения главных напряжений с повышенным пространственным разрешением в плоских прозрачных изделиях: дис. ... канд. техн. наук: 05.11.13 / Киселев Михаил Михайлович. — Ижевск, 2010. — 136 с.

11. Ерохин М.Н., Казанцев С.П., Дорохов А.С. Компьютерные технологии проектирования в учебном процессе агроинженерных вузов // Вестник ФГОУ ВПО МГАУ. — 2010. — № 4. — С. 82-85.

6

+

УДК 631.3:629.3.014.2.033:636.085 В.В. Стрельцов, доктор техн. наук

Российский государственный аграрный университет — МСХА имени К.А. Тимирязева В.П. Лапик, канд. техн. наук И.П. Адьлин

Брянская государственная сельскохозяйственная академия

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЖЕСТКОСТИ РЕЗИНОАРМИРОВАННОЙ ГУСЕНИЧНОЙ ЛЕНТЫ ПРИ ДЕФОРМИРОВАНИИ ЕЕ ОПОРНЫМИ КАТКАМИ ГУСЕНИЧНОГО ДВИЖИТЕЛЯ

Применение резиноармированных гусениц в конструкции гусеничных движителей имеет свои особенности взаимодействия с ведущей звездочкой и опорными катками. Наличие достаточно высоких грунтозацепов и гибкость гусеничной ленты в промежутках между ними существенно из-

меняет и характер воздействия на почву, особенно переувлажненную пойменную. Резина как материал при приложении нагрузки изменяется по определенным законам [1].

Пренебрегая в первом приближении взаимным влиянием нагрузок от соседних опорных катков,