CC BY
55
О краевой задаче теории упругости в полярной системе координат
П.В. Дородов
Ижевская государственная сельскохозяйственная академия, Ижевск, Удмуртия
Аннотация: В статье изложена постановка краевой задачи деформируемого твердого тела в полярной системе координат. Задача приведена к особому интегральному уравнению, решение которого позволяет определить местные напряжения на линии сопряжения возле их концентрации.
Ключевые слова: концентратор напряжений, упругое тело, местные напряжения, краевая задача, интегральное уравнение.
В современных машинах широко применяются осесимметрично нагруженные детали сложной формы, ослабленные различными концентраторами напряжений, в близи границ которых возникают значительные местные напряжения, поэтому возникает необходимость в отыскании решения краевой задачи в полярной системе координат [1, 2].
С точки зрения расчетной схемы любую деталь можно представить как упругое тело единичной толщины произвольной формы, подвергающееся воздействию внешних нагрузок Рп и находящееся в состоянии равновесия (рис. 1 а).
Рис. 1 - Плоское упругое тело: а) расчетная схема; б) элемент тела с круговым сечением
Пусть координатами точки А будут полярный радиус г, отсчитываемый от центра тяжести, и угол в.
Для исследования напряженно-деформированного состояния воспользуемся уравнениями Ламе, описывающими равновесие бесконечно малого элемента сплошной среды в перемещениях без учета массовых сил, которые в полярной системе в условиях плоского деформированного состояния примут вид [3]:
^-^+2(1 -2М-Юи + д (1 0
к
дг2
д (1 д к
-1--+ —Т \и +
дв V г дг г
г дг
дв2
дв V г дг г2
к = 0,
к = 0,
Д,+((- 2у )д-т+(1 - 2, )1 +£_ \
V 'дг2 4 г дг г2 г2 дв2) где V - коэффициент Пуассона; и и к - перемещения точек в полярной
(1)
системе координа в, г; к = 3 - 4у .
Введем новую переменную г = 1пг (г = ре1), р=свт1, тогда систему (1)
р
можно привести к уравнениям с постоянными коэффициентами [1, 3]
2(1 - -1) + (1 - 2у)
д 2 ^
и +
дв2 \ дв Vдt
д(д-кV = 0,
д (д Л
—I — + к \и +
дв Vдt )
(
(д2
д
2 Л
(1 - -1\ + 2(1 - V) 2
У \дЛ2 ) У 'дв1
к = 0.
)
(2)
Решение системы (2) ищем в виде интегрального преобразования Фурье [4]
и
к
1 +<»
= —| и (а, t )• е ~'арс1а,
2П -да 1
= — | Ж (а, t )• е ~шрс1а,
(3)
где а - произвольное вещественное число.
После подстановки (3) в (2) имеем систему уравнений:
г
г
2(1 - у ^-(2(1 - V ) + (1 - 2v )а2) - ¡а ^ - кЖ = 0,
(1 - 2v)-((1 - 2v) + 2(1 - V)2) - ¡а + ки = 0,
решение которой может быть представлено в виде [1]:
(
—I—
Л
-г
+ А2 ехр
и = А1 ехр
а3
V 3 у Ж = А1 (а^/аа"/' - 16а4 )ехр
. л/а!
аа
а
+ В1 ехр
Уа1
аа
-г
а
+ В2 ехр
л/а1
аа
а
-1
1
а
а
-А
(аЛ1[а1
1 У
( -\
а2 —г
- i
1 11 а1 у
а2 i - 16а4 ]ехр
(
В1 ((а1а2 - 16а4 )ехр - i — г + В2 (а^а1а2 - 16а4 )ехр
V
( V
Л"
а2 г
а1 У
а2 —г
а1 У
а
(4)
где Ап, Вп (п=1, 2) - постоянные, подлежащие определению из краевых условий; а1 = 2(1 - 3v + 2v2);
а2 = 6у- 4а2у2 - 4у2 + 6а2у- 2 - 2а2 +(-18 - 4а V - 180у2 + 192у3 + 6а2у + 48у- 34а2 - 64у4)0,5;
аз = 2(1 - v)(1 - 2v); а4 =(1 - v)í- - V I V - -
а5
=«т 2 - V Л(1 - Л
чЛ
а4 + а2 +16| V--
4 а ( V - а---81 V -
Уравнения (4) можно привести к эквивалентным смешанным гиперболическим и тригонометрическим функциям [3].
Подставляя (4) в (3) определяем перемещения и и м. По формулам Коши находим деформации
ди е г ди дг р дг
и 1 дм е г ( дмл
г г дв р V дв у
и + -
= 1 ди + дм м = е - ^ ди + дм ^ ^ г дв дг г р Кдв дг у
а по закону Гука - напряжения:
г
г
2
3
4
2
'¿г =
2G
1 - 2у 2G
^ =
в 1 - 2у Гв
[(1 - V К + 1
[ - ^ Ь + 1
Т гв = ^ гв .
Задаемся следующими краевыми условиями:
1) Из условий симметрии, без жесткого перемещения тела и при отсутствии полости в начале координат u(0;0) = w(0;0)= 0;
2) ^ ((0; в) = ^ г 0, в < в,;
3) т(0; в) = Т0, в < в0,
где t0-му соответствует радиус сектора г0, с углом полураствора во (рис. 1 б).
Если ог0 и т0 рассматривать в качестве местных напряжений, то они в основном должны зависеть от перемещений на дуге сектора |в| < в0 и мало
зависеть от г0, поэтому необходимо устремить его к бесконечности. Здесь координаты в0 и г0 определяют границы концентратора напряжений. Решить
п П
задачу удается только численными методами, однако при в0 << — приходим к
выражению [1, 4-7]:
а^ )+П Ш д = f (5), (5)
п - д- £
где а,Ь - постоянные, зависящие от упругих свойств материала; £ - дуговая абсцисса линии интегрирования (сопряжения), соответствующая углу в0; 1 -полуширина линии сопряжения; f (5 ) = и'(5)-^(5); ) = аХг ()+/т1 (). Индекс 1 означает местный характер напряженно-деформированного состояния.
Частные решения интегрального уравнения (5) представлены в [4-10].
Итак, интегральное уравнение (5) может быть использовано для решения краевых задач в полярных координатах при определении местных напряжений на какой-либо дуге интегрирования, в качестве которой может
служить как внешний контур тела, так и какая-либо дуговая линия сопряжения возле концентратора напряжений внутри плоского тела.
Литература
1. Дородов П.В. Комплексный метод расчета и оптимального проектирования деталей машин с концентраторами напряжений: монография. - Ижевск: ФГБОУ ВПО Ижевская ГСХА, 2014. 316 с.
2. Ерохин М.Н., Дородов П.В. Метод оптимального проектирования деталей в зоне контакта // Вестник Федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский государственный агроинженерный университет им. В.П. Горячкина». 2014. № 3. С. 5-8.
3. Mixed boundary value problems of potential theory and their applications in engineering / by V.I. Fabrikant. Boston : Kluwer Academic Publishers, c1991. 451 p.
4. Александров В.М., Чебаков М.И. Введение в механику контактных взаимодействий. - Ростов-на-Дону: Изд-во ООО «ЦВВР», 2007. 114 с.
5. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: Изд-во «Наука», 1968. 512 с.
6. Trjitzinsky W.J. Singular integral equations with Cauchy kernels // Trans. Amer. Math. Soc.- 1946. -V.60.- №2.- рр.167-214.
7. Дородов П.В. Приведение краевой задачи для плоского упругого тела к одному особому интегральному уравнению // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета, 2012, № 80. С. 1-10 URL: ej.kubagro.ru/2012/06/pdf/14.pdf.
8. Дородов П.В. Исследование напряжений на линии сопряжения ступенчатой пластины // Инженерный вестник Дона, 2013,№2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2013/1636.
9. Дородов П.В., Кулагин А.В. Исследование напряжений в окрестности плоского горизонтального выреза // Инженерный вестник Дона, 2012, № 2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2012/813.
10. Ерохин М.Н., Дородов П.В. Уточненный расчет и определение коэффициента концентрации напряжений в деталях машин, ослабленных боковыми вырезами // Международный технико-экономический журнал. 2014. № 4. С. 77-83.
References
1. Dorodov P.V. Kompleksnyy metod rascheta i optimal'nogo proektirovaniya detaley mashin s kontsentratorami napryazheniy: monografiya [Complex method of analysis and optimal projecting of machine components with stress concentrators: monograph]. P.V. Dorodov. Izhevsk: IzhGSHA, 2014. 316 p.
2. Erokhin M.N., Dorodov P.V. Vestnik MGAU V.P. Goryachkina», 2014. № 3. pp. 5-8.
3. Mixed boundary value problems of potential theory and their applications in engineering / by V.I. Fabrikant. Boston: Kluwer Academic Publishers, c1991. 451 p.
4. Aleksandrov V.M., Chebakov M.I. Vvedenie v mekhaniku kontaktnykh vzaimodeystviy [Introduction to contact mechanics]. Rostov-na-Donu: Izd-vo OOO «TsVVR», 2007. 114 p.
5. Muskhelishvili N.I. Singulyarnye integral'nye uravneniya [Singular integral equations]. M.: Izd-vo «Nauka», 1968. 512 p.
6. Trjitzinsky W.J. Trans. Amer. Math. Soc. 1946. V.60. №2. pp.167-214.
7. Dorodov P.V. Politematicheskiy setevoy elektronnyy nauchnyy zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta, 2012, № 80. pp. 1-10. URL: ej.kubagro.ru/2012/06/pdf/14.pdf.
8. Dorodov P.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, №2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2013/1636.
9. Dorodov P.V., Kulagin A.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2012, № 2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2012/813.
10. Erokhin M.N., Dorodov P.V. Mezhdunarodnyy tekhniko-ekonomicheskiy zhurnal, 2014. № 4. pp. 77-83.
