Приведение краевой задачи для плоского упругого тела к одному особому интегральному уравнению Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.81:539.3

ПРИВЕДЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПЛОСКОГО УПРУГОГО ТЕЛА К ОДНОМУ ОСОБОМУ ИНТЕГРАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ

UDC 621.81:539.3

REDUCTION OF BOUNDARY-VALUE PROBLEM FOR A PLANE ELASTIC BODY TO A SINGULAR INTEGRAL EQUATION

Дородов Павел Владимирович к.т.н., доцент

ФГБОУ ВПО Ижевская государственная сельскохозяйственная академия, Ижевск, Россия

Dorodov Pavel Vladimirovich Cand.Tech.Sci., associate professor

FSBEIHPE Izhevsk State Agricultural Academy, Izhevsk, Russia

В статье представлено аналитическое решение краевой задачи для плоского упругого тела с внешними и внутренними концентраторами напряжений посредством использования одного особого сингулярного интегрального уравнения. Приведен его вывод, а также решения в общем виде и в частных случаях

The boundary-value problem for a plane elastic body with external and internal stress concentrators has been analytically solved in this article by means of a singular integral equation. Derivation of this equation and general and particular solutions of the equation are represented

Ключевые слова: КОНЦЕНТРАТОР НАПРЯЖЕНИЙ, ПЛОСКОЕ УПРУГОЕ ТЕЛО, СОПРЯЖЕНИЕ, КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, ОСОБОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

Keywords: STRESS CONCENTRATOR, PLANE ELASTIC BODY, CONJUGATION, BOUNDARY-VALUE PROBLEM, SINGULAR INTEGRAL EQUATION

Введение

В современных сельскохозяйственных машинах широко применяются рабочие органы и детали, ослабленные различными внутренними и внешними концентраторами напряжений. К внутренним концентраторам, например, относятся вырезы, выступы, отверстия, резкие переходы от одного сечения к другому. К внешним - твердые тела в зоне контакта (опоры, подшипники, пальцы, втулки и т.д.). При загружении деталей в близи границ концентраторов возникают значительные местные напряжения, которые могут неблагоприятно сказаться на прочности деталей.

Проблемам определения напряжений возле внутренних и внешних концентраторов посвящена обширная область теории упругости и механики разрушения. Однако способы исследования, как правило, не связаны между собой, поэтому отыскание единого подхода в исследовании

обеих проблем одними и теми же аналитическими методами остается актуальной краевой задачей механики деформируемого твердого тела.

Постановка задачи

Рассмотрим упругое тело единичной толщины произвольной формы, изображенное на рисунке 1, на которое действуют внешние нагрузки Рп и находящееся в состоянии равновесия.

Рисунок 1 - Расчетная схема плоского тела

Оси х, г проведем через центр тяжести тела. Рассмотрим произвольную точку А.

Для исследования напряженно-деформированного состояния

воспользуемся уравнениями Ламе без учета массовых сил [1]:

ЭУ

(1 - 2v )Аи +----------= 0,

Эх

ЭУ

(1 - 2v )А^ +----------= 0,

(1)

где V - коэффициент Пуассона; и и w - перемещения в декартовой

Л Э2 Э2

системе координат х, г; А = +—-

у = Эм . Эх2 Эг2 ’ Эх Эг

Известно, для решения такой задачи может быть использовано интегральное преобразование Фурье [2], а именно, решение уравнений (1) ищем в виде:

- Т<^о

и = — | и (а, г) • е~1ахйа,

Л +¥

w = — | Ж (а, г) • е ~1(Шйа.

(2)

После подстановки (2) в (1) имеем систему уравнений, решение

которой может быть представлено в форме

и = (А1 + агА2 )еИ(аг)+ (В1 + агВ2 )ук(аг), 1

Ж = 1[(В1 - кА2 + агВ2 )ек(аг)+(А1 - кВ2 + агА2 ^к(аг)],]

где к = 3 - 4v; Ап, Бп (п=1, 2) - постоянные, подлежащие

определению из граничных условий.

Таким образом, перемещения и и w имеют вид:

1

и = — [ [(А1 + агА2 )еИ(аг)+ (В1 + агВ2 ^И(аг )]е ~1асёа,

2п -¥

w = — [[(В1 - кА2 + агВ2 )рк(аг)+ (А1 - кВ2 + агА2 ^к(аг)]е~гсасёа. 2п J

(3)

Далее по известным формулам могут быть найдены деформации:

Эи

х Эх 2п

| [(А1 + агА2 )еИ(аг)+ (В1 + агВ2 ^к(аг )]ае 1сасёа ,

| [(В1 - кА2 + агВ2 )а • .^(аг)+ аВ2еИ(аг)+ (А1 - кВ2 + агА2 )а • ек(аг)+ аА2sh(аz)]е~гсасёа = — [[(В1 + (1 - к)А2 + агВ2 )ук(аг)+ (А1 + (1 - к)В2 + агА2 )рк(аг)]ае~гсасйа,

О-ГГ *

Эw 1

г Эг 2п

У = -Э- + -Э— = -1 |[(А1 + В2 + агА2 )^(аг)+ (В1 + А2 + агВ2 )е^аг)

+

Эг Эх 2п

(В1 -кА2 + агВ2 )с^аг)+ (А1 -кВ2 + агА2 )^(аг)]ае~1ахёа =

- +¥

— [[(2А1 + (1 - к)В2 + 2агА2 ^^аг)+ (2В1 + (1 - к)А2 + 2агВ2 )ch(аz)]ае~1ахйа.

>ТГ 3

2п

а по закону Г ука - напряжения

2— /

| {- (1 - V)[(А1 + агЛ2 )ск(аг)+ (В1 + агВ2 )яИ(аг )]-

1 - 2v 2ж_

v[(B1 + агВ2 + (1 - к)Л2 )яИ(аг)+ (А1 + агЛ2 + (1 - к)В2 )ск(аг)]}ае~1саёа = =-------[[(А + агЛ2 + 2vB2 )ск(аг)+ (В1 + агВ2 + 2vA2 )$И(аг)]ае~гаёа,

а, = —— |{(1 - v)[(B1 + агВ2 + (1 - к)Л2 )яИ(аг) + (А1 + агЛ2 + (1 - к)В2 )ск(аг)] -

1 - 2v 2п

v[(A1 + агЛ2 )ск(а2 )+(В1 + агВ2 )яЬ(аг )]}ае _гах ёа = /— +“ п

|[(2В1 - (1 + к)Л2 + 2агВ2 )як(аг)+ (2Л1 - (1 + к)В2 + 2аЛ2 )ск(аг)]ае гахёа,

т = — [[(2Л1 + (1 - к)В2 + 2агЛ2 ^к(аг)+ (2В1 + (1 - к)Л2 + 2агВ2 )ск(аг)]ае гахёа.

9тт *

где О - модуль сдвига.

Г раничные условия

Рассмотрим произвольный элемент плоского тела, показанный на рисунке 2, с горизонтальным сечением, в котором действуют напряжения

oz0, т0.

Зададимся следующими граничными условиями:

1) Из условий симметрии и при отсутствии жесткого перемещения

тела

м(0;0) = ^(0;0) = 0;

2) °г (х; 20 ) = °г0, И£ ^

3) т(х; г0 ) = т0, И£ 1г0 .

Рис. 2 Произвольное горизонтальное сечение плоского тела

Из первого граничного условия с учетом (3) получаем

Л]=0; В1=кЛ2.

Пусть на интервале - 1г0 <х< 1г0 функции ог0 и т0 непрерывны и

абсолютно интегрируемы. В этом случае имеют место преобразования и соответствующие обращения Фурье

0 1 Р(а )= | а о ({ ; а, о = — / Р(а > Сх,

—z о -¥

120 1 ¥

д(а) = |то (£)У а; То = — {б(а>-ахСх,

тогда из второго и третьего условия получим

Л Р(а) ((1 - к^к(аг0)+ 2аг0с^аг0)) Q(а) (2аг0sh(аz0 )-(1 + к)ск(аг0))

2 /а— {2кск(2аг0)+к2 +1 + 4(аг0 )2) а— {2кск(2аг0)+к2 +1 + 4(аг0 )2) ’

В = Р(а) (2аг0sh(аz0)+ (1 + к)ск(аг0)) + Q(а) (- (1 - к^к(аг0)+2аг0ск(аг0))

2 /а— (2кс^2аг0)+к2 +1 + 4(аг 0 )2) а— (2kch(2аz0) + к2 +1 + 4(аг0 )2)

После ряда преобразований выражения (3) примут вид:

1 (+1г о

и =

пв

Г Т0 ) Г 3и (х2(01 соба(% - х- е Г ог0 ) Г 312 2°1 б1па(£ - х)4аё£

10 0 3 К ) -( 0 0 а/ (а20 )

+ 1т<

312 (а20 ) ,

1 (+1г 0

Н = -

пв где

Г ог0 (£) Г соба(£ - х)ёаё^ + е Г Т0 (£) Г

■* 0 о1 ^) ^ 0

+ 1п

3 21 (а20 ) а3 (аг0)

3 (аг0 ) = (2кск(2ог0)+к2 +1 + 4(аг0 )2), 3П (аг0) = 2к^(2аг0)+ 4аг0,

322 (аг0) = 2к^(2аг0) - 4аг0,

8(аг0)2

312 (а^0 ) 321 (а^0 ) 2к (с^(2аг2 ) 1)_

(к - 1)

а

е =

(1 - V)’

1 - 2у 2(1 - V)'

Краевая задача

Если рассматривать ог0, т0 в качестве местных напряжений, то, очевидно, они в основном должны зависеть от значения перемещений и и н на линии интегрирования - 1г0 < х < 1г0 (линии контакта тел или

сопряжения частей упругого тела) и мало зависеть от высоты 20.

Для того чтобы «избавиться» от 20 устремим ее к бесконечности, при этом, считая интервал - 1г0 < х < 1г0 конечным и учитывая, что

311 (а20 ) = 1 ,. 312 (аг0 ) = 1 ,■ 322 (а20 ) = 1

11т^—Г =1, 11т^—V =1, 11т^—г =1,

г> ®¥ 3 (аг0) ^0 ®¥ 3 (аг0) ^ 3 (аг0)

имеем

"1= Пв [ У 0

-1 (+ 1 +¥

Н1= Пв 11о-(^) 0

-| /" +1 +¥ / У \ +1 +¥

1 = Пв 1 Г Т1 ^ )Г СО^а00------------- е Г 01г (£ )|

■ Б1п а(£ - х)

dа.d£

а

соб а(% - х)

а

+ 1 +¥

dаd£ + е|т1 (^ )|

бш а(% - х)

а

dаd^

в

кйр://е]'киЬа§гО'Гц/2012/06/рёГ/14'рёГ

здесь "I, Н1, Т], о1г - местные перемещения и напряжения, а через I обозначено 1г0 при -0^<х>.

Составляющие компоненты деформаций примут вид:

Ли 1

+ 1

dx пв I

|т1 (£)Гб1па(£ -х)ЛаЛ£ + е|о1г (£)^соба(£ -х)ЛаЛ£ , (4)

+1 +¥

+1 +¥

н, =-

dx пв I

|о1 (£)Г*б1па(£ -х)ЛаЛ£ -е^— (£)^соба(£ - х)ЛаЛ£ . (5)

-г

Г б1п а(£ - х)Ла = —1—,

* £ - х

Внутренние интегралы, согласно [2], можно записать

1

£ - х

Гсоб а(£ - x)dа = пё(£ - х),

0

где ё(£-х) - дельта-функция Дирака, обладающая свойством

|ё(£ - х)Л(£ - х) = 1.

Тогда при - г < х < г [3]

{01- (£)ё(£ - х)Л£ = 01- (x),

-г

г

Г- (£ )ё(£ - х)Л£ = т (х).

-г

Таким образом, выражения (4) и (5), можно переписать

, = Л"1 = 1 1+Г Т1 (£)

и, =

Лх пв I - £ - х

Г-^ Л£ + пеои (х)

Г — V

/ = ЛН1 = 1 1 +Г 01- (£)

|°£1г_ Л£ - пе-1 (х)

Лх пв I - £ - х Умножим уравнение (6) на I и сложим с (7):

(х)+"(х)=-в |о'-- (£ -хт (£) Л£+в (/°1г (х) - -1(х»

-

(6)

(7)

или

0

0

0

0

аф(х)+Ь Л£ = /(х), (8)

пг - £ - х

где

/(х ) = ";(х)-гН1/(х). Ф(х) = о1-(х)+гт1(х) 5

е

а = —, в

ь=1.

в

Выражение (8) представляет собой характеристическую часть особого (сингулярного) интегрального уравнения с постоянными коэффициентами а и Ь на отрезке [-1,1], решение которого сводится к краевой задаче Коши-Римана [4, 5]. В общем виде его можно представить

9(х) = а7(х) - Ь2х) {гТхХЦ ь 2 (х)рх-1(х), (9)

т -2Ш-х)

п У]

где 2(х) = «(х)П(х - с}) - каноническое решение класса И; к - класс

решений, ограниченных в узлах (с1, с2.с9); ю(х) - функция,

удовлетворяющая условию Гёльдера; с - узлы линии интегрирования; 0 < Яеу < 1 при ] = 1,2 .,q; -1 < Яеу < 0 при ] = q +1, .,т; Яеу = 0 при

] = т +1, .,п; q - количество неособенных узлов, в которых решение ограничено; т - число всех неособенных узлов, в которых решение неограниченно; п - количество особенных узлов; Рс-1 (х) - произвольный

многочлен, степени не выше х-1; х - индекс класса к.

Например, при наличии двух узлов на концах линии интегрирования, решение (9) примет вид:

- в случае неограниченного решения на обоих концах отрезка [-1,1]

ф(х) = а} (х)-Ьп^-П2^=г Л£ + —^===,

Ыг2 - х2 -г £ - х пЛ- - х~

где а*, Ь* - действительные числа, определяемые по формулам

а ев

*

а

Ь =

а2 - Ь2 е2 -1

Ьв

2 т 2 2 1 ’

а -Ь е -1 С - произвольная постоянная;

- в случае ограниченного решения при х=-/ и неограниченного при

х=г

7 *11, +г

ь г+х

ф(х) = а* / (х)-----Г

пг\г - х 1\г + £ £ - х

в случае неограниченного решения при х=-/ и ограниченного при

х=г

Ф(х) = а7(х)- —

пг V I + х -г \

г - £ £ - х

- в случае ограниченного решения на обоих концах отрезка [-/;/]

ф(х) = а * / (х)- — л/ г2 - х2 Г , } (£)-ё£,

пг (£ - х)

причем в последнем случае решение существует тогда и только тогда, когда

/ (£)

+г

Т1Г I

Л£ = 0.

-г л/г2 - £2

Заключение

Особое интегральное уравнение (8) может быть использовано для решения краевых задач теории упругости возле различных концентраторов напряжений на каком-либо отрезке интегрирования, в качестве которого может служить как внешний контур тела, так и какая-либо линия сопряжения внутри плоского тела. После определения напряжений на границе области можно переходить к решению плоской задачи с последующей оптимизацией (обратная задача).

Литература

1. Демидов С.П. Теория упругости: Учебник для вузов.- М.: Высш. школа, 1979. - 432 с.

2. Александров В.М. Введение в механику контактных взаимодействий / В.М. Александров, М.И. Чебаков. - Ростов-на-Дону: Изд-во ООО «ЦВВР», 2007. - 114 с.

3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1968. - 720 с.

4. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: Изд-во «Наука», 1968. - 512 с.

5. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М.: Наука, 1977. - 640 с.