CC BY
27
Исследование напряжений на линии сопряжения ступенчатой пластины
П.В. Дородов
Различные детали и рабочие органы машин могут иметь резкие переходы от одного сечения к другому. В этих зонах проявляется значительная концентрация напряжений под действием внешних нагрузок, приводящая к возникновению трещин или больших остаточных деформаций, что является недопустимым явлением. Известно много методов определения напряжений в таких зонах. [1, 2] В данной работе предлагается метод определения напряжений и коэффициента концентрации, позволяющий прийти к точному решению задачи.
На примере плоской задачи рассмотрим сопряжение ступени 1 и основания 2 пластины переменной жесткости (рис.1). Линия сопряжения представляет собой прямую [-t;t], соединяющую углы перехода от ступени к основанию.
Рис. 1 Сопряжение ступенчатой пластины 1 - ступень, 2 - основание
Для решения этой задачи используем характеристическую часть особого интегрального уравнения с постоянными коэффициентами а и b на отрезке [-t;t] [3, 4, 5]:
aq>(x) + — j уй- dQ = f (x), m J q - x
где /(.х)
ёи . ё¥ тт тг
-----1 —; и, V - перемещения точек линии сопряжения;
ёх ёх
(р(х)=ау(х)+г^(х); ау(х),т^(х) - нормальные и касательные напряжения на
линии сопряжения.
На рисунке 2 изображена пластина после внедрения ступени в основание.
Рис. 2 Ступень после внедрения в основание д - внешняя нагрузка; 8 - вертикальное перемещение линии сопряжения; у - угол наклона касательной в точке перехода контура пластины от ступени к основанию
В случае неограниченного решения в узлах х = ±t имеем [3, 4, 6]:
где а*, Ь*, С- постоянные.
Предположим, что линия сопряжения после нагружения пластины остается прямой или ее искривлением можно пренебречь, тогда на линии интегрирования перемещения принимают вид:
а выражение (1) после разложения на действительную и мнимую части можно переписать
(1)
V (х) = -5, и (х) = Ьх,
где д, Ь\ - некоторые постоянные и
ау (х) = а*Ъх + ; (х) = —/== . (2)
^ 4^- х2
Кроме напряжений оу и тху возникает еще и ох, которое можно определить по закону Гука
20
Сх =
1 - 2у
(1 -у)
ёи(х)
20
[(1 -к>1]=, (3)
где е = 1 2\, О - модуль сдвига, V - коэффициент Пуассона.
2(1 - V
Для определения постоянных воспользуемся уравнением равновесия:
+t
^а6ёх = а*Ъ 2t + С = q2t (4)
—t
и краевым условием - при х=0 нормальные напряжения из условий симметрии будут равны главным:
Сх (0)=С2,|
Со (0) = С |
тогда для максимальных касательные напряжений запишем
^ _дх - ст 2 _ Со(о) — ах(о)_ q
шах
2 2 2 или с учетом (2) и (3), имеем
' * О X С
а-------Ъ +-------= q . (5)
£ ) Ж
Решая совместно (4) и (5), получаем:
N = 2qtc *,
Ъ= 4 (1 - с' )
а
где
„* к (1 -И * 7* ев
п =----------------^------------- —--------г-, а = еЪ =----------------
(1 - 2^ fl -2+к1-4 т
ж (1 - 2у)2
е2 -1
а напряжения примут вид:
с = q
1+
2t
4ё~---2
ж
\
-1
х2 у
с
с =- Ф(1 - у) (1 - с*)
с (1 - 2у)2 ( с >•
ТЯЛ = --
qх
2 - х2
(1 - с')
Из формул (6) видно, что на концах линии сопряжения напряжения оу и тху неограниченно возрастают. Это объясняется идеально острыми углами. На самом деле углы скруглены. Переход от ступени к основанию пластины с закругленными углами изображен на рисунке 3.
Рис. 3 Ступенчатая пластина со скругленными углами
Обозначим через аа теоретический коэффициент концентрации напряжений по нормальным напряжениям оу , то есть
СуШХ
ас=^г
с
Здесь
_шах
С = q
1 +
ж.
1 -
V tо У
-1
=<
2
•!<
с
где 10 - полуширина ступени пластины с идеально прямыми
(неокругленными) углами,
1+(Ж-Г
Тогда имеем
1 +
ж.
«с =
1 -
V tо у
-1
1 + (2/ж- 1)п*
откуда
(аа-1 + (аа 2/ж-аа+ф*)
ж
(ас -1 + (ас2/ж-ас + 1)с*)2ж2 -4(с*)2
(7)
Далее предположим, что скругленный угол по контуру совпадает с частью гиперболы (см. рис. 3)
2 , 2
х- - =1
t2 к2
в системе координат X], у] с действительной ? и мнимой к полуосями. Оси х], у] повернуты к осям х, у под углом в 450.
Тогда для точки М скругленного контура можно записать
^0 - Г/У2 )2
2к2
= 1.
(8)
Так как аа зависит только от геометрии угла, следовательно, в точках линии гиперболы и эллипса с одинаковой кривизной коэффициенты концентрации должны быть одинаковы. Согласно [7, 8] для эллипса имеем:
откуда
к = ■
2t
ас -1
Учитывая (9), из выражения (8) получаем
2
*
с
2
t
о
2
Г
2
t
t012_ (аа-1)2 Г 2 Ап: 11Г 2 Г^Г
4--1\^+4-Г+l. (10)
_ +^2--1-г + л/2- +
8t2 V 2 У t2 t
Приравнивая правые части (7) и (10), имеем
(д. -1 + (аа 2/ ж - ает +ф* У ж2 (а^-1)2 Г 2 ^ 0
(а- 1 + (а2/ж-а+ф*)2ж2-4(с)2 - 8t2 "Г2-2У t2 21 “1 “0.
Обозначим относительный радиус г0 = ~, тогда последнее выражение можно переписать
(а,-1+ а2/ж-а„+ ^ -<а„-1)2Г„г -2(^72-1),.2-242го-1 = 0. (11)
(ает -1 + (ает 2/ж-аа+ 1)с*) ж2 - 4(с*) 2
На рисунке 4 изображена графическая зависимость (11) теоретического коэффициента концентрации напряжений от радиуса кривизны галтели и коэффициента Пуассона, который для всех материалов принимает значения 0 < у < 0,5 и которому соответствует 0,89 < п < 1. Построение проводилось в среде пакета программ Мар1е. Предложенное решение хорошо согласуется с действительным коэффициентом концентрации напряжений, найденным для модели из органического стекла (у=0,35) при помощи лазерного
интерферометра по методике, описанной в [9, 10]. Так, при — = 0,2
действительный коэффициент концентрации составил 1,48, а теоретическое значение, найденное по выражению (11) дает 1,52, то есть относительное отклонение теории от эксперимента равно 2,7%.
t
1
°'5 О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
гШ
пи=0.5
пи=0
Рис. 4 Графическая взаимосвязь между коэффициентом концентрации напряжений и радиусом галтели
Из анализа графической зависимости можно сделать следующие выводы:
- так как линии с предельными коэффициентами Пуассона практически совпадают, то для исследования концентрации напряжений в галтелях можно пользоваться примерной формулой при п = 1
ступенчатых деталях используются выкружки с относительными радиусами
напряжений аа = 1,2...2,02, следовательно, применение технологического скругления углов с постоянными радиусами не является оптимальной формой перехода.
(12)
- из выражения (12) видно, что аа^ 1 при — , а так как в
Литература:
1. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982. - 344 с.
2. Бескопыльный А.Н. Методика экспериментального исследования предварительных напряжений в образце при вдавливании индентора / А.Н. Бескопыльный, А.А. Веремеенко // Инженерный вестник Дона [Электронный ресурс].- 2012. -№4. - Режим доступа: http://www.ivdon.ru/.
3. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: «Наука», 1968. - 512 с.
4. Дородов П.В. Приведение краевой задачи для плоского упругого тела к одному особому интегральному уравнению / П.В. Дородов // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2012. - №06(80). - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/.
5. Дородов П.В. Исследование напряжений в окрестности плоского горизонтального выреза / П.В. Дородов, А.В. Кулагин // Инженерный вестник Дона [Электронный ресурс].- 2012. -№2. - Режим доступа: http://www.ivdon.ru/.
6. Trjitzinsky W.J. Singular integral equations with Cauchy kernels // Trans. Amer. Math. Soc. 1946. V.60. No. 2. P.167-214.
7. Демидов С.П. Теория упругости: Учебник для вузов. - М.: Высш. школа, 1979. - 432 с.
8. Inglis C.E. Stresses in а plate due to the presence of cracks and sharp corners // Trans. Institute of Naval Architects. 1913. V.55. P. 219-241.
9. Беркутов В.П. Интерферометр для определения нормальных напряжений в плоских прозрачных моделях / Н.В. Гусева, П.В. Дородов, М.М. Киселев // Датчики и системы, - №2. - 2009. - С. 26-30.
10. Беркутов В.П. Полярископ для определения разности главных напряжений в плоских моделях, изготовленных из оптически малочувствительных прозрачных материалов / Н.В. Гусева, П.В. Дородов, М.М. Киселев // Вестник Ижевского государственного технического университета, - №4 (40). - 2008. - С. 108-110.
