Исследование наносистем в модели Хаббарда в приближении среднего поля Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 538.1

А. В. Силантьев

ИССЛЕДОВАНИЕ НАНОСИСТЕМ В МОДЕЛИ ХАББАРДА В ПРИБЛИЖЕНИИ СРЕДНЕГО ПОЛЯ

Аннотация.

Актуальность и цели. Модель Хаббарда широко используется для описания сильно коррелируемых электронных систем, при этом используются разнообразные приближенные методы. Целью настоящей работы является исследование наносистем в рамках модели Хаббарда с использованием метода уравнений движения для операторов рождения.

Материалы и методы. Для нахождения операторов рождения при помощи приближения среднего поля можно получить замкнутую систему дифференциальных уравнений. Зная выражения для операторов рождения, можно найти функции Грина, корреляционные функции и энергетический спектр наноси-стемы.

Результаты. Разработанные методы вычисления функций Грина в модели Хаббарда в приближении среднего поля были применены для вычисления функции Грина для димера, гексагона, пентагона и фуллерена С20.

Выводы. Полученные в работе результаты показывают, что энергетический спектр наносистемы, вычисленный в модели Хаббарда в приближении среднего поля, похож на энергетический спектр этой системы, полученный в модели Хюккеля. Показано также, что модель Хюккеля можно рассматривать как модель Хаббарда в приближении среднего поля.

Ключевые слова: модель Хаббарда, функции Грина, энергетический спектр, наносистемы, димер, гексагон, пентагон, фуллерен C20.

A. V. Silant'ev

A RESEARCH OF NANOSYSTEMS WITHIN THE HUBBARD MODEL BY MEAN FIELD APPROXIMATION

Abstract.

Background. The Hubbard model is widely used for description of strongly correlated electronic systems. Various approximate methods are used for investigation of these systems. The purpose of this paper is to investigate nanosystems within the Hubbard model by the method of motion equations for creation operators.

Materials and methods. The mean field approximation allows to obtain a closed system of differential equations for finding creation operators. The Green's functions, correlation functions and an energy spectrum of nanosystem can be calculated using creation operators.

Results. The developed approaches for finding the Green's functions within the Hubbard model by the mean field approximation were used to obtain the Green's functions of dimer, hexagon, pentagon and fullerene С20.

Conclusions. This work demonstrates that the energy spectrum of a nanosystem, obtained within the Hubbard model by the mean field approximation, is similar to the energy spectrum of this system, obtained within the Huckel model. This work also demonstrates that the Huckel model can be regarded as the Hubbard model within the mean field approximation.

Key words: Hubbard model, Green's functions, energy spectrum, nanosystems, dimer, hexagon, pentagon, fullerene C20.

Введение

В настоящее время большое число экспериментальных и теоретических исследований посвящено изучению углеродных фуллеренов и нанотрубок. Как известно [1], углерод в углеродных наносистемах находится в ир2-гибридизированном состоянии, при этом три валентных электрона каждого атома углерода участвуют в образовании а -связей, а четвертый - валентный, так называемый п -электрон, находится на негибридизированной р-орбитали, которая расположена перпендикулярно плоскости остова наносистемы. В отличие от а -электронов, п -электроны могут перескакивать с одного атома углерода на другой в пределах наносистемы. Поэтому считается, что основной вклад в электронные и химические свойства углеродных наносистем вносят п -электроны. Как известно, для описания электронной структуры органических молекул, в которых атомы углерода находятся в ир -гибридизиро-ванном состоянии, используется модель Хюккеля [2], в которой рассматриваются только п -электроны, причем в этой модели считается, что п -электроны между собой не взаимодействуют. Следует сказать, что в целом ряде работ, посвященных изучению различных углеродных систем, отмечается, что в этих системах кулоновское взаимодействие п -электронов, находящихся на одном узле, является довольно большим и может достигать ~10эВ [3, 4]. Для описания физических свойств электронных систем с сильным кулонов-ским взаимодействием между электронами уже более пятидесяти лет используется модель Хаббарда [5]. Отметим, что при исследовании электронных систем в рамках модели Хаббарда используются разнообразные приближенные методы: приближение среднего поля, приближение статических флуктуаций, приближение хаотических фаз и др. Так, например, в работе [6] при исследовании нанотрубок при расцеплении цепочки уравнений движения для функций Грина использовалось приближение среднего поля, а в работах [7-11] при расцеплении цепочки уравнений движения для операторов рождения использовалось приближение статических флуктуаций. Отметим, что приближение среднего поля можно также использовать при расцеплении цепочки уравнений движения для операторов рождения. Целью данной работы является исследование наносистем в рамках модели Хаббарда в приближении среднего поля, благодаря которому происходит расцепление цепочки уравнений движения для операторов рождения. В начале будет описана общая методика нахождения энергетического спектра наносистем, а затем, используя эту методику, найдем энергетический спектр фуллерена С20, пентагона, гек-сагона и димера.

1. Функция Грина и энергетический спектр наносистемы

Для описания п -электронной системы наносистемы воспользуемся моделью Хаббарда [5], гамильтониан которой имеет следующий вид:

Н = 2+ 2 Чс+с]а + ^^РПаПа , (1)

а,г а,г Ф ] а,г

где с+а, са - операторы рождения и уничтожения электронов со спином а на узле /; п{а - оператор числа частиц со спином а на узле ц £{ - энергия

одноэлектронного атомного состояния на узле 7; tу - интеграл переноса, описывающий перескоки электронов с узла 7 на узел у; и7 - энергия кулоновско-го отталкивания двух электронов с разными спинами, находящимися на 7-м узле; а = -а .

Найдем энергетический спектр наносистемы в приближении среднего поля. Для этого, как известно [12], в гамильтониане (1) необходимо сделать следующую замену:

nioniO ^ nio{nio) + nia{nio),

(2)

где (и70) - среднее число электронов со спином а на узле 7.

Подставляя соотношение (2) в (1), получим гамильтониан модели Хаб-барда в приближении среднего поля:

H = Z eicnic+ Z t

a,i * j

ijci°cj° ,

(3)

где

e'O =ei + U(no).

(4)

Для того чтобы получить дифференциальное уравнение для оператора рождения с+с(т), заданного в представлении Гейзенберга, запишем уравнение движения для этого оператора:

dc

f о

d т

H, c

f о

(5)

где т = 7t.

Подставив в уравнение (5) гамильтониан (3) и вычислив коммутатор, получим дифференциальное уравнение для оператора с+0 (т):

мы

dc

f о

d т

= е f Oc

f OC f о

+Z t

ifciO .

(6)

Для того чтобы получить замкнутую систему дифференциальных уравнений, достаточно записать уравнение (6) для всех узлов наносистемы:

dc1o d т

/ + + = e1oc1o+Z ti1cio,

(7)

dc

= eN oc+o + Z tiNcio,

где N - число узлов наносистемы.

Таким образом, мы получили замкнутую систему из N дифференциальных уравнений первого порядка с N неизвестными. Решив систему уравнений (7), мы найдем зависимость операторов рождения от времени. Зная эту зависимость, можно найти энергетический спектр квантовой системы. Для этого прежде всего необходимо вычислить антикоммутаторную функцию Грина, которая, как известно [13], определяется следующим образом:

(с/ a\cf с)) =Э(-)-Sp {[ с/a(t), cf 0 ] + exp (-0Я)},

(8)

где

в

kBT, 0(t) {o,

1, если t > 0, если t < 0.

(9)

Для того чтобы найти энергетический спектр квантовой системы, необходимо вычислить еще фурье-образ антикоммутаторной функции Грина следующим образом:

({с+о| С/о)) = ^ | ^ • ехР (-т ) (с + о • (Ю)

Подставляя решение системы (7) в соотношение (8), а затем подставив полученное выражение в формулу (10), получим фурье-образ антикоммутаторной функции Грина в следующем виде:

'ja

j)) = 2п' ^

Q

j,m

ЛЕ - Em + ih

m=1 m

—, Ek =e'a + ek, k = 1,...,p,

(11)

где р - число энергетических состояний квантовой системы; Ет - энергия т-го состояния квантовой системы; Qjm - спектральная плотность т-го энергетического состояния.

Таким образом, энергетический спектр квантовой системы определяется величинами Ет, которые входят в соотношение (11). Из соотношений (4) и (11) следует, что энергетические состояния квантовой системы сосредоточены вблизи энергии

Е ' = e' = e + U

ы.

(12)

В случае, когда число п -электронов в наносистеме равно числу атомов углерода п = 1, а (по) = 1/2, где п - концентрация электронов,

Е ' = £ +

U_ ~2

(13)

Зная спектральную плотность 7-го энергетического состояния, можно найти степень вырождения данного энергетического уровня наносистемы следующим образом [14, 15]:

N

Si ^^ Qj,i , j=1

(14)

где gi - степень вырождения 1-го энергетического уровня; Л - число узлов наносистемы.

2. Функции Грина и энергетические спектры фуллерена С20, гексагона, пентагона и димера

Используя изложенную выше методику, определим энергетический спектр фуллерена С20 в приближении среднего поля. Для этого, используя рис. 1, запишем систему уравнений (7) для фуллерена С20:

йал п , + +

= £а'с1а+? (С2а + С5а+С8а],

<..................................................................................................................................(15)

йС+оП / + / + + + \ = 8 П • С20а +t (С13а + С16а + С19а),

где t - интеграл переноса между атомами углерода на границе пентагон-пентагон.

Система уравнений (15) представляет собой замкнутую систему дифференциальных уравнений, которая имеет точное аналитическое решение. Подставив решение системы уравнений (15) в (8), а затем, подставив полученное выражение в (10), получим Фурье-образ антикоммутаторной функции Грина:

'j

i

2п

X

б

.E - Em + ih

m=1 rn

Ek = ec + ek> k = 1-6

(16)

где

= 20' = = 20' = 4 ^ = ву,5 = 5' > =1-20'

е = -36. = -\/5ъ, ез = -Ъ, =0. 65 = 2Ъ, 65 = л/5Ъ, Ъ = —. (17)

Таким образом, энергетический спектр фуллерена С20 определяется величинами Ек, которые представлены в (16). Отметим, что энергетические состояния фуллерена С20 можно рассматривать как расщепление энергетических состояний квантовой системы со сферической симметрией при понижении сферической симметрии системы до группы /й. Как известно, если квантовая система обладает сферической симметрией, то энергетическим состояниям данной системы можно сопоставить орбитальные квантовые числа I = 0, 1, 2, ..., которые соответствуют орбиталям 5,р, с1, ... Количество состояний в каждой орбитали равно 21 + 1. Отметим, что каждому энергетическому состоянию квантовой системы со сферической симметрией можно также сопоставить некоторое неприводимое представление группы 03 [16]. Таким образом, орбитальным квантовым числам I можно сопоставить неприводимые представления группы 03, которые можно разложить по неприводимым представлениям группы /й, как это показано в табл. 1. На рис. 2 показано расщепление энергетического спектра квантовой системы со сферической симметрией при понижении сферической симметрии системы до группы /й, которое соответствует разложению, представленному в табл. 1. Можно показать, что энергетические состояния фуллерена С20, определяемые полюсами функции Грина (16), связаны с неприводимыми представлениями группы 1й следующим образом: Е1(а§), Е2(Ьи), Ез(Ив), ЕЛ(^и), Е5(§§), Еб(^и).

Таблица 1

Разложение неприводимых представлений группы 03 по неприводимым представлениям группы 1й

l Di l Dt l Dt

s 0 ag d 2 hg g 4 gg + hg

p 1 tju f 3 t2u + gu h 5 tju + 2 + gu

Подставляя из (17) в соотношение (14), получим, что энергетические уровни фуллерена С20 имеют следующие степени вырождения:

§1 = I §2 = §6 = 3 §3 = 5 §4 = §5 = 4 . (18)

Таким образом, из соотношений (16) и (18) следует, что энергетический спектр фуллерена С20 в модели Хаббарда в приближении среднего поля имеет вид, как показано на рис. 3.

Рассмотрим теперь структуру энергетического спектра фуллерена С20, изображенного на рис. 3. Как следует из соотношений (16) и (18), а также из рис. 3, в энергетической зоне фуллерена С20 имеется 10 энергетических состояний, каждое из которых двукратно вырождено по спину, т.е. в каждом энергетическом состоянии может находиться два электрона с противоположными спинами.

Рис. 2. Расщепление энергетического спектра системы при понижении ее симметрии от сферической до симметрии с группой Д

Рис. 3. Энергетический спектр фуллерена С20 в приближении среднего поля с указанием электронов, находящихся в основном состоянии, и с указанием переходов, формирующих спектр оптического поглощения

Как видно из рис. 3, некоторые энергетические состояния вырождены и образуют шесть энергетических уровней, которые соответствуют следующим неприводимым представлениям группы 1Н: а^ t1u, Н^ gu, gg, Отметим также, что когда в фуллерене С20 электроны находятся в основном состоянии, то энергетические уровни а^ и hg полностью заполнены, в то время как на энергетическом уровне gu заполнены только два энергетических состояния из восьми, а энергетические уровни gg, t2U полностью свободны. Как видно из соотношений (16) и (17), энергетический спектр фуллерена С20 зависит от двух параметров: е' и Ь . Исследование оптического спектра поглощения фуллерена С60 в модели Хаббарда в приближении среднего поля показало, что теоретические расчеты близки к экспериментальным значениям при е' ~ -4,84 эВ и Ь ~ 1,675 эВ . Эти значения были использованы при построении энергетического спектра фуллерена С20, изображенного на рис. 3.

Отметим также, что полученный в данной работе энергетический спектр фуллерена С20 похож на энергетический спектр этой молекулы, полученный в рамках модели Хюккеля [2], гамильтониан которой имеет следующий вид:

где аг- - кулоновский интеграл; Ргу - резонансный интеграл.

Сравнивая гамильтонианы (3) и (19), мы видим, что они идентичны. Поэтому, находясь в рамках модели Хаббарда, можно дать следующую интерпретацию параметрам, которые входят в гамильтониан Хюккеля (19): Ргу - интеграл перескока; аг- - параметр, который согласно соотношению (4)

выражается через энергию одноэлектронного атомного состояния и энергию кулоновского отталкивания двух электронов с разными спинами, находящимися на одном узле, следующим образом:

Таким образом, модель Хюккеля можно рассматривать как модель Хаббарда в приближении среднего поля. Из (20) также видно, что, несмотря на то, что взаимодействие между электронами в гамильтониане Хюккеля (19) отсутствует, это взаимодействие в модели Хюккеля учитывается и содержится в параметре а .

Используя, полученный выше в приближении среднего поля энергетический спектр фуллерена С20, можно найти переходы, которые обусловливают оптический спектр этой молекулы. Для этого прежде всего найдем с помощью теории групп, какие переходы в фуллерене С20 разрешены, а какие запрещены с точки зрения симметрии. Можно показать, что в энергетическом спектре молекулярной системы с группой симметрии 1Н разрешены следующие переходы:

(19)

(20)

'ig ^ au, hg ^ hu, hu ^ ag, hu ^ 'ig , hu ^ hg, hu ^ gg, hu ^ h

h g ^ gu, h g ^ hu , gu ^ gg, gu ^ hg, gg ^ hu, hg ^ h

(21)

Из (21) следует, что в фуллерене С2о с группой симметрии Д между энергетическими состояниями разрешены только три оптических перехода, которые представлены на рис. 3. В табл. 2 среди всех возможных переходов в энергетическом спектре фуллерена С20 величиной 5 отмечены, какие переходы являются разрешенными, а какие запрещенными с точки зрения симметрии. Если 5 = +, то такой переход разрешен с точки зрения симметрии, если же 5 = -, то с точки зрения симметрии данный переход запрещен. Таким образом, как видно из рис. 3 и табл. 2, в энергетическом спектре фулле-рена С20 существует 11 переходов, из них всего разрешено с точки зрения симметрии 3 перехода. Следует сказать, что в фуллерене С20 атомы углерода совершают малые колебания около положения равновесия. Это приводит к тому, что происходит нарушение симметрии молекулы С20. В результате этого запрещенные согласно симметрии системы оптические переходы становятся разрешенными с небольшой интенсивностью.

Таблица 2

Переходы в энергетическом спектре фуллерена С20

№ AE 5 № AE 5 № AE 5

1 E1 - E4 - 5 E2 - E5 - 9 E3 - E6 +

2 E1 - E5 - 6 E2 - E6 - 10 E4 - E5 +

3 E1 - E6 - 7 E3 - E4 + 11 E4 - E6 -

4 E2 - E4 - 8 E3 - E5 -

Приведем еще результаты вычислений для пентагона, гексагона и ди-мера. Фурье-образы антикоммутаторных функций Грина для пентагона, гек-сагона и димера имеют следующий вид:

'jo

'jo)) 2л' 5 {E - Ev

- + -

- + -

+ ih E - E2 + ih E - E3 + ih у E1 = e'-2b, E2 = e'-b(l + V5)), E3 = 6-b(-1+ V5));

E3 =6'+^/bj2-b1b + b2, E4 = e' + b + b1;

(22)

'jo

'jo)) 2n' 6{ E - E1 + ih

+

+

+

1

- ih E - E2 + ih E - E3 + ih E - E4 + ih J E1 =6-b-b1, E2 =6^b12 -b1b + b2, (23)

'jo

1 [

1

+

1

j0 4 2n 2 { E - E1 + ih E - E2 + ih J ' E1 =6-b, E2 =6 + b.

(24)

Из спектральных весов энергетических состояний пентагона, гексагона и димера следует, что степени вырождения энергетических уровней этих систем имеют следующие значения:

gl = g4 = I g2 = g3 = g5 = g6 = 2, gl = g4 = g5 = gg = 1, g2 = g3 = g6 = g7 = 2, gl = g2 = g3 = g 4 = 1-

(25)

(26) (27)

Таким образом, полученные в данной работе результаты показывают, что энергетическая зона наносистемы в модели Хаббарда в приближении среднего поля не расщепляется на две подзоны, как это происходит в случае сильной связи, а энергетический спектр наносистемы похож на энергетический спектр этой системы, полученный в модели Хюккеля. Из вышеполучен-ных результатов также следует, что в приближении среднего поля кулонов-ское взаимодействие электронов приводит просто к сдвигу энергии, вблизи которой формируется энергетическая зона наносистемы.

1. Dresselhaus, M. S. Science of fullerenes and carbon nanotubes/ M. S. Dressel-haus, G. Dresselhaus, P. C. Eklund. - San Diego : Academic Press, 1996. - P. 965.

2. Маррел, Дж. Теория валентности / Дж. Маррел, С. Кетта, Дж. Теддер. - М. : Мир, 1968. - C. 520.

3. Левин, А. А. Введение в квантовую химию твердого тела / А. А. Левин - М. : Химия, 1974. - С. 476.

4. Зайцев, Р. О. О сверхпроводимости плоских соединений углерода / Р. О. Зайцев // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2011. -Т. 94. - С. 224-229.

5. Hubbard, J. Electron correlations in narrow energy bands / J. Hubbard // Proceedings of the Royal Society A. - 1963. - Vol. 276. - P. 238-257.

6. Иванченко, Г. С. Проводимость двухслойных углеродных нанотрубок в рамках модели Хаббарда / Г. С. Иванченко, Н. Г. Лебедев // Физика твердого тела. -2007. - Т. 49. - С. 183-189.

7. Силантьев, А. В. Исследование наноструктур в модели Хаббарда / А. В. Силантьев // Вестник Марийского государственного университета. - 2012. - № 8. -

8. Силантьев, А. В. Димер в модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций / А. В. Силантьев // Вестник Марийского государственного университета. - 2012. - № 8. - С. 22-25.

9. Силантьев, А. В. Димер в расширенной модели Хаббарда / А. В. Силантьев // Известия вузов. Физика. - 2014. - Т. 57, № 11. - С. 37-45.

10. Силантьев, А. В. Димер в модели Хаббарда / А. В. Силантьев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2015. - № 1 (33). - С. 168-182.

11. Силантьев, А. В. Исследование наносистем в рамках модели Хаббарда / А. В. Силантьев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. - № 4 (24). - С. 214-226.

12. Изюмов, Ю. А. Магнетизм коллективизированных электронов / Ю. А. Изю-мов, М. И. Кацнельсон, Ю. Н. Скрябин. - М. : Наука, 1994. - С. 366.

13. Зубарев, Д. Н. Двухвременные функции Грина в статистической физике / Д. Н. Зубарев // Успехи физических наук. - 1960. - Т. 71, № 1. - С. 71-116.

14. Силантьев, А. В. Исследование наносистем в модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций / А. В. Силантьев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2015. - № 2 (34). -

Список литературы

С. 18-21.

С. 164-175.

15. Силантьев, А. В. Влияние деформации на энергетический спектр фуллерена C20 / А. В. Силантьев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2013. - № 1 (25). - С. 135-143.

16. Вигнер, Е. П. Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории спектров / Е. П. Вигнер. - М. : ИЛ, 1961. - С. 564.

References

1. Dresselhaus M. S., Dresselhaus G., Eklund P. C. Science of fullerenes and carbon nanotubes. San Diego: Academic Press, 1996, p. 965.

2. Marrel Dzh., Ketta S., Tedder Dzh. Teoriya valentnosti. [Theory of valency]. Moscow: Mir, 1968, p. 520.

3. Levin A. A. Vvedenie v kvantovuyu khimiyu tverdogo tela [Introduction into solid state quantum chemistry]. Moscow: Khimiya, 1974, p. 476.

4. Zaytsev R. O. Pis'ma v Zhurnal eksperimental'noy i teoreticheskoy fiziki [Letters to JETP]. 2011, vol. 94, pp. 224-229.

5. Hubbard J. Proceedings of the Royal Society A. 1963, vol. 276, pp. 238-257.

6. Ivanchenko G. S., Lebedev N. G. Fizika tverdogo tela [Sold state physics]. 2007, vol. 49, pp. 183-189.

7. Silant'ev A. V. Vestnik Mariyskogo gosudarstvennogo universiteta [Bulletin of Mari State University]. 2012, no. 8, pp. 18-21.

8. Silant'ev A. V. Vestnik Mariyskogo gosudarstvennogo universiteta [Bulletin of Mari State University]. 2012, no. 8, pp. 22-25.

9. Silant'ev A. V. Izvestiya vuzov. Fizika [University proceedings. Physics]. 2014, vol. 57, no. 11, pp. 37-45.

10. Silant'ev A. V. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2015, no. 1 (33), pp. 168-182.

11. Silant'ev A. V. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2012, no. 4 (24), pp. 214-226.

12. Izyumov Yu. A., Katsnel'son M. I., Skryabin Yu. N. Magnetizm kollektivizirovannykh elektronov [Magnetism of collectivized electrons]. Moscow: Nauka, 1994, p. 366.

13. Zubarev D. N. Uspekhi fizicheskikh nauk [Progress of physical sciences]. 1960, vol. 71, no. 1, pp. 71-116.

14. Silant'ev A. V. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2015, no. 2 (34), pp. 164-175.

15. Silant'ev A. V. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2013, no. 1 (25), pp. 135-143.

16. Vigner E. P. Teoriya grupp i ee prilozheniya k kvantovomekhanicheskoy teorii spektrov [Group theory and its applications to quantum mechanical spectrum theory]. Moscow: IL, 1961, p. 564.

Силантьев Анатолий Владимирович

старший преподаватель, кафедра физики и методики преподавания физики, Марийский государственный университет (Россия, г. Йошкар-Ола, пл. Ленина, 1)

E-mail: kvvant@rambler.ru

Silant'ev Anatoliy Vladimirovich Senior lecturer, sub-department of physics and physics teaching technique, Mari State University (1 Lenina square, Yoshkar-Ola, Russia)

УДК 538.1 Силантьев, А. В.

Исследование наносистем в модели Хаббарда в приближении среднего поля / А. В. Силантьев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2016. - № 1 (37). - С. 101-112.