Фуллерен С24 в рамках модели Хаббарда Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКА

УДК 538.1

DOI 10.21685/2072-3040-2016-3-7

А. В. Силантьев ФУЛЛЕРЕН С24 В РАМКАХ МОДЕЛИ ХАББАРДА

Аннотация.

Актуальность и цели. Модель Хаббарда широко используется для теоретического описания сильно коррелируемых электронных систем. Исследование углеродных наносистем в рамках модели Хаббарда показало, что полученные в этой модели результаты согласуются с экспериментальными данными. Целью настоящей работы является получение и исследование энергетического спектра фуллерена C24 в модели Хаббарда.

Материалы и методы. Методами квантовой теории поля были вычислены функции Грина. При вычислении функций Грина был использован метод уравнений движения для операторов рождения, благодаря которому была получена система дифференциальных уравнений. Для получения замкнутой системы дифференциальных уравнений было использовано приближение среднего поля.

Результаты. Знание функций Грина позволило вычислить энергетический спектр фуллерена C24 и определить степень вырождения каждого энергетического уровня. С использованием методов теории групп была дана классификация энергетических состояний фуллерена C24.

Выводы. Проведенные вычисления показали, что у фуллерена C24 существует десять энергетических состояний и десять разрешенных с точки зрения симметрии переходов между энергетическими состояниями.

Ключевые слова: модель Хаббарда, функции Грина, энергетический спектр, фуллерены, наносистемы.

A. V. Silant'ev

C24 FULLERENE WITHIN THE HUBBARD MODEL

Abstract.

Background. The Hubbard model is widely used for theoretical description of strongly correlated electronic systems. Investigations of carbon nanosystems within the Hubbard model demonstrate that theoretical results agree with experimental data. The purpose of this paper is to obtain and to investigate the energy spectrum of C24 fullerene within the Hubbard model.

Materials and methods. Methods of quantum theoretical field were used to obtain the Green's functions. The Green's functions were found by the method of the motion equations for creation operators. Approximation of the mean field was used to obtain a closed system of differential equations for finding the creation operators.

Results. The energy spectrum and the degree of degeneracy of each energy level in C24 fullerene were found by the Green's functions. A classification of the energy levels in fullerene C24 was realized by the group theory.

Conclusions. This work demonstrates that C24 fullerene has ten energy levels and ten symmetrically enabled transitions between energy levels.

Key words: Hubbard model, Green's fonctions, energy spectrum, fullerenes, nanosystems.

Введение

В настоящее время большое число теоретических и экспериментальных исследований посвящено изучению как физических, так и химических свойств фуллеренов [1, 2], открытие которых привело к новым направлениям в науке: нанофизике, нанохимии и др. Исследование фуллеренов показало, что они представляют собой кластеры в форме полиэдров, большинство из которых состоит из пентагонов и гексагонов. Проведенные исследования также показали, что кроме кластеров указанного выше типа, существуют также кластеры, состоящие из гексагонов и четырехугольников. Одним из таких фуллеренов является фуллерен С24 с группой симметрии Oh, который был открыт в 2001 г. методом высокоразрешающей электронной спектроскопии при лазерной абляции на поверхности графита [3]. Этот фуллерен представляет собой усеченный октаэдр, состоящий из шести квадратов и восьми гек-сагонов (рис. 1). Таким образом, в фуллерене С24 между атомами углерода имеется два типа связей. Исследования этого фуллерена показали, что длина

o

связи на границе двух гексагонов составляет 1,386A , а на границе гексагон-

o

квадрат - 1,503A [4]. Этот фуллерен уникален тем, что он представляет собой наименьший объемный кластер, не содержащий пентагонов и удовлетворяющий правилу изолированных квадратов, которое служит правилом стабильности [4], которое является аналогом хорошо известного эмпирического правила изолированных пентагонов [5], согласно которому кластеры, содержащие изолированные пентагоны, являются наиболее стабильными.

Как известно, углерод в фуллеренах и нанотрубках находится sp2-гибритизированном состоянии, а электронные свойства этих структур обусловлены л -электронами, которые могут перескакивать с одного атома углерода на другой в пределах этих структур [1]. Исследование углеродных систем показало, что взаимодействие двух электронов, находящихся на одном атоме углерода, является довольно большим и может достигать ~10 эВ [6]. Для описания физических свойств электронных систем с сильным кулонов-ским взаимодействием между электронами используется модель Хаббарда [7], гамильтониан которой имеет следующий вид:

H = Y£ini° + Y H^jv + ^YUinivniv , (1)

v,i v,i Ф j v,i

где ciV, civ - операторы рождения и уничтожения электронов со спином v на узле i; niv - оператор числа частиц со спином v на узле i; ^ - энергия одноэлектронного атомного состояния на узле i; tj - интеграл переноса, описывающий перескоки электронов с узла i на узел j; U - энергия кулоновско-го отталкивания двух электронов, находящихся на i-м узле; V = -V .

23

Рис. 1. Структура фуллерена С24 с указанием местоположения атомов углерода

Несмотря на то, что гамильтониан модели Хаббарда имеет довольно простой вид, тем не менее с математической точки зрения данная модель является довольно сложной. В настоящее время для модели Хаббарда имеется лишь несколько точных решений: точное решение в атомном пределе [8], точное решение для одномерной модели Хаббарда [9, 10], точное решение для димера [11, 12]. Большинство результатов в модели Хаббарда получено с использованием различных приближенных методов, которые основаны на разного рода расцеплениях и разложениях по теории возмущений [13]. При исследовании наносистем в рамках модели Хаббарда также используются разные приближения. Например, в работах [14-16] наносистемы исследовались в приближении среднего поля, а в работах [17-20] использовалось приближение статических флуктуаций. Исследование оптических свойств фуллерена С60 в пределах модели Хаббарда в приближении среднего поля, выполненное в работе [15], показало хорошее соответствие между теоретическими и экспериментальными результатами.

Целью данной работы является исследование фуллерена С24 с группой симметрии Оь в рамках модели Хаббарда в приближении среднего поля.

1. Энергетический спектр фуллерена С24

Для описания п -электронной системы фуллерена С24 воспользуемся моделью Хаббарда, которая описывается гамильтонианом (1), и найдем энергетический спектр этой молекулы в приближении среднего поля. Для этого, как известно [14], в гамильтониане (1) необходимо сделать замену:

ПоПО ^ пю) + пЮ{ПО) , (2)

где - среднее число электронов со спином о на узле /.

Подставляя соотношение (2) в гамильтониан (1), получим гамильтониан модели Хаббарда в приближении среднего поля:

H = Z Z t

o,i Ф j

ijciocjo ,

где

= ei + U(no) •

(3)

(4)

Используя гамильтониан (3) и рис. 1, запишем уравнения движения для всех операторов рождения cf 0 (т), заданных в представлении Гейзенберга:

dc

Ь = е'о • ci+0 + t • c+0 + tl (c+o + c+o),

d t

dc+4o = ' c+

(5)

dT

= eo • c+4o + t • c+3o + t1 (c+7o + c+9o ),

где t - интеграл переноса между атомами углерода на границе гексагон-гексагон; ^ - интеграл переноса между атомами углерода на границе гекса-гон-квадрат.

Система уравнений (5) имеет точное аналитическое решение. Используя это решение, можно найти фурье-образ антикоммутаторных функций Грина:

'jo

. i 10 'jo)/= 2л ^ Z

Q

j m

,£ - Em + ih

m =1 m

E = pr + e ' m ° 1 ьm j

(6)

где

e1 = -b - 2b1, e2 = b2 + b2 - b1, e3 = -yjb2 - 2bb1 + 4b2, e4 =-b, e5 = b1 b2 + b2, e6 = ^b2 + bf - ¿1, e7 = b, e8 = 1/b2 - 2bb1 + 4b12, e9 = b1 + b2 + b12, e10 = b + 2b1 Qj,1 = Qj,10 = 1/24, Qj,2 = Qj,4 = Qj,5 = Qj,6 = Qj,7 = Qj,9 = 1/8, Qj,3 = Qj,8 = 1/12, b = -t,b1 =-t1.

(7)

Из (7) следует, что вз = ву = в8 при ¿1 = Ь/2 .

Зная функцию Грина, можно найти энергетический спектр фуллерена С24, который определяется полюсами функции Грина. Таким образом, энергетический спектр фуллерена С24 определяется величинами Ет, которые представлены в (6). Данные энергетические состояния можно классифицировать в соответствии с представлениями группы О^. Энергетические состояния фуллерена С24 можно рассматривать как расщепление энергетических состояний системы со сферической симметрией при понижении сферической симметрии системы до группы О^. В сферически симметричной системе энерге-

тическим состояниям можно сопоставить орбитальные квантовые числа l = 0, 1, 2, ..., которые соответствуют орбиталям s, p, d,... Количество состояний в каждой орбитали равно 21 + 1. Орбитальным квантовым числам l можно сопоставить также неприводимые представления группы O3, которые можно разложить по неприводимым представлениям группы Oh:

s ^ aig, p ^ tiu, d ^ eg + t2g, f ^ tiu + t2u + a2u,

g ^ eg + tig + t2g + aig, h ^ eu + 2tiu + t2u , J ^ eg + t1g + 2t2g + a1g + a2g .

Данное разложение как раз соответствует расщеплению энергетического спектра системы со сферической симметрией при понижении сферической симметрии системы до группы Oh, как это показано на рис. 2. Можно показать, что энергетические состояния фуллерена С24, определяемые полюсами функции Грина (6), связаны с неприводимыми представлениями группы Oh следующим образом:

E1 (aig X E2 (t1u X E3 (eg X E4 (t2 g ), E5 (t2u X

(8)

E6 (t1u X E7 (t1g ), E8 (eg ), E9 (t2u X E10( a2 g ).

Рис. 2. Расщепление энергетического спектра системы при понижении ее симметрии от сферической до симметрии с группой Ок

Чтобы найти степень вырождения каждого энергетического уровня фуллерена С24, воспользуемся следующим соотношением [18]:

N

gi= Z Qjj . ]=i

(9)

Подставляя Qj ^ из (7) в (9), получим

£1 = £10 = 1» g3 = g8 = 2, g2 = g 4 = g5 = g6 = g7 = g9 = 3. (10)

2. Обсуждение результатов

Рассмотрим структуру энергетического спектра фуллерена С24, изображенного на рис. 3. Как видно из соотношения (6) и рис. 3, в энергетической зоне фуллерена С24 имеется десять энергетических уровней, которые сосредоточены вблизи энергии

е' = е + и(пЛ . (11)

В случае, когда число п-электронов в фуллерене С24 равно числу атомов углерода, п = 1, а (п-а) = 1/2, где п - концентрация электронов. В этом случае, как следует из соотношения (11):

е' = е + —. (12)

2

Как видно из соотношений (6) и (7), энергетический спектр фуллерена С24 зависит от трех параметров: е', Ь и Ь^. Для того чтобы оценить эти параметры для фуллерена С24, поступим следующим образом. Как известно, у фуллерена С60, как и у фуллерена С24, между атомами углерода имеется два

о о

типа связей, длина которых составляет 1,46А и 1,4А [1]. В работе [15] в рамках модели Хаббарда в приближении среднего поля было показано, что для фуллерен С60 параметры е', Ь и Ь имеют следующие значения: е' = -4,84 эВ , Ь = 1,49 эВ и Ь = 1,86 эВ . Поскольку величины е и —, как следует из их определения, одинаковы как для фуллерена С60, так и для фул-лерена С24, то, как следует из (12), величины е' для обоих фуллеренов также должны совпадать. В работе [4] было показано, что у фуллерена С24 длина

оо

связей между атомами углерода составляет 1,503А и 1,386А . Как видно из приведенных выше данных, длины связей между атомами углерода в фулле-рене С60 и в фуллерене С24 отличаются незначительно. Поэтому для того чтобы найти величины Ь и Ь для фуллерена С24, аппроксимируем зависимость величины Ь от длины связи линейным образом:

Ь = к • х + с , (13)

где х - длина связи; к и с - константы.

Зная значения Ь, Ь1 и длину связей для фуллерена С60, можно найти коэффициенты к и с. Подставив найденные значения коэффициентов к и с в (13), мы получим

Ь = -6,16667 •х + 10,49333. (14)

Тогда, зная длину связей у фуллерена С24 и используя соотношение (14), можно получить значения для Ь и Ь1 .

№ 3 (39), 2016 Физико-математические науки. Физика

Таким образом, для фуллерена С24:

Ь = 1,92217 эВ, Ь1 = 1,22483 эВ, е' = -4,84 эВ. (15)

Рис. 3. Энергетический спектр фуллерена С24 с указанием электронов, находящихся в основном состоянии, и с указанием переходов, формирующих спектр оптического поглощения

Эти значения были использованы при построении энергетического спектра фуллерена С24, изображенного на рис. 3. Зависимость энергетического

спектра фуллерена С24 от интегралов переноса представлена на рис. 4. В этом спектре можно выделить следующие особенности. При Ь = 0 (Ь = 0) энергетический спектр фуллерена С24 переходит в энергетический спектр ди-мера (квадрата). Это можно объяснить тем, что в этих предельных случаях фуллерен С24 распадается на изолированные димеры и квадраты, соответственно. Другой особенностью энергетического спектра фуллерена С24 является то, что при Ь = Ь/ 2 происходит случайное вырождение энергетических уровней Е3 и Е4, а также энергетических уровней Е7 и Е8.

2 1 Б-г' '

и 0.2 0.4 0.6 0.8 щ 1

2 3210 1- й-г' ---- Ъ ___________~~

2 з-

Рис. 4. Энергетический спектр фуллерена С24 для различных значений Ь и Ь

Из энергетического спектра фуллерена С24 следует, что энергия верхнего заполненного энергетического уровня Е^омо и энергия нижнего вакант-

ного энергетического уровня Ещмо будут определяться следующими соотношениями:

Еномо = е'+ Ь —Ь2 + Ь2, Е^мо = е' + \/Ь2 + Ь2 -¿1. (16)

Используя теорию групп и полученный выше энергетический спектр фуллерена С24, можно найти переходы, которые обусловливают оптический спектр этого фуллерена. Для этого прежде всего найдем с помощью теории групп [21], какие переходы в фуллерене С24 разрешены, а какие запрещены с точки зрения симметрии. Можно показать, что в энергетическом спектре молекулярной системы с группой симметрии Оь разрешены переходы только между состояниями:

^ , еи, ^, *2„ } (2ё ^{а2ы, еи, (1ы, (2ы }

(1ы ,eg,,(2g} (2и g,eg,t1g,t2g }. (17)

Остальные переходы являются запрещенными.

Из (8) и (17) следует, что в фуллерене С24 с группой симметрии Оь между энергетическими состояниями разрешены только десять оптических переходов, которые представлены на рис. 3. В табл. 1 среди всех возможных переходов в энергетическом спектре фуллерена С24 величиной 8 отмечено, какие переходы являются разрешенными, а какие запрещенными с точки зрения симметрии. Если 8 = + , то такой переход разрешен с точки зрения симметрии, если же 8 = -, то с точки зрения симметрии данный переход запрещен. Кроме того, в табл. 1 величина Д1 показывает, как изменяется орбитальное квантовое число при переходе электрона с одного энергетического уровня на другой. Как известно [21], в квантовой системе со сферической симметрией правило отбора по орбитальному квантовому числу имеет вид Д£ = ±1. Из табл. 1 видно, что для фуллерена С24 данное правило отбора нарушается. Например, переход между энергетическими состояниями Е\ и Е6 с точки зрения симметрии является разрешенным, несмотря на то, что в данном случае Д1 = ±3 . Отметим также, что в работе [15] было показано, что правило отбора по орбитальному квантовому числу Д1 = ± 1 не выполняется и для фуллерена С60.

Таблица 1

Переходы в энергетическом спектре фуллерена С24

№ AE 5 Ai № AE 5 Ai № AE 5 Ai

1 E1-E6 + 3 10 E2-E10 - 5 19 E4-E9 + 3

2 E1-E7 - 4 11 E3-E6 + 1 20 E4-E10 - 4

3 E1-E8 - 4 12 E3-E7 - 2 21 E5-E6 - 0

4 E1-E9 - 5 13 E3-E8 - 2 22 E5-E7 + 1

5 E1-E10 - 6 14 E3-E9 + 3 23 E5-E8 + 1

6 E2-E6 - 2 15 E3-E10 - 4 24 E5-E9 - 2

7 E2-E7 + 3 16 E4-E6 + 1 25 E5-E10 + 3

8 E2-E8 + 3 17 E4-E7 - 2

9 E2-E9 - 4 18 -E 00 - 2

Таким образом, при нарушении сферической симметрии квантовой системы правило отбора по орбитальному квантовому числу А1 = ± 1 может нарушаться. Как видно из рис. 3 и табл. 1, в энергетическом спектре фуллерена С24 существует 25 переходов, из них всего разрешено с точки зрения симметрии 10 переходов. Следует сказать, что в фуллерене С24 атомы углерода совершают малые колебания около положения равновесия. Это приводит к тому, что происходит нарушение симметрии фуллерена С24. В результате этого запрещенные согласно симметрии системы оптические переходы становятся разрешенными с небольшой интенсивностью.

Таким образом, полученные в данной работе результаты показывают, что энергетическая зона фуллерена C24 с симметрией Oh образуется в результате расщепления энергии атомного состояния к -электрона на десять энергетических уровней, между которыми при половинном заполнении энергетической зоны возможно 10 оптических переходов. Кроме того, показано, что учет взаимодействия электронов, находящихся на одном узле, приводит к сдвигу центра энергетической зоны, причем величина этого сдвига зависит как от энергии взаимодействия к -электронов, так и от концентрации к -электронов в фуллерене.

Список литературы

1. Dresselhaus, M. S. Science of fullerenes and carbon nanotubes / M. S. Dressel-haus, G. Dresselhaus, P. C. Eklund. - San Diego : Academic Press, 1996. - P. 965.

2. Hisch, A. Fullerenes: Chemistry and Reactions / A. Hirsch, M. Brettreich. - Weinheim : Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, 2005. - P. 423.

3. Oku, T. Formation, atomic structures and properties of boron nitride and carbon nanocage fullerene materials / T. Oku, M. Kuno, H. Kitahara, I. Navita // International Journal of Inorganic Materials. - 2001. - Vol. 3. - P. 597-612.

4. Покропив....... В. В. Новые наноформы углерода и нитрида бора / В. В. По-

кропивный, А. Л. Ивановский // Успехи химии. - 2008. - Т. 77, № 10. - С. 899937.

5. Kroto, H. W. The stability of the fullerenes Q, with n = 24, 28, 32, 36, 50, 60 and 70 / H. W. Kroto // Nature. - 1987. - Vol. 329. - P. 529-531.

6. Левин, А. А. Введение в квантовую химию твердого тела / А. А. Левин. - М. : Химия, 1974. - С. 476.

7. Hubbard, J. Electron correlations in narrow energy bands / J. Hubbard // Proceedings of the Royal Society A. - 1963. - Vol. 276. - P. 238-257.

8. Кузьмин, Е. В. Физика магнитоупорядоченных веществ / Е. В. Кузьмин, Г. А. Петраковский, Э. А. Завадский. - Новосибирск : Наука, 1976. - С. 288.

9. Lieb, E. H. Absence of Mott transition in an exact solution of the short-range, one-band model in one dimension / E. H. Lieb, F. Y. Wu // Phys. Rev. - 1968. - Vol. 20, № 25. - P. 1445-1448.

10. Takahashi, M. One-dimensional Hubbard model at finite temperature / M. Takahashi // Prog. Theor. Phys. - 1971. - Vol. 47, № 1. - P. 69-82.

11. Силантьев, А. В. Димер в расширенной модели Хаббарда / А. В. Силантьев // Известия вузов. Физика. - 2014. - Т. 57, № 11. - С. 37-45.

12. Силантьев, А. В. Димер в модели Хаббарда / А. В. Силантьев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2015. - № 1 (33). - С. 168-182.

13. Изюмов, Ю. А. Магнетизм коллективизированных электронов / Ю. А. Изю-мов, М. И. Кацнельсон, Ю. Н. Скрябин. - М. : Наука, 1994. - С. 366.

14. Силантьев, А. В. Исследование наносистем в модели Хаббарда в приближении среднего поля / А. В. Силантьев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2016. - № 1 (37). - 101-112.

15. Силантьев, А. В. Энергетический спектр и оптические свойства фуллерена C60 в модели Хаббарда / А. В. Силантьев // Физика металлов и металловедение. -2016. - Т. 117, № 10.

16. Иванченко, Г. С. Проводимость двухслойных углеродных нанотрубок в рамках модели Хаббарда / Г. С. Иванченко, Н. Г. Лебедев // Физика твердого тела. -2007. - Т. 49. - С. 183-189.

17. Силантьев, А. В. Исследование наноструктур в модели Хаббарда / А. В. Силантьев // Вестник Марийского государственного университета. - 2012. - № 8. -С. 18-21.

18. Силантьев, А. В. Исследование наносистем в модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций / А. В. Силантьев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2015. - № 2 (34). -С. 164-175.

19. Силантьев, А. В. Влияние деформации на энергетический спектр фуллерена C20 / А. В. Силантьев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2013. - № 1 (25). - С. 135-143.

20. Силантьев, А. В. Димер в модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций / А. В. Силантьев // Вестник Марийского государственного университета. - 2012. - № 8. - С. 22-25.

21. Хамермеш, М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам / М. Хамермеш. - М. : Мир, 1966. - С. 587.

References

1. Dresselhaus M. S., Dresselhaus G., Eklund P. C. Science of fullerenes and carbon nanotubes. San Diego: Academic Press, 1996, p. 965.

2. Hisch A., Brettreich M. Fullerenes: Chemistry and Reactions. Weinheim: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, 2005, p. 423.

3. Oku T., Kuno M., Kitahara H., Navita I. International Journal of Inorganic Materials. 2001, vol. 3, pp. 597-612.

4. Pokropivnyy V. V., Ivanovskiy A. L. Uspekhi khimii [Advances of chemistry]. 2008, vol. 77, no. 10, pp. 899-937.

5. Kroto H. W. Nature. 1987, vol. 329, pp. 529-531.

6. Levin A. A. Vvedenie v kvantovuyu khimiyu tverdogo tela [Introduction into quantum solid state chemistry]. Moscow: Khimiya, 1974, p. 476.

7. Hubbard J. Proceedings of the Royal Society A. 1963, vol. 276, pp. 238-257.

8. Kuz'min E. V., Petrakovskiy G. A., Zavadskiy E. A. Fizika magnitouporyadochennykh veshchestv [Physics of magnetically ordered materials]. Novosibirsk: Nauka, 1976, p. 288.

9. Lieb E. H., Wu F. Y. Phys. Rev. 1968, vol. 20, no. 25, pp. 1445-1448.

10. Takahashi M. Prog. Theor. Phys. 1971, vol. 47, no. 1, pp. 69-82.

11. Silant'ev A. V. Izvestiya vuzov. Fizika [University proceedings. Physics]. 2014, vol. 57, no. 11, pp. 37-45.

12. Silant'ev A. V. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2015, no. 1 (33), pp. 168-182.

13. Izyumov Yu. A., Katsnel'son M. I., Skryabin Yu. N. Magnetizm kollektivizirovannykh elektronov [Magnetism of collective electrons]. Moscow: Nauka, 1994, p. 366.

14. Silant'ev A. V. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2016, no. 1 (37), 101-112.

15. Silant'ev A. V. Fizika metallov i metallovedenie [Physics of metals and physical metallurgy]. 2016, vol. 117, no. 10.

16. Ivanchenko G. S., Lebedev N. G. Fizika tverdogo tela [Solid state physics]. 2007, vol. 49, pp. 183-189.

17. Silant'ev A. V. Vestnik Mariyskogo gosudarstvennogo universiteta [Bulletin of Mari State University]. 2012, no. 8, pp. 18-21.

18. Silant'ev A. V. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2015, no. 2 (34), pp. 164-175.

19. Silant'ev A. V. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2013, no. 1 (25), pp. 135-143.

20. Silant'ev A. V. Vestnik Mariyskogo gosudarstvennogo universiteta [Bulletin of Mari State University]. 2012, no. 8, pp. 22-25.

21. Khamermesh M. Teoriya grupp i ee primenenie k fizicheskim problemam [Group theory and its application to physical problems]. Moscow: Mir, 1966, p. 587.

Силантьев Анатолий Владимирович старший преподаватель, кафедра физики и методики преподавания физики, Марийский государственный университет (Россия, г. Йошкар-Ола, пл. Ленина, 1)

Б-таП: kvvant@rambler.ru

Silant'ev Anatoliy Vladimirovich Senior lecturer, sub-department of physics and physics teaching technique, Mari State University (1 Lenina square, Yoshkar-Ola, Russia)

УДК 538.1 Силантьев, А. В.

Фуллерен С24 в рамках модели Хаббарда / А. В. Силантьев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2016. - № 3 (39). - С. 103-114. Б01 10.21685/2072-30402016-3-7