Приближение статических флуктуаций для модели Хаббарда Текст научной статьи по специальности «Математика»

10

Естественные науки

УДК 538.22

А. В. Силантьев A. V. Silantyev

Марийский государственный университет, г. Йошкар-Ола Mari State University, Yoshkar-Ola

Приближение статических флуктуаций для модели Хаббарда The Approximation of Statistical Fluctuations for the Hubbard Model

В работе представлено краткое описание, анализ и сравнение четырех разных методов, которые используются при вычислении функций Грина в модели Хаббарда в приближении статических флуктуа -ций. Вычислены функции Грина в приближении статических флуктуаций для фуллерена С2о с группой симметрии Ih и для фуллерена С24 с группой симметрии Oh.

We analysed, compared and briefly described four different models used to calculate Green's functions in the Hubbard model at the approximation of statistical fluctuations. We calculated Green's functions at the approximation of statistical fluctuations for С20 fullerene with Ih group of symmetry and for С24 fullerene with Oh group of symmetry.

Ключевые слова: модель Хаббарда, функции Грина, наносистемы, фуллерены, фуллерен С20, фуллерен С24.

Key words: the Hubbard model, Green's functions, nanosystems, fullerenes, С20 fullerene, С24 fullerene.

Модель Хаббарда [13] широко используется для теоретического описания сильно коррелируемых электронных систем (СКЭС). Например, эта модель применяется для описания переходов металл-изолятор, магнитных явлений, органических сверхпроводников и свойств высокотемпературных сверхпроводников. В настоящее время большое число теоретических исследований посвящено изучению наносистем, как в модели Хюккеля, так и в модели Хаббарда. Так, в работе [12] для исследования наносистем используется модель Хюккеля, а в работе [4] — модель Хаббарда.

Для исследования физических свойств СКЭС в рамках модели Хаббарда используются разнообразные приближенные методы, например, приближение хаотических фаз, приближение самосогласованного поля, метод континуального интегрирования [1]. Относительно недавно появились работы [2; 3; 6-11], в которых для исследования СКЭС в рамках модели Хаб-барда используется приближение статических флуктуаций (ПСФ), которое было предложено в работе [5] при исследовании модели Гейзенберга. Методы, разработанные в работах [2; 3; 6-11], отличаются друг от друга способами получения и решения системы дифференциальных уравнений, которые получаются из уравнений движения для операторов рождения. Можно выделить четыре метода, применяемых при вычислении функций Грина в рамках модели Хаббарда в ПСФ. Рассмотрим каждый из этих методов.

Модель Хаббарда в приближении статических флуктуаций I. В рамках модели Хаббарда [13] СКЭС описывается гамильтонианом вида:

Н = У еп. + У +1У и п.па , (1)

/ ' I /а / ■ . 'а ~ / . V /

а ,1 ' а,/

где с., с. — операторы рождения и уничтожения электронов со спином а на узле / ; п. — оператор числа частиц со спином а на узле / ; е — энергия од-ноэлектронного атомного состояния на узле / ; tj — интеграл переноса, описывающий перескоки электронов с узла / на узел и — энергия кулоновского отталкивания двух электронов с разными спинами, находящимися на /-ом узле; а =-а .

Запишем уравнение движения для оператора с+а (г), заданного в представлении Гейзенберга:

-Г = еАа +У^ + и/с}.п/а , (2)

где г = и, t — время.

Решение уравнения (2) будем искать, используя ПСФ [5]. Следуя данному приближению, оператор числа электронов п. на узле f со спином а запишем в виде:

п/а=(п/-) + Дп/- , (3)

где — среднее число электронов на узле/со спи-

ном а ; Дп— — оператор флуктуации числа электронов на узле / со спином а , причем предполагается, что оператор Дп— не зависит от времени.

После подстановки (3) в (2) уравнение движения для оператора с+а (г) примет вид:

йс\ _

-Г = е'/ а с+а +У Ьс+а + и а , (4)

где

е'/а=е/ + и/(п/а-) . (5)

Умножим (4) на оператор Ап- :

й ( С+-Ап/-) =

йт (6)

= е'/-С++-Ап/- + Е*/<Апг- + и/С+- (Аn/-)2,

I

где учтено, что оператор Ал- не зависит от времени.

В работе [2], для того чтобы получить замкнутую систему дифференциальных уравнений по аналогии с работой [5], предложено следующее приближение:

(Ап/-)2 »(К-)2} =/-)[!Ч"-)] . (7)

Подставляя (7) в (6), получим

й (С+-Ап/-) =

йТ / 2\ (8)

= е'/-С/-Ап/- + Е 1<КАп/- + и/\(Ап/-) /• С+-.

Запишем уравнения (4) и (8) в виде системы

йС+

=е'/-С++- + Е +; й (С+-Ап/--).

dt

- = s'f ас+abnf ,+

(9)

+Е +uf ((^ )2} • •

dt

d (ci+CTDns)

dt

сЩ + Е tfC+Ms + U ( (Dn,)2) • cf

(10)

dc+,

= < c+Na+E tiNcUc+N,An,;

dt d (

Отметим, что приближение (7) является достаточно грубым, поскольку

(11)

(Dnf,)2 afsDnfs+P2fs,

где

a- =1 -2Ы,Ы|)-Ы] • (i2)

Подставляя (11) в (7), получим as= 0 •

(13)

Подставляя (12) в (13), получим условие, при котором выполняется приближение (7): 1

'f,

(14)

Если СКЭС представляет собой бесконечную решетку, то с помощью преобразования Фурье, как показано в [2], система уравнений (9) сводится к конечной системе дифференциальных уравнений первого порядка. Если же число узлов в СКЭС конечно и равно N и оператор флуктуации числа электронов не зависит от номера узла, т. е. Ап/- Ап^ , то,записав (9)

для каждого узла, мы получим замкнутую систему, состоящую из 2N дифференциальных уравнений первого порядка:

йС+

= С+-+Е tис+-М-;

йт

= С/-М- + Е + и ((М- • С^.

I

Таким образом, нахождение операторов рождения в ПСФ, которое предложено в [2], в случае конечных СКЭС приводит к решению системы из 2М дифференциальных уравнений (10).

Таким образом, ПСФ, предложенное в [2], которое основано на приближении (7), можно применять только в случае полузаполненной зоны.

Модель Хаббарда в приближении статических флуктуаций II. Рассмотрим теперь метод, предложенный в работе [3]. В данном методе для нахождения операторов рождения С+- (т) вводятся вспомогательные операторы

С- (т) = ехр(-И0т)С+- (т)ехр(И0т), (15)

где

Ио =Ееп- +Е см . (16)

-1 ^ -1 j

Можно показать, что вспомогательные операторы С- (т) удовлетворяют следующим уравнениям:

\dc+ (t) /

m \ J = -U (Dn,

dt

d (Dn rn(t) crn (t))

dt

= -U (1 - 2<n.))

- U( n ,,) (1 -< n

(17)

где

(18)

(19)

Dns «Ф (-H0t) Dns (t) exp (H0t) • Из (15) и (17) следует, что

c+s (t) = c, (t){(1 -(n,S)exp(-(,n,sUt) + + (Пexp ((1 - (n,))Ut)} + +Dn,( 0) cS(t){exp ((1 -(nS)Ut)-

- exp (-(n s) Ut)},

где

c, = exp (Hot) c, (0) exp (-Hot). (20)

Нахождение операторов c, сводится к решению следующей системы дифференциальных уравнений:

dc: S

dt

= e' cS +Е tnci;

dc,

dt

=e c + +v t

Nrn T lN

12

Естественные науки

Таким образом, в работе [3] для нахождения операторов рождения вводится так называемое «представление типа взаимодействия», в результате чего вводятся вспомогательные операторы, для которых составляется система дифференциальных уравнений (21). Решая эту систему, находят вспомогательные операторы, подставив которые в (19), получают искомые операторы рождения. Таким образом, метод, предложенный в [3], является довольно громоздким.

Модель Хаббарда в приближении статических флуктуаций III. Рассмотрим теперь метод, предложенный в работах [6-9]. В данном методе, для того чтобы получить дифференциальное уравнение для оператора c+fsAnfs, вместо приближения (7) было

применено точное равенство (11), с учетом которого уравнение (6) примет вид:

d ( C)sDnfs)

dt

+S tfC+isDnf S

-Л*)

S f Uf afs) CfsDnfS f

(22)

+Uf ßl

Аналогичным образом можно получить уравнения движения и для операторов с—Дп— с—Дпу.Дп. ,...

В результате можно получить замкнутую систему дифференциальных уравнений, решив которую, можно найти операторы рождения. Отметим, что введение операторов более высокого порядка позволяет учесть корреляционные эффекты, которые не учитываются в методах [2; 3]. Это продемонстрировано на примере димера в работах [7; 9].

Наиболее простым вариантом ПСФ является случай, когда оператор флуктуации числа электронов не зависит от номера узла Дп=— Дп— . В этом случае, для того чтобы получить замкнутую систему дифференциальных уравнений, достаточно записать уравнения (4) и (22) для всех N узлов наносистемы:

йСх— -'А. +У /.,с+— + ис+-Дп-; 1,— 1,— ^^ 1,1 1,— 1,— — >

dT ,s

d ( c1+sAns)

dt

= (<«+ Uai,s) +

+ S tt, c+s Ans +U ßSl

(23)

dcf

dt

d (Cf ,sAns)

SN,sCNs + S ti.

NC+s + UCNsAns

dt

c f sans +

-(eN s + UaN s)C

+ S ti,NCfs Ans + U ßlA

только в случае полузаполненной зоны. Отметим, что в работе [6] рассмотрены как конечные, так и бесконечные СКЭС.

Модель Хаббарда в приближении статических флуктуаций IV. Рассмотрим теперь метод, предложенный в работах [10; 11], который является усовершенствованием метода, предложенного в работах [6-9].

Продифференцируем по времени соотношение (3):

dnfs _ d ((nfs) + Anfs)

dt

dt

- 0.

(24)

Таким образом, в ПСФ оператор п— является интегралом движения. Как известно, для фермиевских операторов имеет место следующее соотношение:

(п— )2 = п — . (25)

Умножим (2) на оператор п— и учтем соотношение (25). В результате получим

d ( C+snfs)

dt

_()s+ Uf )

Cf snfs

S t

.,C. n,-

if is fs

(26)

Аналогичным образом можно получить уравнения

движения и для операторов csnf

,... В ре-

1— 1— /— — ■ зультате можно получить замкнутую систему уравнений, решив которую можно найти операторы рождения. Отметим, что введение операторов более высокого порядка позволяет учесть корреляционные эффекты, которые не учитываются в методах [2; 3]. Это продемонстрировано на примере димера в работе [11].

Наиболее простым вариантом ПСФ является случай, когда оператор числа электронов не зависит от номера узла п— = п— . В этом случае, для того

чтобы получить замкнутую систему дифференциальных уравнений, достаточно записать уравнения (2) и (26) для всех N узлов наносистемы:

dc+

dt

-S ^

+ UCsns

d (C1+sns )

dt

_ (£1s + U1 ) C+s^+S ti1

(27)

dc+

dt d ( cN

S t.

iNCis + UNC+sns

dt

_()Ns+ UN ) C

"S tN

Таким образом, нахождение операторов рождения в ПСФ, которое предложено в работах [6-9], для конечных СКЭС в случае однородных флуктуаций, как и в работе [2], сводится к решению системы из 2N дифференциальных уравнений. Очевидно, что решение, полученное по методу [6-9] является более точным, чем по методу [2]. Эти решения совпадают

Можно показать, что решение системы из 2N дифференциальных уравнений первого порядка (ДУПП) (27) сводится к решению системы из N ДУПП, в то время как в методе, предложенном в [6-9], для нахождения операторов C+fs необходимо решить систему из 2N ДУПП. Таким образом, метод, предложенный в [10; 11], является более простым, чем в [6-9].

Функции Грина в приближении однородных статических флуктуаций. Вычислив операторы рождения, можно найти антикоммутаторные функции

Грина для каждого узла наносистемы. В случае, когда оператор числа электронов не зависит от номера узла п- = п-, антикоммутаторные функции Грина имеют следующий вид:

F

=-•£- -2p m=1 E - Em + ih

Ek S+ ek, =Ek+p/ 2

E„ + U F

4m • Ql.

Qj,k+p/2 = Qj,k, k = 1...p/2,

(28)

4 m =i

1--, m = 1... p/2;

2

—, m = p/2 +1... p,

Xm

E =-E +U

HOMO T

LUMO + EHOMO

h „. (ELUMO EHOMO

), m -Xm, )+U1,

E - E - U

^ LUMO ^ 1'

(29)

S = 1,

m

1

2\ ьимю ПОМО / 1У у

Т 2]

где Е11МО — энергия самой нижней незанятой молекулярной орбитали, а ЕИОМО — энергия самой верхней занятой молекулярной орбитали, П1 — энергия, на которую смещаются ЕИОМО и Е11МО при удалении и добавлении одного электрона.

Для того чтобы найти характер распределения электронов в наносистеме, можно, зная функцию Грина, определить вероятность нахождения электрона с энергией Б1 на узле у следующим образом:

Я

w = -

1,1

-Л1

g1

(30)

где g ! — степень вырождения /-го энергетического уровня, которую можно найти из следующего соот-

ношения:

?1 =Е Q,

(31)

j=1

где N — число узлов наносистемы.

Приведем функции Грина для фуллеренов С20 и С24 в случае, когда оператор числа электронов не зависит от номера узла п- = п5 .В этом случае функции Грина можно представить в виде (28).

1. Для фуллерена С20 с группой симметрии Zh, состоящего из 12 пентагонов:

1 3 1

Q.=—, Q.. = Q —= Q -,=

и j ,1 20 '2 '6 20 1' 4

Ql,4 = QE Т, b -t,

(32)

где Е]т — спектральная плотность энергетического состояния Ет , р — число энергетических состояний системы.

Зная функцию Грина, можно найти энергетический спектр Ет наносистемы, спектральную плотность энергетических состояний Еут, а также можно определить целый ряд физических величин, характеризующих физические и химические свойства нано-системы, например, электроотрицательность по Мал-ликену см, химический потенциал ¡, энергию ионизации Е1, энергию сродства ЕА, глобальную химическую жесткость т, глобальную химическую мягкость и глобальную электрофильность со:

b -t= b1 -t1,

e1 =-3b, e2 —E=5b, e3 -b= e4 0, e5 = 2b, e6 E5b, p 12.

2. Для фуллерена С24 с группой симметрии Oh, состоящего из шести квадратов и восьми гексагонов:

e1 =-b - Щ, e2 -у]b2 + b12 - b1, e3 =-sjb2 - 2bb1 + =2, e4 -b, e5 = b1 b2 + b12,= e6 ф2 + b12 -b1, e7 = b, e= -yjb2 - 2bb1 + 4b12, e9 = b1 +фГ+~Ь2= e10 b + 2b1, (33)

p = =0,

Qj ,1 = Qj ,10 = 1/24,

Qj ,2 = Qj ,4 = Qj ,5 = Qj ,6 = Qj ,7 = Qj ,9 = 18,

Qj ,3 = Qj ,8 = 1/12,

где t — интеграл переноса между атомами углерода на границе гексагон-гексагон, а t1 — интеграл переноса между атомами углерода на границе гексагон-квад-рат. Из (33) следует, что e3 = e4, e7 = e8 при b1 = b/2. Это приводит к вырождению соответствующих энергетических уровней.

Из (31) получим степени вырождения энергетических уровней для фуллеренов С20 и С24:

g1 = g 7 =1, g= g6= g 8 = g12 = 3, g3 = g 9 =5, g= g= g1= g1= 4.

g1 = g10 = g11 =g 20 =1, g3 = g8 = g13 =g18 =2,

g2 = g 4 g5 =5 6 g7 = gV2 gY4 g15 = g16 = g17 = g19 = 3.

Из (30) для фуллеренов С20 и С24 получим:

1 1

w =—, w =— .

JJ 20 1,1 24

Таким образом, у фуллеренов С20 и С24 вероятность нахождения электрона с энергией E, на каждом узле одинакова. Это можно объяснить тем, что в данных системах все узлы эквивалентны.

Таким образом, имеется четыре разных подхода к нахождению операторов рождения c(t) в рамках

модели Хаббарда в ПСФ. Эти методы разработаны в работах [2], [3], [6-9] и [10; 11] соответственно. Из вышеизложенного следует:

1. Метод, разработанный в [2], является более грубым, чем методы, разработанные в [3; 6-11]. Он применим только в случае полузаполненной зоны.

2. Методы, разработанные в [6-11], являются более простыми, чем метод, разработанный в работе [3], так как при нахождении операторов рождения система дифференциальных уравнений в этих методах реша-

(34)

(35)

(36)

14

Естественные науки

ется непосредственно без перехода к вспомогательным операторам.

3. В методах, разработанных в [6-11], кроме уравнений движения для операторов рождения, составляются уравнения движения еще и для операторов более высокого порядка. Введение операторов более высокого порядка позволяет учесть корреляционные эффекты, которые не учитываются в методах [2; 3].

4. В случае когда оператор числа электронов не зависит от номера узла, нахождение операторов рождения для наносистемы из N узлов методом, разработанном в [10; 11], сводится к решению N дифференциальных уравнений первого порядка, в то время как в методе, предложенном в [6-11], для нахождения операторов рождения необходимо решить систему из 2N дифференциальных уравнений первого порядка. Таким образом, метод, предложенный в [10; 11], является более простым, чем метод, предложенный в [6-9].

5. В случае когда оператор числа электронов не зависит от номера узла, результаты, получаемые методами [3; 6-11], совпадают.

—Ш—-

1. Изюмов Ю. А., Кацнельсон М. И., Скрябин Ю. Н. Магнетизм коллективизированных электронов. М.: Наука, 1994. С. 367.

2. Лоскутов В. В., Миронов Г. И., Нигматуллин Р. Р. Приближение статических флуктуаций для модели Хаббарда // ФНТ. 1996. Т. 22. С. 282-286.

3. Миронов Г. И. Исследование структурных элементов фулле-ренов в модели Хаббарда в приближении статических флуктуа-

ций // ФТТ. 2007. Т. 49. С. 527-534.

4. Мурзашев А. И. Изучение электронных свойств ионизированных углеродных нанотрубок в модели Хаббарда // Известия Вузов. Физика. 2010. Т. 10. C. 47-51.

5. Нигматуллин Р. Р., Тобоев В. А. Корреляционные функции для анизотропной модели Гейзенберга в нулевом магнитном поле // ТМФ. 1986. Т. 68. C. 88-97.

6. Силантьев А. В. Применение метода статических флуктуа-ций к модели Хаббарда // Известия Вузов. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2011. № 19. C. 151-163.

7. Силантьев А. В. Исследование наносистем в модели Хаббар-да // Структура и динамика молекулярных систем. 2011. № 13А. С. 96-112.

8. Силантьев А. В. Исследование наноструктур в модели Хаб-барда // Вестник Марийского государственного университета. 2012. № 8. С. 18-21.

9. Силантьев А. В. Димер в модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций // Вестник Марийского государственного университета. 2012. № 8. С. 22-25.

10. Силантьев А. В. Модель Хаббарда в приближении статических флуктуаций // Известия вузов. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2011. № 20. C. 86-100.

11. Силантьев А. В. Исследование наносистем в рамках модели Хаббарда // Известия Вузов. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2012. № 24. C. 73-87.

12. R Haddon R. C., Brus L. E., Raghavachari K. Electronic structure and bonding in icosahedral C60 // Chem.Phys.Lett. 1986. V. 125. P. 459-464.

13. Hubbard J. Electron correlations in narrow energy bands // Proceedings of the Royal Society A. 1963. V. 276. P. 238-257.

1. Izyumov Yu. А., Каtselson М. I., Skryabin Yu. N. Маgnetizm kollektivizirovannykh elektronov. М.: Nauka, 1994. S. 367.

2. Loskutov V. V., Мironov G. I., Nigmatullin R. R. Priblizhenie staticheskikh fluktuatsiy dlya modeli Habbarda // FNT. 1996. Т. 22. S. 282-286.

3. Мironov G. I. Issledovanie strukturnykh elementov fullerenov v modeli Habbarda v priblizhenii staticheskikh fluktuatsiy // Fir. 2007. Т. 49. S. 527-534.

4. Мurzashev А. I. Izuchenie elektronnykh svoystv ionizirovannykh uglerodnykh nanotrubok v modeli Habbarda // Izvestiya Vuzov. Physics. 2010. Т. 10. S. 47-51.

5. Nigmatullin R. R., Тоboyev V. А. ^rrelyatsionnye funktsii dlya anizotropnoy modeli Geinzberga v nulevom magnitnom pole // ТМF. 1986. Т. 68. S. 88-97.

6. Silantyev АУ. Primenenie metoda staticheskikh fluctuatsiy dlya modeli Habbarda // Izvestiya Vuzov. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki. 2011. № 19. S. 151-163.

7. Silantyev А. V. Issledovanie nanosistem v modeli Habbarda // Struktura i dinamika molekulyarnykh sistem. 2011. № 13А. S. 96-112.

8. Silantyev АУ. Issledovanie nanostruktur v modeli Habbarda // Vestnik Маriyskogo gosudarstvennogo universiteta. 2012. № 8. S. 1821.

9. Silantyev АУ. Dimer v modeli Habbarda v priblizhenii staticheskikh fluktuatsiy // Vestnik Маriyskogo gosudarstvennogo universiteta. 2012. № 8. S. 22-25.

10. Silantyev АУ. Моdel' Habbarda v priblizhenii staticheskikh fluktuatsiy // Izvestiya Vuzov. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki. 2011. № 20. S. 86-100.

11. Silantyev А. V. Issledovanie nanosistem v ramkakh modeli Hab-barda // Izvestiya Vuzov. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki. 2012. № 24. S. 73-87.

12. Haddon R. C., Brus L. E., Raghavachari K. Electronic structure and bonding in icosahedral C60// Chem.Phys.Lett. 1986. V. 125. P. 459464.

13. Hubbard J. Electron correlations in narrow energy bands // Proceedings ofthe Royal Society A. 1963. V. 276. P. 238-257.