Исследование наноструктур в модели Хаббарда Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 538.22

А. В. Силантьев A. V. Silant’ev

Марийский государственный университет, г. Йошкар-Ола Mari State University, Yoshkar-Ola

Исследование наноструктур в модели Хаббарда Investigation of nanostructures in Hubbard model

В рамках модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций вычислены антикоммутаторные функции Грина для фуллерена С20, фуллерена С24 и фуллерена Сбо, а также некоторые физические характеристики фуллерена Сбо-

Anticommutator Green functions of fullerene C20, fullerene C24, fullerene C60 and certain physical characteristics of fullerene C60 within Hubbard model are calculated by the approximation of statical fluctuations.

Ключевые слова: модель Хаббарда, функции Грина, наносистемы, фуллерены, фуллерен С20, фуллерен С24, фуллерен Сб0.

Key words: Hubbard model, Green functions, nanosystems, fullerenes, fullerene C20, fullerene C24, fullerene C60.

В настоящее время большое число теоретических исследований посвящено изучению наноструктур [2; 7]. Наряду с такими моделями, как модель Хюккеля, для описания свойств наноструктур также используется модель Хаббарда, которая широко используется для теоретического описания сильно коррелируемых электронных систем [6].

Целью данной работы является исследование наноструктур в рамках модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций, которое было предложено в работе [3] при исследовании модели Гейзенберга, а в работах [1; 4] распространена модель Хаббарда, которая описывается гамильтонианом следующего вида:

Н = Уеп. + V ї..с+гг с. + — 'У и п. па , (1)

, 1 ,1* У ,1

где с., с. — операторы рождения и уничтожения электронов со спином а на узле 1; п. — оператор числа частиц со спином а на узле 1; еі — собственная энергия электрона на узле 1; ґ у — интеграл переноса, описывающий перескоки электронов с узла на узел у; и і — энергия кулоновского отталкивания двух электронов, находящихся на 1 -м узле; а = -а .

В данной работе для фуллеренов С20, С24 и С60 в рамках модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций вычислим антикоммутаторные функции Грина, а также некоторые физические характеристики фул-лерена С60. В начале рассмотрим как для произвольной наноструктуры в приближении статических флуктуаций вычислить антикоммутаторную функцию Грина.

Запишем уравнение движения для оператора с/. (г), заданного в представлении Гейзенберга: йс/ .

dt

где т = t ■

=efcf s+Vt fcd+ Ufcf sn

fs

Решение уравнения (2) будем искать, используя метод статических флуктуаций [4]. Следуя этому методу, оператор числа электронов п. на узле / со спином а запишем в виде

п/а=(п/а)/Ьп/а , (3)

где — среднее число электронов на узле /

со спином а; Ап. — оператор флуктуации числа электронов на узле / со спином а , при чем предполагается, что оператор Ьп. не зависит от времени.

После подстановки (3) в (2) уравнение движения для оператора с/. (г) примет вид

dCf s dt

= ef sCf s + V tfC+s + UfCf sDn.

fs

(4)

где e’fs=ef + Uf(nfs) ■

Умножим (4) на оператор Dn ^ и учтем, что

(Dnfs)2 afsDnfs + bfs , где afs= 1 - 2( nfs) ,

f = (nf^[l - ^nfs)\ ■ В результате получим

d (C+fsDnfs) t f TT \ + A

-----dt------ = (efs + Uf afs ) CfsDnfs + (5)

+V tifCiaDnf s + Uf Pfscfs

(2)

Аналогичным образом можно получить уравнения движения и для операторов с^Дп^, с^Дп^Дп^, ...

В результате можно получить замкнутую систему равнений, решив которую можно вычислить антикоммутаторные функции Грина для каждого узла наноструктуры:

c: і c■ >> = — V----------------:----------

Jsl isll 2ж^Е - К + h

F

Наиболее простым вариантом метода статических флуктуаций является случай, когда оператор флуктуации числа электронов не зависит от номера узла Ап/а Апа . В этом случае для того, чтобы получить

замкнутую систему дифференциальных уравнений, достаточно записать уравнения (4) и (5) для всех узлов наноструктуры:

йс

^ = Є'/ас+/а + VҐ,/с+,а + и/с+/аАпа , = (Є'/а+ и/а.) с+/аАпа +

йг

й ( с+/аАпа)

йг

(7)

+ V Ґ/СГіаАпа + и / Р%с,

/ а’

где / = 1, ..., N; N — число узлов наноструктуры.

Решив систему уравнений (7), можно получить функции Грина, которые имеют следующий вид:

с. с.

Iа Iа

К

=—-V-

2р т=1 Е - Ет + 1Н

Ек Є+ Єк, =^к + р/ 2

Ек + и, т

Чт • б

(8)

Чт =

б. к+р/ 2 = б. к, к = 1-.р/2

1 -п/2, т = 1...р/2;

[п/ 2, т = р/2 + 1...р,

где р — число энергетических состояний системы.

Зная функцию Грина, можно найти энергетический спектр наноструктуры, спектральную плотность энергетических состояний _Р,>, а также можно определить целый ряд физических величин, характеризующих физические и химические свойства наноструктуры, например, абсолютную электроотрицательность по Малликену хм, химический потенциал т , энергию ионизации Е1, энергию сродства ЕА, вероятность нахождения электрона с энергией Е, на узле j:

Хм =— ^ (Е1ПМО + Еномо ) , т -Хм,

Е1 ЕНОМО + и1, Еа Ешыо

—г = Є'ас1а + ґ • (с2а+ с/а + с/а ) + ис/аАпа

йг

й (с,+аАпа) , ,

1 1а = (е'а + и а Л с/аАпа +

йг У а а> 1а а

+ Ґ • (с/аАпа + с/аАпа + с/аАпа ) + и

(10)

йс

йг

й ( с/0аАпа)

Єа с20а + Ґ •( с1 3а + сі 6ст + с1 9а ) + ис20аАпа

г =(< +иаа) с+20аАпа +

+ Ґ ^( с1 3аАпа +с16аАпа + с19аАпа) +и Рас20а,

где ґ — интеграл переноса, описывающий перескоки электрона с атома, расположенного на одном узле, на атом, расположенный на соседнем узле.

Система уравнений (10) является замкнутой и имеет точное аналитическое решение. Поскольку решение является громоздким, то мы его здесь не приводим. Зная решение системы уравнений (10), мы можем найти фурье-образ антикоммутаторных функций Грина:

с. с.

Iа І Iа

=--У

К

2р т=1 Е - Ет+1Ь

Ек = е +ек, =^к+6 Ек+и, ,т

б,,к+6 = б,,к, к = 1...6,

[1 -п/2, т = 1...6,

Чт • б

(11)

Чт = где

п/2, т = 7... 12,

1

1

(12)

о., = —, =Э.2 0.6 =—, 0= -=, 0.4 0.5 -

51 20 .,2 20 4 ,4 ,5 5

. = 1.20,

е1 е—Е, е2 -Еь, е3 -й= =4 = 0, е5 2Ь, е6 л[5ь.

Приведем еще результаты вычислений функций Грина для фуллерена С24 и фуллерена С60. Фурье-образ антикоммутаторной функции Грина для фулле-рена С24 имеет следующий вид

(9)

с. с.

Iа І Iа

=—•У

К

2р т=1 Е - Ет+1Ь

где gj — степень вырождения /-го энергетического

уровня, Е1имо — энергия самой нижней незанятой

молекулярной орбитали, а Еномо — энергия самой

верхней занятой молекулярной орбитали, и1 —

энергия, на которую смещаются Еномо и Е1имо

при удалении и добавлении одного электрона соответственно.

Рассмотрим для примера фуллерен С20 и вычислим для него антикоммутаторную функцию Грина. Для этого прежде всего запишем систему уравнений (7) для всех узлов фуллерена С20:

Ек =е+ ек, =Ек+10 Ек + и, =КУ т

б, к+10 = бу к, к = 1...10,

[1 -п/2, т = 1...10; п/ 2, т = 11...20,

Чт • б.

Чт =

где

е1 =-Ъ-2Ь1, е2 -Ь2 +Ь1 -= е3 -Ь2 -2ЬЬ1 +4Ь12

е4 = -Ь, е5 =Ь1 -^Ь2 + Ь, е6= ^Ь2 + Ь -Ь1, е7 = Ь, е8 Ь2 -2ЬЬ1 + 4Ь2, е9 Ь1 Ь2 + Ь= е10 Ь + 2Ь1,

б, ,1 = б, ,10 = 124,

б, ,2 = б,,4 = б,,5 = б, ,6 = б, ,7 = бу,9 = 18,

б, ,3 = б, ,8 = 1/12,

(13)

где Ь = -ґ= Ь -, ґ — интеграл переноса между атомами углерода на границе гексагон-гексагон, а ґ1 — интеграл переноса между атомами углерода на границе гексагон-квадрат. Из (14) следует, что е3 = е4, е7 = е8 при Ь1 = Ь/2. Это приводит к вырождению соответствующих энергетических уровней.

Фурье-образ антикоммутаторной функции Грина для фуллерена С60 имеет следующий вид

1 -Д К

Л ^

б,к+16 = б,к, к 1.=.16,

2р т=1 Е - Ет + 1к

Е, = е + е,, =Е, ,, Е, + и, =К. Ч • б- , (15)

к к’ к + 16 к ’ ,, т 1т ,, т ’ 4 '

= -п/2, т = 1...16;

=/2, т = 17...32,

где е1 = -2Ъ - Ь1,

3Ъ+Ьл/5 ^30Ь2 - 8ЬЬ1 +16 (ь )2 + 8ЬЬ1л/5-10Ь245 е2 =--------------------------------------------------------^----,

2 4

-Ъ-Ъ + 2Г10Ъ2 -4ЪЪ1 + 4(Ъ1 )2"| сов((ф+2р)/3)

е3 =----------ё--------------------- -------------------,

3 3

-3Ъ+^л/5 -І30Ь2 - 8ЪЪ1 +16 (Ъ1 )2 - 8ЪЪ1\[5 + 10Ъ245 е = 4 ,

Ъ -^Ъ2 + 4(Ъ+Ъ1 )2 Ъ -^ 5Ъ2 + 4(Ъ1 )2

Ъ-у15Ъ2 + 4(Ъ1 )2 - 4ЪЪ1

е7 =--- ---------------------,

7 2

-3Ъ - Ъл/5 ^30Ъ2 - 8ЪЪ1 +16 (Ъ1 )2 + 8ЪЬ1л/5-10Ъ2>/5

е8 =------------- ------------------------------------------,

8 4 '

е9 =( ъ(1-У5)+ 2Ъ1')!2, -Ъ -Ъ + 2 [10Ъ2 - 4ЪЪ1 + 4 (Ъ1 )2^ сов (ф/3)

-3Ъ+^л/5 +^30Ъ2 -8ЪЪ1 +16(Ъ1 )2 -8ЪЬ1Л/5 + 10Ъ2л/5 ' 4 ,

Ъ +^/5Ъ2 + 4(Ъ)2 -4ЪЪ1 Ъ+д/5Ъ2 + 4(Ъ1 )2

2 13 2

Ъ +^ Ъ2 + 4( Ъ + Ъ )2 Ъ(1^л/5) + 2Ъ1

’ 2 , е15 = 2 ,

-Ъ-Ъ + 2[10Ъ2 -4ЪЪ1 + 4(Ъ1 )2^ сов((ф-2р)/3) (16)

Ф = агссов

л/2 • (25Ъ3 + 12Ъ2Ъ1 - 24 (Ъ1 )2 Ъ + 16 (Ъ1 )3)

\32

8( 5Ъ2 - 2ЪЪ1 + 2( Ъ1 )2)

б, ,1 = У60,=бЛ5 Іб,,. б,13 б,,14 У15,

б,.2 = б1,4 =б,.8 =б,,9 бЛ11 б,Д5 120,

бЛ3 = б!,7 =б,Д2 =б,Д6 =112,

(20)

где Ь е—е Ь -, / — интеграл переноса между атомами углерода на границе гексагон-пентагон, а — интеграл переноса между атомами углерода на границе гексагон-гексагон. Из (16) следует, что е4 = е5

при Ь = Ь1у[5/з , а также е16 = е6 при Ь1 = Ь . Это приводит к вырождению соответствующих энергетических уровней. Отметим также, что при Ь1 = Ь е3, е10 можно записать в следующем виде: е3 Е-(1 ^Л=13)Ь12, е10 (-1 + Т!з)Ь12, (17)

Из спектральных весов энергетических состояний фуллерена С20, фуллерена С24 и фуллерена С60 следует, что степень вырождения каждого энергетического уровня этих систем следующий:

g1 = g7 = 1, ё= = = = 3 g3 = g9 5, о\

(18)

34 = g5 = =Ю = <§*11 = 4;

gl = Зю = Зи = g20 = 1, 5= ^ 2,

g2 = g 4 е=5 =36 =7 Е =2 = =Г5 (19)

= 316 = =1Т = <?19 = 3;

.?1 = =1Т = 1, =т =Е =8е 39 = =И = &5 = =13 =

= <?20 = <?24 = <?25 = ч=27 = =31 = 3,

.^З = 37 е=10 е=12 = &6 = <?19 ==23 = .?26 = .?28 = =32 = 5,

•?5 = & е=13 =14 =321 =^22 =^29 Е30 =4.

Из (18-20) следует, что у фуллерена С24 энергетический уровень Е5, а у фуллерена С60 энергетический уровень Е7 полностью заняты, в то время у фуллерена С20 на энергетическом уровне Е4 находится два электрона. Поскольку этот энергетический уровень четырехкратно вырожден, то по правилу Хунда эти два электрона располагаются по одному на двух из четырех орбиталей, а оставшиеся две орбитали являются пустыми.

Подставляя спектральные веса и степени вырождения в (9), получим вероятность нахождения нам узле электрона, находящегося на энергетическом уровне Еи для фуллерена С20, фуллерена С24 и фуллерена С60 ^}, е 120, ^}, е 124, ^}, е 1/60. Таким образом, вероятность нахождения электрона с энергией Е1 на каждом узле этих структур одинакова. Это можно объяснить тем, что в данных системах все узлы эквивалентны.

Зная функцию Грина для фуллерен С60, вычислим некоторые его физические параметры. При построении энергетических состояний для фуллерена С60 воспользуемся методом, предложенным в [4]. Согласно этому методу нижнюю хаббардовской подзону будут составлять энергетические состояния, которые соответствуют связывающим орбиталям с энергиями Е1-Е7 и Е16, а верхнюю хаббардовскую подзону будут составлять энергетические состояния, которые соответствуют разрыхляющим орбиталям с энергиями Е24-Е31. Данные энергетические состояния можно классифицировать в соответствии с представлениями группы 1Ь, как это сделано в [7]: Е^а^, Е2(/1м), Е3(Н=),

E5(gu), E6(gg), E^(hu), E24(t1u), E25(t1g),

Е26(И=), Е27(^2и), Е28(Ю, Е2э(Я=), Ез0(?и), Ез1(?г). Из энер-

3

11

3

гетического спектра фуллерена С6о следует, что энергии Еномо и Е1имо будут определяться следующими соотношениями:

Ь5Ь2 + 4 (Ь1 )2 - 4ЬЪ1

E = e +-

HOMO ° “

E =e + Г/ +

LUMO ь ^

2

(21)

-3b - W5 +^30b2 - 8bb +16 (b1 )2 + -10b2V5

Для того чтобы получить численные значения параметров, которые характеризуют энергетический спектр фуллерена С6о воспользуемся экспериментальными данными, полученными при исследовании этой молекулы. Согласно экспериментальным данным для фуллерена С60 Е, = 7,6 эВ, ЕА = 2,65 эВ [5]. Кроме того, экспериментальные исследования показывают, что в оптическом спектре поглощения фуллерена С60 наблюдаются три главные полосы поглощения с энергиями Е1= 3,78 эВ, Е2 = 4,84 эВ и Е3 = 5,88 эВ [9]. В описанной выше модели фуллерена С60 три главные полосы поглощения можно интерпретировать следующим образом. Полосы, которые соответствуют энергиям Е|, Е2 и Е'3 формируется переходами между молекулярными орбиталями с энергиями Е6 ® Е8, Е7 ® Е10 и Е6 ®Е11 соответственно. Данные переходы являются разрешенными. Тогда, зная экспериментальные значения энергий Е[, Е'2, Е'3 Е,, ЕА, можно найти численные значения и, Ь, Ь1, е и и1: и = 1,072 эВ, Ь = 1,838 эВ, Ь1 = 2,222 эВ, е = -5,308 эВ, и1 = 0,969 эВ.

Из (9), (21) и (22) следует, что для фуллерена С60: См « 5,125 эВ; ^«-5,125 эВ . (23)

Из (22) следует, что интегралы переноса имеют тот же порядок, что и энергия кулоновского отталкивания. Поэтому фуллерен С60 можно отнести к сильно коррелируемым системам.

Зная энергетический спектр фуллерена С60 найдем ширину верхней Ди и нижней зон Хаббарда,

а также ширину запрещенной зоны Д:

5Ь + 2Ь1 -^5Ь2 + 4( Ь1 )2 - 4ЬЬ1

(22)

А, =

2

А,

b +

3b + ^л/з -д/ 30b2 - 8bbj +16( b1 )2 + 8bbl45 -10b2V5

4 ;

-3b -ыВ +^30b2 -8bbj +16(b)2 + 8bbl4i-10b2V5

Из (24) видно, что у фуллерена Сб0, ширина верхней зоны не равна ширине нижней зоны. Вычисления, проведенные для ряда нанотрубок, содержащих только одни гексагоны, показали, что в этих наноструктурах ширина обоих зон Хаббарда одинакова. Поэтому можно предположить, что различие в ширине подзон Хаббарда в фуллерене С60 связано с присутствием пентагонов.

Таким образом, предложенный в работе метод вычисления антикоммутаторных функций Грина и корреляционных функций позволяет определять энергетический спектр наноструктур в рамках модели Хаббарда, а также вычислять целый ряд физических характеристик этих систем.

Литература

1.Лоскутов В. В., Миронов Г. И., Нигматуллин Р. Р. Приближение статических флуктуаций для модели Хаббарда // ФНТ. — 1996. — Т. 22. — С. 282-286.

2.Мурзашев А. И. Исследование углеродных наносистем в модели Хаббарда // ЖЭТФ. — 2009. — Т. 135. — С. 122-133.

3.Нигматуллин Р. Р., Тобоев В. А. Корреляционные функции для анизотропной модели Г ейзенберга в нулевом магнитном поле // ТМФ. — 1986. — Т. 68. — С. 88-97.

4. Силантьев А. В. Применение метода статических флуктуаций к модели Хаббарда // Известия вузов. Поволжский регион. Физикоматематические науки. — 2011. — Т. 19. — С. 151-163.

5.Dresselhaus M. S., Dresselhaus G., Eklund P. C. Science of fullerenes and carbon nanotubes. — San Diego: Academic Press, 1996. — 965 p.

6. Gebhard F. The Mott Metal-Insulator Transition. — Berlin: Springer, 1997. — 379 p.

7. Haddon R. C., Brus L. E., Raghavachari K. Electronic structure and bonding in icosahedral C60// Chemical Physics Letters. — 1986. — V. 125. — P. 459-464.

8. Hubbard J. Electron correlations in narrow energy bands // Proceedings of the Royal Society A. — 1963. — V. 276. — P. 238-257.

9.Leach S., Vervolet M., Despres A., Breheret E., Hare J. P., Dennis T. J., Kroto H. W., Taylor R., Walton D. R. M. Electronic spectra and transitions of the fullerene C60// Chemical Physics. — 1992. — V. 160. — P. 451-466.

b-

№ + 4( b )2

- 4bb,