Модель Хаббарда в приближении статических флуктуаций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 538.1

А. В. Силантьев

МОДЕЛЬ ХАББАРДА В ПРИБЛИЖЕНИИ СТАТИЧЕСКИХ ФЛУКТУАЦИЙ

Аннотация. Разработан метод статических флуктуаций применительно к модели Хаббарда. Показано также, что данный метод применим при исследовании наноструктур. В приближении статических флуктуаций вычислены антикоммутаторные функции Грина для двухподрешеточной модели Хаббарда, а также для пентагона, гексагона, димера и фуллерена С6о. Показано, что концентрация электронов на узлах разных подрешеток двухподрешеточной модели Хаббарда различна.

Ключевые слова: модель Хаббарда, функции Грина, энергетический спектр, наноструктуры, гексагон, пентагон, димер и фуллерен C60.

Abstract. The author has developed a method of statical fluctuations to be applied to the Hubbard model and nanosystems. The researcher has calculated anticommutator Green functions of the Hubbard two sublattices model, pentagon, hexagon, dimer and fullerene C60 through static fluctuations approximation. The article shows that electron concentration at different sites of the Hubbard two sublattices model varies.

Key words: Hubbard model, Green functions, energy spectrum, nanosystems, hexagon, pentagon, dimer and fullerene C60.

Уже почти полвека модель Хаббарда [1] является одной из моделей, которая широко используется для теоретического описания сильно коррелируемых электронных систем (СКЭС). Например, модель Хаббарда широко применяется для описания магнитных явлений [2], переходов металл-изолятор [3], свойств высокотемпературных сверхпроводников [4] и органических сверхпроводников [5]. В настоящее время большое число теоретических исследований посвящено изучению наноструктур. Наряду с моделью Хюккеля [6] для описания свойств наноструктур также используется модель Хаббарда [7].

Для исследования физических свойств СКЭС в рамках модели Хаббарда используются разнообразные приближенные методы, например: приближение самосогласованного поля, приближение хаотических фаз, метод континуального интегрирования [8].

В работе [9] был предложен метод решения модели Хаббарда и наноструктур, описываемых моделью Хаббарда, в приближении статических флуктуаций. Целью данной работы является дальнейшее развитие этого метода.

Как известно, гексагон и пентагон являются структурными элементами фуллеренов и углеродных нанотрубок [7], а димер является структурным элементом k-(ET^2 X и Q-^ET^ X солей [5]. В данной работе покажем

также на примере пентагона, гексагона, димера и фуллерена С60, что метод статических флуктуаций применим и при исследовании наноструктур.

Рассмотрим двухподрешеточную модель Хаббарда, гамильтониан которой запишем в виде

h=z ел-°1+ z yu cj°i + 2 z Uini°i пц , (1)

Ц ,i ц i ^ j ц i

где еіа, еіа - операторы рождения и уничтожения электронов со спином а на узле і; піа - оператор числа частиц со спином а на узле і; £г- - собственная энергия электрона на узле і; ґу - интеграл переноса, описывающий перескоки электронов с узла і на узел у; Vі - энергия кулоновского отталкивания двух электронов, находящихся на і-м узле; а = -а .

Запишем уравнение движения оператора с^а(т), заданного в представлении Гейзенберга:

&т = а + ^ (іҐСіа + ап/а , (2)

і

где т = іґ.

Решение уравнения (2) будем искать, используя приближение статических флуктуаций. Следуя этому методу, оператор числа электронов п/а на

узле /со спином а запишем в виде

п/а=(п/а^~^Ап/а, (3)

где (п/а') - среднее число электронов на узле/со спином а; Ап/а - оператор флуктуации числа электронов на узле /со спином а, причем предполагается, что оператор Ап/а не зависит от времени.

Продифференцируем по времени соотношение (3):

ёп/а = & {{п/а1 + Ап/а) = 0 (4)

& &

Таким образом, в приближении статических флуктуаций оператор п/а является интегралом движения. Умножим (2) на оператор п/а и учтем, что

(п/а) = п/а . В результате получим

&С/ а п/а

& т

:(е/ + и/ )С/ап/а + ^ґі/Сіап/а . (5)

Аналогичным образом можно получить уравнения движения и для опе-рат°р°в с+ , с+ Пуъп8а.

Обозначим две подрешетки, из которых состоит решетка, через А и В, а операторы е/а, относящиеся к подрешеткам А и В, обозначим через а~уа и

Ь+уа соответственно. Запишем в виде системы уравнения движения для операторов ауа, ьуа, ауаПАо, Ь/аПВа,а/аПВа,Ь/аПАа, а/аПАаПВа, Ь/аПВаПАа •

d т

d (af о nAo

da f о . ^ ^ . .

— £agaf о f Z tifaio f Z tifbio f UAaf оnAo ;

d т

d (a+f о nBo d т

d(afоnAanBc

(Ao f UA ')af оnAo f Z tifaf nAo f Z tifbio nAo ;

d т

£Aoaf оnBo f Z tifaionBo f Z tifbionBo f UAaf оnAonBo ;

(eAo f UA ')af оnAonBo f Z tifaionAonBo f Z tifbionAonBo ;

d т

'(bf оnBo

d т

'(bf о nAo

— (e Bo f UB )bfonBo f Z tifafo nBo f Z tifbio nBo ;

d т

d (b+f о nBo nAo d т

EBobf оnAo f Z tifaionAo f Z tifbionAo f UBbf оnBonAo ;

(eBo f UB )bf оnBonAo f Z tifaionBonAo f Z tifbionBonAo , (6)

где nAo, nBo - операторы, относящиеся к произвольному узлу подрешетки A и B соответственно.

После преобразования Фурье af о—(2/ N )12 Z afo exp (ikRf),

k

bfo —

(2/ N )1/2

Z afo exp (ikRf ) система уравнений (6) примет вид

' — (еAo f KAA (k))ako f KAB (k)bko f UAakonAo ;

■ — (eAo+ KAA (k ) f UA )akonAo f KAB (k)bkonAo;

dak o

d т

d(akonAo

d т

d | ako nBo

d т

— (Ao f KAA (kMonBO f KAB (k)bfonBo f UAakonAonBo;

& \акапАапва)

~ = (Ла + КАА (к) + иА )акапАапВа к КАВ (кЖапАапВа;

& Т

лг.+

■ = (еВа к КВВ (к))Ька к КВА (к)ака к иВЬкапВа;

&Ька

& Т -(ка пВа|

& Т

-(ка пАа )

= (еВа + КВВ (к) к иВ )ЬкапВа к КВА (к)акапВа ;

& Т

& (капВапАа

й Т

где

К

= (Вак КВВ (к))ЬкапАа к КВА (к)акапАа к иВЬкапВапАа ;

= (Ва к КВВ (к) к иВ )капВапАа к КВА (к)акапВапАа , (7)

'лА (к) = ґАА X ЄХР(-і (( АМ )) КАВ (к) = А X ЄХР(-і (( АЛВі )) ,

аааі ааві

КВВ (к) = ґВВ X ЄХР(-і((, АВВг ) КВА (к) = ґВА X ЄХР(-і((, АВЛг ) (8)

Аху. - вектор, идущий от произвольного узла х, принадлежащего подрешетке

Х, к ближайшему узлу у, принадлежащему подрешетке У, а суммирование производится по всем ближайшим к узлу х узлам у; ^У - интеграл переноса, описывающий перескоки электронов с произвольного узла, принадлежащего подрешетке Х, на ближайший узел, принадлежащий подрешетке У.

Система уравнений (7) является замкнутой и имеет точное аналитическое решение. Поскольку решение данной системы уравнений является громоздкими, то мы его здесь не приводим.

Для того чтобы найти спектр элементарных возбуждений в системе, прежде всего вычислим фурье-образы антикоммутаторных функций Грина [10]:

ака

\\ і ^ {^Акаш)

ака)) =—X Е Е ;

Не 2- Щ=1 Е - Екш к гк

(ка Ьы)) = fX Е{РЕка"!к • (9)

Не 2-Е-Екш к

где

{Рлка\) = { ^Вка2) = ^ (к )(^о)(е Л (к )-е В (к )к и1 - и2 к у4 (к ));

{Рлкаг) = (Рвка\) = - ^ )(™ъ)Ал Ак) - еБ Ак) + и1 - и2 -у4 Ак));

(Рлкоз) = (р'вка4) = - 2у к) (О - (ПАа)))А А) - гБ {к) + и1 + у3 {к));

(Рлко4) = ( ЕБказ) = 2—77) (О - (пЛо))А А Ак)- е Б Ак) + и1 - у3 Ак));

2у3\к)

(Рлко5) = (ЕВкаб) = 2—Ак)пБа)))А А) - гБ {к) - и2 -у2 {к));

2у2 [к)

{Рлкав) = (^Бка^ = -2—Ак)(А) - (пБа)))А А) - гБ {к) - и2 +у2 (к));

2у2 \к)

(Рлко7) = ( рБка%) = ~2^~Ак) А®)- Аплё)-{ пБа) + 1)е А {к )-е Б {к) + V {к));

(Рлко&) = {^Бкап) = -~2^^к) Апл^1 - (пБё) + 1)х

х(ел А)-ев А)-VI Ак)); (10)

Ек1 = 2 Ал А) + ЕВ А) + и1 +и2 +у4 А));

Ек 2 = ^ Ал А ) + еБ А ) + и1 +и2 - у4 А ));

Ек3 = “Ал А) + еБ А) + и1 +У3 А^ Ек4 = ~2Ал А) + еБ А) + и1 -У3 А));

Ек 5 = 2 Ал А ) + еБ А ) + и2 - у2 А )), Ек6 = ) Ал А ) + еБ А ) + и2 +у2 А ));

Ек7 = 2Ал А) + еБ А) + У1 А^ Ек8 = ^Ал А) + еБ А)-У1 А); (11)

V! А) = ([ел А) - еБ А)] А 4 • Клб А)■ Кбл А)) ) у2 А ^((/л А )-еБ А А- и2 ] +4 • Клв А^ Квл А)) ; уз А )=([ел А )-£в А К и1] +4 • клв А )• квл А)) ; у4 А ) = (|!ел Ак )-ЕБ А К и1 А и2 ] +4 • клв А )• квл А)) ;

ЕЛ {к )“е Л+КЛЛ {к ) гБ {к ) — ЕБ+КББ {к), пЛа пБа) • (12)

Энергетический спектр определяется полюсами Ек\ — Ек8 функций Грина (9). Для того чтобы найти спектральный вес каждого энергетического состояния, необходимо, как видно из соотношений (10), вычислить (^о), {пЛа), {пБа) • Используя спектральную теорему [10] и функции Грина (9), получим

I + \ 8

у^каака1 — {,ЕЛкт} ' /Е {ЕЛкат );

т—1

8

(Ь£сАа) — X (ЕБкат) ' /Е {ЕБкт ), (13)

т—1

где /е {х) - функция распределения Ферми.

Проинтегрируем соотношения (13) по первой зоне Бриллюэна:

(пЛа)— 2 {{ [ Е {Е1) + Е {Е2) + 01 {Е1) — в1 {Е2 )] —

— {) — (ПЛ5»[Е{Ез) + Е{Е4) + 02 {Ез) — 02 {Е4 )] —

— ^и’а)^ ПБа))\_Е {Е5 ) + Е {Е6 ) — 03 {Е5 ) + °3 {Е6 )] +

+ (О — {пЛа) — (пБа) + 1)[Е{Е7 ) + Е{Е8 ) + 04 {Е7 ) — 04 {Е8 )]} ; (14)

(пБа)— 2 К *Ъ) [Е {Е1) + Е {Е2) — 01 {Е1) + 01Е )] —

— {) — (пло))[Е{Ез) + Е{Е4) — 02 {Ез) + 02 Е)] —

— (0 —(пБа))\_Е{Е5 ) + Е{Е6 ) + 03 {Е5 ) — 03 {Е6 )] +

+ ^и/о) — {пЛа) — {пБа) + 1)[Е{Е7 ) + Е{Е8 ) — 04 {Е7 ) + 04 {Е8 )]} , (15)

где

01 {Е^) — | * [■Л {к и и2 ] / {Ек );

02 (Е) — /#■ /Е )

03 №)—I*[еЛ (к^] "2 ] -/{Ек')

04 &) — I * [ЕЛ ^^(кД / Е ) Е {Е,[ — ¡§/ Е[. (16)

В системе (16) интегрирование ведется по первой зоне Бриллюэна, а * - объем первой зоны Бриллюэна. Аналогичным образом можно получить выражения для (пЛа), (пБа), (пЛа пЛа), (пЛа пЛа), (пБа пЛа),

(плапбо) • Используя эти корреляционные функции, а также соотношения (14) и (15), можно получить следующую систему уравнений:

2(плс) — Ы[Е{Е1) + Е{Е2) + 01 {Е1) — 01Е )] —

—(Ы — ( плв)) Е {Ез) + Е {Е4) + 02 {Ез) — 02 {Е4 )] —

— (0 — (пБ^)[Е{Е5 ) + Е{Е6 ) — 0з {Е5 ) + 0з {Е6 )] +

+ ((^а) —(пЛа)—(пБа) + 1)[Е{Е7 ) + Е{Е8 ) + 04 {Е7 ) — °4 {Е8 [;

2(пбо) — Ы[Е{Е1) + Е{Е2) — 01 {Е1) + 01 {Е2 )] —

— ({) — ( пло)) Е {Ез) + Е {Е4) — 02 {Ез) + 02 {Е4 )] —

— (0 — (пБ^)[Е{Е5 [ + Е{Е6 [ + Оз {Е5 ) — 0з {Е6 )] +

+ ((^а) —(пЛа)—(пБа) + 1)[Е{Е7 ) + Е{Е8 ) — 04 {Е7 ) + 04 {Е8 [;

2(пла) — Ы[Е{Е1) + Е{Е2) + 01 {Е1) — 01 {Е2 )] —

— О — (пл^)[Е{Ез) + Е{Е4) + 02 {Ез) — 02 {Е4)] —

— (0 — (пБ^)[Е{Е5 ) + Е{Е6 ) — °з {Е5 ) + 0з {Е6 )] +

+ (О — (пЛа) — {пБа) + 1)[Е{Е7 [ + Е{Е8 ) + 04 {Е7 ) — 04 {Е8 )];

2(пва) — Ы[Е{Е1) + ЕЕ) — 01 {Е1) + 01Е )] —

— О — (пла»[ Е {Ез) + Е {Е4) — 02 {Ез) + 02 {Е4 )] —

— (0 — (пБ^)[Е{Е5 ) + Е{Е6 ) + 0з {Е5 ) — 0з {Е6 )] +

+ ((^а) —(пЛа)—(пБа) + 1)[Е{Е7 ) + Е{Е8 ) — 04 {Е7 ) + 04 {Е8 )];

(Е{{ { + Е{Е2 ) + 01 {Е2 ) — 01 {Е1))) —

— {Е{Е5 ) + Е{Е6 ) + 0з {Е5 ) — 0з {Е6 ))(0 —(пБа)) —

— {{Е1 { + Е{Е2 ) + 01 {Е2 ) — 01 {Е1))) —

— {{Е5 { + Е{Е6) + 0з {Е5) — 0з {Е6 ))(Ы — (пва});

(Е{{{ + Е{Е2) — 01 {Е2) + 01 {Е1))) +

+ (0з {Е5 { — 0з {Е6) — Е{Е5) — Е{Е6 {{({У [ва)) —

— {{Е1 { + Е{Е2) + 01 {Е2) — 01 {Е1)))) +

+ ( ()-О2 Е)-Е (Е3)-Е (Е4 ))()- )„». (17)

Система уравнений (17) представляет собой систему шести линейных уравнений с шестью неизвестными , (пао), (пва), , (пАа), (пЕа) •

Решая данную систему, можно найти эти неизвестные. Поскольку решение является громоздким, то мы здесь его не приводим. Проанализируем эти решения. Из полученных решений следует, что

, (пАа) ~ (пАа), (пЕа) ~ (пЕа) ,

(пАа) + (пАа)ф {пЕа) + (пЕа) • (18)

Таким образом, полученное решение соответствует парамагнитному состоянию системы, причем концентрация электронов на узлах решетки А отличается от концентрации электронов на решетке В. Поэтому уравнение на химпотенциал будет иметь следующий вид:

(пАа) + (пАа)+ (пЕа) + (пЕа) = 2п , (19)

где п - средняя концентрация электронов в системе.

Приведенный выше метод статистических флуктуаций можно распространить и на наносистемы, описываемые моделью Хаббарда. Для этого следует написать уравнения движения (2) и (5) для каждого узла системы. Подобно тому, как было получено уравнение движения для оператора ап^,

можно получить уравнения движения для операторов с^ап^, с^п^п^ .

В результате можно получить замкнутую систему уравнений, решив которую, можно вычислить антикоммутаторные функции Грина для каждого узла наносистемы [10]:

I

= .±- у . (20)

О ■тт Т7 Т7 _і_ V 1л

2п Е - Ет + ¡И

т

т

Зная функцию Грина, можно найти спектр элементарных возбуждений Ет, спектральную плотность энергетических состояний Е/>, а также можно определить целый ряд физических величин, характеризующих физические и химические свойства наносистемы, например: энергию резонанса, абсолютную электроотрицательность по Малликену %м, химический потенциал ц, энергию ионизации Еі, энергию сродства Ед, абсолютную химическую жесткость ц, абсолютную химическую мягкость S и абсолютную электро-фильность ю:

Хы = -2{Еьиыо + Еномо), ц = -г1м, Еі = -Еномо,

1 1 ц2

еа =~Еьимо,ц= ~{Еьимо-Еномо) 8 = —, , (21)

2 Л 2ц

где Ещмо - энергия самой нижней незанятой молекулярной орбитали, а Еномо - энергия самой верхней занятой молекулярной орбитали.

Отметим, что для более детального описания химических процессов с участием наносистем, кроме абсолютных их физических характеристик, необходимо также знать их локальные физические характеристики. Это связано с тем, что наносистемы, как и молекулы, могут обладать как электро-фильными, так и нуклеофильными областями. Тогда согласно обобщенной электронной теории кислот и оснований по Льюису одни области наносистемы могут обладать кислотными, а другие щелочными свойствами, и это может влиять на протекание химических реакций. В качестве локальных физических характеристик для описания наносистем можно использовать, например, такие локальные физические величины, как функции Фукуи /0 (Ё),

/(Я), /+ (Я), локальную химическую мягкость $а (Я), локальную элек-

трофильность юа(я):

Электронную плотность можно найти из спектральной плотности энергетических состояний Еу I, которая связана с вероятностью нахождения электрона с энергией Е на узле у следующим образом:

где gi - степень вырождения ¡-го энергетического уровня.

В качестве примера рассмотрим наносистему, состоящую из N эквивалентных узлов и будем считать, что оператор флуктуации числа электронов не зависит от номера узла Ап^ = Ап-^ . Тогда для того чтобы получить замкнутую систему уравнений, достаточно записать уравнения (2) и (5) для всех узлов наноструктуры:

HOMO.

(22)

где / = 1,...,N, N - число узлов наносистемы. Можно показать, что решение системы из 2N уравнений (23) сводится к решению системы из N уравнений, в то время как в методе, предложенном в работе [9], для нахождения операторов с^о необходимо решить систему из 2N уравнений.

Рассмотрим для примера пентагон. Запишем систему уравнений (23) для всех узлов пентагона:

10 = еос1о + ((с5о + с2о ) + ис1апа ; ё^ ~{Ео )с1 оп0 (с5опо Е~ с2оп0 ) ;

ё Т

ё (іо по^}

ёс-

2о

ё т

ё (с20 п0) , ,

ёТ ~(ео + и)с2опо + *(1оп( с3опо ) ;

30 = еос3о + *[с2о + с4о ) ис3опо ; ёт =(ео )с3 опо ^ *(с2опо с4опо);

ё т Г^с3опо |

40 = еос4о + ((с3о + с5о ) )с4опо ; ёт =(ео ^ и)с4опо ^ *(с3оп( с5опо ) ;

ё т

ё (с4о по)

ёс

5о

ё т

(с5опо\ , і , , \

ёТ _ (о + и)с5опо + *(4оп( + с1опо ) .

(24)

Система уравнений (24) является замкнутой и имеет точное аналитическое решение. Поскольку решение является громоздким, то мы его здесь не приводим.

Для того чтобы найти спектр элементарных возбуждений в системе, прежде всего вычислим фурье-образ антикоммутаторных функций Грина [10]:

((

с]о

і 1

с^чЕ 2ж 5

Е - Е1 +іИ Е - Е2 + іИ Е - Е3 + ¡И

па 2па 2па I

+------------1-----------1-----------?; (25)

Е - Е4 + 1Н Е - Е5 + 1Н Е - Е6 + 1Н J

Е1 = е-2Ь, Е2 =е + Ь(1-75)/, Е3 =е + Ь(1 + 75)/,

Е4 = е-2Ь + и, Е5 =е + Ь (1 -л/5 /2 + и, Е6 =е + Ь (1 + л/5 /2 + и , (26) где Ь = 4.

Энергетический спектр определяется полюсами Е1 - Еб функций Грина (25). Для того чтобы найти спектральный вес каждого энергетического состояния, как видно из соотношения (25), необходимо вычислить (п^) . Для того

чтобы найти (па), воспользуемся спектральной теоремой [10] и функциями Грина (25):

па = -55 К1 - па /р (Е1) + па/р (Е2 ) + 2 (1 - па)/р (Е3 ) +

+2 (1 - пъ)/р(Е4) + 2па /р (Е5) + 2па /р (Еб)} ; (27)

"5 {(1 - па)/(Е1 ) + па /р (Е2 ) + 2 (1 - па)/(Е3 ) +

+2 (1 - па)/(Е4) + 2па /р (Е5) + 2па /р (Еб)} , (28)

па = 5

где /р (х) - функция распределения Ферми.

Решив систему уравнений (27) и (28), получим

/р (Е1 ) + 2/р (Е3 ) + 2/р (Е4 )

(29)

/р (Е1 )- /р (Е2 ) + 2(р (Е4 )- /р (Е5 )- /р (Е6 )) / 5

Запишем еще условие на химпотенциал:

па + па= п, (30)

где п - концентрация электронов.

Из (29) и (30) следует, что

па = па = п . (31)

Из спектральных весов энергетических состояний получим степень вы-

рождения каждого энергетического уровня пентагона:

& = §4 = I §2 = §3 = §5 = §6 = 2 . (32)

Приведем еще результаты вычислений для гексагона, димера и фулле-рена С60. Фурье-образы антикоммутаторных функций Грина для гексагона, димера и фуллерена С60 имеют следующий вид:

']о

'іо

= і 1 Е 2п 6

1 - по

2(1 - по) 2(1 - по)

1 - по +--------------------о— +

Е - Е1 +іИ Е - Е2 +іИ Е - Е3 + ¡И Е - Е4 + ¡И

2по

2по

Е - Е5 + ¡И Е - Еб + ¡И Е - Еу + ¡И Е - Е2 + ¡И I Е1 = £-Ь -¿1, Е2 = £-^Ь^ -І1Ь + Ь2, Е3 = £ + ^Ь1 -І1Ь + Ь2,

Е4 = £ + Ь + ¿1, Е5 = £- Ь -ь и, Еб =£-^Ьр -Ь^ + Ь2 + и,

Е7 =£ + д/ь12 -Ь1Ь + Ь2 + и, Е8 =£ + Ь + Ь1 + и ; (33)

7о

і 1 I 1 - по 1 - по

-1 о - +---------------------------------------------------------------------------о— + .

ІЕ 2п 2І Е - Е1 +іИ Е - Е2 +іИ Е - Е3 +іИ Е - Е4 +іИ I’

Е1 =£-Ь Е2 = £ + Ь,, Е3 =£-Ь + и, Е4 = £ + Ь + и ; (34)

'іо

32

=— • Ё-

Отг

Е 2п “ Е - Ет+ ¡И

т=1 171

Е2 =£-

Е3 =£ +

Е1 =£-2Ь -¿1,

3Ь + Ьл/5 + ^30Ь2 -8ЬЬ1 + 16(Ь1 )2 + 8ЬЬ1л/5 -10Ь2л/5 / /4

—Ь - ¿1 + 2

10Ь -4ЬЬ1 + 4(¿1) 008((ф + 2я)/3)

¥2

Е4 =£ + | -

3Ь + Ьл/5 -д/30Ь2 -8ЬЬ1 + 16(Ь1 )2 -8ЬЬ1лІ5 + 10Ь2л/5у4, Е5 =£ + ^ Ь ^ Ь2+ 4 ( + Ь1 )2 /Д Еб =£ + ^ Ь -у} 5Ь2+ 4 (¿1 )2 2,

Е7 =£ +1 Ь -

-фь2 + 4 (Ь1 )2 -4ЬЬ1 /

-4ЬЬ1 у 2,

Е8 =£ + | -3Ь-Ьл/5 + ^30Ь2 -8ЬЬ1 + 16 (Ь1 )2 + 8ЬЬ1Л/5 -10Ь245 |/4,

Е9 = £ + (Ь(1 - V5 ) +

Е10 =£ +

—Ь - ¿1 + 2

10Ь2 - 4ЬЬ1 + 4(Ь1 )2

008

(ф/3)

Ец = £ +1 ~ЪЬ +

■ Ь\/5 + ^30Ь2 -8ЬЬ1 + 16(Ь1 )2 -8ЬЬ145 + 10Ь2-В ]/4

Е12 = £ + | Ь +

^5Ь 2+ 4 (¿1)

2-4ЬЬ1 |/2, Е13 =£ + ( Ь + ^5Ь2+ 4( Ь1 / | /2 ,

Е14 = £ + ^Ь + ^Ь2 + 4(Ь + Ь) /^2 Е15 = £ + ^Ь ( + -\/5 ) + 2Ь1 /2,

Е16 = £ +

-Ь - Ь + 2

10Ь - 4ЬЬ1 + 4(Ь1) 008((ф- 2^/3)

12

ЕI = Ег--16 + и, / = 17 - 32;

ф = ЯГ0008

Л •( 25Ь3 + 12Ь2Ь1 - 24 (Ь1 )2 Ь +16 (Ь1 )3 )х

2\3/2 V1

р =11-

(1-па/60,

5Ь2 - 2ЬЬ1 + 2(Ь1 /

р2 = р4 = р8 = р9 = р11 = р15 = (1 -

(1-п5)/20,

р3 = р7 = р10 = р12 = р16 = (1 - п/ /12, р5 = р6 = р13 = р14 = (1 - п/ /15,

р17 = п/160, р18 = р20 = р24 = р25 = р27 = р31 = п/20,

р19 = р23 = р26 = р28 = р32 = п/1I2, р21 = р22 = р29 = р30 = п/15 , (35)

где в случае гексагона Ь = - >0 и Ь1 =- >0 - интегралы переноса, соответствующие одинарной и двойной связи соответственно, а в случае фулле-рена С60 Ь и Ь1 - интегралы переноса на границе пентагон-гексагон и гекса-гон-гексагон соответственно. Отметим, что в (35) при Ь1 = Ь :

Е3 =£-(1 + уЦ3)ь/2, Е10 = £ + (-1 + л/1з)ь/2, Е16 = Е6, Е32 =Е22. (36)

Энергетический спектр гексагона, димера и фуллерена С60 определяется полюсами функций Грина (33), (34) и (35) соответственно. Из (35) и (36)

следует, что для фуллерена С60 при Ь = Ь л/5/3 вырождаются энергетические уровни Е4 и Е5, а при Ь = Ь\ вырождаются энергетические уровни Е16 и Е6 .

Условие на химпотенциал дается соотношением (30). Средние (па), (п/) для гексагона, димера и фуллерена имеют следующий вид:

п/= п/ = - |п/р (Е1) + 2 (^1 - /р (Е2) + ^ - ^] /р (Е3) +

+ f fF E ) + (l - f) fF (Es ) + nfF E ) + 2 fF (El ) + 2(l "f)fF (Eg )}, (37)

n„ = «s= 2 {(l - n ) fF (El ) + -f fF (El ) + [l - n ] fF (E3 ) + Щ fF (E4 )}; (38)

32

na = nâ = X Fm fF (Em ), (39)

m=l

где n - концентрация электронов.

Из спектральных весов энергетических состояний гексагона, димера и фуллерена Сбо следует, что степень вырождения каждого энергетического уровня этих систем следующий:

gl = g4 = gs = g8 = I g2 = g3 = &6 = g7 = 2; (40)

gi = g2 = g3 = g 4 =l; (4l)

gl = gl7 = 1,

g2 = g4 = g8 = g9 = gll = glS = gl8 = g 20 = g24 = g 25 = g 27 = g3l = 3,

g3 = g7 = gl0 = gl2 = gl6 = gl9 = g23 = g26 = g28 = g32 = S,

g5 = g6 = gl3 = gl4 = g2l = g22 = g29 = g30 = 4 . (42)

Отметим, что функции Грина (25), (33), (34) и (35) при b = 0 переходят

в функцию Грина модели Хаббарда в атомном пределе [ll]:

(( j\cjv)) E = Ц { E-E°+ ih + E - E2 + ih } ,

El = £, E2 =£+ U . (43)

Таким образом, предложенный в работе метод вычисления антикоммутаторных функций Грина и корреляционных функций позволяет определять не только спектр элементарных возбуждений, но и исследовать концентрацию электронов в подрешетках в зависимости от параметров системы. Кроме того, данный метод позволяет вычислять антикоммутаторные функции Грина и корреляционные функции наносистем в рамках модели Хаббарда.

Список литературы

1. Hubbard, J. Electron correlations in narrow energy bands / J. Hubbard // Proceedings of the Royal Society A. - l963. - V. 276. - P. 238-257.

2. Nagaoka, Y. Ferromagnetism in a Narrow Almost Half-Filled s-Band / Y. Nagaoka // Physical Review. - l966. - V. l47. - P. 392-405.

3. Gebhard, F. The Mott Metal-Insulator Transition: Models and Methods / F. Gebhard. - Berlin, Springer, l997. - P. 379.

4. Зайцев, Р. О. Диаграммные методы в теории сверхпроводимости и ферромагнетизма / Р. О. Зайцев. - М. : УРСС, 2004. - С. l75.

5. McKenzie, R. H. A strongly correlated electron model for the layered organic superconductors k-(BEDT-TTF)2X / R. H. McKenzie // Comments on Condensed Matter Physics - 1998. - V. 18. - P. 309-317.

6. Haddon, R. C. Electronic structure, conductivity and superconductivity of alkali metal doped (C60) / R. C. Haddon // Accounts of Chemical Research. - 1992. - V. 25. -P. 127-133.

7. Мурзашев, А. И. Исследование углеродных наносистем в модели Хаббарда / А. И. Мурзашев // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2009. -Т. 135, № 1. - С. 122-133.

8. Изюмов, Ю. А. Магнетизм коллективизированных электронов / Ю. А. Изю-мов, М. И. Кацнельсон, Ю. Н. Скрябин. - М. : Наука, 1994. - С. 367.

9. Силантьев, А. В. Применение метода статических флуктуаций к модели Хаббарда / А. В. Силантьев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические наук. - 2011. - № 3 (19). - С. 151-163.

10. Тябликов, С. В. Методы квантовой теории магнетизма / С. В. Тябликов. -М. : Наука, (1975), с.527.

11. Кузьмин, Е. В. Физика магнитоупорядоченных веществ / Е. В. Кузьмин, Г. А. Петраковский, Э. А. Завадский. - Новосибирск : Наука, 1976. - С. 288.

Силантьев Анатолий Владимирович

старший преподаватель, кафедра общей физики, Марийский государственный университет (г. Йошкар-Ола)

E-mail: [email protected]

Silantyev Anatoly Vladimirovich Senior lecturer, sub-department of general physics, Mari State University (Yoshkar Ola)

УДК 538.1 Силантьев, А. В.

Модель Хаббарда в приближении статических флуктуаций /

А. В. Силантьев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 4 (20). - С. 86-100.