Исследование наносистем в модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

УДК 538.1

А. В. Силантьев

ИССЛЕДОВАНИЕ НАНОСИСТЕМ В МОДЕЛИ ХАББАРДА В ПРИБЛИЖЕНИИ СТАТИЧЕСКИХ ФЛУКТУАЦИЙ

Аннотация.

Актуальность и цели. Модель Хаббарда широко используется для теоретического описания сильно коррелируемых электронных систем, при исследовании которых используются разнообразные приближенные методы. Относительно недавно были предложены четыре метода для вычисления функций Грина в приближении статических флуктуаций в модели Хаббарда. Целью настоящей работы является разработка еще двух методов вычисления функций Грина в модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций.

Материалы и методы. В основе приближения статических флуктуаций лежит метод уравнений движения для операторов рождения. Приближение статических флуктуаций позволяет получить замкнутую систему дифференциальных уравнений для нахождения операторов рождения. Зная выражения для операторов рождения, можно найти функции Грина, корреляционные функции и энергетический спектр системы.

Результаты. Разработанные методы вычисления функций Грина в модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций были применены для вычисления функции Грина для димера, гексагона, пентагона и фуллерена С2о.

Выводы. Полученные в работе результаты показывают, что функции Грина для вышеуказанных систем, полученные методами, предложенными в данной работе, совпадают с функциями Грина для этих систем, полученными ранее разработанными методами.

Ключевые слова: модель Хаббарда, функции Грина, энергетический спектр, наносистемы, димер, гексагон, пентагон, фуллерен.

A. V. Silant'ev

RESEARCH OF NANOSYSTEMS IN THE HUBBARD MODEL IN APPROXIMATION OF STATIC FLUCTUATIONS

Abstract.

Background. The Hubbard model is widely used for theoretical description of strongly correlated electronic systems. Various approximate methods are used for investigation of these systems. At the present time there are four approaches to calculation of the Green’s function in the approximation of static fluctuations. The purpose of this paper is to develop two more approaches to calculation of the Green’s function in the approximation of static fluctuations.

Materials and methods. The basis for the approximation of static fluctuations is the method of the motion equations for creation operators. The approximation of static fluctuations allows to obtain a closed system of differential equations for finding creation operators. The Green’s functions, correlation functions and energy spectrum can be calculated using creation operators.

Results. The developed approaches for finding the Green’s functions in the Hubbard model by the approximation of static fluctuations were used to obtain the Green’s functions of dimer, hexagon, pentagon and fullerene С2о.

Conclusions. This work demonstrates that the Green’s functions of dimer, hexagon, pentagon and fullerene С2о obtained by the new approaches coincide with the Green’s functions of these systems obtained by the earlier approaches.

164

University proceedings. Volga region

№ 2 (34), 2015

Физико-математические науки. Физика

Key word: Hubbard model, Green’s functions, energy spectrum, nanosystems, dimer, hexagon, pentagon, fullerene.

Уже почти полвека модель Хаббарда [1] широко используется для теоретического описания сильно коррелируемых электронных систем (СКЭС). Первоначально модель Хаббарда была предложена для описания магнитных свойств переходных металлов [1-3]. В дальнейшем при исследовании других материалов оказалось, что теоретические результаты, полученные в рамках модели Хаббарда и ее различных модификациях, находятся в хорошем соответствии с экспериментальными данными. В частности, модель Хаббарда применяется при изучении высокотемпературных сверхпроводников [4], органических сверхпроводников [5]. В последние два десятилетия ведутся интенсивные исследования наносистем. Исследования углеродных наносистем показали, что в этих системах взаимодействие между электронами велико и может достигать ~10 eV [6]. Поэтому для описания этих систем также используется модель Хаббарда [7].

При вычислении физических характеристик СКЭС используются различные приближенные методы: приближение самосогласованного поля, приближение хаотических фаз, приближение статических флуктуаций (ПСФ) и др. Отметим, что в настоящее время имеется несколько подходов [8-10] к вычислению функций Грина в ПСФ. Анализ этих подходов приведен в работе [11]. В данной работе рассмотрим еще два метода вычисления функций Грина в модели Хаббарда в ПСФ.

В модели Хаббарда СКЭС описываются гамильтонианом следующего

вида:

H ^ &ini0 + ^ tijci0cj0 + 2 ^ Uini0ni0, (1)

0,i 0,1 Ф j o,i

где c+0, ci0 - операторы рождения и уничтожения электронов со спином о на узле i; ni0 - оператор числа частиц со спином о на узле i; £i - энергия одноэлектронного атомного состояния на узле i; tj - интеграл переноса, описывающий перескоки электронов с узла i на узел j; Uг- - энергия кулоновского отталкивания двух электронов, находящихся на i-м узле; О = —о .

Запишем уравнение движения для оператора C++ 0 (т), заданного в представлении Гейзенберга:

dc f 0 . * , + +

= £fCf 0 + ^ tifCi0 + Ufcf 0nf0, (2)

i

где т = it.

Представим оператор cf0nf0 в следующем виде:

Cf 0nf 0 Cf 0Cf 0Cf 0 Cf 0Cf 0 cf 0 cf 0 mf 0,

(3)

где

Physics and mathematics sciences. Physics

165

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

mf О = Cf ocf О • (4)

Отметим, что оператор mf5 обладает следующими свойствами: mfo = 0, mfomfo=(l-nfo)nfo, cfomfo= 0,

c+f5mfomfO= c+fomf О, {c+fomf5, cfo} = mf5, {c+fomfo, cfo} = nf5 • (5)

Подставляя (3) в (2), получим

dc f О + ч ^ + +

d T = Zfcf О + ^ tifci5 + Ufcf5mfo • (6)

i

Решение уравнения (6) будем искать, используя ПСФ. Следуя методу, предложенному в [12], запишем оператор mfО в следующем виде:

mf О = (mfo) + Amfo, (7)

где AmfО - оператор флуктуации, причем предполагается, что оператор Amf О не зависит от времени.

После подстановки (7) в (6) уравнение движения для оператора cfО(т) примет вид

f f о + Uf (mfo) c f О+Z tifcio + UfcfoAmf о • (8)

i

Для того чтобы получить уравнение движения для оператора cfoAm f О, умножим уравнение (8) на оператор Am fo, затем заменим О на О

и воспользуемся свойствами оператора mfo (5):

dc f o Am f o г \+ /\ +

---dT----= (f + Uf rfOAmfo - Uf \mfo) cfoAmfo +

+Z tifctoAmfo + Uf{mfo) f - Uf{mfo) (mfo) cfo • (9)

i

Аналогичным образом можно получить уравнения движения и для операторов c+jAmfo • Предложенная выше методика позволяет получать замкнутую систему дифференциальных уравнений для операторов^ Для этого необходимо для каждого узла системы получить уравнения движения для опера-

т°р°в cio, cioAmf о, c+oAmf oAmgo,-

Наиболее простым вариантом ПСФ является вариант, когда оператор Amfo не зависит от номера узла, тх^ Amfo = Amo • В этом случае для того

166

University proceedings. Volga region

№ 2 (34), 2015

Физико-математические науки. Физика

чтобы получить замкнутую систему дифференциальных уравнений, достаточно записать уравнения (8) и (9) для каждого узла системы:

dc

fo = h

dc fo

d t ZfCf o + Uf (mf o) cf О + S tifcio + Ufcfo Amfo,

-d- = efcf О + Uf (mfo) cf o + S tifciO + UfcfoAmfo,

i

dc foAm f o / \+ /\ +

d T = (f + Uf )cfoAmfo - Uf {mfo) cfoAmfo +

+S tifc+oAmfo + Uf{mfo) cfo - Uf{mfo){ mfo) cfo ,

dc+oAmf o d t

= (f + Uf )c+foAmfo - Uf (mfo) cfoAmfo

+

+StifcioAmfo + Uf(mfo)cfo -Uf{mfo)(mfo)cfo, (10)

i

где f = 1,..., N, N - число узлов системы.

Таким образом, используя данную методику, можно получить замкнутую систему дифференциальных уравнений, которая будет содержать 4N дифференциальных уравнений.

Рассмотрим еще одну методику вычисления оператора c+o в ПСФ. Для этого продифференцируем по времени соотношение (7):

dm f o = d ((mfo) + Amfo) =

0.

(11)

dt dt

Таким образом, в ПСФ оператор mfo является интегралом движения. Умножим (6) на m fo

dc f om f o + + +

d =efcfomfo + Stifciomfo+Ufcfomfomfo .

i

С учетом (5) уравнение (12) примет вид

: f f + Uf ) cf omfo + S tifciomfo

dcfomfo

d t

(12)

(13)

Теперь для того чтобы получить уравнение движения для оператора cfomfo, заменим в уравнении (13) o на o:

dc f omf o = d t

(f + Uf ) cfomfo + S tifciomf o .

(14)

Physics and mathematics sciences. Physics

167

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Аналогичным образом можно получить уравнения движения и для операторов c+mf О.

Развитая выше методика для получения уравнений движения для операторов в рамках ПСФ позволяет получать замкнутую систему дифференциальных уравнений для этих операторов. Для этого необходимо для каждого

узла системы получить уравнения движения для операторов е+О, c+mfo,

CiOmf Omg О,...

Решив систему дифференциальных уравнений, можно вычислить антикоммутаторные функции Грина для каждого узла системы [13]:

i

2п

Z

F

J,m

E - Em + ih

(15)

Зная функцию Грина, можно найти энергетический спектр Em , спектральную плотность энергетических состояний Fj m , а также можно определить целый ряд физических величин, характеризующих физические и химические свойства наносистемы.

Наиболее простым вариантом ПСФ является вариант, когда оператор mf0 не зависит от номера узла, т.е. mf0 = m0 . В этом случае, для того чтобы

получить замкнутую систему дифференциальных уравнений, достаточно записать уравнения (6) и (14) для каждого узла системы:

dcf О

d т

= £fCfО + У tifcio + UfcfOmO , i

= ( f + Uf )Cfo mo + У tifc+omo, (16)

i

где f = 1,..., N, N - число узлов наносистемы. Можно показать, что решение системы из 2N дифференциальных уравнений (16) сводится к решению системы из N дифференциальных уравнений, в то время как в методе, который приводит к системе дифференциальных уравнений (10), для нахождения

операторов cf0 необходимо решить систему из 4N дифференциальных уравнений.

Решив систему уравнений (16), можно получить функции Грина, которые будут иметь следующую структуру:

v'o

г

2п

F'

J,m

p

У-

m=1 E - Em + ih

m=1 m

Ek Z + ek, Ek+pi2 Ek + U FJ,m qm 'Qj,m,

Qjm p/2 = Qjk, k =1... p/2,

168

University proceedings. Volga region

№ 2 (34), 2015

Физико-математические науки. Физика

Яш = i

1 --2, т = 1...p/2,

n

. 2

т = p/2 +1... p,

(17)

где p - число энергетических состояний системы.

Зная функцию Грина (17), можно найти степень вырождения каждого энергетического состояния:

N

gi = Z Qji , (18)

j =1

где gi - степень вырождения i-го энергетического состояния; N - число узлов наносистемы.

Рассмотрим для примера димер в приближении неоднородных и однородных статических флуктуаций. Для того чтобы в приближении неоднородных статических флуктуаций получить замкнутую систему дифференциальных уравнений, запишем уравнения движения для операторов c+, c+0,

c+om1o, c+om2o, c+om2o, c+om1o, c+om1om2o, c+om1om2o :

dc1o = d т

d (c+om1o)

d т

d (c+om2o)

d т

d (c+jm1om2o

d т

dc2o =

e c1o + ^' c2o + U' c1om1o,

= ((+ U) c+jm10 +1 • c+om1o,

= e c+om2o +t • c2om2o + U • c+om1om2o, = (e + U)c+jm1om2o +t • c+om1om2o,

d т

d (c+om2o)

d т

d (c+om1o)

d т

d (c+om2om1o

e c2<5 + t • c1o + U • c2om2o,

= (e'+ U) c+om2o +t • c+om2 о,

= e c+om1o +1 • c+om1o + U • c+om2om1o, = (e'+ U) c+om2om1o +t • c+om2om1o.

(19)

d т

Решив систему уравнений (19), получим для операторов c+о, c+jо следующие выражения:

Physics and mathematics sciences. Physics

169

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

+-

+-

cjdT)~ 2 cjo(0) cjamjai°) cfamjai°) + cj<5mj<5mfо(0) + cfо(0)'

c+f amf о (0)- cf cmjc (0) + cf amf cmjc (0) • exP (E1T) +

2 (c+jOmjom f о (0)- c+0m f omjo(0)) • exP (E2T) + cjo(0) — cjomjo(0) — cjomfо(0) + cjomjomfо(0)-cfо(0) + cfomfо + +cfomjo (0)- c+fOmfomjo (0) • exP (E3T) +

1 (c+jOmjo m f о (0) + c+f 0mf omjo(0)) • exP (E4T) +

(0) + c%mf о (0)- 2c+jOmjomfo (0) + — (c+jOmjo (0)- c%mf о (0)) +

g1 v

1

+---

2 L

+

+2

(cfо (0) + cf omjo(0) 2cf omf omjo(0)

Q-t '

gl

•exi

p (E5t) +

1

+ —

2

cjomjo(0) + cjomf о(0) 2cjomjomf о(0)+ ( cjomjo(0) + cjomf о( 0 )

g1

+

+2 ( cfо(0) cfomjo(0) + 2cfomfomjo(0)

g1

•exi

P (E6t); (20)

Ei — £ + t, E9 — £- t + U, E3 — £-1, E4 — £ + t + U.

e5

—1 (2e + U + gi), Еб —1 (2e + U-g), gi — VU2 + 4t2, (21)

где j — 1,2; f — 1,2; j Ф f .

Для того чтобы найти энергетический спектр димера, прежде всего вычислим фурье-образ антикоммутаторных функций Грина [13]. Для этого воспользуемся соотношением (20):

7'о

*» Е -

F

JOm

1 Е - Em + ih

m—1 т

(22)

где

-Е1о1 — F1o3 — F2o1 — ^оЗ — 211 -(n1o)-(n2o) + (n10n2o)), F1o2 — ^о4 — ^о2 — ^о4 — п1оп2о),

170

University proceedings. Volga region

№ 2 (34), 2015

Физико-математические науки. Физика

F1o5

F1o6

- F2o6 - Т

(«15 ) + («2а)— Ц«1а«2а)

- F2o5 - T

(«15 ) + («2а ) — 2(«1а«2а)

+ ^ [( «1а) —( «2а ) ]J,

- ^ [( «1^4 «2 o) ]j.

(23)

Энергетический спектр димера определяется полюсами Е1 — Еб функций Грина (22). Для того чтобы найти спектральный вес каждого энергетического состояния, как видно из (23), необходимо вычислить средние («1а«2а), («ш), («2с) . Используя (20), (22) и спектральную теорему [14], получим

K K

(«1а)- («1а)- («2а)- («2а)- ^ («1а«2а)- («1а«2а)- ^ (24)

K1 - [2 fF (Е5 )fF (Е6 ) + fF (Е2 ) + fF (Е4 ) — 2 fF (Е2 ) fF (Е4 )]х Х[ fF (Е1 ) + fF (Е3 )],

K2 - fF (Е5 )fF (Е6 )' [ fF (Е1 ) + fF (Е3 )] ,

K - [1 — fF (Е2 ) + fF (Е3 ) + fF (Е1 ) — fF (Е5 )— fF (Е6 )]fF (Е4 ) + + [1 + fF (Е3 ) + fF (Е1) — fF (Е5 ) — fF (Е6 )] fF (Е2 ) +

+2[ fF (Е5 ) + fF (Е6 ) — fF (Е1) — fF (Е3 )] fF (Е4 )fF (Е2 ) +

+ [2 + fF (Е1 ) — fF (Е2 ) + fF (Е3 ) — fF (Е4 )] fF (Е5 )fF (Е6 ),

fF (Е)

( —р)()

(25)

где р - химический потенциал; k - постоянная Больцмана; T - абсолютная температура.

Теперь рассмотрим димер в приближении однородных статических флуктуаций. Поскольку димер состоит из двух узлов то, для того чтобы в приближении однородных статических флуктуаций получить замкнутую систему дифференциальных уравнений, запишем систему уравнений (16) для обоих узлов димера:

dc1a d т

- eoc1o + tc2a + Uc1ama,

dc2a

d т

- eac2a + tc1a + Uc2ama,

d (c+oma) d т

(o + U )c10mo + tc2ama,

Physics and mathematics sciences. Physics

171

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

d (d+^m0)

dT = (£о +U )с2ото + tc\omo ■ (26)

Система уравнений (26) является замкнутой, причем третье и четвертое уравнения представляют собой замкнутую подсистему уравнений. Отметим, что решение подсистемы, состоящей из третьего и четвертого уравнений, является частным решением подсистемы, состоящей из первого и второго уравнений, а общее решение однородной подсистемы, состоящей из первого и второго уравнений, является общим решением подсистемы, состоящей из

третьего и четвертого уравнений, при U = 0 и замене с+то на с+ ■ Как известно, общее решение неоднородной системы уравнений можно представить в виде суммы частного решения и общего решения однородной системы. Таким образом, решение системы (26) из четырех дифференциальных уравнений сводится к решению системы из двух дифференциальных уравнений. Система уравнений (26) имеет точное аналитическое решение

cio (T) =1 ((с1о (0) + с2о(0)-с+ото(0)-с2ото(0))exP(E1T) +

+ (cio (0) - с+о (0) - с+отО (0) + с++0тО (0))exP(E2T) +

+ (с+ото(0) + с+ото(0))exP(E3T) + (с+Ото(0)-с +ота(0))exP(E4, (27)

Ei = £ — b, E2 = £ + b, E3 = £ - b + U, E4 = £ + b + U, (28)

где i = 1,2; j = 1,2;i Ф j , b = -t ■

Для того чтобы найти энергетический спектр димера, воспользуемся выражением (27) и вычислим фурье-образ антикоммутаторных функций Грина:

i 1 2п 2

1 - n

2

-+-

1 - n

2

+

n

2

+

n

2

E - E1 + ih E - E2 + ih E - E3 + ih E - E4 + ih

r ,(29)

где n - концентрация электронов.

Энергетический спектр димера определяется полюсами E1 - E4 функций Грина (29).

Приведем еще результаты вычислений для гексагона, димера и фулле-рена С20. Фурье-образы антикоммутаторных функций Грина для пентагона гексагона и фуллерена С20 имеют следующий вид:

(cj°|с/°)}E ~

i

1

E 2п 5

1 - n

2

-+-

2 1 - §

+

211 - 2

E - E1 + ih E - E2 + ih E - E3 + ih

+

172

University proceedings. Volga region

№ 2 (34), 2015

Физико-математические науки. Физика

+-

- + -

- + -

E - E4 + ih E - E5 + ih E - E6 + ih

Ei _е-2Ь, E2 _е + Ь(l —/5)2, E3 _е + Ь(1 +/5)2,

E4 _ Е- 2b + U, E5 _ Е + b (1 — л/5 )2 + U, E6 _£ + b t1 + ^ )2 + U; (30)

70

70

_ i 1 E 2n 6

1-2 2(1 -I J 2(1 -§, 2

2 -+—^---'—+—^---'—+----2—+

1 --

E - E1 + ih E - E2 + ih E - E3 + ih E - E4 + ih

+-

-+-

- + -

- + -

-

2

E - E5 + ih E - E6 + ih E - E7 + ih E - E8 + ih

У';

-

E1 _e-b-b1, E2 =£-~\jb2 -bjb + b2, E3 =e + ^jbf -bjb + b2, E4 _e + b + b, E5 _e-b-b + U, E6 =£-b2 - bjb + b2 + U,

Ei

-b1b + b2

+U,

Eg _£ + b + b1 + U;

+o| ^o))_ i

m_1

F

j,m

■Em + ih

(31)

Ek E + ek, Ek+6 Ek + U Fj,m qm 'Qj,m, Qj,k+6 QJ,k, k 1---6,

J1 --/2, m _ 1...6, qm _ {-/2, m _ 1...12,

Qj1 20, Qj,2‘ Qj,<S 20, Qj,3 4, ^',4 Qj^ 5, j 1...20,

^1 _ -3b, ^2 _ ->l5b, €3 _ -b, €4 _ 0, 65 _ 2b, ^6 _ >/5b, b _ -t. (32)

В заключение отметим, что функции Грина димера (22) и (29), Пентагона (30), гексагона (31) и фуллерена С20 (32), полученные в ПСФ методом, который предложен в данной работе, совпадают с функциями Грина, полученными в ПСФ другими методами [8-10, 14]. Таким образом, предложенный в данной работе метод позволяет в рамках модели Хаббарда в ПСФ вычислять антикоммутаторные функции Грина, корреляционные функции и энергетический спектр наносистем, а также различные термодинамические характеристики этих систем.

Physics and mathematics sciences. Physics

173

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Список литературы

1. Hubbard, J. Electron correlations in narrow energy bands / J. Hubbard // Proceedings of the Royal Society A. - 1963. - Vol. 276. - P. 238-257.

2. Gutzwiller, M. C. Effect of correlation on the ferromagnetism of transition metals / M. C. Gutzwiller // Physical Review Letters. - 1963. - Vol. 10. - P. 159-162.

3. Kanamori, J. Electron correlations and ferromagnetism of transition metals / J. Kanamori // Progress of Theoretical Physics. - 1963. - Vol. 30. - P. 275-289.

4. Зайцев, Р. О. Диаграммные методы в теории сверхпроводимости и ферромагнетизма / Р. О. Зайцев. - М. : УРСС, 2004. - С. 175.

5. McKenzie, R. H. A strongly correlated electron model for the layered organic superconductors k-(BEDT-TTF)2X / R. H. McKenzie // Comments on Condensed Matter Physics - 1998. - Vol. 18. - P. 309-317.

6. Strength of Effective Coulomb Interactions in Graphene and Graphite / T. O. Wehling,

E. Sasioglu, C. Friedrich, A. I . Lichtenstein, M. I. Katsnelson, S. Blugel // Physical Review Letters. - 2011. - Vol. 106. - P. 236805.

7. Иванченко, Г. С. Проводимость двухслойных углеродных нанотрубок в рамках модели Хаббарда / Г. С. Иванченко, Н. Г. Лебедев // Физика твердого тела. -2007. - Т. 49. - С. 183-189.

8. Силантьев, А. В. Применение метода статических флуктуаций к модели Хаббарда / А. В. Силантьев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 3 (19). - С. 151-163.

9. Силантьев, А. В. Модель Хаббарда в приближении статических флуктуаций / А. В. Силантьев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 4 (20). - С. 86-100.

10. Силантьев, А. В. Исследование наносистем в рамках модели Хаббарда / А. В. Силантьев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. - № 4 (24). - С. 214-226.

11. Силантьев, А. В. Фуллерен C60 в рамках модели Хаббарда / А. В. Силантьев // Известия вузов. Физика. - 2013. - Т. 56, № 2. - С. 70-79.

12. Нигматуллин, Р. Р. Корреляционные функции для анизотропной модели Гейзенберга в нулевом магнитном поле / Р. Р. Нигматуллин, В. А. Тобоев // Теоретическая и математическая физика. - 1986. - Т. 68. - C. 88-97.

13. Тябликов, С. В. Методы квантовой теории магнетизма / С. В. Тябликов. -М. : Наука, 1975. - С. 527.

14. Силантьев, А. В. Влияние деформации на энергетический спектр фуллерена C20 / А. В. Силантьев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2013. - № 1 (25). - С. 135-143.

References

1. Hubbard J. Proceedings of the Royal Society A. 1963, vol. 276, pp. 238-257.

2. Gutzwiller M. C. Physical Review Letters. 1963, vol. 10, pp. 159-162.

3. Kanamori J. Progress of Theoretical Physics. 1963, vol. 30, pp. 275-289.

4. Zaytsev R. O. Diagrammnye metody v teorii sverkhprovodimosti i ferromagnetizma [Diagram methods in the theory of superconductivity and ferromagnetics]. Moscow: URSS, 2004, p. 175.

5. McKenzie R. H. Comments on Condensed Matter Physics. 1998, vol. 18, pp. 309-317.

6. Wehling T. O., Sasioglu E., Friedrich C., Lichtenstein A. I., Katsnelson M. I., Blugel S. Physical Review Letters. 2011, vol. 106, p. 236805.

7. Ivanchenko G. S., Lebedev N. G. Fizika tverdogo tela [Solid state physics]. 2007, vol. 49, pp. 183-189.

8. Silant'ev A. V. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2011, no. 3 (19), pp. 151-163.

174

University proceedings. Volga region

№ 2 (34), 2015

Физико-математические науки. Физика

9. Silant'ev A. V. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2011, no. 4 (20), pp. 86-100.

10. Silant'ev A. V. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2012, no. 4 (24), pp. 214-226.

11. Silant'ev A. V. Izvestiya vuzov. Fizika [University proceedings. Physics]. 2013, vol. 56, no. 2, pp. 70-79.

12. Nigmatullin R. R., Toboev V. A. Teoreticheskaya i matematicheskaya fizika [Theoretical and mathematical physics]. 1986, vol. 68, pp. 88-97.

13. Tyablikov S. V. Metody kvantovoy teorii magnetizma [Methods of the quantum theory of magnetism]. Moscow: Nauka, 1975, p. 527.

14. Silant'ev A. V. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2013, no. 1 (25), pp. 135-143.

Силантьев Анатолий Владимирович старший преподаватель, кафедра физики и методики преподавания физики, Марийский государственный университет (Россия, г. Йошкар-Ола, пл. Ленина, 1)

E-mail: kvvant@rambler.ru

Silant'ev Anatoliy Vladimirovich Senior lecturer, sub-department of physics and physics teaching technique, Mari State University (1 Lenina square, Yoshkar-Ola, Russia)

УДК 538.1 Силантьев, А. В.

Исследование наносистем в модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций / А. В. Силантьев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2015. -№ 2 (34). - С. 164-175.

Physics and mathematics sciences. Physics

175