CC BY
27
Ravina Alexander Andreevich, student, shank71rus@gmail.com, Russia, Tula, Tula State University,
Shalynkov Sergey Alekseevich, student, i.sergey2000@yandex.ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 621.391
DOI: 10.24412/2071-6168-2021-9-362-365
ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОВ КОРРЕКЦИИ РЕЗУЛЬТАТОВ ВЫЧИСЛЕНИЯ БЫСТРОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
А.В. Ильченко, А.А. Злобарь, А.Б. Николаев
В работе проводилось моделирование и исследование методов, позволяющих осуществить коррекцию результатов вычисления быстрого преобразования Фурье (БПФ), а именно производить более точную оценку отсчета частоты по имеющимся отсчетам амплитуд частотного спектра сигналов. Приводятся результаты моделирования абсолютной погрешности методов, а также помехоустойчивости алгоритмов.
Ключевые слова: цифровая обработка сигналов, быстрое преобразование Фурье, интерполяция, помехоустойчивость.
В настоящее время быстрое преобразование Фурье используется в различных областях науки и техники для решения как теоретических, так и практических задач. Существует множество алгоритмов преобразования Фурье: Кули-Тьюки, Гуда-Томаса, Винограда и тд, быстрое преобразование Фурье, дискретное преобразование Фурье. Так же существуют методы, позволяющие повысить точность определения частот спектральных составляющих, полученных в результате расчета преобразования Фурье. Представляет интерес исследовать эти методы на предмет возможности использования для решения реальных прикладных задач цифровой обработки сигналов.
В цифровой обработке сигналов одним из возможных вариантов использования БПФ является вычисление спектра радиосигналов для последующей передачи этой информации другим приложениям. Например, в задачах измерений частотных параметров радиосигналов ввиду конечной выборки разрешающая способность по частоте конечна и зависит от количества входных отсчетов. Следовательно, определение амплитуд спектральных составляющих на исследуемых частотах происходит с погрешностью.
Существуют алгоритмы коррекции результатов вычисления БПФ, позволяющие осуществлять более точное определение амплитуд спектральных составляющих на исследуемых частотах путем интерполяции различного рода функциями.
В настоящее время одним из самых простых и популярных методов измерения частоты основывается на применении БПФ. Применение БПФ в современных системах обработки обеспечивает быстрое измерение мгновенной частоты по максимуму частотного спектра. Центральная частота может быть получена путем усреднения мгновенной частоты.
В работе [1] показано, что основным достоинством данного метода является его простота и скорость обработки. Погрешность данного метода зависит от выборки, а именно, от количества отсчетов входного сигнала, участвующих в вычислении. То есть погрешность зависит от шага сетки частот БПФ
» Fd
¿БПФ = (1)
где Fd - частота дискретизации; N - выборка комплексных отсчетов.
Следовательно, для уменьшения погрешности необходимо увеличивать выборку, что приводит к увеличению объемов вычисления [2].
Математическое и программное обеспечение вычислительных машин,
Погрешность, обеспечивая этим методом, не удовлетворительна для современных цифровых систем. Вследствие этого необходимо корректировать значения измеренных частот с помощью интерполяционных математических преобразований.
Суть интерполяционных алгоритмов заключается в расчете промежуточных значений частоты по имеющемуся дискретному набору известных значений, полученных в результате БПФ по формуле
ПЮ = о1х(п)вхр (-7 ^4 (2)
В работе [1-5] проводилось исследование следующих интерполяционных алгоритмов:
1) Параболическая интерполяция (ПИ)
• первый алгоритм с интерполяции по Лигазу;
f = К+1+К (К+1-К)(¥(К+1)-¥(К))
/коррЬ1 2 -I" 2У(К)-У(К+1)-У(К-1)' (3)
где К - отсчет БПФ, соответствующий максимальному значению амплитуды отсчета БПФ У(Х); У - результат вычисления БПФ; К+1 и - следующий и предыдущий отсчеты частоты.
• второй алгоритм с интерполяции по Лигазу;
^ = К + (4)
• алгоритм с интерполяции по Якобсену;
f к I 2пч( ^ (5)
УкоРР/ л Т Т лу2у{к)_у{к+л)_у{к_л))' (5)
где ^ - вещественная часть.
2) Гауссова интерполяция (ГИ). Алгоритм с интерполяции по Гауссу:
Ц|[§±12)
/кОррС =К + —/ у (6)
\Y(K+1)Y(K-1)
Было проведено моделирование алгоритмов коррекции оценки мгновенной частоты по второму методу Лигаза, по методу Якобсена и по методу Гаусса. Теоретическое значение погрешности рассчитывалось по формуле (1).
Моделирование проводилось следующим образом: вычислялось ДПФ согласно алгоритму (2) от произведения гармонического сигнала x(n) = cos(2n:/0 n/Fs) и оконной функции w(n), где п = 0.. N — 1 - номер отсчета, N - количество комплексных отсчетов БПФ. В качестве оконной функции будем использовать окно Хемминга, которое является окном высокого разрешения. Аналитическое выражение окна Хемминга имеет вид
w(n) = 0,54-0,46cosg^), (7)
Результат моделирования при /0 = 10 МГц приведен на рис. 1, где по оси ординат /бпф - значение частоты, полученное в результате вычисления БПФ без коррекции; /кОрр - значение частоты, полученное в результате коррекции приведенными методами; Дбпф - теоретическая погрешность, обусловленная шагом сетки БПФ (1).
Из рис. 1 видно, что использование методов коррекции оценки мгновенной частоты позволяет уменьшить погрешность оценки мгновенной частоты. Так, при N = 512 абсолютная погрешность оценки частоты с использованием БПФ без коррекции составляет |/0 _/б*пф I = 60 кГц, при коррекции оценки методом Гаусса абсолютная погрешность равна |/0 _/кОрр| = 40 кГц. При N = 2048 абсолютная погрешность оценки частоты с использованием БПФ без коррекции составляет |/0 — /еТпф I = 14,9 кГц, при коррекции оценки методом Гаусса абсолютная погрешность равна |/0 _/кОрр | = 9,9 кГц.
На рис. 2 приведен результат моделирования абсолютной ошибки оценки частоты I/o _/кОрр | с применением коррекции по второму методу Лигаза, методу Гаусса, методу Якобсена.
Из рис. 2 видно, что при N = 512 абсолютная погрешность оценки частоты с коррекцией по методу Якобсена равна |/0 —/корр| = 37,25 кГц. При N = 2048 абсолютная погрешность оценки частоты с коррекцией по методу Якобсена равна |/0 _/кОрр| = 8,1 кГц. Абсолютная погрешность оценки с коррекцией по методу второму Лигаза занимает промежуточное значение: при N = 512 погрешность метода близка к погрешности метода Якобсена, при N = 2048 погрешность метода близка к погрешности метода Гаусса.
N
Рис. 1 Зависимость абсолютной погрешности от количества отсчетов
N
Рис. 2 Зависимость абсолютной погрешности от количества отсчетов при различных методах коррекции
Помимо интерполяционных алгоритмов коррекции оценки мгновенной частоты существуют корреляционный алгоритм, алгоритм Ризенфильда и другие.
Было проведено моделирование помехоустойчивости оценки частоты оуо* гармонического сигнала вида соз(2л:/о0 значении несущей частоты /0 = 20 МГц и интервале наблюдения Т = 1 мс. При моделировании проводилась коррекция по второму методу Лигаза (4), по методу Якобсена (5) и по методу Гаусса (6), при этом количество отсчетов выборки равна 512. Отношение сигнал/шум q имеет вид:
« = 101еШ'
где А - амплитуда входного радиосигнала; ош - среднеквадратическое отклонение белого гаус-сового шума.
Результат моделирования в логарифмическом масштабе по оси ординат приведен
нарис. 3.
Я, с!В
Рис. 3. Зависимость помехоустойчивости методов коррекции от отношения сигнал/шум
364
Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, ...
Из рис. 3 видно, что при малых отношениях сигнал/шум q< 10 СКО ошибки оуо* коррекции приведенными методами не превышает 10 кГц. При высоких отношениях сигнал/шум q> 12 СКО ошибки оуо* метода коррекции по Якобсену не превышает 10 Гц, по второму метода Лигаза - не превышает 20 Гц, по Гауссу - не превышает 3 Гц.
Таким образом, наличие большого количества алгоритмов коррекции результатов БПФ говорит о том, что метод измерения мгновенной частоты на основе БПФ имеет недостаток в виде высокой абсолютной погрешности оценки |/0 —/кОрр |. Чтобы компенсировать этот недостаток, необходимо осуществлять коррекцию оценки частоты тем или иным способом. Достоинством метода является высокая скорость формирования оценки, а также высокая помехоустойчивость, которая обеспечивается применением коррекционных методов.
Список литературы
1. Белецкая С.Ю., Гнездилов Д.С., Крыжко И.Б., Токарев А.Б. Измерение частоты гармонического сигнала методом сравнения с эталонами // Вестник Воронежского государственного технического университета, 2014. 3 с.
2. Гнездилов Д.С., Сладких В.А., Стопкин В.М., Матвеев Б.В. Цифровой алгоритм высокоточной оценки частоты гармонического сигнала на фоне аддитивного гауссового шума // Вестник Воронежского государственного технического университета, 2013. 3 с.
3. Гнездилов Д.С., Матвеев Б.В. Сравнительный анализ цифровых интерполяционных алгоритмов оценки частоты радиосигнала // Вестник Воронежского государственного технического университета, 2013. 3 с.
4. Альтман Е.А., Елизаров Д.А. Исследование методов определения частоты однотонального сигнала // Известия Транссиба, 2010. 9 с.
5. Радченко Д.С. Исследование точностных характеристик алгоритмов измерения частоты // Синергия, 2016. 8 с.
Ильченко Андрей Вадимович, магистр, старший оператор, era_1@mil.ru, Россия, Анапа, ФГАУ « ВИТ «ЭРА»,
Злобарь Александр Андреевич, старший научный сотрудник, era_1@mil.ru, Россия, Анапа, ФГАУ «ВИТ «ЭРА»,
Николаев Александр Борисович, канд. воен. наук, старший преподаватель, era_1@mil.ru, Россия, Тверь, Военная академия воздушно-космической обороны
INVESTIGATION OF METHODS FOR CORRECTING THE RESULTS OF FFT CALCULATION
A.V. Ilchenko, A. A. Zlobar, A.B. Nikolaev
The study carried out modeling and research of methods that allow to correct the results of calculating the FFT, namely, to make a more accurate estimate of the frequency reading from the available samples of the amplitudes of the frequency spectrum of signals. The results of modeling the absolute error of the methods, as well as the noise immunity of the algorithms, are presented.
Key words: digital signal processing, fast Fourier transform, interpolation, noise immunity.
Ilchenko Andrey Vadimovich, senior operator, era_1@mil.ru, Russia, Anapa, FGAU «MIT
«ERA»,
Zlobar Alexander Andreevich, senior researcher, era_1@mil.ru, Russia, Anapa, FGAU «MIT «ERA»,
Nikolaev Alexander Borisovich, candidate of military sciences, senior lecturer, era_1@mil.ru, Russia, Tver, Military Academy of Aerospace Defense
