Исследование метода поиска функций преобразования нелинейных систем к эквивалентным линейным в геометрической теории управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 861.5.015.2 DOI: 10.20998/2411-0558.2018.42.08

В. Д. ДМИТРИЕНКО, д-р техн. наук, проф., НТУ "ХПИ", А. Ю. ЗАКОВОРОТНЫЙ, д-р техн. наук, проф., НТУ "ХПИ", Н. В. МЕЗЕНЦЕВ, канд. техн. наук, доц., НТУ "ХПИ", Д. М. ГЛАВЧЕВ, асп., НТУ "ХПИ"

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДА ПОИСКА ФУНКЦИЙ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ К ЭКВИВАЛЕНТНЫМ ЛИНЕЙНЫМ В ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ

Один из факторов, мешающих расширению области применения геометрической теории управления, это необходимость для определения функций преобразования, связывающих переменные линейных и нелинейных моделей, решать систему дифференциальных уравнений в частных производных при ограничениях в виде дифференциальных неравенств. Решение этой системы уравнений в общем случае не является тривиальной задачей. В статье исследуется влияние вида правых частей системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих нелинейный объект, на сложность определения функций преобразования. Библиогр.: 11 назв.

Ключевые слова: геометрическая теория управления; функции преобразования; система дифференциальных уравнений в частных производных.

Постановка проблемы и анализ литературы. Геометрическая теория управления (ГТУ) [1 - 8], являясь перспективным методом теории автоматического управления (ТАУ), имеет всё же узкую область применения. Более широкому применению ГТУ мешают сложные аналитические вычисления при определении производных и скобок Ли, инволютивности распределений, функций преобразования, устанавливающих связи между переменными линейных моделей в форме Бруновского с переменными в исходных нелинейных моделях объектов управления. Практически все эти преобразования удалось автоматизировать с помощью разработанного программного обеспечения [7, 9, 10], что расширило область применения ГТУ с объектов, описываемых несколькими нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями, на объекты, которые описываются системами, содержащими десятки уравнений [7]. Второй фактор, мешающий расширить области применения ГТУ - это необходимость для определения функций преобразования, связывающих переменные линейных и нелинейных моделей, решать систему дифференциальных уравнений в частных производных при ограничении в виде дифференциальных неравенств [7]. Решение этой системы уравнений в

© В. Д. Дмитриенко, А.Ю, Заковоротный, Н.В. Мезенцев, Д.М. Главчев, 2018

общем случае не является тривиальной задачей. При этом, сложность её решения существенно зависит от сложности правых частей обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих исходный нелинейный объект управления. В связи с этим авторы, использующие ГТУ, стремятся описать исходный объект таким образом, чтобы правые части дифференциальных уравнений содержали минимальное число одночленов. Например, в монографии [3] описывается линеаризация электропривода, где исходная модель объекта управления, описываемая пятью нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями, содержащими в своих правых частях 15 одночленов, преобразуется к эквивалентной модели, содержащей в правых частях дифференциальных уравнений 8 одночленов (в каждом уравнении в правой части - один или два одночлена), и только затем модель преобразуется к линейной форме Бруновского. Отсюда можно сделать вывод о том, что уменьшение числа одночленов в правых частях дифференциальных уравнений весьма существенно для дальнейшего поиска функций преобразований.

В связи с этим актуально исследование метода получения решений системы дифференциальных уравнений в частных производных при ограничениях в виде дифференциальных неравенств при различной сложности правых частей системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих нелинейные объекты.

Целью статьи является исследование применяемого метода решения системы дифференциальных уравнений в частных производных при ограничениях в виде дифференциальных неравенств с целью установления области его эффективного применения и поиска новых методов решения указанной системы уравнений при возрастании сложности моделей исходных нелинейных объектов.

В работе [10] рассматривается метод поиска функций преобразования для объекта, описываемого следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

Мхл

~г = а11х2 = й; м

Мх? 2 2 3 11

—2 = 021X3X5 + Й22 + ^23 Х2 + Й24 Х2 + <^5 Х1 + X + <^7 X = Я2; (1)

м

Мх3 = =

~Г = а31х3 + <32 х4 = §3;

м

йх^ йг йх.

- а41х4 + а42 хз + V! = g4 + V!;

5 Хб

-5 = а5!х2 + а52 — = g5;

Ш Хз

йХб

Ш Шх-1 Ш

(!)

- а61х6 + а62 х2 х3 + х7 = g6; = g7 + ^

С системой уравнений (!) связаны следующие векторные поля:

Х (х) -

81 0 0

g2 0 0

gз 0 0

g4 , У1 - 1 , У2 - 0

g5 0 0

g6 0 0

g7 - 0 0 1

(2)

где х-(х!, х2, ..., х7).

Проверка инволютивности распределений М0 - 8рап(У1,У2), М1 - 8рап{ У15 Г2, ЬХУ2}, М\ - зрап{У ,ЬХУХ , Ь2ХУ1 }, М^ -

- эрап{У2 ,ЬХУ2 ,Ь2ХУ2 }, МУ31, МУ2 показала, что система уравнений (1) может быть преобразована к форме Бруновского:

й!2;

йг

- 2

г

йг

4 - и

г - 1, 2, 3, 5, 6; й27

(3)

йг

- и2 •

где Брап( У1, У2) - линейная оболочка векторов У1 и У2; ЬХУ1, ЬХУ2 -производные Ли соответствующих векторов вдоль векторного поля Х; Ь2Х Ух, Ь2Х У2 - производные Ли второго порядка соответственно векторов У1, У2 вдоль векторного поля Х.

Усложним правые части четвертого и шестого дифференциальных уравнений объекта (1). В результате получим следующую систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений:

йх1 йг йх2 йг йх3 йг йх

= ёъ

= § 2;

= Яз;

_4

йг йх5 йг йх6 йг

йг

= § 4 + а43 х2 х6 + и1;

(4)

= §5;

= §6 + °63 х2 х4;

= §7 +и2 ■

С системой уравнений (4) связаны следующие векторные поля:

=

§1 §1 0 0

§2 §2 0 0

§3 §3 0 0

§4 + а43 х2 х6 = * §4 , ¥1 = 1 II 0

§5 §5 0 0

§6 + а63 х2 х4 * §6 0 0

§7 = 0 §7 0 1

где §4 = §4 + а43х2х6; §6 = §6 + а63х2х4-

Проверка инволютивности распределений М0, М1, М2, М3 для объекта (4) усложняется в связи с получением более сложных производных Ли второго и третьего порядка.

Форма Бруновского для объекта (4) имеет вид (3), то есть, совпадает с формой Бруновского для объекта (1).

Для системы уравнений (3) существуют преобразования г1 = Т1(х) = Т1(х1, х2, ..., х7) и г5 = Т2(х) = Т2(х1, х2, ..., х7), с помощью

которых, выполняя дифференцирование функций Тк (х), к = 1,2 вдоль

векторного поля Х1 = X + и1У1 + и2У2, можно определить 2р, р = 2, 7 :

-± = 22 - ЬХх (х) - ЬХ* Т1(х) + и1 Ь^ Т1(х) + и2Ьу2 (х); (5)

-Щ2 - 2з - Ьх1 (Ьх* Т (х)) - Ь2Х* (Тх(х)) + и1 Ьу1 (Ьх* (Тх(х)) + (б)

+ и2 ЬУ2

(ЬХ* Т1(х));

+и 2 ьу2( ЬХ Т1( х));

-3 = 24 - Ьх 1 (Ь2х Т1(х)) - Ь\. (Тх(х)) + и, ЬУу (Ь\* (Тх(х))) +

12 ЬУ2 (ЬХ

= и1 - ЬХ1(ЬЪХ Т(х)) - Ь\, (Т1(х)) + и1 Ьу^ьК Т(х)) + (§)

+и2ьУ2 (ЬХ* Т1(х));

= 26 - ЬХ! Т2 (х) - ЬХ* Т2 (х) + и1 ЬУ! Т2 (х) + и2ЬУ2 Т2 (х); (9)

йъ,

щ = 27 - Ьх1(ЬХ. Т2(х)) - ЬХ* (Т2(х)) + иЬГ[(ЬХ.Т2(х)) + (10)

+ и2 ЬУ2 (ЬХ* ЗД); -7 = и2 - Ьх (Ь2Х Т2(х)) - (Т2(х)) + и Ьу1 (4* Т2(х)) +

йг 1 Х 1 Х (11)

+ и2ЬУ2 (Ь;Х* Т2(х)),

где ЬХ Тк (х), Ь. Тк (х), ЬУ Тк (х), ЬУ Тк (х), к - 1, 2 - производные Ли

1 Х У2

функций Тк (х) вдоль векторных полей Х1, X , У1 , У2 ; - кратные

производные Ли вдоль векторного поля С (С - X, У1 , У2 ), т - 2, 3 .

Из системы уравнений в форме Бруновского (3) следует, что переменные 21, 22 , 23 , 2 5 и 26 не зависят от управлений и1 и и 2. Исходя из этого, следует что в выражениях (5) - (7), (9), (10) коэффициенты при управлениях и1 и и 2 равны нулю:

Ь¥х Т1( х) - ЬУ2 Т1( х) - Ь¥х (ЬХ Т1( х)) - ЬУ2 (ЬХ Т1( х)) -

- Ьух (Ь2х ТД х)) - ЬГ2 (ЬХ Т1(х)) - 0; (12)

ЬТ1 Т2(Х) = ЬТ2 Т2(Х) = ЬТ1 (ЬХ Т2(Х)) =

= Ь,2( Ьх Т2( х)) = 0. (13)

При этом, коэффициенты при управлениях и* и ы*2 в уравнениях (8) и (11) не равны нулю:

Ь1( ЬХ Т1( х)) = 1^Х:'Ь3х ^ * 0;

Ьу2( ЬХ Т1( Х)) = Г2\ * 0;

(14)

Ьу1 (Ь2х Тг( х)) =

'дТ2

, ЬХ, * 0;

- \ дХ X 1 /

Х ' (15)

Ьу2 (ЬХТ2(Х)) = {^дХ, ЬХ?2) * 0.

дТ2

Соотношения (12) - (15) в компактной форме описывают 10 дифференциальных уравнений в частных производных и четыре дифференциальных неравенства, с помощью которых можно определить функции преобразования Т1 (Х) и Т2 (х) . Эти функции в общем случае

могут зависеть от семи компонент вектора Х = (х^ Х2, ■ ■■, х7). Понятно, что эти функции для объектов (1) и (4) различны. Обозначим их соответственно для первого и второго объекта соответственно Т/ (Х),

Т2 (х) , Т12 (Х), Т22 (Х) . Определим вначале функцию Т/ (Х) для объекта (1). Из первых двух дифференциальных уравнений имеем:

ь, их=1^ ,, \=¿ дШ У11 =д]Ш.0+дгШ.0+

1 \ дх I i=1 д х1 д х1 д х2

+дТЧ*). 0+дТ1(х) .1. 0. 0+дг£(х). 0=0;

д х3 д х4 д х5 д х6 д х7

Ь,2 Т/(х) = Ш Л = ±^.0 + ^.1 = 0.

(16)

, , . _ ■ 0 + -дх / г=1 д х1 д х7

(17)

Отсюда следует, что функция Т/(х) не зависит от аргументов х4 и х7. Для дальнейшего анализа функции Т/ (х) используем из соотношений (12) следующие четыре дифференциальных уравнения в

частных производных, в которых используются производные Ли первого и второго порядка:

^ (Ьх Т/(х)) = = 0;

Ь^ (Ьх 7!(х)) = , ЬхУ^ = 0; Ь^ (Ь2х Т1(х)) = №-,Ь2хУ\ = 0;

Ь^ (Ь2х Т1(х)) = 1^,Ь2х¥2\ = 0,

(18)

(19)

(20) (21)

где

ЬхГ1 = [х, Г,] = ^ х= =

дх дх дх

<25

дЯ1 дЯ1 0

дх, дх2 дх7 0

д§2 д£ 2 д£ 2 0

дх, • д§7 дх1 дХ2 • д§7 дХ2 дх7 •• д£ 7 дх7 1 0 0 0

0 «11 0 0 0 0

+ 2а26 Х1 + 3«27 X2 «23 + 2а24 Х2 «21х5 0 «21х3 0

0 0 «31 «32 0 0

0 0 «42 «41 0 0

0 «51 хб - «52 2 х32 0 0 «52 х3

0 «62 Х3 «62 х2 0 0 «61

0 0 0 0 0 0

= 0 0 - «32 - «41 0 0 |Т 0Т;

0

0

0

1

0

0

0

дХ | |Т

ЬХУ2 - [ X, У2] -- — Уг - 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0 ;

дх 1 1

дХ

Ь2ХУХ - [ X, ЬхУ1] --—ЬхУ1 -

дх

0, а2]х5а32, ^3^32 + а32а41), (а32а42 + а,^]), (а32а52 2), (а32а62х2),0

(23)

(24)

ЬХУ2 - [Х' ЬХУ2 ] - ^У2 Х - д ЬХУ2 -

дх дх

а

0, 0, 0, 0, а61, 0

Т

Из соотношения (12) Ь (ЬХ Т/(х)) - 0 имеем:

(25)

д Т

д Т

ЬУ (Ьх Т1(х))ЬхУ1) Ч^х1'!0 0 "а32 -а42 0 0 0)-

дТ/( х). . дТ/( х). . п -(-а32) + 1 Н^ц) - 0.

дх3

дх4

Поскольку функция т/ (х) не зависит от х4, то она не зависит и

от х3.

Теперь используем из соотношений (12) и (19) равенство Ь (Ьх Т/(х)) - 0:

ЬУ (Ьх Т11(х))-(^, ЬхУ2)-1^, |0 0 0 0 0 -1 0|\ -

дх

дх

=£ Тх.. 0(-1) - 0.

г=1 дхг 1Ф6

дх6

Отсюда следует, что Т11(х) не зависит и от х6 (а также и от х3, х4, х7). Далее, используем последние два соотношения (12). В первую очередь берём более простое:

Т

х

3

1

2

ЬУ (Ь2х Т11(х)) -

'д Т11(х) 2

дх

, ЬХУ2 -

'д Т11( х)

дх

0000

52

х3

а61 0

дТ11(х) п дТ11(х) п дТ11(х) а52 л ^ • 0 + —^^ • 0 + —^^ • — - 0.

д х1

д х2

д х5 х3

Отсюда следует, что Т11(х) не зависит от х5. Рассмотрим следующее соотношение из (12):

ЬТ1(Ь2х Т11(х)) - 0 -/^,Ь2хУ1

Поскольку Т11 (х) может зависеть только от х1 и х2, а первая

компонента производной Ь2ХУ1 нулевая, то Т11(х) не зависит от х2, то

есть Т11(х ) ° Т11(х1). В качестве решения возьмём Т11(х1) - х1. Из этой функции, путём последовательного дифференцирования вдоль векторного поля Х получим:

21 - Т1( х1) - х1;

2 2 - ЬХ Т1 (х1) - а11х2;

1 3 2 2

23 - ЬХ (ЬХТ1 (х1)) - а11(а27х1 + а26х1 + а25х1 + а24х2 + а23х2 + а22 + а21х3х6);

24 - ЬХ (Ь2х Т1( х1)) - апх2 (3^27х12 + 2^26х1 + ^25) + Яц («23 + 2^4х2 )(«27х3 +

22

+ а26 х1 + а25 х1 + а24 х2 + а23 х2 + а22 + а21х3 х6) + а11а21х3( х7 + а61х6 + + а62 х2 х3) + а11а21х6(а31х3 + а32 х4). Непосредственная проверка неравенств (14) с помощью

3 3

производных Ли ЬХУ1 и ЬХУ2 показывает, что неравенства

выполняются. Таким образом, функция преобразования Т11( х)

определена. Аналогичным образом определяется и функция Т2 (х), а с её помощью - соотношения, связывающие переменные линейной модели в форме Бруновского 25 , 26 , 27 с переменными исходного нелинейного объекта (1). Для проверки адекватности линейной модели было проведено моделирование различных процессов функционирования

объекта управления с помощью линейной и нелинейной моделей. Сопоставление результатов моделирования с помощью этих моделей показало их полное совпадение.

Теперь определим функцию преобразования Т12( х) для объекта (4). Для второго объекта также можно записать уравнения вида (5) - (11), для определения функций преобразования Т12(х), Т22(х) связывающих переменные линейной и нелинейной моделей. Для второго объекта из уравнений вида (5) - (11) аналогично тому, как получены соотношения

(12) и (13), (14) и (15) для определения функций преобразования Т1 (х), Т2 (х) , несложно получить соотношения для определения функций преобразования Т12 (х) и Т22 (х):

Ьу Т12(х) = Ьу2 Т12(х) = 1Т1 (Ьх* Т12(х)) = Ьу2 (Ьх* Т12(х)) =

2

= Ьу1 (Ь2Х. Т12(х)) = Ьу2 (Ь2Х. Т12(х)) = 0; Ьух Т (х) = Ьу2 Т(х) = Ьух (Ьх* Т(х)) = Ьу2 (Ьх* Т (х)) = 0; (27)

(26)

м ьх* Т12( х))¥1/ *0;

ЬУ2( Т12( х))=(д^>ь3х* ^ *

ЬУ1 (4* Т2 (х)) = /^4*0 *0;

(28)

ЬУ2( Ь2х* Т2 (х)) = {д^,Ь2хУ2 )* 0.

дх

22

дх

(29)

Соотношения (26) - (29) по аналогии с соотношения (12) - (15) содержат необходимые дифференциальные уравнения в частных

производных для определения функций Т12 (х) и Т22 (х), которые, как и

функции Т.(х), Т2(х), могут зависеть от семи аргументов(х., х2, ..., х7).

Используя первые два уравнения из выражения (26)

ь. Т-( х =&у-)=0

Ь, Т12( х) =

'8 Т?

, 8х

Т2 = о,

по аналогии с соотношениями (16), (17) нетрудно установить, что функция Г12 (х) не зависит от аргументов х4 и х7. Для дальнейшего уточнения функции Г12( х) необходимо, как и при определении функции

х), знать производные Ли первого и второго порядка. Однако эти производные имеют в общем случае большее число ненулевых компонент. Например:

ЬЛ = [ X \ ¥1] = X -

8^1

8х

8^1

8х2 8х2

8Я4 8я4

8х1 8х2

8я6 8я6

8х1 8х2

8<?7 8§7

8х1 8х2

8Х

8х

8^1

8х7

8<?4

8х7

8Яб

8х2

8^7

8х7

¥1 =■

8_Х_

8х

■¥, =

'25

о а11 о о о о

2а26 х1 + 3 а 27 х^ а23 + 2а24 х2 а21 х5 о а21 х3 о

о о а31 а32 о о

о о а42 а41 о а43х2

о а51 - х6 " а52 -у о о Оа

хз хз

о а62 х3 + а63 х4 а62 х2 а62 х2 о а61

о о о о о о

= о о аз2 а41 о - а 63 х2 |Т о| ; 1

о о о о

1

о

о

о

о

1

о

о

о

(3о)

соотношение:

зо

о

Ьу* (Ьх■ т,( х-)) 4^-Ьх-у;)=1д Т

дх

дх

0 0 - а32 - а42 0 - а63х2 0

0г!(х)-(-ои)^ (-.«) + дТ1(х) (-а63 х2) = 0,

дх3

дх4

дх6

то уже нельзя, как при определении Т.1 (х), констатировать, что функция Т.2 (х) не зависит от х3 или х6 .

Таким образом, функция Т.2 (х) в общем случае является функцией нескольких переменных и её определение существенно усложняется, поскольку возникает перспектива численного решения системы уравнений в частных производных. Однако, опыт применения геометрической теории показывает, что функции преобразования обычно имеют простой вид, например:

Т.2(х) = х^ или Т.2(х) = х^ + х8. или Т,2(х) = £

х

а

1=1

где -

х

е {ха1' ха2- -- ха1 }, хаР (Р = 1 1) - переменные

объекта управления, не исключенные на первом этапе определения функции преобразования.

Поэтому возможен автоматический перебор функций преобразования с помощью специальной нейронной сети [11].

Выводы: Сопоставление систем дифференциальных уравнений (1) и (4) показывает, что объект управления (4) отличается от объекта управления (1) только наличием двух дополнительных одночленов в четвертом и шестом дифференциальных уравнениях. Однако это существенно усложняет поиск функций преобразования, связывающих переменные системы линейных дифференциальных уравнений в форме Бруновского с переменными системы дифференциальных уравнений, описывающих исходный нелинейный объект с дополнительными одночленами.

Анализ рассматриваемых примеров показывает, что наиболее критично увеличение числа одночленов в уравнениях, в которые входят управления, поскольку даже один одночлен может увеличивать число ненулевых компонент в производных Ли первого и второго порядка и может приводить к численным методам решения системы уравнений в частных производных. Увеличение числа одночленов в уравнениях, в

которые управления не входят, в большинстве случаев, не усложняют поиск функций преобразования.

Если функцию преобразования не удается получить как функцию одной переменной, тогда перспективным выглядит автоматический перебор функций преобразования с помощью специализированной нейронной сети.

Список литературы:

1. Bloch A.M. An Introduction to Aspects of Geometric Control Theory / A.M. Bloch // In: Krishnaprasad P., Murray R. (eds) Nonholonomic Mechanics and Control. Interdisciplinary Applied Mathematics, Vol 24. Springer, New York, NY. - P. 199-233.

2. Freitas, C.B.N. A Symbolic-Numerical Method for Integration of DAEs Based on Geometric Control Theory / C.B.N. Freitas, P.S.P. da Silva // Journal of Control, Automation and Electrical Systems. - 2014. - Vol. 25. - № 400. - Sao Paulo - SP - Brasil. https://doi.org/10.1007/s40313-014-0115-9.

3. Краснощёченко В.Н. Нелинейные системы: геометрический метод анализа и синтеза / В.И. Краснощёченко, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 2005. -520 с.

4. Kim D.P. Automatic Control Nonlinear and Multivariable System / D.P. Kim. - Seal: Harnol, 2000. - 558 p.

5. Сачков Ю. Геометрическая теория управления / Ю. Сачков. - М.: СИНТЕГ, 2013. -394 c.

6. Аграчев, А.А. Геометрическая теория управления / А.А. Аграчев. - М.: Физматлит, 2005. - 392 c.

7. Заковоротный А. Ю. Синтез автоматизированной системы управления подвижным составом на основе геометрической теории управления и нейронных сетей: дис. ... д-ра техн. наук: спец. 05.13.07 / А. Ю. Заковоротный; Нац. техн. ун-т "Харьков. политехн. ин-т". - Харьков, 2017. - 433 с.

8. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т. 2 Многомерные нелинейные, оптимальные и адаптивные системы: учебное пособие / Д.П. Ким. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 464 с.

9. Дмитриенко В.Д. Моделирование и оптимизация процессов управления движением дизель-поездов / В.Д. Дмитриенко, А.Ю. Заковоротный. - Харьков: НТМТ, 2013. -248 с.

10. Дмитриенко В.Д. Исследование возможностей программных компонент бортовой вычислительной системы при преобразовании нелинейных систем к эквивалентным линейным / В.Д. Дмитриенко, А.Ю. Заковоротный, Н.В. Мезенцев, Д.М. Главчев // Вюник НТУ "ХШ". - Харшв: НТУ "ХШ", 2018. - Вип. 24 (1300). - С.80-98.

11. Дмитриенко В.Д. Метод поиска функций преобразования, связывающих переменные нелинейных и линейных моделей в ГТУ / В.Д. Дмитриенко, А.Ю. Заковоротный, Д.М. Главчев // Вюник НТУ "ХШ". - Харшв: НТУ "ХШ", 2016. -Вип. 44 (1216). - С.14-30.

References:

1. Bloch, A.M. (2015), An Introduction to Aspects of Geometric Control Theory. In: Krishnaprasad P., Murray R. (eds) Nonholonomic Mechanics and Control. Interdisciplinary Applied Mathematics, vol 24. Springer, New York, NY, pp. 199-233.

2. Freitas, C.B.N. & da Silva, P.S.P. (2014), "A Symbolic-Numerical Method for Integration of DAEs Based on Geometric Control Theory". Journal of Control, Automation and Electrical Systems (2014) 25: 400, Säo Paulo - SP - Brasil. https://doi.org/10.1007/s40313-014-0115-9

3. Krasnoshechenko, V.N., and Krishenko, A.P. (2005), Nonlinear systems: geometrical method of analysis and synthesis, Bauman Moscow State Technical University (BMSTU), Moskow, 520 p.

4. Kim, D.P. (2000), Automatic Control Nonlinear and Multivariable System. - Seal: Harnol, 2000, 558 p.

5. Sachkov, Y. (2013), Geometric control theory. - SYNTEG, Moscow, 394 p.

6. Agrachev, A.A. (2005), Geometric control theory. - Fizmatlit, Moscow, 392 p.

7. Zakovorotny, A.Y. (2017), Synthesis of an automated control system for rolling stock on the basis of geometric control theory and neural networks: dis. ... Dr. techn. Sciences: spec. 05.13.07 / Alexander Yuryevich Zakovorotny; NTU "Kharkov Polytechnic Institute". -Kharkov. - 433 p.

8. Kim, D.P. (2004), Theory of automatic control. T. 2 Multidimensional nonlinear, optimal and adaptive systems, FYSMATLIT, Moskow, 464 р.

9. Dmitrienko, V.D., and Zakovorotny, A.Y. (2013), Modelling and optimization of management processes of diesel trains, НТМТ, Kharkiv, 248 p.

10. Dmitrienko V.D., Zakovorotny, A.Y., Mezentsev N.V., Hlavchev D.M. (2018) "The investigation of the capabilities of the the onboard computing system software component when converting nonlinear systems to equivalent linear". Bulletin of NTU "KPI". - Kharkiv: NTU "KhPI", Vol. 24 (1300), pp.80-98.

11. Dmitrienko V.D., Zakovorotny, A.Y., Hlavchev D.M. (2018) "The method of searching for transformation functions that connect the variables of nonlinear and linear models in GCT". Bulletin of NTU "KPI". - Kharkiv: NTU "KhPI", Vol. 44 (1216), pp.14-30.

Статтю представив д. т.н., проф. Нащонального техтчного университету "Харювський полШехтчний институт " О.А. Серков

Над1йшла (received) 11.10.2018

Dmitrienko Valerii, Dr. Tech. Sci., Professor

National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute"

Str. Kirpicheva, 2, Kharkiv, Ukraine, 61002

Tel.: +38 (057) 707-61-98, e-mail: valdmitrienko@gmail.com

ORCID ID: 0000-0003-2523-595X

Zakovorotniy Alexandr, Dr. Tech. Sci., Docent

National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute"

Str. Kirpicheva, 2, Kharkiv, Ukraine, 61002

Tel.: +38 (097) 967-32-71, e-mail: arcade@i.ua

ORCID ID: 0000-0003-4415-838X

Mezentsev Nickolay, Cand. Tech. Sci., Docent

National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute"

Str. Kirpicheva, 2, Kharkiv, Ukraine, 61002

Tel.: +38 (098) 859-88-98, e-mail: besitzer@i.ua

ORCID ID: 0000-0001-7834-2797

Dmytro Hlavchev, master

National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute" Str. Kirpicheva, 2, Kharkiv, Ukraine, 61002 Tel: +380993049807, e-mail: dmitriyglavchev@gmail.com ORCID ID: 0000-0003-4248-4819

УДК 861.5.015.2

Дослвдження методу пошуку функцш перетворення нелшшних систем до eKBiBareHTH^ .liiiiiiiiiix в геометричнiй теорп управлшня / Дмитрieнко В.Д., Заковоротний О.Ю., Мезенцев Н.В., Главчев Д.М. // Вюник НТУ "ХП1". Серiя: 1нформатика та моделювання. - Харк1в: НТУ "ХШ". - 2018. - № 42 (1318). - С. 20 - 35.

Один з факторiв, що заважають розширенню сфери застосування геометрично! теорп управлiння (ГТУ) - це необхщшсть, для визначення функцш перетворення, що зв'язують змiннi лшшних i нелiнiйних моделей, вирiшувати систему диференщальних рiвнянь в часткових похщних при обмеженнях у виглядi диференщальних нерiвностей. Вирiшення ще! системи рiвнянь в загальному випадку не е тривiальним завданням. У статтi дослщжуеться вплив виду правих частин системи звичайних диференцiальних рiвнянь, що описують нелiнiйний об'ект, на складнiсть визначення функцш перетворення. Бiблiогр.: 11 назв.

Ключовi слова: геометрична теорiя управлiння; функцп перетворення; система диференщальних рiвнянь в часткових похщних.

УДК 861.5.015.2

Исследование метода поиска функций преобразования нелинейных систем к эквивалентным линейным в геометрической теории управления / Дмитриенко В.Д., Заковоротный А.Ю., Мезенцев Н.В., Главчев Д.М. // Вестник НТУ "ХПИ". Серия: Информатика и моделирование. - Харьков: НТУ "ХПИ". - 2018. -№ 42 (1318). - С. 20 - 35.

Один из факторов, мешающих расширению области применения геометрической теории управления, это необходимость для определения функций преобразования, связывающих переменные линейных и нелинейных моделей, решать систему дифференциальных уравнений в частных производных при ограничениях в виде дифференциальных неравенств. Решение этой системы уравнений в общем случае не является тривиальной задачей. В статье исследуется влияние вида правых частей системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих нелинейный объект, на сложность определения функций преобразования. Библиогр.: 11 назв.

Ключевые слова: геометрическая теория управления; функции преобразования; система дифференциальных уравнений в частных производных.

UDK 861.5.015.2

Investigation of the search method for the transformation functions of nonlinear systems to equivalent linear ones in geometric control theory / Dmitrienko V.D., Zakovorotny A.Y., Mezentsev N.V., Hlavchev D.M. // Herald of the National Technical University "KhPI". Series of "Informatics and Modeling". - Kharkov: NTU "KhPI". - 2018. -№.42 (1318). - P. 20 - 35.

One of the factors that prevent the expansion of the field of application of the geometric control theory (GCT) is the need to solve the system of partial differential equations with constraints in the form of differential inequalities for determining the transformation functions and connection between the variables of linear and nonlinear models. The solution of this system of equations in the general case is not a trivial task. The article investigates, the influence of the type of the right-hand sides of a system of ordinary differential equations, that describing a nonlinear object on the complexity of determining the transformation functions. Refs.: 11 titles.

Keywords: geometric control theory; transformation functions; system of partial differential equations.